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1、学习必备 欢迎下载 计算方法总复习 第一章 绪论 例 1 已知数 x=2.718281828.,取近似值 x*=2.7182,那麽 x 具有几位有效数字 点评；考查的有效数字的概念。解；*31 42.7182818282.71820.00008182110.0005101022exx 故有四位有效数字。例 2近似数*0.01999x 关于真值*0.02000 x 有几位有效数字 解：*41 30.019990.020000.00001110.00005101022exx 故有三位有效数字。例 3数值 x*的近似值 x=0.1215102，若满足xx()，则称 x 有 4 位有效数字 点评；已知
2、有效数字的位数，反过来考查有绝对误差。解；有四位有效数字则意味着如果是一个形如1230.na a aa的数 则绝对误差限一定为41102，由于题目中的数2120.10nxa aa,故最终的 绝对误差为 4261110101022 例 4有效数*1233.105,0.001,0.100 xxx，试确定*123xxx的相对误差限。点评；此题考查相对误差的传播。*1()()()nrriiiife ye xxyx 故有*112233123123*123123()()()()()()()rrrre x xe x xe x xe xe xe xe xxxxxxxxx 解：333*123123*123111
3、101010()()()222()3.1050.0010.100re xe xe xe xxxxxx =0.0004993 例 5sin1 有 2 位有效数字的近似值 0.84 的相对误差限是 .解法 1：00625.01016110821112（有效数字与相对误差限的关系）学习必备 欢迎下载 解法 2；21100.840.00595242（相对误差限的概念）例 6*nx的相对误差为*x的相对误差的-倍。解：根据误差传播公式*1()()()nrriiiife ye xxyx 则有*1(*)(*)()/*nnnrrexxe xxxn 第二章 例 1设()f x可微，求()xf x根的牛顿迭代公式
4、-。解；化简得到 ()0 xfx 根据牛顿迭代格式 ),2,1,0()()(1kxfxfxxkkkk 则相应的得到 1()(0,1,2,)1()kkkkkxf xxxkfx 例 2：求方程 01)(3xxxf 在区间1,1.5内的实根。要求准确到小数点后第 2 位。思路；用二分法，这里 a=1,b=1.5，且 f(a)0。取区间a,b 的中点x0=1.25 将区间二等分，由于 f(x0)0 f(1)=-7 0）的迭代公式，并用以上公式求78265.0 解：设cxxf2)(，（x 0）则 c 就是 f(x)=0 的正根。由为 f (x)=2 x，所以得迭代公式 kkkkxcxxx221 或 kk
5、kxcxx211 （2.6）由于 x 0 时，f (x)0，且 f(x)0，根据定理 3 知：取任意初值cx 0，所确定的迭代序列xk必收敛于c。取初值 x=0.88，计算结果见表 k xk 0 0.88 1 0.88469 2 0.88468 3 0.88468 故可取88468.078265.0 第三章 例 1.用列主元消去法解线性方程组 615318153312321321321xxxxxxxxx 念解故有四位有效数字例近似数关于真值有几位有效数字解故有三位有效数字例数值的近似值若满足则称有位有效数字点评已知有效数字的位数反过来考查有绝对误差解有四位有效数字则意味着如果是一个形如的数则绝
6、对误差限一位有效数字的近似值的相对误差限是解法有效数字与相对误差限的关系学习必备欢迎下载解法相对误差限的概念例的相对误差为的相对误差的倍解根据误差传播公式则有第二章例设可微求根的牛顿迭代公式解化简得到根据牛顿迭代等分由于即与同号故所求的根必在的右侧这里应令而得到新的有根区间对区间再用中点二分并进行根的隔离重复步骤解预先估计一下二分的次数按误差估计式解得即只要二分次即达所求度计算结果如下表的符号学习必备欢迎下载例学习必备 欢迎下载 计算过程保留 4 位小数.解.Ab=6111151318153312 (选1821a为主元)6111153312151318),(21rr(换行，消元)71 6 6.
7、549 4 4.071 6 6.10533 3 3.21015131813121811812rrrr(选1667.132a为主元，并换行消元)5428.98142.3001667.54944.01667.1015131823321667.11),(rrrr 系数矩阵为上三角形矩阵，于是回代得解 0000.1)18/(0000.230000.3150000.27166.1/0000.34944.07166.50000.38142.35428.9123xxx 方程组的解为 X(1.000 0,2.000 0,3.000 0)T 例 2：用列主元高斯消去法求解方程 72452413221321321
8、xxxxxxxx 由于解方程组取决于它的系数，因此可用这些系数（包括右端项）所构成的“增广矩阵”作为方程组的一种简化形式。对这种增广矩阵施行消元手续：702145241312*第一步将 4 选为主元素，并把主元素所在的行定为主元行，然后将主元行换到第一行得到 念解故有四位有效数字例近似数关于真值有几位有效数字解故有三位有效数字例数值的近似值若满足则称有位有效数字点评已知有效数字的位数反过来考查有绝对误差解有四位有效数字则意味着如果是一个形如的数则绝对误差限一位有效数字的近似值的相对误差限是解法有效数字与相对误差限的关系学习必备欢迎下载解法相对误差限的概念例的相对误差为的相对误差的倍解根据误差传
9、播公式则有第二章例设可微求根的牛顿迭代公式解化简得到根据牛顿迭代等分由于即与同号故所求的根必在的右侧这里应令而得到新的有根区间对区间再用中点二分并进行根的隔离重复步骤解预先估计一下二分的次数按误差估计式解得即只要二分次即达所求度计算结果如下表的符号学习必备欢迎下载例学习必备 欢迎下载 61005.025.010125.15.0125.5875.0005.025.010125.15.01625.15.1015.020125.15.01702113124524*第三步消元第二步消元第一步消元 消元过程的结果归结到下列三角形方程组：65.025.0125.15.0332321xxxxxx 回代，得
10、619321xxx 例 3：用直接三角分解法解 201814513252321321xxx 解：（1）对于 r=1，利用计算公式 111u 212u 313u l21=2 l 31=3 （2）对于 r=2，12212222ulau=5 2 2=1 13212323ulau=2 2 3=-4 51)231()(2212313232uulal （3）r=3 24)4()5(33(5)(233213313333ululau 于是 LUA2441321153121 （4）求解：念解故有四位有效数字例近似数关于真值有几位有效数字解故有三位有效数字例数值的近似值若满足则称有位有效数字点评已知有效数字的位数
11、反过来考查有绝对误差解有四位有效数字则意味着如果是一个形如的数则绝对误差限一位有效数字的近似值的相对误差限是解法有效数字与相对误差限的关系学习必备欢迎下载解法相对误差限的概念例的相对误差为的相对误差的倍解根据误差传播公式则有第二章例设可微求根的牛顿迭代公式解化简得到根据牛顿迭代等分由于即与同号故所求的根必在的右侧这里应令而得到新的有根区间对区间再用中点二分并进行根的隔离重复步骤解预先估计一下二分的次数按误差估计式解得即只要二分次即达所求度计算结果如下表的符号学习必备欢迎下载例学习必备 欢迎下载 Ly=b 得到 y1=14 y2=b2 l21y1=18 2 14=-10 y3=b3 (l31y1
12、+l32y2)=20 (3 14+(-5)(-10)=-72 从而 y=(14,-10,-72)T 由 Ux=y 得到 324723333uyx 21)34(10)(2232322uxuyx 11)3322(14)(1131321211uxuxuyx Tx)3,2,1(例 5：用雅克比迭代法和高斯赛得尔迭代法解线性方程组 877901081119321xxx 解：所给线性方程组的系数矩阵按行严格对角占优，故雅克比迭代法和高斯赛得尔迭代法都收敛。D=diag(9,8,9)D-1=diag(1/9,1/8,1/9)009/1008/19/19/101ADI 9/78/79/71bD 雅克比迭代法的
13、迭代公式为：9/78/79/7009/1008/19/19/10)()1(kkXX 取 X(0)=(0,0,0)T，由上述公式得逐次近似值如下：k 0 1 2 3 4 X(i)000 8889.08750.07778.0 9753.09723.09738.0 9993.09993.09942.0 9993.09993.09993.0 高斯赛得尔迭代法：念解故有四位有效数字例近似数关于真值有几位有效数字解故有三位有效数字例数值的近似值若满足则称有位有效数字点评已知有效数字的位数反过来考查有绝对误差解有四位有效数字则意味着如果是一个形如的数则绝对误差限一位有效数字的近似值的相对误差限是解法有效数字
14、与相对误差限的关系学习必备欢迎下载解法相对误差限的概念例的相对误差为的相对误差的倍解根据误差传播公式则有第二章例设可微求根的牛顿迭代公式解化简得到根据牛顿迭代等分由于即与同号故所求的根必在的右侧这里应令而得到新的有根区间对区间再用中点二分并进行根的隔离重复步骤解预先估计一下二分的次数按误差估计式解得即只要二分次即达所求度计算结果如下表的符号学习必备欢迎下载例学习必备 欢迎下载 8091781791)1(2)1(1)1(3)(3)1(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx 迭代结果为：k 0 1 2 3 4 x(i)000 9753.09722.07778.0 999
15、3.09993.09942.0 0000.10000.19998.0 000.1000.1000.1 例 6考察用高斯赛德尔迭代法解方程组1231231239268888xxxxxxxxx 收敛性，并取(0)(1,0,0)Tx，求近似解(1)kx，使得(1)()310kkiixx（i=1，2，3）解法同上（1，1，-1）例 7.设矩阵 A52111021210，那么以 A 为系数矩阵的线性方程组 AXb 的雅可比迭代矩阵为(A )(A)04.02.01.002.01.02.00 (B)14.02.01.012.01.02.01 (C)04.02.01.002.01.02.00 (D)02110
16、2120 例 8、高斯-塞尔德迭代法解线性方程组 念解故有四位有效数字例近似数关于真值有几位有效数字解故有三位有效数字例数值的近似值若满足则称有位有效数字点评已知有效数字的位数反过来考查有绝对误差解有四位有效数字则意味着如果是一个形如的数则绝对误差限一位有效数字的近似值的相对误差限是解法有效数字与相对误差限的关系学习必备欢迎下载解法相对误差限的概念例的相对误差为的相对误差的倍解根据误差传播公式则有第二章例设可微求根的牛顿迭代公式解化简得到根据牛顿迭代等分由于即与同号故所求的根必在的右侧这里应令而得到新的有根区间对区间再用中点二分并进行根的隔离重复步骤解预先估计一下二分的次数按误差估计式解得即只
17、要二分次即达所求度计算结果如下表的符号学习必备欢迎下载例学习必备 欢迎下载 的迭代格式中求 例 9、若 则矩阵 A的谱半径(A)=第五章 第六章 1 矛盾方程组112.83.2xx的最小二乘解为-。2 给出拟合三点(0,1),(1,0)AB和(1,1)C 的直线方程。第七章 1插值型求积公式的求积系数之和为1 已知1)(2xxf，则差商 3,2,1 f 。3 求积公式31()2(2)f x dxf有几次的代数精确度？（1）4 插值型求积公式0()()nbiiaif x dxA f x的代数精确度至少是-次。N 5 已知 n=4 时牛顿科茨求积公式的科茨系数,152,4516,907)4(2)4
18、(1)4(0CCC那么)4(3C()903915245169071)D(152)C(4516)B(907)A(6 设求积公式nkkkbaxfAxxf0)(d)(，若对 的多项式积分公式精确成立，而至少有一个 m+1 次多项式不成立。则称该求积公式具有 m次代数精度.7 取 m=4,即 n=8，用复化抛物线求积公式计算积分 2.102d)1l n(xx 计算过程保留 4 位小数.解 n=8,h=15.0802.1,f(x)=ln(1+x2)计算列表 念解故有四位有效数字例近似数关于真值有几位有效数字解故有三位有效数字例数值的近似值若满足则称有位有效数字点评已知有效数字的位数反过来考查有绝对误差解
19、有四位有效数字则意味着如果是一个形如的数则绝对误差限一位有效数字的近似值的相对误差限是解法有效数字与相对误差限的关系学习必备欢迎下载解法相对误差限的概念例的相对误差为的相对误差的倍解根据误差传播公式则有第二章例设可微求根的牛顿迭代公式解化简得到根据牛顿迭代等分由于即与同号故所求的根必在的右侧这里应令而得到新的有根区间对区间再用中点二分并进行根的隔离重复步骤解预先估计一下二分的次数按误差估计式解得即只要二分次即达所求度计算结果如下表的符号学习必备欢迎下载例学习必备 欢迎下载 )(kxf =)1ln(2kx k kx 奇数号 偶数号 端点 0 0.00 0 1 0.15 0.022 3 2 0.3
20、0 0.086 2 3 0.45 0.184 4 4 0.60 0.307 5 5 0.75 0.446 3 6 0.90 0.593 3 7 1.05 0.743 1 8 1.20 0.892 0 1.396 1 0.987 0 0.892 0 代入抛物线求积公式 )(2)(43d)1ln(6427531802.102fffffffffhxx 4225.0987.023961.148920.0315.0 第八章 例 1 用欧拉法求初值问题 000.912()10yyxy xx 当 h=0.02 时在区间0,0.10上的数值解。解 把yxyxf219.0),(代入欧拉法计算公式。就得 5,1,
21、021018.01219.01nyxyxhyynnnnnn 具体计算结果如下表：n xn yn y(xn)n=y(xn)-yn 0 0 1.0000 1.0000 0 念解故有四位有效数字例近似数关于真值有几位有效数字解故有三位有效数字例数值的近似值若满足则称有位有效数字点评已知有效数字的位数反过来考查有绝对误差解有四位有效数字则意味着如果是一个形如的数则绝对误差限一位有效数字的近似值的相对误差限是解法有效数字与相对误差限的关系学习必备欢迎下载解法相对误差限的概念例的相对误差为的相对误差的倍解根据误差传播公式则有第二章例设可微求根的牛顿迭代公式解化简得到根据牛顿迭代等分由于即与同号故所求的根必
22、在的右侧这里应令而得到新的有根区间对区间再用中点二分并进行根的隔离重复步骤解预先估计一下二分的次数按误差估计式解得即只要二分次即达所求度计算结果如下表的符号学习必备欢迎下载例学习必备 欢迎下载 1 0.02 0.9820 0.9825 0.0005 2 0.04 0.9650 0.9660 0.0005 3 0.06 0.9489 0.9503 0.0014 4 0.08 0.9336 0.9354 0.0018 5 0.10 0.9192 0.923 0.0021 例 2.取 h=0.1,用改进欧拉法预报校正公式求初值问题 1)0(12yyxy 在 x=0.1,0.2 处的近似值.计算过程保
23、留 3 位小数.预报校正公式为 )2(2),(),(2)1(),(211211121kkkkkkkkkkkkkkkxkkyxyxhyyxfyxfhyyyxhyyxhfyy h=0.1,x0=0，y0=1，x1=0.1，于是有 227.1)2.11.0102(21.012.1)101(1.0122121yy h=0.1,x1=0.1，y1=1.227，x2=0.2，于是有 528.1)488.12.0227.11.02(21.0227.1488.1)227.11.01(1.0227.122222yy 所求为 y(0.1)y1=1.227 y(0.2)y2=1.528 例 3 导出用三阶泰勒级数法
24、解方程 22yxy 的计算公式 解:因 22),(yxyxfy )(222222yxyxyyxfy )3()(242)(22222222yxyxxyyyyfy )32)(8)53(4462422222222)4(yxyxyyxxyyyyyyyyyyyfy 故 念解故有四位有效数字例近似数关于真值有几位有效数字解故有三位有效数字例数值的近似值若满足则称有位有效数字点评已知有效数字的位数反过来考查有绝对误差解有四位有效数字则意味着如果是一个形如的数则绝对误差限一位有效数字的近似值的相对误差限是解法有效数字与相对误差限的关系学习必备欢迎下载解法相对误差限的概念例的相对误差为的相对误差的倍解根据误差传
25、播公式则有第二章例设可微求根的牛顿迭代公式解化简得到根据牛顿迭代等分由于即与同号故所求的根必在的右侧这里应令而得到新的有根区间对区间再用中点二分并进行根的隔离重复步骤解预先估计一下二分的次数按误差估计式解得即只要二分次即达所求度计算结果如下表的符号学习必备欢迎下载例学习必备 欢迎下载 nnnnnfhfhhfyy3216121 而 1)4(43)(!4nnnxxfhR 其中)(knf表示 f(x,y)对 x 的 k阶偏导数在 x=xn点上的值。例 4 用龙格库塔法解初值问题 y=x2 y (0 x1)y(0)=1 解：取 h=0.1，由下面公式 342312143211,2,212,21),()
26、22(6hkyhxfkkhyhxfkkhyhxfkyxfkkkkkhyynnnnnnnnnn )1.0()1.0()05.0()05.0()05.0()05.0(32422312221kyxkkyxkkyxkyxknnnnnnnn 把初始条件x0=0，y0=1，代入,得 k1=-1，k2=-0.9475，k3=-0.9501，k4=0.8950，将这些 k值代，得 90516.08950.0)9501.09475.0(2161.011y 重复上述步骤可算出 y2，y3，y10等。例 5设有求解初值问题00(,)()yf x yy xy 的如下格式 11(,)nnnnnyaybychf xy 如
27、假设11(),()nnnnyy xyy x问常数,a b c为多少时使得该格式为二阶格式？念解故有四位有效数字例近似数关于真值有几位有效数字解故有三位有效数字例数值的近似值若满足则称有位有效数字点评已知有效数字的位数反过来考查有绝对误差解有四位有效数字则意味着如果是一个形如的数则绝对误差限一位有效数字的近似值的相对误差限是解法有效数字与相对误差限的关系学习必备欢迎下载解法相对误差限的概念例的相对误差为的相对误差的倍解根据误差传播公式则有第二章例设可微求根的牛顿迭代公式解化简得到根据牛顿迭代等分由于即与同号故所求的根必在的右侧这里应令而得到新的有根区间对区间再用中点二分并进行根的隔离重复步骤解预先估计一下二分的次数按误差估计式解得即只要二分次即达所求度计算结果如下表的符号学习必备欢迎下载例