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1、2 0 1 3 年 青 海 高 考 理 科 数 学 真 题 及 答 案注 意 事 项：1.本 试 卷 分 第 卷（选 择 题）和 第 卷（非 选 择 题）两 部 分。答 卷 前 考 生 将 自 己 的 姓 名 准 考 证 号 填 写 在 本 试 卷 和 答 题 卡 相 应 位 置。2.回 答 第 卷 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 标 黑，如 需改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号。写 在 本 试 卷 上 无 效。3.答 第 卷 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上，写 在 本 试 卷
2、上 无 效。4.考 试 结 束，将 试 题 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。第 卷（选 择 题 共 5 0 分）一.选 择 题：本 大 题 共 1 0 小 题。每 小 题 5 分，共 5 0 分。在 每 个 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。（1）已 知 集 合 M=x|(x 1)2 4,x R，N=1,0,1,2,3，则 M N=（A）0,1,2（B）1,0,1,2（C）1,0,2,3（D）0,1,2,3 答 案：A【解】将 N 中 的 元 素 代 入 不 等 式：(x 1)2 4 进 行 检 验 即 可.（2）设 复 数 z 满 足(
3、1 i)z=2 i，则 z=（A）1+i（B）1 i（C）1+i（D）1 i答 案：A【解 法 一】将 原 式 化 为 z=2 i1-i,再 分 母 实 数 化 即 可.【解 法 二】将 各 选 项 一 一 检 验 即 可.（3）等 比 数 列 an 的 的 前 n 项 和 为 Sn，已 知 S3=a2+1 0 a1，a5=9，则 a1=（A）13（B）13（C）19（D）19答 案：C【解】由 S3=a2+1 0 a1 a3=9 a1 q2=9 a1=a5q4=19（4）已 知 m,n 为 异 面 直 线，m 平 面，n 平 面.直 线 l 满 足 l m，l n，l/，l/则：（A）且 l
4、（B）且 l S=S+T否开 始k=1,S=0,T=1T=Tkk N是输出 S结束输入 Nk=k+1（C）与 相 交，且 交 线 垂 直 于 l（D）与 相 交，且 交 线 平 行 于 l答 案：D【解】显 然 与 相 交，不 然 时 m n 与 m,n 为 异 面 矛 盾.与 相 交 时，易 知 交 线平 行 于 l.（5）已 知(1+a x)(1+x)5的 展 开 式 中 x2的 系 数 为 5，则 a=（A）4（B）3（C）2（D）1答 案：D【解】x2的 系 数 为 5 C25+a C15=5 a=1（6）执 行 右 面 的 程 序 框 图，如 果 输 入 的 N=1 0，那 么 输
5、出 的 S=（A）1+12+13+11 0（B）1+12!+13!+11 0!（C）1+12+13+11 1（D）1+12!+13!+11 1!答 案：B【解】变 量 T,S,k 的 赋 值 关 系 分 别 是：Tn+1=Tnkn,Sn+1=Sn+Tn+1,kn+1=kn+1.(k0=1,T0=1,S0=0)kn=n+1,Tn=TnTn-1Tn-1Tn-2 T1T0 T0=1kn-11kn-2 1k0=1n!,Sn=(Sn Sn 1)+(Sn 1 Sn 2)+(S1 S0)+S0=Tn+Tn 1+T0=1+12!+13!+1n!满 足 kn N 的 最 小 值 为 k1 0=1 1，此 时 输
6、 出 的 S 为 S1 0（7）一 个 四 面 体 的 顶 点 在 空 间 直 角 坐 标 系 O x y z 中 的 坐 标 分 别 是(1,0,1)，(1,1,0），(0,1,1），(0,0,0)，画 该 四 面 体 三 视 图 中 的 正 视 图 时，以 z O x 平 面 为 投 影 面，则 得 到 正 视 图可 以 为(A)(B)(C)(D)答 案：A【解】（8）设 a=l o g36，b=l o g51 0，c=l o g71 4，则（A）c b a（B）b c a（C）a c b（D）a b c答 案：D【解】a=1+l o g32，b=1+l o g52，c=1+l o g72
7、l o g23 l o g25 l o g52 l o g72 a b c（9）已 知 a0，x,y 满 足 约 束 条 件x 1x+y 3y a(x-3),若 z=2 x+y 的 最 小 值 为 1，则 a=（A）14（B）12（C）1（D）答 案：B【解】如 图 所 示，当 z=1 时，直 线 2 x+y=1 与 x=1 的 交 点 C(1,1)即 为 最 优 解，此 时 a=kB C=12（1 0）已 知 函 数 f(x)=x3+a x2+b x+c，下 列 结 论 中 错 误 的 是（A）x0 R,f(x0)=0（B）函 数 y=f(x)的 图 像 是 中 心 对 称 图 形（C）若
8、x0是 f(x)的 极 小 值 点，则 f(x)在 区 间(-,x0)单 调 递 减（D）若 x0是 f(x)的 极 值 点，则 f(x0)=0答 案：C【解】f(x)的 值 域 为(,+),所 以（A）正 确；f(x)=x3+3 x2a3+3 x(a3)2+(a3)3+b x 3 x(a3)2+c(a3)3=(x+a3)3+(b a23)(x+a3)+c a b3 2 a32 7因 为 g(x)=x3+(b a23)x 是 奇 函 数，图 像 关 于 原 点 对 称，所 以 f(x)的 图 像 关 于 点(a3,c a b3 2 a32 7)对 称.所 以（B）正 确；显 然（C）不 正 确
9、；（D）正 确.（1 1）设 抛 物 线 C：y2=2 p x(p 0)的 焦 点 为 F，点 M 在 C 上，|M F|=5，若以 M F 为 直 径 的 圆 过 点(0,2)，则 C 的 方 程 为（A）y2=4 x 或 y2=8 x（B）y2=2 x 或 y2=8 x（C）y2=4 x 或 y2=1 6 x（D）y2=2 x 或 y2=1 6 x答 案：C【解】设 M(x0,y0)，由|M F|=5 x0+p2=5 x0=5 p2圆 心 N(x02+p4,y02)到 y 轴 的 距 离|N K|=x02+p4=12|M F|，则圆 N 与 y 轴 相 切，切 点 即 为 K(0,2)，且
10、 N K 与 y 轴 垂 直 y0=4 2 p(5 p2)=1 6 p=2 或 8.（1 2）已 知 点 A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直 线 y=a x+b(a 0)将 A B C 分 割 为 面 积相 等 的 两 部 分，则 b 的 取 值 范 围 是：（A）(0,1)（B）(1 22,12)（C）(1 22,13(D)13,12)答 案：B【解】情 形 1：直 线 y=a x+b 与 A C、B C 相 交 时，如 图 所 示，设 M C=m,N C=n,由 条 件 知 S M N C=12 m n=1显 然 0 n 2 m=1n22又 知 0 m 2,m n所 以22 m
11、2 且 m 1D 到 A C、B C 的 距 离 为 t,则tm+tn=D NM N+D MM N=1 t=m nm+n1t=m+1mf(m)=m+1m(22 m 2 且 m 1)的 值 域 为(2,3 22 2 1t3 2223 t 12因 为 b=1 C D=1 2 t，所 以 1 22 b 13情 形 2：直 线 y=a x+b 与 A B、B C 相 交 时，如 图 所 示，易 求 得 xM=ba,yN=a+ba+1,由 条 件 知(1+ba)a+ba+1=1b21-2 b=aM 在 线 段 O A 上 0 ba 1 0 a bN 在 线 段 B C 上 0 a+ba+1 1 b 1解
12、 不 等 式：0 b21-2 b b 得13 b 12综 上：1 22 b 12二、填 空 题：本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分。（1 3）已 知 正 方 形 A B C D 的 边 长 为 2，E 为 C D 的 中 点，则A E B D=.答 案：2【解】建 立 如 图 所 示 的 坐 标 系，则A E=(1,2)，B D=(2,2)，则A E B D=2（1 4）从 n 个 正 整 数 1,2,n 中 任 意 取 出 两 个 不 同 的 数，若 取 出 的 两 数 之 和 等 于 5 的 概率 为11 4，则 n=.答 案：8【解】事 件 A：取 出 的 两 数 之 和 等
13、 于 5，n=3 时,n(A)=1 由 P(A)=11 4 n()=1 4 C2n=1 4 n(n 1)=2 8(无 解)n 3 时,n(A)=2 由 P(A)=11 4 n()=2 8 C2n=2 8 n(n 1)=5 6 n=8（1 5）设 为 第 二 象 限 角，若 t a n(+p4)=12，则 s i n+c o s=.答 案：1 05【解 法 一】由 为 第 二 象 限 角 及 t a n(+p4)=12 0+p4为 第 三 象 限 角，在+p4的终 边 上 取 一 点 P(2,1)，易 得 s i n(+p4)=55 s i n+c o s=2 s i n(+p4)=1 05（1
14、 6）等 差 数 列 an 的 前 n 项 和 为 Sn，已 知 S1 0=0，S1 5=2 5，则 n Sn的 最 小 值 为.答 案：4 9【解 法 一】由 S1 0=0，S1 5=2 5 a1=3，公 差 d=23，Sn=13n(n 1 0)将 Sn是 关 于 n 的 函 数，其 图 像 关 于 n=5 对 称，n 1 0 时，Sn 1 0 时，Sn 0，所 以 n Sn的 最 小 值 应 在 n=5,6,7,8,9 中 产 生，代 入 计 算 得 n=7 时 n Sn最 小，最 小 值为 4 9.【解 法 二】同 解 法 一 得：Sn=13n(n 1 0)设 f(n)=n Sn=13(
15、n3 1 0 n)f(n)=n(n 2 03)，靠 近 极 小 值 点 n=2 03的 整 数 为 6 和 7，代 入 f(n)计 算 得 n=7时 f(n)最 小，最 小 值 为 4 9.三 解 答 题：解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤。（1 7）（本 小 题 满 分 1 2 分）A B C 的 内 角 A、B、C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，已 知 a=b c o s C+c s i n B.（）求 B；（）若 b=2，求 A B C 面 积 的 最 大 值.【解】（）由 a=b c o s C+c s i n B s i n A=s i n
16、B c o s C+s i n C s i n B s i n(B+C)=s i n B c o s C+s i n C s i n B c o s B s i n C=s i n C s i n Bs i n C 0 c o s B=s i n B t a n B=10 B p B=p4（）由 余 弦 定 理 得：a2+c2 2 a c=4 4+2 a c=a2+c2 2 a c a c=42-2=2(2+2)A B C 面 积 S=24a c 1+2.所 以 A B C 面 积 的 最 大 值 为 1+2.（1 8）如 图，直 棱 柱 A B C-A1B1C1中，D，E 分 别 是 A B
17、，B B1的 中 点，A A1=A C=C B=22A B.（）证 明：B C1/平 面 A1C D（）求 二 面 角 D A1C E 的 正 弦 值【解】（）设 A C1 A1C=F F 是 A C1的 中 点D 是 A B 的 中 点 B C1/D F，D F 平 面 A1C D，B C1/平 面 A1C D B C1/平 面 A1C D.（）解 法 一：由 A A1=A C=C B=22A B A A1 B D=A D B E R t A1A D R t B D E A1D A=B E D A1D A+B D E=9 0o E D A1DA C=C B A B C DA A1 底 面 A
18、 B C A A1 C D C D 平 面 A B B1A1 C D D E E D 平 面 A1C D作 D G A1C 交 A1C 于 G,则 E G A1C，所 以 D G E 为 所 求 二 面 角 的 平 面 角.C D 平 面 A B B1A1 C D A1D A1C D G=C D A1D设 A A1=2 a A1C=2 2 a，C D=2 a，A1D=6 a，D G=C D A1DA1C=62a，D E=3 a E G=3 22a s i n D G E=D EE G=63（）解 法 二：由 A C=C B=22A B A C2+C B2=A B2 A C B C，建立 如 图
19、 所 示 的 坐 标 系，设 A A1=2，则C A1=(2,0,2)，C D=(1,1,0)，C E=(0,2,1)，设 m=(x1,y1,z1)是 平 面 A1D C 的 法 向 量，则m C A1=0m C D=0 x1+z1=0 x1+y1=0可 取 m=(1,1,1)同 理 设 n=(x2,y2,z2)是 平 面 A1E C 的 法 向 量，则m C A1=0m C E=0 x2+z2=02 y2+z2=0可 取 n=(2,1,2)，c o s=m n|m|n|=33 s i n=63所 以 二 面 角 D A1C E 的 正 弦 值 为63（1 9）（本 小 题 满 分 1 2 分
20、）经 销 商 经 销 某 种 农 产 品，在 一 个 销 售 季 度 内，每 售 出 1 t 该 产 品 获 利 润 5 0 0 元，未 售 出 的 产 品，每 1 t 亏 损 3 0 0 元。根 据 历 史 资 料，得 到 销 售 季 度内 市 场 需 求 量 的 频 率 分 布 直 方 图，如 右 图 所 示.经销 商 为 下 一 个 销 售 季 度 购 进 了 1 3 0 t 该 农 产 品。以 X（单 位：t，1 0 0 X 1 5 0）表 示 下 一 个 销 售 季度 内 的 市 场 需 求 量，T(单 位：元)表 示 下 一 个 销 售季 度 内 经 销 该 农 产 品 的 利 润
21、.（）将 T 表 示 为 X 的 函 数；（）根 据 直 方 图 估 计 利 润 T 不 少 于 5 7 0 0 0 元 的 概 率；（）在 直 方 图 的 需 求 量 分 组 中，以 各 组 的 区 间 中 点 值 代 表 该 组 的 各 个 需 求 量，需 求 量 落 入该 区 间 的 频 率 作 为 需 求 量 取 该 区 间 中 点 值 的 概 率（例 如：若 X 1 0 0,1 1 0),则 取 X=1 0 5，且 X=1 0 5 的 概 率 等 于 需 求 量 落 入 1 0 0，1 1 0)的 概 率，求 T 的 数 学 期 望.【解】（）当 X 1 0 0,1 3 0)时，T=
22、5 0 0 X 3 0 0(1 3 0 X)=8 0 0 X 3 9 0 0 0当 X 1 3 0,1 5 0 时，T=5 0 0 1 3 0=6 5 0 0 0所 以 T=8 0 0 X-3 9 0 0 0，X 1 0 0，1 3 0）6 5 0 0 0，X 1 3 0，1 5 0（）与 由（）知 T 5 7 0 0 0 1 2 0 X 1 5 0由 直 方 图 知：1 2 0 X 1 5 0 的 概 率 为 1 0(0.0 3 0+0.0 2 5+0.0 1 5)=0.7所 以 利 润 T 不 少 于 5 7 0 0 0 元 的 概 率 为 0.7（）T 可 能 的 取 值 有 T1=8
23、0 0 1 0 5 3 9 0 0 0=4 5 0 0 0,T2=8 0 0 1 1 5 3 9 0 0 0=5 3 0 0 0,T3=8 0 0 1 2 5 3 9 0 0 0=6 1 0 0 0,T4=6 5 0 0 0T 的 分 布 列 如 下：T 4 5 0 0 0 5 3 0 0 0 6 1 0 0 0 6 5 0 0 0P 0.1 0.2 0.3 0.4所 以 E T=4 5 0 0 0 0.1+5 3 0 0 0 0.2+6 1 0 0 0 0.3+6 5 0 0 0 0.4=5 9 4 0 0所 以 T 的 数 学 期 望 为 5 9 4 0 0(2 0)(本 小 题 满 分
24、1 2 分)平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，过 椭 圆 M：x2a2+y2b2=1(a b 0)的 右 焦 点 的 直 线 x+y 3=0 交 M 于 A，B 两 点，P 为 A B 的 中 点，且 O P 的 斜 率 为12.（）求 M 的 方 程（）C，D 为 M 上 的 两 点，若 四 边 形 A C B D 的 对 角 线 C D A B，求 四 边 形 A C B D 的 面 积 最大 值.【解】（）设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(x0,y0)b2x21+a2y21=a2b2b2x22+a2y22=a2b2y1-y2x1-x2=b2(x1+x2)a2(y1+y
25、2)kA B=b2x0a2y0O P 的 斜 率 为12x0y0=2，直 线 x+y 3=0 的 斜 率 为 1 kA B=1 1=2 b2a2 a2=2 b2 由 题 意 知 直 线 x+y 3=0 与 x 轴 的 交 点 F(3，0)是 椭 圆 的 右 焦 点，则 才 c=3 a2 b2=3 联 立 解 得、解 得 a2=6，b2=3所 以 M 的 方 程 为：x26+y23=1（）联 立 方 程 组x+y 3=0 x26+y23=1，解 得 A(4 33,33)、B(0,3)，求 得|A B|=4 63依 题 意 可 设 直 线 C D 的 方 程 为：y=x+mC D 与 线 段 A
26、B 相 交 5 33 m 3联 立 方 程 组y=x+mx26+y23=1消 去 x 得：3 x2+4 m x+2 m2 6=0(*)设 C(x3,y3)，D(x4,y4)，则|C D|2=2(x3 x4)2=2(x3+x4)2 4 x3x4=1 69(9 m2)四 边 形 A C B D 的 面 积 S=12|A B|C D|=8 699-m2当 n=0 时，S 最 大，最 大 值 为8 63.所 以四 边 形 A C B D 的 面 积 最 大 值 为8 63.（2 1）（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 函 数 f(x)=ex l n(x+m)（）设 x=0 是 f(x)的 极 值
27、 点，求 m，并 讨 论 f(x)的 单 调 性；（）当 m 2 时，证 明 f(x)0.【解】（）f(x)=ex1x+mx=0 是 f(x)的 极 值 点 f(0)=0 m=1.此 时，f(x)=ex1x+1在(1,+)上 是 增 函 数，又 知 f(0)=0，所 以 x(1,0)时,f(x)0.所 以 f(x)在(1,0)上 是 减 函 数，在(0,+)上 是 增 函 数.（）如 图 所 示，当 m 2 时，x+1 x+m 1只 需 证 明 ex x+1，且 l n(x+m)x+m 1再 指 出“=”不 能 成 立 即 可.设 g(x)=ex(x+1)，g(x)=ex 1x1=0 是 g(
28、x)的 极 小 值 点，也 是 最 小 值 点，即g(x)g(0)=0 ex x+1设 h(x)=l n(x+m)(x+m 1)h(x)=1x+m 1x2=1 m 是 h(x)的 极 大 值 点，也 是 最 大 值 点，即g(x)h(1 m)=0 l n(x+m)x+m 1 ex l n(x+m)f(x)0，“=”成 立 的 条 件 是：x1=x2且x+1=x+m 1即 m=1 且 m=2（矛 盾）所 以 f(x)0（2 2）（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4-1 几 何 证 明 选 讲如 图，C D 为 A B C 外 接 圆 的 切 线，A B 的 延 长 线 交 直 线 C D
29、于 点 D，E、F 分 别 为 弦 A B 与 弦 A C 上 的 点，且 B C A E=D C A F，B、E、F、C 四 点 共 圆.（）证 明：C A 是 A B C 外 接 圆 的 直 径；（）若 D B=B E=E A，求 过 B、E、F、C 四 点 的 圆的 面 积 与 A B C 外 接 圆 面 积 的 比 值。【解】（）C D 为 A B C 外 接 圆 的 切 线 B C D=A，B C A E=D C A F B CF A=D CE A，则 B C D A E F C B D=A F EB、E、F、C 四 点 共 圆 C B D=C F E A F E=C F E=9 0
30、o C B D=9 0o C B A=9 0o C A 是 A B C 外 接 圆 的 直 径.（）连 结 C E，由 C B A=9 0o知 C E 为 过 B、E、F、C 四 点 的 圆 的 直 径，设 B D=a，在 直 角三 角 形 A C D 中，B C2=B D B A=2 a2B D=B E C E2=D C2=B D2+B C2=3 a2A C2=A D A B=6 a2所 以 两 圆 的 面 积 之 比 为C E2A C2=12.（2 3）（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4-4；坐 标 系 与 参 数 方 程已 知 动 点 P，Q 都 在 曲 线 C：x=2 c o
31、 s ty=2 s i n t(t 是 参 数)上，对 应 参 数 分 别 为 t=与 t=2(0 2),M 为 P Q 的 中 点.（）求 M 的 轨 迹 的 参 数 方 程;（）将 M 到 坐 标 原 点 的 距 离 d 表 示 为 的 函 数，并 判 断 M 的 轨 迹 是 否 过 坐 标 原 点.【解】（）P(2 c o s,2 s i n)，Q(2 c o s 2,2 s i n 2)M(c o s+c o s 2,2 s i n+s i n 2)所 以 M 的 轨 迹 的 参 数 方 程 为：x=c o s+c o s 2 y=2 s i n+s i n 2(是 参 数，02)（）
32、d=x2+y2=2+2 c o s a(0 2)当=时，d=0，所 以 M 的 轨 迹 过 坐 标 原 点.（2 4）（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4-5；不 等 式 选 讲设 a，b，c 均 为 正 数，且 a+b+c=1，证 明：（）a b+b c+a c 13；（）a2b+b2c+c2a 1【解】（）由 a2+b2 2 a b，b2+c2 2 b c，a2+c2 2 a c 得a2+b2+c2 a b+b c+a c(a+b+c)2=(a2+b2+c2)+2(a b+b c+a c)3(a b+b c+a c)1 3(a b+b c+a c)a b+b c+a c 13.（）
33、证 法 一：因 为a2b+b 2 a，b2c+c 2 b，c2a+a 2 c所 以(a2b+b2c+c2a)+(a+b+c)2(a+b+c)a2b+b2c+c2a+1 2a2b+b2c+c2a 1证 法 二：由 柯 西 不 等 式 得：(a2b+b2c+c2a)(b+c+a)(a+b+c)2a2b+b2c+c2a 12 0 1 3 青 海 卷(理)一、选 择 题1 已 知 集 合 M x|(x 1)2 4，x R，N 1,0,1,2,3，则 M N 等 于()A 0,1,2 B 1,0,1,2 C 1,0,2,3 D 0,1,2,3 答 案 A解 析 化 简 集 合 M 得 M x|1 x 3
34、，x R，则 M N 0,1,2 2 设 复 数 z 满 足(1 i)z 2 i，则 z()A 1 i B 1 iC 1 i D 1 i答 案 A解 析 由 已 知 得 z 2 i1 i2 i 1 i 1 i 1 i 1 i.3 等 比 数 列 an 的 前 n 项 和 为 Sn，已 知 S3 a2 1 0 a1，a5 9，则 a1等 于()A.13B 13C.19D 19答 案 C解 析 设 等 比 数 列 an 的 公 比 为 q，由 S3 a2 1 0 a1得 a1 a2 a3 a2 1 0 a1，即 a3 9 a1，q2 9，又 a5 a1q4 9，所 以 a119.4 已 知 m，n
35、 为 异 面 直 线，m 平 面，n 平 面.直 线 l 满 足 l m，l n，l，l，则()A 且 l B 且 l C 与 相 交，且 交 线 垂 直 于 lD 与 相 交，且 交 线 平 行 于 l答 案 D解 析 假 设，由 m 平 面，n 平 面，则 m n，这 与 已 知 m，n 为 异 面 直 线 矛盾，那 么 与 相 交，设 交 线 为 l1，则 l1 m，l1 n，在 直 线 m 上 任 取 一 点 作 n1平 行 于n，那 么 l1和 l 都 垂 直 于 直 线 m 与 n1所 确 定 的 平 面，所 以 l1 l.5 已 知(1 a x)(1 x)5的 展 开 式 中 x
36、2的 系 数 为 5，则 a 等 于()A 4 B 3 C 2 D 1答 案 D解 析(1 a x)(1 x)5中 含 x2的 项 为：(C25 C15a)x2，即 C25 C15a 5，a 1.6 执 行 右 面 的 程 序 框 图，如 果 输 入 的 N 1 0，那 么 输 出 的 S()A 1 1213 11 0B 1 12！13！11 0！C 1 1213 11 1D 1 12！13！11 1！答 案 B解 析 k 1，T 11，S 1，k 2，T 11 212！，S 1 12！，k 3，T 11 2 313！，S 1 12！13！，由 于 N 1 0，即 k 1 0 时，结 束 循
37、环，共 执 行 1 0 次 所 以 输 出 S 1 12！13！11 0！.7 一 个 四 面 体 的 顶 点 在 空 间 直 角 坐 标 系 O x y z 中 的 坐 标 分 别 是(1,1,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画 该 四 面 体 三 视 图 中 的 正 视 图 时，以 z O x 平 面 为 投 影 面，则 得 到 正 视 图可 以 为()答 案 A解 析 在 空 间 直 角 坐 标 系 中，先 画 出 四 面 体 O A B C 的 直 观 图，以 z O x 平 面 为 投 影 面，则 得 到 正 视 图，所 以 选 A.8 设 a l o g36，
38、b l o g51 0，c l o g71 4，则()A c b a B b c aC a c b D a b c答 案 D解 析 设 a l o g36 1 l o g32 1 1l o g23，b l o g51 0 1 l o g52 1 1l o g25，c l o g71 4 1 l o g72 1 1l o g27，显 然 a b c.9 已 知 a 0，x，y 满 足 约 束 条 件 x 1，x y 3，y a x 3，若 z 2 x y 的 最 小值 为 1，则 a 等 于()A.14B.12C 1 D 2答 案 B解 析 由 x 1，2 x y 1有 x 1，y 1，代 入
39、y a(x 3)得 a 12.1 0 已 知 函 数 f(x)x3 a x2 b x c，下 列 结 论 中 错 误 的 是()A x0 R，f(x0)0B 函 数 y f(x)的 图 象 是 中 心 对 称 图 形C 若 x0是 f(x)的 极 小 值 点，则 f(x)在 区 间(，x0)上 单 调 递 减D 若 x0是 f(x)的 极 值 点，则 f(x0)0答 案 C解 析 若 c 0，则 有 f(0)0，所 以 A 正 确 由 f(x)x3 a x2 b x c 得 f(x)c x3 a x2 b x，因 为 函 数 f(x)x3 a x2 b x 的 对 称 中 心 为(0,0)，所
40、 以 f(x)x3 a x2 b x c 的 对 称 中 心 为(0，c)，所 以 B 正 确 由 三 次 函 数 的 图 象 可 知，若 x0是 f(x)的 极 小 值点，则 极 大 值 点 在 x0的 左 侧，所 以 函 数 在 区 间(，x0)单 调 递 减 是 错 误 的，D 正 确 选C.1 1 设 抛 物 线 C：y2 2 p x(p 0)的 焦 点 为 F，点 M 在 C 上，|M F|5，若 以 M F 为 直 径 的 圆 过点(0,2)，则 C 的 方 程 为()A y2 4 x 或 y2 8 x B y2 2 x 或 y2 8 xC y2 4 x 或 y2 1 6 x D
41、y2 2 x 或 y2 1 6 x答 案 C解 析 由 题 意 知：Fp2，0，抛 物 线 的 准 线 方 程 为 x p2，则 由 抛 物 线 的 定 义 知，xM 5p2，设 以 M F 为 直 径 的 圆 的 圆 心 为52，yM2，所 以 圆 的 方 程 为x 522y yM222 54，又因 为 圆 过 点(0,2)，所 以 yM 4，又 因 为 点 M 在 C 上，所 以 1 6 2 p5 p2，解 得 p 2 或 p 8，所 以 抛 物 线 C 的 方 程 为 y2 4 x 或 y2 1 6 x，故 选 C.1 2 已 知 点 A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，直 线 y
42、 a x b(a 0)将 A B C 分 割 为 面 积 相 等 的 两部 分，则 b 的 取 值 范 围 是()A(0,1)B.1 22，12C.1 22，13 D.13，12答 案 B二、填 空 题1 3 已 知 正 方 形 A B C D 的 边 长 为 2，E 为 C D 的 中 点，则 A E B D _ _ _ _ _ _ _ _.答 案 2解 析 由 题 意 知：A E B D(A D D E)(A D A B)(A D12A B)(A D A B)A D 212A D A B12A B 2 4 0 2 2.1 4 从 n 个 正 整 数 1,2，n 中 任 意 取 出 两 个
43、不 同 的 数，若 取 出 的 两 数 之 和 等 于 5 的 概 率为11 4，则 n _ _ _ _ _ _ _ _.答 案 8解 析 由 题 意，取 出 的 两 个 数 只 可 能 是 1 与 4,2 与 3 这 两 种 情 况，在 n 个 数 中 任 意 取出 两 个 不 同 的 数 的 总 情 况 应 该 是 C2nn n 1 2 2 11 4 2 8，n 8.1 5 设 为 第 二 象 限 角，若 t a n 4 12，则 s i n c o s _ _ _ _ _ _ _ _.答 案 1 05解 析 t a n 4 12，t a n 13，即 3 s i n c o s，s i
44、n2 c o s2 1，解 得 s i n 1 01 0，c o s 3 1 01 0.s i n c o s 1 05.1 6 等 差 数 列 an 的 前 n 项 和 为 Sn，已 知 S1 0 0，S1 5 2 5，则 n Sn的 最 小 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _ 答 案 4 9解 析 由 题 意 知 a1 a1 0 0，a1 a1 51 03.两 式 相 减 得 a1 5 a1 01 03 5 d，d 23，a1 3.n Sn n n a1n n 1 2dn3 1 0 n23 f(n)，f(n)13n(3 n 2 0)由 函 数 的 单 调 性 知 f(6)4 8，f(7
45、)4 9.n Sn的 最 小 值 为 4 9.三、解 答 题1 7 A B C 中 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，已 知 a b c o s C c s i n B.(1)求 B；(2)若 b 2，求 A B C 面 积 的 最 大 值 解(1)由 已 知 及 正 弦 定 理 得s i n A s i n B c o s C s i n C s i n B，又 A(B C)，故 s i n A s i n(B C)s i n B c o s C c o s B s i n C 由，和 C(0，)得 s i n B c o s B.又 B(0，)，所 以 B 4.(2)
46、A B C 的 面 积 S 12a c s i n B 24a c.由 已 知 及 余 弦 定 理 得 4 a2 c2 2 a c c o s4.又 a2 c2 2 a c，故 a c 42 2，当 且 仅 当 a c 时，等 号 成 立 因 此 A B C 面 积 的 最 大 值 为 2 1.1 8 如 图，直 三 棱 柱 A B C A1B1C1中，D，E 分 别 是 A B，B B1的 中 点，A A1 A C C B 22A B.(1)证 明：B C1 平 面 A1C D；(2)求 二 面 角 D A1C E 的 正 弦 值(1)证 明 连 结 A C1交 A1C 于 点 F，则 F
47、为 A C1的 中 点 又 D 是 A B 的 中 点，连 结 D F，则 B C1 D F.因 为 D F 平 面 A1C D，B C1 平 面 A1C D，所 以 B C1 平 面 A1C D.(2)解 由 A C C B 22A B 得，A C B C.以 C 为 坐 标 原 点，C A的 方 向 为 x 轴 正 方 向，C B的 方 向 为 y 轴 正 方 向，C C1的 方 向 为 z 轴正 方 向，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 C x y z.设 C A 2，则 D(1,1,0)，E(0,2,1)，A1(2,0,2)，C D(1,1,0)，C E(0,2,
48、1)，C A1(2,0,2)设 n(x1，y1，z1)是 平 面 A1C D 的 法 向 量，则n C D 0，n C A1 0，即 x1 y1 0，2 x1 2 z1 0.可 取 n(1，1，1)同 理，设 m 是 平 面 A1C E 的 法 向 量，则m C E 0，m C A1 0.可 取 m(2,1，2)从 而 c o s n，m n m|n|m|33，故 s i n n，m 63.即 二 面 角 D A1C E 的 正 弦 值 为63.1 9 经 销 商 经 销 某 种 农 产 品，在 一 个 销 售 季 度 内，每 售 出 1 t 该 产 品 获 利 润 5 0 0 元，未 售 出
49、的 产 品，每 1 t 亏 损 3 0 0 元 根 据 历 史 资 料，得 到 销 售 季 度 内 市 场 需 求 量 的 频 率 分 布 直方 图，如 图 所 示 经 销 商 为 下 一 个 销 售 季 度 购 进 了 1 3 0 t 该 农 产 品 以 X(单 位：t,1 0 0 X 1 5 0)表 示 下 一 个 销 售 季 度 内 的 市 场 需 求 量，T(单 位：元)表 示 下 一 个 销 售 季 度内 经 销 该 农 产 品 的 利 润(1)将 T 表 示 为 X 的 函 数；(2)根 据 直 方 图 估 计 利 润 T 不 少 于 5 7 0 0 0 元 的 概 率；(3)在
50、直 方 图 的 需 求 量 分 组 中，以 各 组 的 区 间 中 点 值 代 表 该 组 的 各 个 值，需 求 量 落 入 该区 间 的 频 率 作 为 需 求 量 取 该 区 间 中 点 值 的 概 率(例 如：若 x 1 0 0,1 1 0)，则 取 X 1 0 5，且 X 1 0 5 的 概 率 等 于 需 求 量 落 入 1 0 0,1 1 0)的 T 的 数 学 期 望 解(1)当 X 1 0 0,1 3 0)时，T 5 0 0 X 3 0 0(1 3 0 X)8 0 0 X 3 9 0 0 0.当 X 1 3 0,1 5 0 时，T 5 0 0 1 3 0 6 5 0 0 0.