《八年级数学下册-平面几何经典难题训练-沪科版_中学教育-竞赛题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《八年级数学下册-平面几何经典难题训练-沪科版_中学教育-竞赛题.pdf（15页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、学习必备 欢迎下载（一）1、已知：如图，O是半圆的圆心，C、E 是圆上的两点，CD AB，EF AB，EG CO 求证：CD GF 2、已知：如图，P 是正方形 ABCD 内一点，PAD PDA 150 求证：PBC是正三角形 3、如图，已知四边形 ABCD、A1B1C1D1都是正方形，A2、B2、C2、D2分别是 AA1、BB1、CC1、DD1的中点 求证：四边形 A2B2C2D2是正方形（初二）4、已知：如图，在四边形 ABCD 中，AD BC，M、N分别是 AB、CD的中点，AD、BC的延长线交 MN 于 E、F 求证：DEN F A P C D B A F G C E B O D D2
2、 C2 B2 A2 D1 C1 B1 C B D A A1 A N F E C D M B 学习必备 欢迎下载 P C G F B Q A D E（二）1、已知：ABC 中，H为垂心（各边高线的交点），O为外心，且 OM BC于 M（1）求证：AH 2OM；（2）若 BAC 600，求证：AH AO（初二）2、设 MN 是圆 O外一直线，过 O作 OA MN 于 A，自 A引圆的两条直线，交圆于 B、C 及 D、E，直线 EB及 CD分别交 MN 于 P、Q 求证：AP AQ（初二）3、如果上题把直线 MN 由圆外平移至圆内，则由此可得以下命题：设 MN 是圆 O的弦，过 MN 的中点 A任作
3、两弦 BC、DE，设 CD、EB分别交 MN 于 P、Q 求证：AP AQ（初二）4、如图，分别以 ABC 的 AC和 BC为一边，在 ABC 的外侧作正方形 ACDE 和正方形 CBFG，点 P 是 EF的中点 求证：点 P 到边 AB的距离等于 AB的一半（初二）A D H E M C B O G A O D B E C Q P N M O Q P B D E C N M A 是正方形如图已知四边形的中点求证四边形是正方形初二已知如图在四边形中分别是的中点的延长线交于求证学习必备欢迎下载二已知中为垂心各边高线的交点为外心且于求证若求证初二设是圆外一直线过作于自引圆的两条直线交 两弦设分别交
4、于求证初二如图分别以的和为一边在的外侧作正方形和正方形点是的中点求证点到边的距离等于的一半初二学习必备欢迎下载三如图四边形为正方形与相交于求证初二如图四边形为正方形且直线交延长线于求证初二设 载四已知是正三角形是三角形内一点求的度数初二设是平行四边形内部的一点且求证初二设为圆内接凸四边形求证初三平行四边形中设分别是上的一点与相交于且求证初二学习必备欢迎下载五设是边长为的正内任一点求证已知是边学习必备 欢迎下载（三）1、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE AC，AE AC，AE与 CD相交于 F 求证：CE CF（初二）2、如图，四边形 ABCD 为正方形，DE AC，且 CE CA，直线
5、EC交 DA延长线于 F 求证：AE AF（初二）3、设 P 是正方形 ABCD 一边 BC上的任一点，PF AP，CF平分 DCE 求证：PA PF（初二）4、如图，PC切圆 O于 C，AC为圆的直径，PEF为圆的割线，AE、AF与直线 PO相交于 B、D 求证：AB DC，BC AD（初三）D A F D E C B E D A C B F F E P C B A O D B F A E C P 是正方形如图已知四边形的中点求证四边形是正方形初二已知如图在四边形中分别是的中点的延长线交于求证学习必备欢迎下载二已知中为垂心各边高线的交点为外心且于求证若求证初二设是圆外一直线过作于自引圆的两条
6、直线交 两弦设分别交于求证初二如图分别以的和为一边在的外侧作正方形和正方形点是的中点求证点到边的距离等于的一半初二学习必备欢迎下载三如图四边形为正方形与相交于求证初二如图四边形为正方形且直线交延长线于求证初二设 载四已知是正三角形是三角形内一点求的度数初二设是平行四边形内部的一点且求证初二设为圆内接凸四边形求证初三平行四边形中设分别是上的一点与相交于且求证初二学习必备欢迎下载五设是边长为的正内任一点求证已知是边学习必备 欢迎下载（四）1、已知：ABC 是正三角形，P 是三角形内一点，PA 3，PB 4，PC 5 求：APB的度数（初二）2、设 P 是平行四边形 ABCD 内部的一点，且 PBA
7、 PDA 求证：PAB PCB（初二）3、设 ABCD 为圆内接凸四边形，求证：AB CD AD BC AC BD（初三）4、平行四边形 ABCD 中，设 E、F 分别是 BC、AB上的一点，AE与 CF相交于 P，且 AE CF 求证：DPA DPC（初二）A P C B P A D C B C B D A F P D E C B A 是正方形如图已知四边形的中点求证四边形是正方形初二已知如图在四边形中分别是的中点的延长线交于求证学习必备欢迎下载二已知中为垂心各边高线的交点为外心且于求证若求证初二设是圆外一直线过作于自引圆的两条直线交 两弦设分别交于求证初二如图分别以的和为一边在的外侧作正方
8、形和正方形点是的中点求证点到边的距离等于的一半初二学习必备欢迎下载三如图四边形为正方形与相交于求证初二如图四边形为正方形且直线交延长线于求证初二设 载四已知是正三角形是三角形内一点求的度数初二设是平行四边形内部的一点且求证初二设为圆内接凸四边形求证初三平行四边形中设分别是上的一点与相交于且求证初二学习必备欢迎下载五设是边长为的正内任一点求证已知是边学习必备 欢迎下载（五）1、设 P 是边长为 1 的正 ABC内任一点，L PA PB PC，求证：L 2 2、已知：P 是边长为 1 的正方形 ABCD 内的一点，求 PA PB PC的最小值 3、P 为正方形 ABCD 内的一点，并且 PA a，
9、PB 2a，PC 3a，求正方形的边长 4、如图，ABC中，ABC ACB 800，D、E 分别是 AB、AC上的点，DCA 300，EBA 200，求 BED 的度数 A P C B A C B P D E D C B A A C B P D 是正方形如图已知四边形的中点求证四边形是正方形初二已知如图在四边形中分别是的中点的延长线交于求证学习必备欢迎下载二已知中为垂心各边高线的交点为外心且于求证若求证初二设是圆外一直线过作于自引圆的两条直线交 两弦设分别交于求证初二如图分别以的和为一边在的外侧作正方形和正方形点是的中点求证点到边的距离等于的一半初二学习必备欢迎下载三如图四边形为正方形与相交于
10、求证初二如图四边形为正方形且直线交延长线于求证初二设 载四已知是正三角形是三角形内一点求的度数初二设是平行四边形内部的一点且求证初二设为圆内接凸四边形求证初三平行四边形中设分别是上的一点与相交于且求证初二学习必备欢迎下载五设是边长为的正内任一点求证已知是边学习必备 欢迎下载 经典难题解答:经 典 难 题（一）1.如下图做 GH AB,连接 EO。由于 GOFE 四点共圆，所以 GFH OEG,即 GHF OGE,可得EOGF=GOGH=COCD,又 CO=EO，所以 CD=GF 得证。2.如下图做 DGC 使与 ADP全等，可得 PDG 为等边，从而可得 DGC APD CGP,得出 PC=A
11、D=DC,和 DCG=PCG 150 所以 DCP=300，从而得出 PBC是正三角形 3.如下图连接 BC1和 AB1分别找其中点 F,E.连接 C2F 与 A2E 并延长相交于 Q点，连接 EB2并延长交 C2Q于 H点，连接 FB2并延长交 A2Q于 G点，由 A2E=12A1B1=12B1C1=FB2，EB2=12AB=12BC=FC1，又 GFQ+Q=900和 GEB2+Q=900,所以 GEB2=GFQ 又 B2FC2=A2EB2，可得 B2FC2 A2EB2，所以 A2B2=B2C2，又 GFQ+HB2F=900和 GFQ=EB2A2,从而可得 A2B2 C2=900，同理可得其
12、他边垂直且相等，从而得出四边形 A2B2C2D2是正方形。是正方形如图已知四边形的中点求证四边形是正方形初二已知如图在四边形中分别是的中点的延长线交于求证学习必备欢迎下载二已知中为垂心各边高线的交点为外心且于求证若求证初二设是圆外一直线过作于自引圆的两条直线交 两弦设分别交于求证初二如图分别以的和为一边在的外侧作正方形和正方形点是的中点求证点到边的距离等于的一半初二学习必备欢迎下载三如图四边形为正方形与相交于求证初二如图四边形为正方形且直线交延长线于求证初二设 载四已知是正三角形是三角形内一点求的度数初二设是平行四边形内部的一点且求证初二设为圆内接凸四边形求证初三平行四边形中设分别是上的一点与
13、相交于且求证初二学习必备欢迎下载五设是边长为的正内任一点求证已知是边学习必备 欢迎下载 4.如下图连接 AC并取其中点 Q，连接 QN和 QM，所以可得 QMF=F，QNM=DEN 和 QMN=QNM，从而得出 DEN F。经 典 难 题（二）1.(1)延长 AD到 F 连 BF，做 OG AF,又 F=ACB=BHD，可得 BH=BF,从而可得 HD=DF，又 AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM(2)连接 OB，OC,既得 BOC=1200，从而可得 BOM=600,所以可得 OB=2OM=AH=AO,得证。是正方形如图已知四边形的中点求证四边形是正方形初二已
14、知如图在四边形中分别是的中点的延长线交于求证学习必备欢迎下载二已知中为垂心各边高线的交点为外心且于求证若求证初二设是圆外一直线过作于自引圆的两条直线交 两弦设分别交于求证初二如图分别以的和为一边在的外侧作正方形和正方形点是的中点求证点到边的距离等于的一半初二学习必备欢迎下载三如图四边形为正方形与相交于求证初二如图四边形为正方形且直线交延长线于求证初二设 载四已知是正三角形是三角形内一点求的度数初二设是平行四边形内部的一点且求证初二设为圆内接凸四边形求证初三平行四边形中设分别是上的一点与相交于且求证初二学习必备欢迎下载五设是边长为的正内任一点求证已知是边学习必备 欢迎下载 3.作 OF CD，O
15、G BE，连接 OP，OA，OF，AF，OG，AG，OQ。由于22AD AC CD FD FDAB AE BE BG BG=，由此可得 ADF ABG，从而可得 AFC=AGE。又因为 PFOA 与 QGOA 四点共圆，可得 AFC=AOP 和 AGE=AOQ，AOP=AOQ，从而可得 AP=AQ。4.过 E,C,F 点分别作 AB所在直线的高 EG，CI，FH。可得 PQ=2EG FH+。由 EGA AIC，可得 EG=AI，由 BFH CBI，可得 FH=BI。从而可得 PQ=2AI BI+=2AB，从而得证。是正方形如图已知四边形的中点求证四边形是正方形初二已知如图在四边形中分别是的中点
16、的延长线交于求证学习必备欢迎下载二已知中为垂心各边高线的交点为外心且于求证若求证初二设是圆外一直线过作于自引圆的两条直线交 两弦设分别交于求证初二如图分别以的和为一边在的外侧作正方形和正方形点是的中点求证点到边的距离等于的一半初二学习必备欢迎下载三如图四边形为正方形与相交于求证初二如图四边形为正方形且直线交延长线于求证初二设 载四已知是正三角形是三角形内一点求的度数初二设是平行四边形内部的一点且求证初二设为圆内接凸四边形求证初三平行四边形中设分别是上的一点与相交于且求证初二学习必备欢迎下载五设是边长为的正内任一点求证已知是边学习必备 欢迎下载 经 典 难 题（三）1.顺时针旋转 ADE，到 A
17、BG，连接 CG.由于 ABG=ADE=900+450=1350 从而可得 B，G，D在一条直线上，可得 AGB CGB。推出 AE=AG=AC=GC，可得 AGC 为等边三角形。AGB=300，既得 EAC=300，从而可得 A EC=750。又 EFC=DFA=450+300=750.可证：CE=CF。2.连接 BD作 CH DE，可得四边形 CGDH 是正方形。由 AC=CE=2GC=2CH，可得 CEH=300，所以 CAE=CEA=AED=150，又 FAE=900+450+150=1500，从而可知道 F=150，从而得出 AE=AF。是正方形如图已知四边形的中点求证四边形是正方形
18、初二已知如图在四边形中分别是的中点的延长线交于求证学习必备欢迎下载二已知中为垂心各边高线的交点为外心且于求证若求证初二设是圆外一直线过作于自引圆的两条直线交 两弦设分别交于求证初二如图分别以的和为一边在的外侧作正方形和正方形点是的中点求证点到边的距离等于的一半初二学习必备欢迎下载三如图四边形为正方形与相交于求证初二如图四边形为正方形且直线交延长线于求证初二设 载四已知是正三角形是三角形内一点求的度数初二设是平行四边形内部的一点且求证初二设为圆内接凸四边形求证初三平行四边形中设分别是上的一点与相交于且求证初二学习必备欢迎下载五设是边长为的正内任一点求证已知是边学习必备 欢迎下载 3.作 FG C
19、D，FE BE，可以得出 GFEC 为正方形。令 AB=Y，BP=X,CE=Z,可得 PC=Y-X。tan BAP=tan EPF=XY=ZY X Z-+，可得 YZ=XY-X2+XZ，即 Z(Y-X)=X(Y-X)，既得 X=Z，得出 ABP PEF，得到 PA PF，得证。经 典 难 题（四）1.顺时针旋转 ABP 600，连接 PQ，则 PBQ是正三角形。可得 PQC是直角三角形。所以 APB=1500。是正方形如图已知四边形的中点求证四边形是正方形初二已知如图在四边形中分别是的中点的延长线交于求证学习必备欢迎下载二已知中为垂心各边高线的交点为外心且于求证若求证初二设是圆外一直线过作于自
20、引圆的两条直线交 两弦设分别交于求证初二如图分别以的和为一边在的外侧作正方形和正方形点是的中点求证点到边的距离等于的一半初二学习必备欢迎下载三如图四边形为正方形与相交于求证初二如图四边形为正方形且直线交延长线于求证初二设 载四已知是正三角形是三角形内一点求的度数初二设是平行四边形内部的一点且求证初二设为圆内接凸四边形求证初三平行四边形中设分别是上的一点与相交于且求证初二学习必备欢迎下载五设是边长为的正内任一点求证已知是边学习必备 欢迎下载 2.作过 P 点平行于 AD的直线，并选一点 E，使 AE DC，BE PC.可以得出 ABP=ADP=AEP，可得：AEBP 共圆（一边所对两角相等）。可
21、得 BAP=BEP=BCP，得证。3.在 BD取一点 E，使 BCE=ACD，既得 BEC ADC，可得：BEBC=ADAC，即 AD BC=BE AC，又 ACB=DCE，可得 ABC DEC，既得 ABAC=DEDC，即 AB CD=DE AC，由+可得:AB CD+AD BC=AC(BE+DE)=AC BD，得证。是正方形如图已知四边形的中点求证四边形是正方形初二已知如图在四边形中分别是的中点的延长线交于求证学习必备欢迎下载二已知中为垂心各边高线的交点为外心且于求证若求证初二设是圆外一直线过作于自引圆的两条直线交 两弦设分别交于求证初二如图分别以的和为一边在的外侧作正方形和正方形点是的中
22、点求证点到边的距离等于的一半初二学习必备欢迎下载三如图四边形为正方形与相交于求证初二如图四边形为正方形且直线交延长线于求证初二设 载四已知是正三角形是三角形内一点求的度数初二设是平行四边形内部的一点且求证初二设为圆内接凸四边形求证初三平行四边形中设分别是上的一点与相交于且求证初二学习必备欢迎下载五设是边长为的正内任一点求证已知是边学习必备 欢迎下载 4.过 D作 AQ AE，AG CF，由ADES=2ABCDS=DFCS，可得：2AE PQ=2AE PQ，由 AE=FC。可得 DQ=DG，可得 DPA DPC（角平分线逆定理）。经 典 难 题（五）1.（1）顺时针旋转 BPC 600，可得 P
23、BE为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小 L=（2）过 P 点作 BC的平行线交 AB,AC与点 D，F。由于 APD ATP=ADP，推出 ADAP 又 BP+DPBP 和 PF+FCPC 又 DF=AF 由可得：最大 L 2；由（1）和（2）既得：L 2。是正方形如图已知四边形的中点求证四边形是正方形初二已知如图在四边形中分别是的中点的延长线交于求证学习必备欢迎下载二已知中为垂心各边高线的交点为外心且于求证若求证初二设是圆外一直线过作于自引圆的两条直线交 两弦设分别交于求证初二如图分别以的和为一边在的外侧作正
24、方形和正方形点是的中点求证点到边的距离等于的一半初二学习必备欢迎下载三如图四边形为正方形与相交于求证初二如图四边形为正方形且直线交延长线于求证初二设 载四已知是正三角形是三角形内一点求的度数初二设是平行四边形内部的一点且求证初二设为圆内接凸四边形求证初三平行四边形中设分别是上的一点与相交于且求证初二学习必备欢迎下载五设是边长为的正内任一点求证已知是边学习必备 欢迎下载 2.顺时针旋转 BPC 600，可得 PBE为等边三角形。既得 PA+PB+PC=AP+PE+EF 要使最小只要 AP，PE，EF在一条直线上，即如下图：可得最小 PA+PB+PC=AF。既得 AF=21 3(1)4 2+=2
25、3+=4 2 32+=2(3 1)2+=2(3 1)2+=6 22+。是正方形如图已知四边形的中点求证四边形是正方形初二已知如图在四边形中分别是的中点的延长线交于求证学习必备欢迎下载二已知中为垂心各边高线的交点为外心且于求证若求证初二设是圆外一直线过作于自引圆的两条直线交 两弦设分别交于求证初二如图分别以的和为一边在的外侧作正方形和正方形点是的中点求证点到边的距离等于的一半初二学习必备欢迎下载三如图四边形为正方形与相交于求证初二如图四边形为正方形且直线交延长线于求证初二设 载四已知是正三角形是三角形内一点求的度数初二设是平行四边形内部的一点且求证初二设为圆内接凸四边形求证初三平行四边形中设分别
26、是上的一点与相交于且求证初二学习必备欢迎下载五设是边长为的正内任一点求证已知是边学习必备 欢迎下载 3.顺时针旋转 ABP 900，可得如下图：既得正方形边长 L=2 22 2(2)()2 2a+=5 2 2 a+。是正方形如图已知四边形的中点求证四边形是正方形初二已知如图在四边形中分别是的中点的延长线交于求证学习必备欢迎下载二已知中为垂心各边高线的交点为外心且于求证若求证初二设是圆外一直线过作于自引圆的两条直线交 两弦设分别交于求证初二如图分别以的和为一边在的外侧作正方形和正方形点是的中点求证点到边的距离等于的一半初二学习必备欢迎下载三如图四边形为正方形与相交于求证初二如图四边形为正方形且直
27、线交延长线于求证初二设 载四已知是正三角形是三角形内一点求的度数初二设是平行四边形内部的一点且求证初二设为圆内接凸四边形求证初三平行四边形中设分别是上的一点与相交于且求证初二学习必备欢迎下载五设是边长为的正内任一点求证已知是边学习必备 欢迎下载 4.在 AB上找一点 F，使 BCF=600，连接 EF，DG，既得 BGC 为等边三角形，可得 DCF=100,FCE=200,推出 ABE ACF，得到 BE=CF，FG=GE。推出：FGE为等边三角形，可得 AFE=800，既得：DFG=400 又 BD=BC=BG，既得 BGD=800，既得 DGF=400 推得：DF=DG,得到：DFE DG
28、E，从而推得：FED=BED=300。是正方形如图已知四边形的中点求证四边形是正方形初二已知如图在四边形中分别是的中点的延长线交于求证学习必备欢迎下载二已知中为垂心各边高线的交点为外心且于求证若求证初二设是圆外一直线过作于自引圆的两条直线交 两弦设分别交于求证初二如图分别以的和为一边在的外侧作正方形和正方形点是的中点求证点到边的距离等于的一半初二学习必备欢迎下载三如图四边形为正方形与相交于求证初二如图四边形为正方形且直线交延长线于求证初二设 载四已知是正三角形是三角形内一点求的度数初二设是平行四边形内部的一点且求证初二设为圆内接凸四边形求证初三平行四边形中设分别是上的一点与相交于且求证初二学习必备欢迎下载五设是边长为的正内任一点求证已知是边