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1、学习必备 欢迎下载 人教版六年级数学上册知识点整理归纳（整理：魏天肃）第一单元 位置 1、什么是数对？数对：由两个数组成，中间用逗号隔开，用括号括起来。括号里面的数由左至右为列数和行数，即“先列后行”。作用：确定一个点的位置。经度和纬度就是这个原理。例：在方格图（平面直角坐标系）中用数对（3，5）表示（第三列，第五行）。注：（1）在平面直角坐标系中 X 轴上的坐标表示列，y 轴上的坐标表示行。如：数对（3,2）表示第三列，第二行。（2）数对（X，5）的行号不变，表示一条横线，（5，Y）的列号不变，表示一条竖线。（有一个数不确定，不能确定一个点）（列 ，行 ）竖排叫列 横排叫行（从左往右看）（从
2、下往上看）（从前往后看）2、图形左右平移行数不变；图形上下平移列数不变。3、两点间的距离与基准点（0，0）的选择无关，基准点不同导致数对不同，两点间但距离不变。第一单元 位置 1、用数对确定点的位置，如（3，5）表示：（第三列，第五行）几 列 几 行 竖排叫列 横排叫行 （从左往右看）（从前往后看）2、平移时用“上”、“下”、“前”、“后”、“左”、“右”来表述。3、图形左、右平移：行不变 图形上、下平移：列不变 第二单元 分数乘法 （一）分数乘法意义：1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。注：“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。例如：9
3、85 表示求 5 个98的和是多少？例如：7 表示:求 7 个 的和是多少？或表示：的 7 倍是多少？2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。注：“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。（第一个因数是什么都可以）例如：9843表示求98的43是多少？例如：表示:求 的 是多少？9 表示:求9的 是多少？A 表示:求a的 是多少？（二）分数乘法计算法则：1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。注：（1）为了计算简便能约分的可先约分再计算。（整数和分母约分）（2）约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。（整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数）2、
4、分数乘分数的运算法则学习必备 欢迎下载 是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。（分子乘分子，分母乘分母）注：（1）如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。（2）分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。（3）在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。（约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数）（4）分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数（0 除外），分数的大小不变。（三）积与因数的关系：一个数（0 除外）乘大于 1 的数，积大于这个数。ab=c,当 b 1 时
5、，ca.一个数（0 除外）乘小于 1 的数，积小于这个数。ab=c,当 b 1 时，ca(b0).一个数（0 除外）乘等于 1 的数，积等于这个数。ab=c,当 b=1 时，c=a.注：在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为 0 时的特殊情况。附：形如 的分数可折成（）（四）分数乘法混合运算 1、分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用；运算定律可以使一些计算简便。乘法交换律：ab=ba 乘法结合律：(ab)c=a(bc)乘法分配律：a(bc)=abac（五）倒数的意义：乘积为 1 的两个数互为倒数。1、
6、倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在。单独一个数不能称为倒数。（必须说清谁是谁的倒数）2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是：两数相乘的积是否为“1”。例如：ab=1 则 a、b 互为倒数。3、求倒数的方法：求分数的倒数：交换分子、分母的位置。求整数的倒数：整数分之 1。求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数。求小数的倒数：先化成分数再求倒数。4、1 的倒数是它本身，因为 11=1；0 没有倒数，因为任何数乘 0 积都是 0，且 0 不能作分母。5、任意数 a(a0)，它的倒数为；非零整数 a 的倒数为；分数 的倒数是。6、真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于 1，也大于它本身。假
7、分数的倒数小于或等于 1。带分数的倒数小于 1。（六）分数乘法应用题 用分数乘法解决问题 1、求一个数的几分之几是多少？（用乘法）“1”21 =21 例如：求 25 的 是多少？列式：25=15 甲数的 等于乙数，已知甲数是 25，求乙数是多少？列式：25 =15 注：已知单位“1”的量，求单位“1”的量的几分之几是多少，用单位“1”的量与分数相乘。2、（什么）是（什么）的。（）=(“1”)例 1:已知甲数是乙数的，乙数是 25，求甲数是多少？甲数=乙数 即25=15 中间用逗号隔开用括号括起来括号里面的数由左至右为列数和行数即先列后行作用确定一个点的位置经度和纬度就是这个原理例在方格图平面直
8、角坐标系中用数对表示第三列第五行注在平面直角坐标系中轴上的坐标表示列轴上的坐定一个点列行竖排叫列横排叫行从左往右看从下往上看从前往后看图形左右平移行数不变图形上下平移列数不变两点间的距离与基准点的选无关基准点不同导致数对不同两点间但距离不变用数对确定点的位置如表示第三列第五行第图形上下平移列不变第二单元分数乘法一分数乘法意义分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同是分数例如就是求几个相同加数的和的简便运算注分数乘整数指的是第二个因数必须是整数不能例如表示求个的和是多少或表示的倍是学习必备 欢迎下载 注:（1）“是”“的”字中间的量“乙数”是 的单位“1”的量，即 是把乙数看作单位“1”，把乙数平均
9、分成 5 份，甲数是其中的 3 份。（2）“是”“占”“比”这三个字都相当于“=”号，“的”字相当于“”。（3）单位“1”的量分率=分率对应的量 例 2：甲数比乙数多（少），乙数是 25，求甲数是多少？甲数=乙数 乙数 即 2525=25（1）40（或 10）3、巧找单位“1”的量：在含有分数（分率）的语句中，分率前面的量就是单位“1”对应的量，或者“占”“是”“比”字后面的量是单位“1”。4、什么是速度？速度是单位时间内行驶的路程。速度=路程时间 时间=路程速度 路程=速度时间 单位时间指的是 1 小时 1 分钟 1 秒等这样的大小为 1 的时间单位，每分钟、每小时、每秒钟等。5、求甲比乙多
10、（少）几分之几？多：（甲-乙）乙 少：（乙-甲）乙 分数乘法的解决问题（已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的几分之几是多少）1、画线段图：（1）两个量的关系：画两条线段图；（2）部分和整体的关系：画一条线段图。2、找单位“1”：在分率句中分率的前面；或 “占”、“是”、“比”的后面 3、求一个数的几倍：一个数几倍；求一个数的几分之几是多少：一个数几几。4、写数量关系式技巧：（1）“的”相当于“”“占”、“是”、“比”相当于“=”（2）分率前是“的”：单位“1”的量分率=分率对应量（3）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量（1分率）=分率对应量 三、倒数 1、倒数的意义：乘积是 1
11、的两个数互为倒数。强调：互为倒数，即倒数是两个数的关系，它们互相依存，倒数不能单独存在。（要说清谁是谁的倒数）。2、求倒数的方法：（1）、求分数的倒数：交换分子分母的位置。（2）、求整数的倒数：把整数看做分母是 1 的分数，再交换分子分母的位置。（3）、求带分数的倒数：把带分数化为假分数，再求倒数。（4）、求小数的倒数：把小数化为分数，再求倒数。3、1 的倒数是 1；0 没有倒数。因为 11=1；0 乘任何数都得 0，01（分母不能为 0）4、对于任意数(0)a a，它的倒数为1a；非零整数a的倒数为1a；分数ba的倒数是ab；5、真分数的倒数大于 1；假分数的倒数小于或等于 1；带分数的倒数
12、小于 1。第三单元 分数除法 中间用逗号隔开用括号括起来括号里面的数由左至右为列数和行数即先列后行作用确定一个点的位置经度和纬度就是这个原理例在方格图平面直角坐标系中用数对表示第三列第五行注在平面直角坐标系中轴上的坐标表示列轴上的坐定一个点列行竖排叫列横排叫行从左往右看从下往上看从前往后看图形左右平移行数不变图形上下平移列数不变两点间的距离与基准点的选无关基准点不同导致数对不同两点间但距离不变用数对确定点的位置如表示第三列第五行第图形上下平移列不变第二单元分数乘法一分数乘法意义分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同是分数例如就是求几个相同加数的和的简便运算注分数乘整数指的是第二个因数必须是整数不
13、能例如表示求个的和是多少或表示的倍是学习必备 欢迎下载 一、分数除法 1、分数除法的意义：乘法：因数 因数=积 除法：积 一个因数=另一个因数 分数除法与整数除法的意义相同，表示已知两个因数的积和其中一个因数，求另一个因数的运算。2、分数除法的计算法则：除以一个不为 0 的数，等于乘这个数的倒数。3、规律（分数除法比较大小时）：（1）、当除数大于 1，商小于被除数；（2）、当除数小于 1（不等于 0），商大于被除数；（3）、当除数等于 1，商等于被除数。4、“”叫做中括号。一个算式里，如果既有小括号，又有中括号，要先算小括号里面的，再算中括号里面的。二、分数除法解决问题（未知单位“1”的量（用
14、除法）：已知单位“1”的几分之几是多少，求单位“1”的量。）1、数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）分率前是“的”：单位“1”的量分率=分率对应量（2）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量（1分率）=分率对应量 2、解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程：根据数量关系式设未知量为 X，用方程解答。（2）算术（用除法）：分率对应量对应分率=单位“1”的量 3、求一个数是另一个数的几分之几：就 一个数另一个数 4、求一个数比另一个数多（少）几分之几：两个数的相差量单位“1”的量 或：求多几分之几：大数小数 1 求少几分之几：1-小数大数 三、比和比的应用（一）、比的意义 1、比
15、的意义：两个数相除又叫做两个数的比。2、在两个数的比中，比号前面的数叫做比的前项，比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商，叫做比值。例如 15：10=15 10=23（比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示）前项 比号 后项 比值 中间用逗号隔开用括号括起来括号里面的数由左至右为列数和行数即先列后行作用确定一个点的位置经度和纬度就是这个原理例在方格图平面直角坐标系中用数对表示第三列第五行注在平面直角坐标系中轴上的坐标表示列轴上的坐定一个点列行竖排叫列横排叫行从左往右看从下往上看从前往后看图形左右平移行数不变图形上下平移列数不变两点间的距离与基准点的选无关基准点不同导致数对不同两
16、点间但距离不变用数对确定点的位置如表示第三列第五行第图形上下平移列不变第二单元分数乘法一分数乘法意义分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同是分数例如就是求几个相同加数的和的简便运算注分数乘整数指的是第二个因数必须是整数不能例如表示求个的和是多少或表示的倍是学习必备 欢迎下载 3、比可以表示两个相同量的关系，即倍数关系。也可以表示两个不同量的比，得到一个新量。例：路程速度=时间。4、区分比和比值 比：表示两个数的关系，可以写成比的形式，也可以用分数表示。比值：相当于商，是一个数，可以是整数，分数，也可以是小数。5、根据分数与除法的关系，两个数的比也可以写成分数形式。6、比和除法、分数的联系：比 前
17、 项 比号“：”后 项 比值 除 法 被除数 除号“”除 数 商 分 数 分 子 分数线“”分 母 分数值 7、比和除法、分数的区别：除法是一种运算，分数是一个数，比表示两个数的关系。8、根据比与除法、分数的关系，可以理解比的后项不能为 0。体育比赛中出现两队的分是 2：0 等，这只是一种记分的形式，不表示两个数相除的关系。（二）、比的基本性质 1、根据比、除法、分数的关系：商不变的性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数（0 除外），商不变。分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数时（0 除外），分数值不变。比的基本性质：比的前项和后项同时乘或除以相同的数(0 除外)，比值不变。2
18、、最简整数比：比的前项和后项都是整数，并且是互质数，这样的比就是最简整数比。3、根据比的基本性质，可以把比化成最简单的整数比。4.化简比：（1）用比的前项和后项同时除以它们的最大公因数。两个分数的比：用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。两个小数的比：向右移动小数点的位置，先化成整数比再化简。（2）用 求比值的方法。注意:最后结果要写成比的形式。如：15 10=15 10=23=3 2 5按比例分配：把一个数量按照一定的比来进行分配。这种方法通常叫做按比例分配。依据 比的 基本 性中间用逗号隔开用括号括起来括号里面的数由左至右为列数和行数即先列后行作用确定一个点的位置经
19、度和纬度就是这个原理例在方格图平面直角坐标系中用数对表示第三列第五行注在平面直角坐标系中轴上的坐标表示列轴上的坐定一个点列行竖排叫列横排叫行从左往右看从下往上看从前往后看图形左右平移行数不变图形上下平移列数不变两点间的距离与基准点的选无关基准点不同导致数对不同两点间但距离不变用数对确定点的位置如表示第三列第五行第图形上下平移列不变第二单元分数乘法一分数乘法意义分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同是分数例如就是求几个相同加数的和的简便运算注分数乘整数指的是第二个因数必须是整数不能例如表示求个的和是多少或表示的倍是学习必备 欢迎下载 如：已知两个量之比为:a b，则设这两个量分别为axbx和。6.
20、路程一定，速度比和时间比成反比。（如：路程相同，速度比是 4：5，时间比则为 5：4）工作总量一定，工作效率和工作时间成反比。（如：工作总量相同，工作时间比是 3：2，工作效率比则是 2：3）第四单元 圆 一、认识圆 1、圆的定义：圆是由曲线围成的一种平面图形。2、圆心：将一张圆形纸片对折两次，折痕相交于圆中心的一点，这一点叫做圆心。一般用字母 O表示。它到圆上任意一点的距离都相等 3、半径：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。一般用字母 r 表示。把圆规两脚分开，两脚之间的距离就是圆的半径。4、直径：通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径。一般用字母 d 表示。直径是一个圆内最长的线段。5
21、、圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小。6、在同圆或等圆内，有无数条半径，有无数条直径。所有的半径都相等，所有的直径都相等。7在同圆或等圆内，直径的长度是半径的 2 倍，半径的长度是直径的21。用字母表示为：d2r 或 r 2d 8、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的这条直线叫做对称轴。9、长方形、正方形和圆都是对称图形，都有对称轴。这些图形都是轴对称图形。10、只有 1 一条对称轴的图形有：角、等腰三角形、等腰梯形、扇形、半圆。只有 2 条对称轴的图形是：长方形；只有 3 条对称轴的图形是：等边三角形。只有 4 条对称轴的图形是：
22、正方形；有无数条对称轴的图形是：圆、圆环。二、圆的周长 1、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长。用字母C表示。2、圆周率实验：在圆形纸片上做个记号，与直尺 0 刻度对齐，在直尺上滚动一周，求出圆的周长。发现一般规律，就是圆周长与它直径的比值是一个固定数（）。3圆周率：任意一个圆的周长与它的直径的比值是一个固定的数，我们把它叫做圆周率。用字母（pai）表示。（1）、一个圆的周长总是它直径的3 倍多一些，这个比值是一个固定的数。圆周率 是一个无限不循环小数。在计算时，一般取 3.14。（2）、在判断时，圆周长与它直径的比值是 倍，而不是 3.14 倍。（3）、世界上第一个把圆周率算出来的人是
23、我国的数学家祖冲之。4、圆的周长公式：C=d d=C 或 C=2 r r=C 2 中间用逗号隔开用括号括起来括号里面的数由左至右为列数和行数即先列后行作用确定一个点的位置经度和纬度就是这个原理例在方格图平面直角坐标系中用数对表示第三列第五行注在平面直角坐标系中轴上的坐标表示列轴上的坐定一个点列行竖排叫列横排叫行从左往右看从下往上看从前往后看图形左右平移行数不变图形上下平移列数不变两点间的距离与基准点的选无关基准点不同导致数对不同两点间但距离不变用数对确定点的位置如表示第三列第五行第图形上下平移列不变第二单元分数乘法一分数乘法意义分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同是分数例如就是求几个相同加数的
24、和的简便运算注分数乘整数指的是第二个因数必须是整数不能例如表示求个的和是多少或表示的倍是学习必备 欢迎下载 5、在一个正方形里画一个最大的圆，圆的直径等于正方形的边长。在一个长方形里画一个最大的圆，圆的直径等于长方形的宽。6、区分周长的一半和半圆的周长：（1）周长的一半：等于圆的周长2 计算方法：2 r 2 即 r （2）半圆的周长：等于圆的周长的一半加直径。计算方法：r2r 即 5.14 r 三、圆的面积 1、圆的面积：圆所占平面的大小叫做圆的面积。用字母 S 表示。2、一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。顶点在圆心的角叫做圆心角。3、圆面积公式的推导：（1）、用逐渐逼近的
25、转化思想：体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。（2）、把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。（3）、拼出的图形与圆的周长和半径的关系。圆的半径 =长方形的宽 圆的周长的一半 =长方形的长 因为：长方形面积 =长 宽 所以：圆的面积=圆周长的一半 圆的半径 S圆=r r 圆的面积公式：S圆=r2 r2 =S 4、环形的面积：一个环形，外圆的半径是 R，内圆的半径是 r。（Rr环的宽度）S环=R 或 环形的面积公式：S环 =（R）。5、扇形的面积计算公式：S扇=r2360n（n 表示扇形圆心角的度数）6、一个圆，半径扩大或缩小多少倍
26、，直径和周长也扩大或缩小相同的倍数。而面积扩大或缩小的倍数是这倍数的平方倍。例如：在同一个圆里，半径扩大 3 倍，那么直径和周长就都扩大 3 倍，而面积扩大 9 倍。7、两个圆：半径比=直径比=周长比；而面积比等于这比的平方。例如：两个圆的半径比是 23，那么这两个圆的直径比和周长比都是23，而面积比是 49 8、任意一个正方形与它内切圆的面积之比都是一个固定值，即：4 中间用逗号隔开用括号括起来括号里面的数由左至右为列数和行数即先列后行作用确定一个点的位置经度和纬度就是这个原理例在方格图平面直角坐标系中用数对表示第三列第五行注在平面直角坐标系中轴上的坐标表示列轴上的坐定一个点列行竖排叫列横排
27、叫行从左往右看从下往上看从前往后看图形左右平移行数不变图形上下平移列数不变两点间的距离与基准点的选无关基准点不同导致数对不同两点间但距离不变用数对确定点的位置如表示第三列第五行第图形上下平移列不变第二单元分数乘法一分数乘法意义分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同是分数例如就是求几个相同加数的和的简便运算注分数乘整数指的是第二个因数必须是整数不能例如表示求个的和是多少或表示的倍是学习必备 欢迎下载 9、当长方形，正方形，圆的周长相等时，圆面积最大，正方形居中，长方形面积最小。反之，面积相同时，长方形的周长最长，正方形居中，圆周长最短。10、确定起跑线：（1）、每条跑道的长度=两个半圆形跑道合成的
28、圆的周长+两个直道的长度。（2）、每条跑道直道的长度都相等，而各圆周长决定每条跑道的总长度。（因此起跑线不同）（3）、每相邻两个跑道相隔的距离是：2跑道的宽度（4）、当一个圆的半径增加厘米时，它的周长就增加厘米；当一个圆的直径增加厘米时，它的周长就增加厘米。11、常用各 值结果：=3.14 2=6.28 3=9.42 5=15.7 6=18.84 7=21.98 9 =28.26 10 =31.4 16 =50.24 36 =113.04 64 =200.96 96 =301.44 4=12.56 8=25.12 25=78.5 12、常用平方数结果 112=121 122=144 132=1
29、69 142=196 152=225 162=256 172=289 182=324 192=361 第四单元 圆 一、.圆的特征 1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形，.2、圆的特征：外形美观，易滚动。3、圆心 o：圆中心的点叫做圆心圆心一般用字母 O 表示圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。半径 r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。半径确定圆的大小。直径 d:通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。直径是圆内最长的线段。同圆或等圆内直径是半径的 2 倍：d=2r 或
30、 r=d2=d=4、等圆：半径相等的圆叫做同心圆，等圆通过平移可以完全重合。同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。5、圆是轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。折痕所在的直线叫做对称轴。有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角。有二条对称轴的图形：长方形 有三条对称轴的图形：等边三角形。有四条对称轴的图形：正方形。有无条对称轴的图形：圆，圆环 6、画圆（1）圆规两脚间的距离是圆的半径。（2）画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。中间用逗号隔开用括号括起来括号里面的数由左至右为列数和行数即先列后行作用确定一个点的位置经度和纬
31、度就是这个原理例在方格图平面直角坐标系中用数对表示第三列第五行注在平面直角坐标系中轴上的坐标表示列轴上的坐定一个点列行竖排叫列横排叫行从左往右看从下往上看从前往后看图形左右平移行数不变图形上下平移列数不变两点间的距离与基准点的选无关基准点不同导致数对不同两点间但距离不变用数对确定点的位置如表示第三列第五行第图形上下平移列不变第二单元分数乘法一分数乘法意义分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同是分数例如就是求几个相同加数的和的简便运算注分数乘整数指的是第二个因数必须是整数不能例如表示求个的和是多少或表示的倍是学习必备 欢迎下载 二、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C 表示。1、
32、圆的周长总是直径的三倍多一些。2、圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母表示。即：圆周率=周长直径 3.14 所以,圆的周长(c)=直径(d)圆周率()周长公式：c=d,c=2r 注：圆周率是一个无限不循环小数，3.14 是近似值。3、周长的变化的规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。如果 r1r2r3=d1d2d3=c1c2c3 4、半圆周长=圆周长一半+直径=2r=r+d 三、圆的面积 s 1、圆面积公式的推导 如图把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越接近长方形。圆的半径=长方形的宽 圆的周长的一半
33、=长方形的长 长方形面积=长 宽 所以：圆的面积=长方形的面积=长 宽=圆的周长的一半（r）圆的半径（r）S 圆=r r S 圆=rr=r2 2、几种图形，在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长方形的周长最长；反之，在周长相等的情况下，圆的面积则最大，而长方形的面积则最小。周长相同时，圆面积最大，利用这一特点，篮子、盘子做成圆形。3、圆面积的变化的规律：半径扩大多少倍直径、周长也同时扩大多少倍，圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。如果:r1r2r3=d1d2d3=c1c2c3=234 则：S1S2S3=4916 4、环形面积=大圆 小圆=r 大 2 -r 小 2=（r 大 2 -r
34、小 2）扇形面积=r2（n 表示扇形圆心角的度数）5、跑道：每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。因为两条直跑道长度相等，所以，起跑线不同，相邻两条跑道起跑线也不同，间隔的距离是：2跑道宽度。注：一个圆的半径增加 a 厘米，周长就增加 2a 厘米一个圆的直径增加 b 厘米，周长就增加b 厘米。6、任意一个正方形的内切圆即最大圆的直径是正方形的边长，它们的面积比是 4 7、常用数据 =3.14 2=6.28 3=9.42 4=12.56 5=15.7 第五单元 百分数 一、百分数的意义和写法 中间用逗号隔开用括号括起来括号里面的数由左至右为列数和行数即先列后行作用确定一个
35、点的位置经度和纬度就是这个原理例在方格图平面直角坐标系中用数对表示第三列第五行注在平面直角坐标系中轴上的坐标表示列轴上的坐定一个点列行竖排叫列横排叫行从左往右看从下往上看从前往后看图形左右平移行数不变图形上下平移列数不变两点间的距离与基准点的选无关基准点不同导致数对不同两点间但距离不变用数对确定点的位置如表示第三列第五行第图形上下平移列不变第二单元分数乘法一分数乘法意义分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同是分数例如就是求几个相同加数的和的简便运算注分数乘整数指的是第二个因数必须是整数不能例如表示求个的和是多少或表示的倍是学习必备 欢迎下载 1、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。百分
36、数是指的两个数的比，因此也叫百分率或百分比。千分数：表示一个数是另一个数的千分之几。百分数和分数的主要联系与区别：1联系：都可以表示两个量的倍比关系。2区别：、意义不同：百分数只表示两个数的倍比关系，不能表示具体的数量，所以不能带单位；分数既可以表示具体的数，又可以表示两个数的关系，表示具本数时可以带单位。、百分数的分子可以是整数，也可以是小数；分数的分子不能是小数，只能是除 0 以外的自然数。3、百分数的写法：通常不写成分数形式，而在原来分子后面加上“”来表示。二、百分数和分数、小数的互化（一）百分数与小数的互化：1、小数化成百分数：把小数点向右移动两位，同时在后面添上百分号。2.百分数化成
37、小数：把小数点向左移动两位，同时去掉百分号。（二）百分数的和分数的互化 1、百分数化成分数：先把百分数化成分数，先把百分数改写成分母是否 100 的分数，能约分要约成最简分数。2、分数化成百分数：用分数的基本性质，把分数分母扩大或缩小成分母是 100 的分数，再写成百分数形式。先把分数化成小数（除不尽时，通常保留三位小数），再把小数化成百分数。（三）常见的分数与小数、百分数之间的互化 21=0.5=50%51=0.2=20%85=0.625=62.5%41=0.25=25%52=0.4=40%81=0.125=12.5%43=0.75=75%53=0.6=60%83=1.375=37.5%16
38、1=0.0625=6.25%54=0.8=80%87=0.875=87.5%251=0.04=4 252=0.08=8 253=0.12=12 254=0.16=16 三、用百分数解决问题（一）一般应用题 1、常见的百分率的计算方法：合格率=%100产品总数合格产品数 发芽率=%100种子总数发芽种子数 中间用逗号隔开用括号括起来括号里面的数由左至右为列数和行数即先列后行作用确定一个点的位置经度和纬度就是这个原理例在方格图平面直角坐标系中用数对表示第三列第五行注在平面直角坐标系中轴上的坐标表示列轴上的坐定一个点列行竖排叫列横排叫行从左往右看从下往上看从前往后看图形左右平移行数不变图形上下平移列
39、数不变两点间的距离与基准点的选无关基准点不同导致数对不同两点间但距离不变用数对确定点的位置如表示第三列第五行第图形上下平移列不变第二单元分数乘法一分数乘法意义分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同是分数例如就是求几个相同加数的和的简便运算注分数乘整数指的是第二个因数必须是整数不能例如表示求个的和是多少或表示的倍是学习必备 欢迎下载 出勤率=%100总人数出勤人数 达标率=%100学生总人数达标学生人数 成活率=%100总数量成活的数量 出粉率=%100出粉物的重量粉的重量 烘干率=%100烘干前的重量烘干后的重量 含水率=%100烘干前的重量烘干后的重量烘干前的重量 一般来讲，出勤率、成活率、合
40、格率、正确率能达到 100%，出米率、出油率达不到 100%，完成率、增长了百分之几等可以超过 100%。（一般出粉率在 70、80%，出油率在 30、40%。）2、已知单位“1”的量（用乘法），求单位“1”的百分之几是多少的问题：数量关系式和分数乘法解决问题中的关系式相同：（1）分率前是“的”：单位“1”的量分率=分率对应量（2）分率前是“多或少”的意思：单位“1”的量（1分率）=分率对应量 3、未知单位“1”的量（用除法），已知单位“1”的百分之几是多少，求单位“1”。解法：（建议：最好用方程解答）（1）方程：根据数量关系式设未知量为 X，用方程解答。（2）算术（用除法）：分率对应量对应分
41、率=单位“1”的量 4、求一个数比另一个数多（少）百分之几的问题：两个数的相差量单位“1”的量 100%或：求多百分之几：（大数小数 1）100%求少百分之几：（1-小数大数）100%（二）、折扣 1、折扣：商品按原定价格的百分之几出售，叫做折扣。通称“打折”。几折就表示十分之几，也就是百分之几十。例如八折=108=80,六折五=0.65=65 2、一成是十分之一，也就是10%。三成五就是十分之三点五，也就是35%（三）、纳税 1、纳税：纳税是根据国家税法的有关规定，按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。2、纳税的意义：税收是国家财政收入的主要来源之一。国家用收来的税款发展经济、科
42、技、教育、文化和国防安全等事业。3、应纳税额：缴纳的税款叫做应纳税额。4、税率：应纳税额与各种收入的比率叫做税率。5、应纳税额的计算方法：应纳税额=总收入 税率（四）利息 1、存款分为活期、整存整取和零存整取等方法。2、储蓄的意义：人们常常把暂时不用的钱存入银行或信用社，储蓄起来，这样不仅可以支援国家建设，也使得个人用钱更加安全和中间用逗号隔开用括号括起来括号里面的数由左至右为列数和行数即先列后行作用确定一个点的位置经度和纬度就是这个原理例在方格图平面直角坐标系中用数对表示第三列第五行注在平面直角坐标系中轴上的坐标表示列轴上的坐定一个点列行竖排叫列横排叫行从左往右看从下往上看从前往后看图形左右
43、平移行数不变图形上下平移列数不变两点间的距离与基准点的选无关基准点不同导致数对不同两点间但距离不变用数对确定点的位置如表示第三列第五行第图形上下平移列不变第二单元分数乘法一分数乘法意义分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同是分数例如就是求几个相同加数的和的简便运算注分数乘整数指的是第二个因数必须是整数不能例如表示求个的和是多少或表示的倍是学习必备 欢迎下载 有计划，还可以增加一些收入。3、本金：存入银行的钱叫做本金。4、利息：取款时银行多支付的钱叫做利息。5、利率：利息与本金的比值叫做利率。6、利息的计算公式：利息本金利率时间 7、注意：如要上利息税（国债和教育储藏的利息不纳税），则：税后利息=
44、利息-利息的应纳税额=利息-利息利息税率=利息（1-利息税率）第五单元、百分数 一、百分数的意义：表示一个数是另一个数的百分之几。注：百分数是专门用来表示一种特殊的倍比关系的，表示两个数的比，所以，百分数又叫百分比或百分率，百分数不能带单位。1、百分数和分数的区别和联系：（1）联系：都可以用来表示两个量的倍比关系。（2）区别：意义不同：百分数只表示倍比关系，不表示具体数量，所以不能带单位。分数不仅表示倍比关系，还能带单位表示具体数量。百分数的分子可以是小数，分数的分子只以是整数。注：百分数在生活中应用广泛，所涉及问题基本和分数问题相同，分母是100 的分数并不是百分数，必须把分母写成“%”才是
45、百分数，所以“分母是 100 的分数就是百分数”这句话是错误的。“%”的两个 0 要小写，不要与百分数前面的数混淆。一般来讲，出勤率、成活率、合格率、正确率能达到 100%，出米率、出油率达不到 100%，完成率、增长了百分之几等可以超过 100%。一般出粉率在 70、80%，出油率在 30、40%。2、小数、分数、百分数之间的互化（1）百分数化小数：小数点向左移动两位，去掉“%”。（2）小数化百分数：小数点向右移动两位，添上“%”。（3）百分数化分数：先把百分数写成分母是100 的分数，然后再化简成最简分数。（4）分数化百分数：分子除以分母得到小数，（除不尽的保留三位小数）然后化成百分数。（
46、5）小数 化 分数：把小数成分母是 10、100、1000 等的分数再化简。（6）分数 化 小数：分子除以分母。二、百分数应用题；1、求常见的百分率 如：达标率、及格率、成活率、发芽率、出勤率等求百分率就是求一个数是另一个数的百分之几。2、求一个数比另一个数多（或少）百分之几，实际生活中，人们常用增加了百分之几、减少了百分之几、节约了百分之几等来表示增加、或减少的幅度。求甲比乙多百分之几 （甲-乙）乙 求乙比甲少百分之几 （甲-乙）甲 3、求一个数的百分之几是多少 一个数（单位“1”）百分率 4、已知一个数的百分之几是多少，求这个数 部分量百分率=一个数（单位“1”）5、折扣 折扣、打折的意义
47、：几折就是十分之几也就是百分之几十 折扣 成数 几分之几 百分之几 小数 通用 八折 八成 十分之八 百分之八十 0.8 八五折 中间用逗号隔开用括号括起来括号里面的数由左至右为列数和行数即先列后行作用确定一个点的位置经度和纬度就是这个原理例在方格图平面直角坐标系中用数对表示第三列第五行注在平面直角坐标系中轴上的坐标表示列轴上的坐定一个点列行竖排叫列横排叫行从左往右看从下往上看从前往后看图形左右平移行数不变图形上下平移列数不变两点间的距离与基准点的选无关基准点不同导致数对不同两点间但距离不变用数对确定点的位置如表示第三列第五行第图形上下平移列不变第二单元分数乘法一分数乘法意义分数乘整数的意义与
48、整数乘法的意义相同是分数例如就是求几个相同加数的和的简便运算注分数乘整数指的是第二个因数必须是整数不能例如表示求个的和是多少或表示的倍是学习必备 欢迎下载 八成五 十分之八点五 百分之八十五 0.85 五折 五成 十分之五 百分之五十 0.5 半价。6、纳税 缴纳的税款叫做应纳税额。（应纳税额）（总收入）=（税率）（应纳税额）=（总收入）（税率）。7、利率（1）存入银行的钱叫做本金。（2）取款时银行多支付的钱叫做利息。（3）利息与本金的比值叫做利率。利息=本金利率时间 税后利息=利息-利息的应纳税额=利息-利息5%注：国债和教育储蓄的利息不纳税。8、百分数应用题型分类（1）求甲是乙的百分之几（
49、甲乙）100%=100%=百分之几（2）求甲比乙多(少)百分之几 100%=100%例 甲是 50，乙是 40，甲是乙的百分之几？（50 是 40 的百分之几？）5040=125%甲是 50，乙是 40，乙是甲的百分之几？（40 是 50 的百分之几？）4050=80%乙是 40，甲是乙的 125%，甲数是多少？（40 的 125%是多少？）40125%=50 甲是 50，乙是甲的 80%，乙数是多少？（50 的 80%是多少？）5080%=40 乙是 40，乙是甲的 80%，甲数是多少？（一个数的 80%是 40，这个数是多少？）4080%=50 甲是 50，甲是乙的 125%，乙数是多少？
50、（一个数的 125%是 50，这个数是多少？）50125%=40 甲是 50，乙是 40，甲比乙多百分之几？（50 比 40 多百分之几？）(50-40)40100%=25%甲是 50，乙是 40，乙比甲少百分之几？（40 比 50 少百分之几？）(50-40)50100%=20%甲比乙多 25%，多 10，乙是多少？1025%=40 甲比乙多 25%，多 10，甲是多少？1025%+10=50 乙比甲少 20%，少 10，甲是多少？10 20%=50 乙比甲少 20%，少 10，乙是多少？10 20%-10=40 乙是 40，甲比乙多 25%，甲数是多少？（什么数比 40 多 25%？）40