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1、2 0 1 2 年 上 海 高 考 文 科 数 学 试 题 及 答 案一、填 空 题（本 大 题 共 有 1 4 题，满 分 5 6 分）1、计 算：31ii（i 为 虚 数 单 位）2、若 集 合 2 1 0 A x x，1 B x x，则 A B 3、函 数s i n 2()1 c osxf xx的 最 小 正 周 期 是4、若(2,1)d 是 直 线 l 的 一 个 方 向 向 量，则 l 的 倾 斜 角 的 大 小 为（结 果 用 反 三 角 函 数 值表 示）5、一 个 高 为 2 的 圆 柱，底 面 周 长 为 2，该 圆 柱 的 表 面 积 为6、方 程14 2 3 0 x x
2、的 解 是7、有 一 列 正 方 体，棱 长 组 成 以 1 为 首 项、12为 公 比 的 等 比 数 列，体 积 分 别 记 为1 2,.,.nV V V，则1 2l i m(.)nnV V V 8、在61xx 的 二 项 式 展 开 式 中，常 数 项 等 于9、已 知()y f x 是 奇 函 数，若()()2 g x f x 且(1)1 g，则(1)g 1 0、满 足 约 束 条 件 2 2 x y 的 目 标 函 数 z y x 的 最 小 值 是1 1、三 位 同 学 参 加 跳 高、跳 远、铅 球 项 目 的 比 赛，若 每 人 只 选 择 一 个 项 目，则 有 且 仅 有
3、两 位 同 学选 择 的 项 目 相 同 的 概 率 是（结 果 用 最 简 分 数 表 示）1 2、在 矩 形 A B C D 中，边 A B、A D 的 长 分 别 为 2、1，若 M、N 分 别 是 边 B C、C D 上 的 点，且 满 足B M C NB C C D，则 A M A N 的 取 值 范 围 是1 3、已 知 函 数()y f x 的 图 像 是 折 线 段 A B C，其 中(0,0)A、1(,1)2B、(1,0)C，函 数()y x f x（0 1 x）的 图 像 与 x 轴 围 成 的 图 形 的 面 积 为1 4、已 知1()1f xx，各 项 均 为 正 数
4、的 数 列 na 满 足11 a，2()n na f a，若2010 2012a a，则20 11a a 的 值 是二、选 择 题（本 大 题 共 有 4 题，满 分 2 0 分）1 5、若 1 2 i 是 关 于 x 的 实 系 数 方 程20 x bx c 的 一 个 复 数 根，则（）A、2,3 b c B、2,1 b c C、2,1 b c D、2,3 b c 1 6、对 于 常 数 m、n，“0 m n”是“方 程2 21 m x ny 的 曲 线 是 椭 圆”的（）A、充 分 不 必 要 条 件 B、必 要 不 充 分 条 件 C、充 分 必 要 条 件 D、既 不 充 分 也 不
5、必 要 条 件1 7、在 A B C 中，若2 2 2s i n s i n s i n A B C，则 A B C 的 形 状 是（）A、钝 角 三 角 形 B、直 角 三 角 形 C、锐 角 三 角 形 D、不 能 确 定1 8、若2s i n s i n.s i n7 7 7nnS（n N），则 在1 2 100,.,S S S 中，正 数 的 个 数 是（）A、1 6 B、7 2 C、8 6 D、1 0 0三、解 答 题（本 大 题 共 有 5 题，满 分 7 4 分）1 9、（本 题 满 分 1 2 分）本 题 共 有 2 个 小 题，第 1 小 题 满 分 6 分，第 2 小 题
6、满 分 6 分如 图，在 三 棱 锥 P A B C 中，P A 底 面 A B C，D 是 P C 的 中 点，已 知 B A C 2，2 A B，2 3 A C，2 P A，求：（1）三 棱 锥 P A B C 的 体 积（2）异 面 直 线 B C 与 A D 所 成 的 角 的 大 小（结 果 用 反 三 角 函 数 值表 示）2 0、（本 题 满 分 1 4 分）本 题 共 有 2 个 小 题，第 1 小 题 满 分 6 分，第 2 小 题 满 分 8 分已 知()l g(1)f x x（1）若 0(1 2)()1 f x f x，求 x 的 取 值 范 围（2）若()g x 是 以
7、 2 为 周 期 的 偶 函 数，且 当 0 1 x 时，()()g x f x，求 函 数()y g x（1,2 x）的 反 函 数2 1、（本 题 满 分 1 4 分）本 题 共 有 2 个 小 题，第 1 小 题 满 分 6 分，第 2 小 题 满 分 8 分海 事 救 援 船 对 一 艘 失 事 船 进 行 定 位：以 失 事 船 的 当 前 位 置 为 原 点，以 正 北 方 向 为 y 轴 正 方 向 建 立平 面 直 角 坐 标 系（以 1 海 里 为 单 位 长 度），则 救 援 船 恰 好 在 失 事 船 正 南 方 向 1 2 海 里 A 处，如 图，现 假 设：失 事 船
8、 的 移 动 路 径 可 视 为 抛 物 线21249y x；定 位 后 救援 船 即 刻 沿 直 线 匀 速 前 往 救 援；救 援 船 出 发 t 小 时 后，失 事 船 所在 位 置 的 横 坐 标 为 7 t（1）当 0.5 t 时，写 出 失 事 船 所 在 位 置 P 的 纵 坐 标，若 此 时 两 船恰 好 会 合，求 救 援 船 速 度 的 大 小 和 方 向（2）问 救 援 船 的 时 速 至 少 是 多 少 海 里 才 能 追 上 失 事 船？2 2、（本 题 满 分 1 6 分）本 题 共 有 3 个 小 题，第 1 小 题 满 分 5 分，第 2 小 题 满 分 5 分
9、，第 3 小 题 满分 6 分在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，已 知 双 曲 线2 2:2 1 C x y（1）设 F 是 C 的 左 焦 点，M 是 C 右 支 上 一 点，若 2 2 M F，求 点 M 的 坐 标；（2）过 C 的 左 焦 点 作 C 的 两 条 渐 近 线 的 平 行 线，求 这 两 组 平 行 线 围 成 的 平 行 四 边 形 的 面 积；（3）设 斜 率 为 k（2 k）的 直 线 l 交 C 于 P、Q 两 点，若 l 与 圆2 21 x y 相 切，求 证：O P O Q2 3、（本 题 满 分 1 8 分）本 题 共 有 3 个 小 题，第
10、1 小 题 满 分 4 分，第 2 小 题 满 分 6 分，第 3 小 题 满分 8 分对 于 项 数 为 m 的 有 穷 数 列 na，记 1 2m a x,.,k kb a a a（1,2,.,k m），即kb 为1 2,.,ka a a中 的 最 大 值，并 称 数 列 nb 是 na 的 控 制 数 列，如 1，3，2，5，5 的 控 制 数 列 是 1，3，3，5，5（1）若 各 项 均 为 正 整 数 的 数 列 na 的 控 制 数 列 为 2，3，4，5，5，写 出 所 有 的 na（2）设 nb 是 na 的 控 制 数 列，满 足1 k m ka b C（C 为 常 数，1,2,.,k m），求 证：k kb a（1,2,.,k m）（3）设 100 m，常 数1,12a，若(1)22(1)n nna an n，nb 是 na 的 控 制 数 列，求1 1 2 2()()b a b a 100 100.()b a