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1、学习必备 欢迎下载 第六章 万有引力与航天 7.万有引力与重力的关系：(1)“黄金代换”公式推导：当FG 时，就会有22gRGMRGMmmg。(2)注意：重力是由于地球的吸引而使物体受到的力，但重力不是万有引力。只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力。重力的方向竖直向下，但并不一定指向地心，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。随着纬度的增加，物体的重力减小，物体在赤道上重力最小，在两极时重力最大。物体随地球自转所需的向心力一般很小，物体的重力随纬度的变化很小，因此在一般粗略的计算中，可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力，即可得到“黄金代换”公式。8.万有引力定律与天体运动：运动
2、性质：通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动。从力和运动的关系角度分析天体运动：天体做匀速圆周运动运动，其速度方向时刻改变，其所需的向心力由万有引力提供，即 F需=F万。如图所示，由牛顿第二定律得：2m,LGMFmaF万需，从运动的角度分析向心加速度：.)2(22222LfLTLLvan（3）重要关系式：.)2(222222LfmLTmLmLvmLGMm 2、地球绕太阳公转的角速度为1，轨道半径为 R1，月球绕地球公转的角速度为2，轨道半径为 R2，那么太阳的质量是地球质量的多少倍？解析：地球与太阳的万有引力提供地球运动的向心力，月球与地球的万有引力提供月球运动的向心力，最后算得结果为3212
3、21 RR。9.计算大考点：“填补法”计算均匀球体间的万有引力：谈一谈：万有引力定律适用于两质点间的引力作用，对于形状不规则的物体应给予填补，变成一个形状规则、便于确定质点位置的物体，再用万有引力定律进行求解。模型：如右图所示，在一个半径为 R，质量为 M的均匀球体中，紧贴球的边缘挖出一个半径为 R/2 的球形空穴后，对位于球心和空穴中心连线上、与球心相距 d 的质点 m的引力是多大？思路分析：把整个球体对质点的引力看成是挖去的小球体和剩余部分对质点的引力之和，即可求解。根据“思路分析”所述，引力 F可视作 F=F1+F2：MRMRRMRdGMmF81342342342/3332的小球质量为，
4、因半径为已知学习必备 欢迎下载 222222212222828728,282RddRdRdGMmRdMmGdGMmFFFRdMmGRdmMGF所以则挖去小球后的剩余部分对球外质点 m的引力为222228287RddRdRdGMm。能力提升 某小报登载：年 月 日，国发射了一颗质量为 100kg，周期为 1h 的人造环月球卫星。一位同学记不住引力常量G的数值且手边没有可查找的材料，但他记得月球半径约为地球的14，月球表面重力加速度约为地球的16，经过推理，他认定该报道是则假新闻，试写出他的论证方案。(地球半径约为 6.4 103km)证明：因为GMmR2m42T2R，所以T2R3GM，又GMmR
5、2mg得gGMR2，故Tmin2R3GM2R月g月214R地16g地 23R地2g地23 6.4 1062 9.8s6.2 103s 1.72h。环月卫星最小周期约为 1.72h，故该报道是则假新闻。6-3 由“万有引力定律”引出的四大考点 一、解题思路“金三角”关系：（1）万有引力与向心力的联系：万有引力提供天体做匀速圆周运动的向心力，即rnmrTmrmrvmmarGMm22222)2(2是本章解题的主线索。（2）万有引力与重力的联系：物体所受的重力近似等于它受到的万有引力，即gmgrGMm,2为对应轨道处的重力加速度，这是本章解题的副线索。（3）重力与向心力的联系：grTmrmrvmm g
6、,2222为对应轨道处的重力加速度，适用于已知 g 的特殊情况。二、天体质量的估算 模型一：环绕型：谈一谈：对于有卫星的天体，可认为卫星绕中心天体做匀速圆周运动，中心天体对卫星的万有引力提供卫星做匀速圆周运动的向心力，利用引力常量 G和环形卫星的 v、T、r 中任意两个量进行估算（只能估计中心天体的质量，不能估算环绕卫星的质量）。球的吸引而使物体受到的力但重力不是万有引力只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力重力的方向竖直向下但并不一定指向地心物体在赤道上重力最小在两极时重力最大随着纬度的增加物体的重力减小物体在赤道上重力最小可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力即可得到黄金代换公式
7、万有引力定律与天体运动运动性质通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动力和运动的关系角度分析天体运动天体做匀速圆周运动运动其速度方向时刻改地球绕太阳公转的角速度为轨道半径为径为那么太阳的质量是地球质量的多少倍解析地球与太阳的万有引力提供地球运动的向心力月球与地球的万有引力提供月球运动月球绕地球公转的角速度为轨道半的向心力最后算得结果为计算学习必备 欢迎下载 已知 r 和 T:.4223222GTrMrTmrMmG 已知 r 和 v:.222GrvMrvmrMmG 已知 T和 v:.223222GTvMrTmrvmrMmG 模型二：表面型：谈一谈：对于没有卫星的天体（或有卫星，但不知道卫星运行的相
8、关物理量），可忽略天体自转的影响，根据万有引力等于重力进行粗略估算。.22GgRMmgRMmG 变形：如果物体不在天体表面，但知道物体所在处的 g，也可以利用上面的方法求出天体的质量：处理：不考虑天体自转的影响，天体附近物体的重力等于物体受的万有引力，即：.)()(22GhRgMmghRMmG 触类旁通1、(2013 福建理综，13)设太阳质量为 M，某行星绕太阳公转周期为 T，轨道可视作半径为 r 的圆。已知万有引力常量为 G，则描述该行星运动的上述物理量满足(A)AGM42r3T2 BGM42r2T2 C GM42r2T3 DGM4r3T2 解析：本题考查了万有引力在天体中的应用。是知识的
9、简单应用。由GMmr2mr42T2可得 GM42r3T2，A 正确。2、(2013 全国大纲卷，18)“嫦娥一号”是我国首次发射的探月卫星，它在距月球表面高度为200km的圆形轨道上运行，运行周期为 127 分钟。已知引力常量 G6.67 1011N m2/kg2，月球半径约为 1.74 103km。利用以上数据估算月球的质量约为(D)A8.1 1010kg B 7.4 1013kg C 5.4 1019kg D7.4 1022kg 解析：本题考查万有引力定律在天体中的应用。解题的关键是明确探月卫星绕月球运行的向心力是由月球对卫星的万有引力提供。由 GMmr2mr42r2得 M42r3GT2，
10、又 rR月h，代入数值得月球质量 M7.41022kg，选项 D 正确。3、宇航员站在一颗星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球。经过时间 t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为 L。若抛出时的初速度增大到 2 倍，则抛出点与落地点之间的距离为L3。已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为 R，万有引力常数为 G。求该星球的质量 M。解析：在该星球表面平抛物体的运动规律与地球表面相同，根据已知条件可以求出该星球表面的加速度；需要注意的是抛出点与落地点之间的距离为小球所做平抛运动的位移的大小，球的吸引而使物体受到的力但重力不是万有引力只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力重
11、力的方向竖直向下但并不一定指向地心物体在赤道上重力最小在两极时重力最大随着纬度的增加物体的重力减小物体在赤道上重力最小可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力即可得到黄金代换公式万有引力定律与天体运动运动性质通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动力和运动的关系角度分析天体运动天体做匀速圆周运动运动其速度方向时刻改地球绕太阳公转的角速度为轨道半径为径为那么太阳的质量是地球质量的多少倍解析地球与太阳的万有引力提供地球运动的向心力月球与地球的万有引力提供月球运动月球绕地球公转的角速度为轨道半的向心力最后算得结果为计算学习必备 欢迎下载 而非水平方向的位移的大小。然后根据万有引力等于重力，求出该
12、星球的质量22332GtLR。三、天体密度的计算 模型一：利用天体表面的 g 求天体密度：.4334,32GRgRMmgRMmG 物体不在天体表面：.4)(334,)(3232GRhRgRMmghRMmG 模型二：利用天体的卫星求天体的密度：.33443434,4323323233222RGTrRGTrRMRMTrmrMmG 四、求星球表面的重力加速度：在忽略星球自转的情况下，物体在星球表面的重力大小等于物体与星球间的万有引力大小，即：.22星星星星星星RGMgRmMGmg 牛刀小试（2012 新课标全国卷，21）假设地球是一半径为 R、质量分布均匀的球体。一矿井深度为 d。已知质量分布均匀的
13、球壳对壳内物体的引力为零。矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(A)A1dR B1dR C.2 RdR D.2 dRR 解析：设地球的质量为 M，地球的密度为 ，根据万有引力定律可知，地球表面的重力加速度 gGMR2，地球的质量可表示为 M43 R3 因质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，所以矿井下以(Rd)为半径的地球的质量为 M43(Rd)3，解得 M(RdR)3M，则矿井底部处的重力加速度 gGM Rd2，所以矿井底部处的重力加速度和地球表面处的重力加速度之比gg1dR，选项 A 正确 6-4 宇宙速度&卫星 一、涉及航空航天的“三大速度”：（一）宇宙速度：1.第一宇宙速度：人造地
14、球卫星在地面附近环绕地球做匀速圆周运动必须具有的速度叫第一宇宙速度，也叫地面附近的环绕速度，v1=7.9km/s。它是近地卫星的运行速度，也是人造卫星最小发射速度。（待在地球旁边的速度）2.第二宇宙速度：使物体挣脱地球引力的束缚，成为绕太阳运动的人造卫星或飞到其他行星上去的最小速度，v2=11.2km/s。（离弃地球，投入太阳怀抱的速度）变形 球的吸引而使物体受到的力但重力不是万有引力只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力重力的方向竖直向下但并不一定指向地心物体在赤道上重力最小在两极时重力最大随着纬度的增加物体的重力减小物体在赤道上重力最小可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力即可得
15、到黄金代换公式万有引力定律与天体运动运动性质通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动力和运动的关系角度分析天体运动天体做匀速圆周运动运动其速度方向时刻改地球绕太阳公转的角速度为轨道半径为径为那么太阳的质量是地球质量的多少倍解析地球与太阳的万有引力提供地球运动的向心力月球与地球的万有引力提供月球运动月球绕地球公转的角速度为轨道半的向心力最后算得结果为计算学习必备 欢迎下载 3.第三宇宙速度：使物体挣脱太阳引力的束缚，飞到太阳以外的宇宙空间去的最小速度，v2=16.7km/s。（离弃太阳，投入更大宇宙空间怀抱的速度）（二）发射速度：1.定义：卫星在地面附近离开发射装置的初速度。2.取值范围及运行状态
16、：skmvv/9.71发,人造卫星只能“贴着”地面近地运行。skmvv/9.71发，可以使卫星在距地面较高的轨道上运行。smvskmvvv/2.11/9.7,21发发即,一般情况下人造地球卫星发射速度。（三）运行速度：1.定义：卫星在进入运行轨道后绕地球做圆周运动的线速度。2.大小：对于人造地球卫星，,22rGMvrvmrMmG该速度指的是人造地球卫星在轨道上的运行的环绕速度，其大小随轨道的半径 r而 v。3.注意：当卫星“贴着”地面飞行时，运行速度等于第一宇宙速度；当卫星的轨道半径大于地球半径时，运行速度小于第一宇宙速度。牛刀小试1、地球的第一宇宙速度约为 8 km/s，某行星的质量是地球的
17、 6 倍，半径是地球的 1.5 倍。该行星上的第一宇宙速度约为(A )A16 km/s B32 km/s C46 km/s D 2 km/s 解析：由公式 mr2v=G2rMm，若M增大为原来的 6 倍，r增大为原来的 1.5 倍，可得v增大为原来的 2 倍。二、两种卫星：（一）人造地球卫星：1.定义：在地球上以一定初速度将物体发射出去，物体将不再落回地面而绕地球运行而形成的人造卫星。2.分类：近地卫星、中轨道卫星、高轨道卫星、地球同步卫星、极地卫星等。3.三个”近似”：近地卫星贴近地球表面运行，可近似认为它做匀速圆周运动的半径等于地球半径。在地球表面随地球一起自转的物体可近似认为地球对它的万
18、有引力等于重力。天体的运动轨道可近似看成圆轨道，万有引力提供向心力。4.四个等式：运行速度：vhhRvhRGMvhRvmhRMmG,1)(22。角速度：,)(1)()()(3322hhRhRGMhRmhRMmG。周期：。ThhRTGMhRThRTmhRMmG,)()(2)(2)(3322。向心加速度：ahhRahRGMamahRMmG,)(1)()(222。（二）地球同步卫星：球的吸引而使物体受到的力但重力不是万有引力只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力重力的方向竖直向下但并不一定指向地心物体在赤道上重力最小在两极时重力最大随着纬度的增加物体的重力减小物体在赤道上重力最小可以认为物体所受的
19、重力等于物体所受地球的吸引力即可得到黄金代换公式万有引力定律与天体运动运动性质通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动力和运动的关系角度分析天体运动天体做匀速圆周运动运动其速度方向时刻改地球绕太阳公转的角速度为轨道半径为径为那么太阳的质量是地球质量的多少倍解析地球与太阳的万有引力提供地球运动的向心力月球与地球的万有引力提供月球运动月球绕地球公转的角速度为轨道半的向心力最后算得结果为计算学习必备 欢迎下载 1.定义：在赤道平面内，以和地球自转角速度相同的角速度绕地球运行的卫星。2.五个“一定”：周期 T一定：与地球自转周期相等（24h），角速度 也等于地球自转角速度。轨道一定：所有同步卫星的运行方
20、向与地球自转方向一致，轨道平面与赤道平面重合。运行速度 v 大小一定：所有同步卫星绕地球运行的线速度大小一定，均为 3.08km/s。离地高度 h 一定：所有同步卫星的轨道半径均相同，其离地高度约为 3.6 104km。向心加速度 an大小一定：所有同步卫星绕地球运行的向心加速度大小都相等，约为0.22m/s2。注：所有国家发射的同步卫星的轨道都与赤道为同心圆，它们都在同一轨道上运动且都相对静止。三、卫星变轨问题：1.原因：线速度 v 发生变化，使万有引力不等于向心力，从而实现变轨。2.条件：增大卫星的线速度 v，使万有引力小于所需的向心力，从而实现变轨。3.注意：卫星到达高轨道后，在新的轨道
21、上其运行速度反而减小；当卫星的线速度 v 减小时，万有引力大于所需的向心力，卫星则做向心运动，但到了低轨道后达到新的稳定运行状态时速度反而增大。4.卫星追及相遇问题：某星体的两颗卫星之间的距离有最近和最远之分，但它们都处在同一条直线上。由于它们轨道不是重合的，因此在最近和最远的相遇问题上不能通过位移或弧长相等来处理，而是通过卫星运动的圆心角来衡量，若它们初始位置在同一直线上，实际内轨道所转过的圆心角与外轨道所转过的圆心角之差为 的整数倍时就是出现最近或最远的时刻。四、与卫星有关的几组概念的比较总结：1.天体半径 R和卫星轨道半径 r 的比较：卫星的轨道半径 r 是指卫星绕天体做匀速圆周运动的半
22、径，与天体半径 R的关系是 r=R+h（h 为卫星距离天体表面的高度），当卫星贴近天体表面运动时，可视作 h=0，即 r=R。2.卫星运行的加速度与物体随地球自转的向心加速度的比较：（1）卫星运行的加速度：卫 星 绕 地 球 运 行，由 万 有 引 力 提 供 向 心 力，产 生 的 向 心 加 速 度 满 足22,rGMamarMmG即,其方向始终指向地心，大小随卫星到地心距离 r 的增大而减小。（2）物体随地球自转的向心加速度：当地球上的物体随地球的自转而运动时，万有引力的一个分力使物体产生随地球自转的向心加速度，其方向垂直指向地轴，大小从赤道到两极逐渐减小。3.自转周期和公转周期的比较：
23、自转周期是天体绕自身某轴线运动一周的时间，公转周期是某星球绕中心天体做圆周运动一周的时间。一般两者不等（月球除外），如地球的自转周期是 24h，公转周期是 365天。4.近地卫星、同步卫星、赤道上的物体的比较：（1）近地卫星和赤道上的物体：内容 近地卫星 赤道上的物体 相同点 质量相同时，受到地球的引力大小相等 不同点 受力情况 只受地球引力作用且地球引力等于卫星做圆周运动所需向心力 受地球引力和地面支持力作用，其合力提供物体随地球自转做圆周运动的向心球的吸引而使物体受到的力但重力不是万有引力只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力重力的方向竖直向下但并不一定指向地心物体在赤道上重力最小在两极
24、时重力最大随着纬度的增加物体的重力减小物体在赤道上重力最小可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力即可得到黄金代换公式万有引力定律与天体运动运动性质通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动力和运动的关系角度分析天体运动天体做匀速圆周运动运动其速度方向时刻改地球绕太阳公转的角速度为轨道半径为径为那么太阳的质量是地球质量的多少倍解析地球与太阳的万有引力提供地球运动的向心力月球与地球的万有引力提供月球运动月球绕地球公转的角速度为轨道半的向心力最后算得结果为计算学习必备 欢迎下载 力 运动情况 角速度、线速度、向心加速度、周期均不等（2）近地卫星和同步卫星：相同点：都是地球卫星，地球的引力提供向心
25、力。不同点：近地卫星的线速度、角速度、向心加速度均比同步卫星的大，而周期比同步卫星的小。（3）赤道上的物体和同步卫星：内容 近地卫星 赤道上的物体 相同点 角速度都等于地球自转的角速度，周期都等于地球自转的周期 不同点 受力情况 只受地球引力作用且地球引力等于卫星做圆周运动所需向心力 受地球引力和地面支持力作用，其合力提供物体做圆周运动的向心力 轨道半径 同步卫星的轨道半径比赤道上的物体的轨道半径大很多 运动情况 同步卫星的线速度、向心加速度均大于赤道上的物体 球的吸引而使物体受到的力但重力不是万有引力只有在两极时物体所受的万有引力才等于重力重力的方向竖直向下但并不一定指向地心物体在赤道上重力最小在两极时重力最大随着纬度的增加物体的重力减小物体在赤道上重力最小可以认为物体所受的重力等于物体所受地球的吸引力即可得到黄金代换公式万有引力定律与天体运动运动性质通常把天体的运动近似看成是匀速圆周运动力和运动的关系角度分析天体运动天体做匀速圆周运动运动其速度方向时刻改地球绕太阳公转的角速度为轨道半径为径为那么太阳的质量是地球质量的多少倍解析地球与太阳的万有引力提供地球运动的向心力月球与地球的万有引力提供月球运动月球绕地球公转的角速度为轨道半的向心力最后算得结果为计算