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1、2 0 1 2 年 福 建 高 考 理 科 数 学 试 题 及 答 案第 I 卷（选 择 题 共 5 0 分）一、选 择 题：本 大 题 共 1 0 小 题，每 小 题 5 分，共 5 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要求 的。1.若 复 数 z 满 足 i z i 1，则 z 等 于（）A i 1 B i 1 C i 1 D i 12.等 差 数 列 na 中，7,104 5 1 a a a，则 数 列 na 的 公 差 为（）A 1 B 2 C 3 D 43.下 列 命 题 中，真 命 题 是（）A 0,00 xe R x B 2
2、2,x R xx C 0 b a 的 充 要 条 件 是 1 baD 1,1 b a 是 1 ab 的 充 分 条 件4.一 个 几 何 体 的 三 视 图 形 状 都 相 同，大 小 均 相 等，那 么 这 个 几 何 体 不 可 以 是（）A 球 B 三 棱 锥 C 正 方 体 D 圆 柱5.下 列 不 等 式 一 定 成 立 的 是（）A)0(l g)41l g(2 x x x B),(2s i n1s i n Z k k xxx C)(|2 12R x x x D)(1112R xx 6.如 图 所 示，在 边 长 为 1 的 正 方 形 O A B C 中 任 取 一 点 P，则 点
3、 P 恰 好 取 自 阴 影 部 分 的 概 率 为（）A 41B 51C 61D 717.设 函 数为无理数为有理数xxx D,0,1)(，则 下 列 结 论 错 误 的 是（）A)(x D 的 值 域 为 1,0 B)(x D 是 偶 函 数C)(x D 不 是 周 期 函 数 D)(x D 不 是 单 调 函 数8.双 曲 线2 2214x yb 的 右 焦 点 与 抛 物 线 x y 122 的 焦 点 重 合，则 该 双 曲 线 的 焦 点 到 其 渐 近 线 的 距 离 等 于（）A 5 B 2 4 C 3 D 59.若 直 线xy 2 上 存 在 点),(y x 满 足 约 束
4、条 件 m xy xy x0 3 20 3，则 实 数 m 的 最 大 值 为（）A 21B 1 C 23D 21 0.函 数)(x f 在,b a 上 有 定 义，若 对 任 意,2 1b a x x，有)()(21)2(2 12 1x f x fx xf，则 称)(x f 在,b a 上 具 有 性 质 P。设)(x f 在 1,3 上 具 有 性 质 P，现 给 出 如 下 命 题：)(x f 在 3,1 上 的 图 像 时 连 续 不 断 的；)(2x f 在 3,1 上 具 有 性 质 P；若)(x f 在 2 x 处 取 得 最 大 值 1，则 1)(x f，3,1 x；对 任 意
5、 3,1,4 3 2 1 x x x x，有)()()()(41)2(4 3 2 14 3 2 1x f x f x f x fx x x xf。其 中 真 命 题 的 序 号 是（）A B C D 第 卷（非 选 择 题 共 1 0 0 分）二、填 空 题：本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 4 分，共 1 6 分。把 答 案 填 在 答 题 卡 的 相 应 位 置。1 1.4)(x a 的 展 开 式 中3x 的 系 数 等 于 8，则 实 数 a _ _ _ _ _ _ _ _ _。1 2.阅 读 右 图 所 示 的 程 序 框 图，运 行 相 应 地 程 序，输 出 的 s 值 等
6、 于 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。1 3.已 知 A B C 的 三 边 长 成 公 比 为 2 的 等 比 数 列，则 其 最 大 角 的 余 弦 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _。1 4.数 列 na 的 通 项 公 式 12c os nn an，前 n 项 和 为nS，则 2012S _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。1 5.对 于 实 数 b a,，定 义 运 算“”：b a ab bb a ab ab a,22，设)1()1 2()(x x x f，且 关 于 x 的 方 程 为)()(R m m x f 恰
7、 有 三 个 互 不 相 等 的 实 数 根3 2 1,x x x，则3 2 1x x x 的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _。三、解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 8 4 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤。1 6.（本 小 题 满 分 1 3 分）受 轿 车 在 保 修 期 内 维 修 费 等 因 素 的 影 响，企 业 产 生 每 辆 轿 车 的 利 润 与 该 轿 车 首 次 出 现 故 障 的 时 间 有 关，某轿 车 制 造 厂 生 产 甲、乙 两 种 品 牌 轿 车，保 修 期 均
8、为 2 年，现 从 该 厂 已 售 出 的 两 种 品 牌 轿 车 中 随 机 抽 取 5 0辆，统 计 书 数 据 如 下：将 频 率 视 为 概 率，解 答 下 列 问 题：（I）从 该 厂 生 产 的 甲 品 牌 轿 车 中 随 机 抽 取 一 辆，求 首 次 出 现 故 障 发 生 在 保 修 期 内 的 概 率；（I I）若 该 厂 生 产 的 轿 车 均 能 售 出，记 住 生 产 一 辆 甲 品 牌 轿 车 的 利 润 为1X，生 产 一 辆 乙 品 牌 轿 车 的 利 润 为2X，分 别 求1X，2X 的 分 布 列；（I I I）该 厂 预 计 今 后 这 两 种 品 牌 轿
9、 车 销 量 相 当，由 于 资 金 限 制，只 能 生 产 其 中 一 种 品 牌 轿 车，若 从 经 济 效益 的 角 度 考 虑，你 认 为 应 该 产 生 哪 种 品 牌 的 轿 车？说 明 理 由。1 7.（本 小 题 满 分 1 3 分）某 同 学 在 一 次 研 究 性 学 习 中 发 现，以 下 五 个 式 子 的 值 都 等 于 同 一 个 常 数。（1）0 0 0 2 0 217 c os 13 s i n 17 c os 13 s i n；（2）0 0 0 2 0 215 c os 15 s i n 15 c os 15 s i n；（3）0 0 0 2 0 212 c
10、os 18 s i n 12 c os 18 s i n；（4）0 0 0 2 0 248 c os)18 s i n(48 c os)13(s i n；（5）0 0 0 2 0 255 c os)25 s i n(55 c os)25(s i n。（I）试 从 上 述 五 个 式 子 中 选 择 一 个，求 出 这 个 常 数；（I I）根 据（）的 计 算 结 果，将 该 同 学 的 发 现 推 广 为 三 角 恒 等 式，并 证 明 你 的 结 论。1 8.（本 小 题 满 分 1 3 分）如 图，在 长 方 体1 1 1 1D C B A A B C D 中，11 A D A A，E
11、为 C D 中 点。（）求 证：1 1A D E B；（）在 棱1A A 上 是 否 存 在 一 点 P，使 得/D P 平 面 A E B1？若 存 在，求 A P 的 长；若 不 存 在，说 明 理 由。（）若 二 面 角1 1A A B A 的 大 小 为030，求 A B 的 长。1 9.（本 小 题 满 分 1 3 分）如 图，椭 圆)0(1:2222 b abyaxE 的 左 焦 点 为1F，右 焦 点 为2F，离 心 率21 e。过1F 的 直 线 交 椭圆 于 B A,两 点，且2A B F 的 周 长 为 8。（）求 椭 圆 E 的 方 程。（）设 动 直 线 m k x y
12、 l:与 椭 圆 E 有 且 只 有 一 个 公 共 点 P，且 与 直 线 4 x 相 较 于 点 Q。试 探 究：在坐 标 平 面 内 是 否 存 在 定 点 M，使 得 以 P Q 为 直 径 的 圆 恒 过 点 M？若 存 在，求 出 点 M 的 坐 标；若 不存 在，说 明 理 由。2 0.（本 小 题 满 分 1 4 分）已 知 函 数 R a e x ax e x fx,)(2（）若 曲 线)(x f y 在 点)1(,1(f 处 的 切 线 平 行 于 x 轴，求 函 数)(x f 的 单 调 区 间；（）试 确 定 a 的 取 值 范 围，使 得 曲 线)(x f y 上 存
13、 在 唯 一 的 点 P，曲 线 在 该 点 处 的 切 线 与 曲 线 只 有 一 个公 共 点 P。2 1.本 题 设 有（1）、（2）、（3）三 个 选 考 题，每 题 7 分，请 考 生 任 选 2 题 作 答，满 分 1 4 分。如 果 多 做，则 按 所 做的 前 两 题 计 分。作 答 时，先 用 2 B 铅 笔 在 答 题 卡 上 把 所 选 题 目 对 应 题 号 右 边 的 方 框 图 黑，并 将 所 选 题 号 填 入括 号 中。（1）（本 小 题 满 分 7 分）选 修 4-2：矩 阵 与 变 换设 曲 线 1 2 22 2 y x y x 在 矩 阵baA)1(10a
14、 对 应 的 变 换 作 用 下 得 到 的 曲 线 为 12 2 y x。（）求 实 数 b a,的 值。（）求2A 的 逆 矩 阵。（2）（本 小 题 满 分 7 分）选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程在 平 面 直 角 坐 标 系 中，以 坐 标 原 点 O 为 几 点，x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系。已 知 直 线 l 上 两 点N M,的 极 坐 标 分 别 为)2,33 2(),0,2(，圆 C 的 参 数 方 程(s i n 2 3c os 2 2 yx为 参 数）。（）设 P 为 线 段 M N 的 中 点，求 直 线 O P 的 平 面 直 角 坐 标 方 程；（）判 断 直 线 l 与 圆 C 的 位 置 关 系。（3）（本 小 题 满 分 7 分）选 修 4-5：不 等 式 选 讲已 知 函 数 R m x m x f|,2|)(，且 0)2(x f 的 解 集 为 1,1。（）求 m 的 值；（）若 R c b a,，且 mc b a 3121 1，求 证：9 3 2 c b a