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1、 相似图形【知识重点】（一）比例线段 1在acbd中，a，c 叫比例前项，b，d 叫比例后项，a，d 叫比例外项，b，c 叫比例内项，d 叫 a、b、c 的第四比例项 2acbdad=bc，3abbc b2=ac，b 叫做 a、c 的比例中项 4黄金分割：线段 AC 为线段 AB 和线段 BC 的比例中项C 点位于线段 AB 的512处，称为黄金分割点 5如果acbd=mn（b+d+n0），那么acmabdnb 6如果acbd，那么abcdbb（二）相似三角形 1定义 对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫相似三角形 2相似比（相似系数）相似三角形对应边的比 3相似三角形的识别 （1）两角对应
2、相等，两三角形相似 （2）两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似 （3）三边对应成比例，两三角形相似 （4）如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例，那么这两个三角形相似 （5）几种特殊三角形相似的识别：顶角（或底角）相等的两个等腰三角形相似；腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似；一锐角相等的两个直角三角形相似；直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似；两直角三角形的斜边和一直角边对应成比例，两直角三角形相似 4相似三角形的性质 （1）对应线段（高、中线、角平分线），周长的比都等于相似比 （2）对应面积的比等于相似比的平方（三）相似
3、多边形 1相似多边形的识别 两个 n 边形（n4 时）只有当对应边成比例，对应角相等两个条件同时满足时，这两个 n 边形才相似（n=3时前边已讨论过）2相似多边形的性质 相似多边形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方（四）位似图形 1定义 如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称位似比 2性质 位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比 3作用 将图形放大或缩小 【经典例题】【例 1】如图所示，给出下列条件：BACD ；ADCACB；ACABCDBC；2ACAD AB其中单独能够判
4、定ABCACD的个数为（）A1 B2 C3 D4 【答案】C 【例 2】（2009 年上海市)如图，已知ABCDEF，那么下列结论正确的是（）AADBCDFCE BBCDFCEAD CCDBCEFBE DCDADEFAF 【答案】A 【例 3】.（2009 年长春）如图，在ABCD中，32BAD，分别以BCCD、为边向外作BCE和DCF，使BEBCDFDCEBCCDF，延长AB交边EC于点H，点H在EC、两点之间，连结AEAF、（1）求证：ABEFDA （2）当AEAF时，求EBH的度数 黄金分割线段为线段和线段的比例中项点位于线段的处称为黄金分割点如果如果那么那么二相似三角形定义对应角相等对
5、应边成比例的两个三角形叫相似三角形相似比相似系数相似三角形对应边的比相似三角形的识别两角对应相等中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例那么这两个三角形相似几种特殊三角形相似的识别顶角或底角相等的两个等腰三角形相似腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似一锐角相等的两个直角三角形两直角三角形相似相似三角形的性质对应线段高中线角平分线周长的比都等于相似比对应面积的比等于相似比的平方三相似多边形相似多边形的识别两个边形时只有当对应边成比例对应角相等两个条件同时满足时这两个边形才相似 （1）证明：在平行四边形 ABCD 中，AB=DC.又DF=DC，AB=DF.同理 EB=AD.在
6、平行四边形 ABCD 中，ABC=ADC.又EBC=CDF，ABE=ADF，ABEFDA.（4 分）（2）解：ABEFDA，AEB=DAF.EBH=AEB+EAB,EBH=DAF+EAB.AEAF，EAF=90.BAD=32，DAF+EAB=90-32=58，EBH=58.【例 4】（2009 年甘肃庆阳）如图，网格中的每个小正方形的边长都是 1，每个小正方形的顶点叫做格点 ACB 和DCE 的顶点都在格点上，ED 的延长线交 AB 于点 F（1）求证：ACBDCE；（2）求证：EFAB 证明：（1）3,2ACDC 63,42BCCE .ACBCDCCE 又 ACB=DCE=90，ACBDCE
7、（2）ACBDCE，ABCDEC 又 ABCA=90，DECA=90 EFA=90 EFAB 5（2009 年莆田）如图，AB、两处被池塘隔开，为了测量AB、两处的距离，在AB外选一适当的点C，连接ACBC、，并分别取线段ACBC、的中点EF、，测得EF=20m，则AB=_m 黄金分割线段为线段和线段的比例中项点位于线段的处称为黄金分割点如果如果那么那么二相似三角形定义对应角相等对应边成比例的两个三角形叫相似三角形相似比相似系数相似三角形对应边的比相似三角形的识别两角对应相等中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例那么这两个三角形相似几种特殊三角形相似的识别顶角或底角相等
8、的两个等腰三角形相似腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似一锐角相等的两个直角三角形两直角三角形相似相似三角形的性质对应线段高中线角平分线周长的比都等于相似比对应面积的比等于相似比的平方三相似多边形相似多边形的识别两个边形时只有当对应边成比例对应角相等两个条件同时满足时这两个边形才相似 解：相似三角形，答案：40 【例 5】已知3x=4y=5z，求xyzxyz 的值 【解】设3x=4y=5z=k，则 x=3k，y=4k，z=5k xyzxyz =345345kkkkkk=6 【另解】3x=4y=5z 345xyz =3x即12xyz=3x 345xyz =3x即2xyz=3x 12xyz=2xy
9、z xyzxyz =122=6【例 6】（2004 年温州市）如图所示，已知 ABCD，AD、BC 相交于 E，F 为 EC 上一点，且EAF=C 【求证】（1）EAF=B；（2）AF2=FEFB。【证明】（1）ABCD B=C 又EAF=C EAF=B （2）由（1）得EAF=B 又AFE=BFA AFEBFA EFAFAFBF AF2=FEFB 【规律总结】在证等积式或比例式时，往往寻找公用角判断某两个三角形相似 【例 7】说明直角三角形斜边上的高的平方等于斜边被高分得的两线段的乘积 已知，如图所示，在 RtABC 中，ACB=90，CDAB 于 D，说明 CD2=ADBD 【解】黄金分割
10、线段为线段和线段的比例中项点位于线段的处称为黄金分割点如果如果那么那么二相似三角形定义对应角相等对应边成比例的两个三角形叫相似三角形相似比相似系数相似三角形对应边的比相似三角形的识别两角对应相等中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例那么这两个三角形相似几种特殊三角形相似的识别顶角或底角相等的两个等腰三角形相似腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似一锐角相等的两个直角三角形两直角三角形相似相似三角形的性质对应线段高中线角平分线周长的比都等于相似比对应面积的比等于相似比的平方三相似多边形相似多边形的识别两个边形时只有当对应边成比例对应角相等两个条件同时满足时这两个边形才相似
11、90ACBCDBBBCDBACBACBADC 同理 ADCCDBADCDCDBDCD2=ADBD 【方法点拔】（一）填空题 1（2004，宁波）如果23ab，那么，aab=_ 2（2004，三明）若1725ab，则23ab=_ 3（2004，青海）甲同学的身高为 1.5m，某一时刻他的影长为 1m，此时，乙塔影长为 20m，则塔高为_m 4（2004，深圳）如图 1,在矩形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，过点 O 作 OEBC，垂足为 E，连接 DE 交 AC 于点 P过 P 作 PFBC，垂足为 F，则CFCB的值是_ (1)(2)(3)5（2004，芜湖）如图 2，已知
12、CD 是 RtABC 的斜边上的高，其中 AD=9cm，BD=4cm，那么 CD 等于_cm 6（2004，西宁）如图 3，正方形 ABCD 边长是 2，BE=CE，MN=1，线段 MN 的两端在 CD、AD 上滑动，当 DM=_ 时，ABE 与 D、M、N 为顶点的三角形相似 7（2007，上海）在ABC 中，点 D、E 分别在边 AB，AC 上，DEBC，AD=1，BD=2，则 SADE：SABC=_ 8（2004，荆门）如图 4，ACAB，BEAB，AB=10，AC=2，用一块三角尺进行如下操作：将直角顶点 P 在线段 AB 上滑动，一直角边始终经过点 C，另一直角边与 BE 相交于点
13、D，若 BD=8，则 AP 的长为_ (4)(5)(6)（二）选择题 1（2004，长沙）如图 5，已知 L1L2L3，若 AB=1，BC=2，DE=1.5，则 EF 的长为（）A1.5 B2 C2.5 D3 2（2004，宁夏）在ABC 中，D、E 分别是边 AB、AC 上的点，且 DEBC，已知45ADDB，那么ACCE等于（）A94 B59 C54 D95 黄金分割线段为线段和线段的比例中项点位于线段的处称为黄金分割点如果如果那么那么二相似三角形定义对应角相等对应边成比例的两个三角形叫相似三角形相似比相似系数相似三角形对应边的比相似三角形的识别两角对应相等中一边上的中线与另一个三角形的两
14、边和其中一边上的中线对应成比例那么这两个三角形相似几种特殊三角形相似的识别顶角或底角相等的两个等腰三角形相似腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似一锐角相等的两个直角三角形两直角三角形相似相似三角形的性质对应线段高中线角平分线周长的比都等于相似比对应面积的比等于相似比的平方三相似多边形相似多边形的识别两个边形时只有当对应边成比例对应角相等两个条件同时满足时这两个边形才相似 3（2004，广州）如图 6，在ABC 中，AB=3AD，DEBC，EFAB，若 AB=9，DE=2，则线段 FC的长度是（）4（2004，天津）如图 7，已知等腰ABC 中，顶角 A=36，BD 为ABC 的平分线，则ADA
15、C的值等于（）A12 B512 C1 D512 (7)(8)(9)5（2004，新疆）ABC 中，A=30，BD 是 AC 边上的高，若BDCDADBD，则ABC=（）A30 B60 C90 D30或 90 6（2004，烟台）如图 8，在ABCD 中，AB=10，AD=6，E 是 AD 的中点，在 AB 上取一点 F，使CBFCDE，则 BF 的长是（）A5 B8.2 C6.4 D1.8 7（2004，上海）如图 9，在ABC 中，AB=AC，A=36，BD 平分ABC，DEBC，那么在下列三角形中，与ABC 相似的三角形是（）ADBE BADE CABD DABC（三）解答题 1（2004
16、，宁波）如图，已知点 P 是边长为 4 的正方形 ABCD 内一点，且 PB=3，BFBP，垂足是 B，请在射线 BF 上找一点 M，使点 B，M，C 为顶点的三角形与ABP 相似，（请注意：全等图形是相似图形的特例）2（2004，河北实验区）如图，已知 AB 和 DE 是直立在地面上的两根立柱，AB=5m，某一时刻 AB 在阳光下的投影 BC=3m （1）请你在图中画出此时 DE 在阳光下的投影（2）在测量 AB 的投影时，同时测量出 DE 在阳光下的投影长为 6m，请你计算 DE 的长 黄金分割线段为线段和线段的比例中项点位于线段的处称为黄金分割点如果如果那么那么二相似三角形定义对应角相等
17、对应边成比例的两个三角形叫相似三角形相似比相似系数相似三角形对应边的比相似三角形的识别两角对应相等中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例那么这两个三角形相似几种特殊三角形相似的识别顶角或底角相等的两个等腰三角形相似腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似一锐角相等的两个直角三角形两直角三角形相似相似三角形的性质对应线段高中线角平分线周长的比都等于相似比对应面积的比等于相似比的平方三相似多边形相似多边形的识别两个边形时只有当对应边成比例对应角相等两个条件同时满足时这两个边形才相似 3（2004，青海实验区）如图，有一块三角形土地，它的底边 BC=100m，高 AH=80m，某
18、单位要沿着地边 BC 修一座底面是矩形 DEFG 的大楼，DG 分别在边 AB、AC 上，若大楼的宽是 40m，求这个矩形的面积 4（2004，长沙）如图，等腰梯形 ABCD 中，ADBC，AD=3cm，BC=7cm，B=60，P 为下底 BC 上一点（不与 B、C 重合），连接 AP，过 P 点作 PE 交 DC 于 E，使得APE=B （1）求证：ABPPCE （2）求等腰梯形的腰 AB 的长 （3）在底边 BC 上是否存在一点 P，使得 DE：EC=5：3如果存在，求 BP 的长；如果不存在，请说明理由 【课后思考】1、如图，已知零件的外径 a 为 25cm，要求它的厚度 x，需先求出内
19、孔的直径 AB，现用一个交叉卡钳（两条尺长 AC 和 BD 相等）去量，若 OA：OC=OB：OD=3，且量得 CD=7cm，求厚度 x。2、如图，正方形 ABCD 中，E、F 分别在 AB、BC 边上，且 AE=CF、BGCE 于 G。试证明 DGFG。黄金分割线段为线段和线段的比例中项点位于线段的处称为黄金分割点如果如果那么那么二相似三角形定义对应角相等对应边成比例的两个三角形叫相似三角形相似比相似系数相似三角形对应边的比相似三角形的识别两角对应相等中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例那么这两个三角形相似几种特殊三角形相似的识别顶角或底角相等的两个等腰三角形相似腰
20、和底对应成比例的两个等腰三角形相似一锐角相等的两个直角三角形两直角三角形相似相似三角形的性质对应线段高中线角平分线周长的比都等于相似比对应面积的比等于相似比的平方三相似多边形相似多边形的识别两个边形时只有当对应边成比例对应角相等两个条件同时满足时这两个边形才相似 参考答案 一、填空题：125 215 330 413 56 655或2 55 71：9 82 或 8 二、选择题：1D 2D 3C 4B 5D 6D 7BD 三、解答题 1在射线 BF 上取 BM1=163或 BM2=3 时，M1，M2都为符合条件的 M 2（1）连接 AC 过点 D 作 DFAC，交直线 BC 于点 E，线段 EF
21、即为 DE 的投影；（2）10m 3由DGAMBCAH，得 DG=50，S矩形DEFG=2 000m2 4（1）略；（2）过 A 作 AFBC 于 F，由已知易求得 BF=732=2cm，在 RtABF 中，B=60，BF=2，AB=4cm；（3）存在这样的点 P理由如下：由 DE：EC=5：3，DE+EC=DC=4，得 EC=32cm，设 BP=x，则 PC=7-x，由ABPPCE，可得：ABBPPCEC，即4372xx，解得 x1=1，x2=6 黄金分割线段为线段和线段的比例中项点位于线段的处称为黄金分割点如果如果那么那么二相似三角形定义对应角相等对应边成比例的两个三角形叫相似三角形相似比相似系数相似三角形对应边的比相似三角形的识别两角对应相等中一边上的中线与另一个三角形的两边和其中一边上的中线对应成比例那么这两个三角形相似几种特殊三角形相似的识别顶角或底角相等的两个等腰三角形相似腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似一锐角相等的两个直角三角形两直角三角形相似相似三角形的性质对应线段高中线角平分线周长的比都等于相似比对应面积的比等于相似比的平方三相似多边形相似多边形的识别两个边形时只有当对应边成比例对应角相等两个条件同时满足时这两个边形才相似