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1、20122012 年新课标高考理科数学试题及答案年新课标高考理科数学试题及答案注息事项:1.本试卷分第卷（选择题）和第卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上。2.问答第卷时。选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动.用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效.3.回答第卷时。将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效4.考试结束后.将本试卷和答且卡一并交回。第一卷一选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）已知集合1,2,3,4,5A,(,),Bx y
2、 xA yA xyA；,则B中所含元素的个数为（）()A 3()B 6()C()D【解析】选D5,1,2,3,4xy，4,1,2,3xy，3,1,2xy，2,1xy共 10 个（2）将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）()A 12种()B 10种()C 种()D 种【解析】选A甲地由1名教师和2名学生：122412C C 种（3）下面是关于复数21zi 的四个命题：其中的真命题为（）1:2pz 22:2pzi3:pz的共轭复数为1 i4:pz的虚部为1()A23,pp()B12,p p()C,pp()D
3、,pp【解析】选C22(1)11(1)(1)iziiii 1:2pz，22:2pzi，3:pz的共轭复数为1 i，4:pz的虚部为1（4）设12FF是椭圆2222:1(0)xyEabab的左、右焦点，P为直线32ax 上一点，21F PF是底角为30的等腰三角形，则E的离心率为（）()A12()B23()C()D【解析】选C21F PF是底角为30的等腰三角形221332()224cPFF Faccea（5）已知na为等比数列，472aa，568a a ，则110aa（）()A 7()B5()C()D【解析】选D472aa，56474784,2a aa aaa 或472,4aa 4711011
4、04,28,17aaaaaa 471011102,48,17aaaaaa （6）如果执行右边的程序框图，输入正整数(2)N N 和实数12,.,na aa，输出,A B，则（）()A AB为12,.,na aa的和()B2AB为12,.,na aa的算术平均数()C A和B分别是12,.,na aa中最大的数和最小的数()D A和B分别是12,.,na aa中最小的数和最大的数【解析】选C（7）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）()A 6()B9()C()D【解析】选B该几何体是三棱锥，底面是俯视图，高为3此几何体的体积为116 3 3932
5、V （8）等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线xy162的准线交于,A B两点，4 3AB；则C的实轴长为（）()A2()B2 2()C()D【解析】选C设222:(0)C xyaa交xy162的准线:4l x 于(4,2 3)A(4,2 3)B 得：222(4)(2 3)4224aaa（9）已知0，函数()sin()4f xx在(,)2上单调递减。则的取值范围是（）()A1 5,2 4()B1 3,2 4()C1(0,2()D(0,2【解析】选A592(),444x不合题意 排除()D351(),444x 合题意 排除()()B C另：()22，3(),424422x得：315
6、,2424224（10）已知函数1()ln(1)f xxx；则()yf x的图像大致为（）【解析】选B()ln(1)()1()010,()00()(0)0 xg xxxg xxg xxg xxg xg 得：0 x 或10 x 均有()0f x 排除,A C D（11）已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2SC；则此棱锥的体积为（）()A26()B36()C23()D22【解析】选AABC的外接圆的半径33r，点O到面ABC的距离2263dRrSC为球O的直径点S到面ABC的距离为2 623d 此棱锥的体积为1132 62233436AB
7、CVSd另：13236ABCVSR排除,B C D（12）设点P在曲线12xye上，点Q在曲线ln(2)yx上，则PQ最小值为（）()A 1 ln2()B2(1 ln2)()C1 ln2()D2(1 ln2)【解析】选A函数12xye与函数ln(2)yx互为反函数，图象关于yx对称函数12xye上的点1(,)2xP xe到直线yx的距离为122xexd设函数minmin111 ln2()()1()1 ln2222xxg xexg xeg xd 由图象关于yx对称得：PQ最小值为min22(1 ln2)d第第卷卷本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题第 21 题为必考题，每个试题考生都必须作
8、答，第 22-第 24 题为选考题，考生根据要求做答。二填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。（13）已知向量,a b 夹角为45，且1,210aab；则_b【解析】_b 3 222210(2)1044cos45103 2ababbbb(14)设,x y满足约束条件：,013x yxyxy；则2zxy的取值范围为【解析】2zxy的取值范围为 3,3约束条件对应四边形OABC边际及内的区域：(0,0),(0,1),(1,2),(3,0)OABC则2 3,3zxy（15）某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件 1 或元件 2 正常工作，且元件 3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的
9、使用寿命（单位：小时）均服从正态分布2(1000,50)N，且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为【解析】使用寿命超过 1000 小时的概率为38三个电子元件的使用寿命均服从正态分布2(1000,50)N得：三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为12p 超过 1000 小时时元件 1 或元件 2 正常工作的概率2131(1)4Pp 那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为2138ppp（16）数列na满足1(1)21nnnaan，则na的前60项和为【解析】na的前60项和为1830可证明：14142434443424241616nnn
10、nnnnnnnbaaaaaaaab112341515 141010 151618302baaaaS三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17）（本小题满分 12 分）已知,a b c分别为ABC三个内角,A B C的对边，cos3 sin0aCaCbc（1）求A（2）若2a，ABC的面积为3；求,b c。【解析】（1）由正弦定理得：cos3 sin0sincos3sinsinsinsinaCaCbcACACBCsincos3sinsinsin()sin13sincos1sin(30)2303060ACACaCCAAAAA（2）1sin342SbcAbc2222cos4abcbc
11、Abc解得：2bc（l fx lby）18.（本小题满分 12 分）某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理。（1）若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y(单位：元)关于当天需求量n（单位：枝，nN）的函数解析式。（2）花店记录了 100 天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：以 100 天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率。（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；（ii）若花店计划一天购进 16 枝或 17 枝玫瑰花，你认为应购进 16 枝还是
12、17 枝？请说明理由。【解析】（1）当16n 时，16(105)80y 当15n 时，55(16)1080ynnn得：1080(15)()80(16)nnynNn（2）（i）X可取60，70，80(60)0.1,(70)0.2,(80)0.7P XP XP XX的分布列为X607080P0.10.20.760 0.170 0.280 0.776EX 222160.1 60.240.744DX（ii）购进 17 枝时，当天的利润为(14 53 5)0.1(15 52 5)0.2(16 5 1 5)0.16 17 5 0.5476.4y 76.476得：应购进 17 枝（19）（本小题满分 12
13、分）如图，直三棱柱111ABCABC中，112ACBCAA，D是棱1AA的中点，BDDC 1（1）证明：BCDC 1（2）求二面角11CBDA的大小。【解析】（1）在Rt DAC中，ADAC得：45ADC同理：1114590ADCCDC 得：111,DCDC DCBDDC面1BCDDCBC（2）11,DCBC CCBCBC面11ACC ABCAC取11AB的中点O，过点O作OHBD于点H，连接11,C O C H1111111ACBCC OAB，面111ABC 面1ABD1C O面1ABD1OHBDC HBD得：点H与点D重合且1C DO是二面角11CBDA的平面角设ACa，则122aC O，
14、1112230C DaC OC DO 既二面角11CBDA的大小为30（20）（本小题满分 12 分）设抛物线2:2(0)C xpy p的焦点为F，准线为l，AC，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于,B D两点；（1）若090BFD，ABD的面积为24；求p的值及圆F的方程；（2）若,A B F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到,m n距离的比值。【解析】（1）由对称性知：BFD是等腰直角，斜边2BDp点A到准线l的距离2dFAFBp14 24 222ABDSBDdp圆F的方程为22(1)8xy（2）由对称性设2000(,)(0)2xA xxp，则(0
15、,)2pF点,A B关于点F对称得：22220000(,)3222xxpBxppxppp 得：3(3,)2pAp，直线3322:30223ppppm yxxyp22332233xxxpyyyxppp切点3(,)36p pP直线333:()306336ppn yxxyp坐标原点到,m n距离的比值为33:326pp。（lfx lby）（21）（本小题满分 12 分）已知函数()f x满足满足121()(1)(0)2xf xfefxx；（1）求()f x的解析式及单调区间；（2）若21()2f xxaxb，求(1)ab的最大值。【解析】（1）1211()(1)(0)()(1)(0)2xxf xfe
16、fxxfxfefx令1x 得：(0)1f1211()(1)(0)(1)1(1)2xf xfexxffefe 得：21()()()12xxf xexxg xfxex()10()xg xeyg x 在xR上单调递增()0(0)0,()0(0)0fxfxfxfx得：()f x的解析式为21()2xf xexx且单调递增区间为(0,)，单调递减区间为(,0)（2）21()()(1)02xf xxaxbh xeaxb得()(1)xh xea当10a 时，()0()h xyh x在xR上单调递增x 时，()h x 与()0h x 矛盾当10a 时，()0ln(1),()0ln(1)h xxah xxa得：
17、当ln(1)xa时，min()(1)(1)ln(1)0h xaaab22(1)(1)(1)ln(1)(10)abaaaa 令22()ln(0)F xxxx x；则()(1 2ln)F xxx()00,()0F xxe F xxe当xe时，max()2eF x当1,aebe时，(1)ab的最大值为2e请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分，做答时请写清题号。（22）（本小题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图，,D E分别为ABC边,AB AC的中点，直线DE交ABC的外接圆于,F G两点，若/CFAB，证明：（1）CDBC；（2）BCDGBD【
18、解析】（1）/CFAB，/DFBCCFBDADCDBF/CFABAFBCBCCD（2）/BCGFBGFCBD/BCGFGDEBGDDBCBDC BCDGBD（23）本小题满分 10 分)选修 44；坐标系与参数方程已知曲线1C的参数方程是)(3siny2cosx为参数，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线2C的坐标系方程是2，正方形ABCD的顶点都在2C上，且,A B C D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2,)3（1）求点,A B C D的直角坐标；（2）设P为1C上任意一点，求2222PAPBPCPD的取值范围。【解析】（1）点,A B C D的极坐标为5411(2,),
19、(2,),(2,),(2,)3636点,A B C D的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)（2）设00(,)P xy；则002cos()3sinxy为参数2222224440tPAPBPCPDxy25620sin56,76（lfxlby）（24）（本小题满分 10 分）选修45：不等式选讲已知函数()2f xxax（1）当3a 时，求不等式()3f x 的解集；（2）若()4f xx的解集包含1,2，求a的取值范围。【解析】（1）当3a 时，()3323f xxx2323xxx或23323xxx或3323xxx 1x或4x（2）原命题()4f xx在1,2上恒成立24xaxx在1,2上恒成立22xax 在1,2上恒成立30a