《七年级数学培优竞赛二合一讲练教程(共15讲,含答案)_中学教育-竞赛题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《七年级数学培优竞赛二合一讲练教程(共15讲,含答案)_中学教育-竞赛题.pdf（52页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、数的整除（一）【知识精读】如果整数 A 除以整数 B(B0)所得的商 A/B 是整数,那么叫做 A 被 B 整除.0 能被所有非零的整数整除.一些数的整除特征 除 数 能被整除的数的特征 2 或 5 末位数能被 2 或 5 整除 4 或 25 末两位数能被 4 或 25 整除 8 或 125 末三位数能被 8 或 125 整除 3 或 9 各位上的数字和被 3 或 9 整除(如 771，54324)11 奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减,其差能被 11 整除(如 143,1859,1287,908270 等)7,11,13 从右向左每三位为一段,奇数段的各数和与偶数段的各数和相减,其差能被
2、 7 或 11 或 13 整除.(如 1001，22743，17567，21281 等)能被 7 整除的数的特征：抹去个位数 减去原个位数的 2 倍 其差能被 7 整除。如 1001 100298（能被 7 整除）又如 7007 70014686，681256（能被 7 整除）能被 11 整除的数的特征：抹去个位数 减去原个位数 其差能被 11 整除 如 1001 100199（能 11 整除）又如 10285 102851023 102399（能 11 整除）【分类解析】例 1 已知两个三位数328和92x的和仍是三位数75y且能被 9 整除。求 x,y 解：x,y 都是 0 到 9 的整数
3、，75y能被 9 整除，y=6.32892x567，x=3 例 2 己知五位数x1234能被12 整除，求 X。解：五位数能被 12 整除，必然同时能被 3 和 4 整除，当 1234X 能被 3 整除时，x=2，5，8 当末两位X4能被 4 整除时，X0，4，8 X8 例 3 求能被 11 整除且各位字都不相同的最小五位数。解：五位数字都不相同的最小五位数是 10234，但（124）（03）4，不能被 11 整除，只调整末位数仍不行 调整末两位数为 30，41，52，63，均可，五位数字都不相同的最小五位数是 10263。【实战模拟】1 分解质因数：（写成质因数为底的幂的連乘积）593 18
4、59 1287 3276 10101 10296 2 若四位数a987能被3 整除，那么 a=_ 3 若五位数3412X能被11 整除，那么 X_-4 当 m=_时，535m能被25整除 5 当 n=_时，n9610能被 7 整除 6 能被 11 整除的最小五位数是_,最大五位数是_ 7 能被 4 整除的最大四位数是_，能被 8 整除的最小四位数是_ 8 8 个数：125，756，1011，2457，7855，8104，9152，70972 中，能被下列各数整除的有（填上编号）：6_,8_,9_,11_ 9 从 1 到 100 这 100 个自然数中，能同时被 2 和 3 整除的共_个，能被
5、3 整除但不是 5 的倍数的共_个。10 由 1，2，3，4，5 这五个自然数，任意调换位置而组成的五位数中，不能被 3 整除的数共有几个？为什么？征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整
6、末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能11 己知五位数A1234能被 15 整除，试求 A 的值。12 求能被 9 整除且各位数字都不相同的最小五位数。13 在十进制中，各位数码是 0 或 1，并能被 225 整除的最小正整数是 参考答案 1.22 32 7 3 3 7 13 37 23 32 11 13 2.0，3，6，9 3.0 4.2，7 5.3 6.10010，9990 7.9996，9992 8.6：B 8：F，G 9：B，D 11：G，H 9.16；27 10.没有一
7、个，1234515 是 3 的倍数，与数字的位置无关 11.仿例 2，a5 12.10269（由最小五位数 10234 调换末两位数）13.11111111100 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整
8、末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能（2）倍数 约数【知识精读】1、两个整数 A 和 B（B0），如果 B 能整除 A（记作 BA），那么 A 叫做 B 的倍数，B 叫做 A 的约数。例如 315，15 是 3 的倍数，3 是 15 的约数。2、因为 0 除以非 0 的任何数都得 0，所以 0 被非 0 整数整除。0 是任何非 0 整数的倍数，非 0 整数都是 0 的约数。如 0 是 7 的倍数，7 是 0 的约数。3、整数 A（A0）的倍数有无数多个，并且以互
9、为相反数成对出现，0，A，2A，都是 A 的倍数，例如 5 的倍数有5，10，。4、整数 A（A0）的约数是有限个的，并且也是以互为相反数成对出现的，其中必包括1 和A。例如 6 的约数是1，2，3，6。5、通常我们在正整数集合里研究公倍数和公约数，几正整数有最小的公倍数和最犬的公约数。6、公约数只有 1 的两个正整数叫做互质数（例如 15 与 28 互质）。7、在有余数的除法中，被除数除数商数余数 若用字母表示可记作：ABQR，当 A，B，Q，R 都是整数且 B0 时，AR 能被 B 整除 例如 23372 则 232 能被 3 整除。【分类解析】例 1 写出下列各正整数的正约数，并统计其个
10、数，从中总结出规律加以应用：2，22，23，24，3，32，33，34，23，223，2232。解：列表如下 正整数 正约数 个 数 计 正整数 正约数 个数计 正 整 数 正约数 个数计 2 1，2 2 3 1，3 2 23 1，2，3，6 4 22 1，2，4 3 32 1，3，32 3 223 1，2，3，4，6，12 6 1，2，1，3，1，2，3，9 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去
11、个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能23 4，8 4 33 32，33 4 2232 4，6，9，12，18，36 24 1，2，4，8，16 5 34 1，3，32，33，34 5 其规律是：设 Aambn(a，b 是质数,m，n 是正整数)那么合数 A 的正约数
12、的个是（m+1）(n+1)例如求 360 的正约数的个数 解：分解质因数：36023325，360 的正约数的个数是（31）（21）（11）24（个）例 2 用分解质因数的方法求 24，90 最大公约数和最小公倍数 解：24233，902325 最大公约数是 23，记作（24，90）6 最小公倍数是 23325360，记作24,90=360 例 3 己知 32，44 除以正整数 N 有相同的余数 2，求 N 解：322，442 都能被 N 整除，N 是 30，42 的公约数 （30，42）6，而 6 的正约数有 1，2，3，6 经检验 1 和 2 不合题意，N6，3 例 4 一个数被 10 余
13、 9，被 9 除余 8，被 8 除余 7，求适合条件的最小正整数 分析：依题意如果所求的数加上 1，则能同时被 10，9，8 整除,所以所求的数是 10，9，8 的最小公倍数减去 1。解：10,9,8=360,所以所求的数是 359 【实战模拟】1、12 的正约数有_,16 的所有约数是_ 2、分解质因数 300_,300 的正约数的个数是_ 3、用分解质因数的方法求 20 和 250 的最大公约数与最小公倍数。4、一个三位数能被 7，9，11 整除，这个三位数是_ 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶
14、数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能5、能同时被 3，5，11 整除的最小四位数是_最大三位数是_ 6、己知 14 和 23 各除以正整数 A 有相同的余数
15、2，则 A_ 7、写出能被 2 整除，且有约数 5，又是 3 的倍数的所有两位数。答_ 8、一个长方形的房间长 1.35 丈，宽 1.05 丈要用同一规格的正方形瓷砖铺满，问正方形最大边长可以是几寸？若用整数寸作国边长，有哪几种规格的正方形瓷砖适合？9、一条长阶梯，如果每步跨 2 阶，那么最后剩 1 阶，如果每步跨 3 阶，那么最后剩 2阶，如果每步跨 4 阶，那么最后剩 3 阶，如果每步跨 5 阶，那么最后剩 4 阶，如果每步跨 6 阶，那么最后剩 5 阶，只有每步跨 7 阶，才能正好走完不剩一阶，这阶梯最少有几阶？答案：1.1，2，3，4，6，12；1，2，3，6，9，18 2.22352
16、；18 3.25；2253 4.693 5.3，5，11165，1155；990 6.A3 即求 142 与 232 的公约数 7.30，60，90 8.（135，105）15，正约数有 1，3，5，15 9.119。2，3，4，5，660，6021119 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是
17、到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能（3）质数 合数【知识精读】1、正整数的一种分类：质数的定义：如果一个大于 1 的正整数，只能被 1 和它本身整除，那么这个正整数叫做质数（质数也称素数）。合数的定义：一个正整数除了能被 1 和本身整除外，还能被其他的正整数整除，这样的正整数叫做合数。2、根椐质数定义可知 质数只有 1 和本身两个正约数，质数中只有一个偶数 2 如果两
18、个质数的和或差是奇数那么其中必有一个是 2，如果两个质数的积是偶数那么其中也必有一个是 2，3、任何合数都可以分解为几个质数的积。能写成几个质数的积的正整数就是合数。【分类解析】例 1 两个质数的和等于奇数 a(a5)。求这两个数 解：两个质数的和等于奇数 必有一个是 2 所求的两个质数是 2 和 a2。例 2 己知两个整数的积等于质数 m,求这两个数 解：质数 m 只含两个正约数 1 和 m,又（1）（m）=m 所求的两个整数是 1 和 m 或者1 和m.例 3 己知三个质数 a,b,c 它们的积等于 30 求适合条件的 a,b,c 的值 解：分解质因数：302 3 5 征除数能被整除的数的
19、特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能 适合条件的值
20、共有：532cba352cba523cba253cba325cba235cba 应注意上述六组值的书写排列顺序，本题如果改为 4 个质数 a,b,c,d 它们的积等于 210,即 abcd=2 3 5 7 那么适合条件的 a，b，c，d 值共有 24 组，试把它写出来。例 4 试写出 4 个連续正整数，使它们个个都是合数。解：（本题答案不是唯一的）设 N 是不大于 5 的所有质数的积，即 N2 3 5 那么 N2，N3，N4，N5 就是适合条件的四个合数 即 32，33，34，35 就是所求的一组数。本题可推广到 n 个。令 N 等于不大于 n+1 的所有质数的积，那么 N2，N3，N4，N（
21、n+1）就是所求的合数。【实战模拟】，1、小于 100 的质数共_个，它们是_ 2、己知质数 P 与奇数 Q 的和是 11，则 P，Q 3、己知两个素数的差是 41，那么它们分别是 4、如果两个自然数的积等于 19，那么这两个数是 如果两个整数的积等于 73，那么它们是 如果两个质数的积等于 15，则它们是 5、两个质数 x 和 y，己知 xy=91,那么 x=_,y=_,或 x=_,y=_.6、三个质数 a、b、c 它们的积等于 1990，那么 cba 7、能整除 311513的最小质数是 8、己知两个质数 A 和 B 适合等式 AB99，ABM。求 M 及BAAB的值。征除数能被整除的数的
22、特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能9、试写出 6
23、 个連续正整数，使它们个个都是合数。10、具备什么条件的最简正分数可化为有限小数？11、求适合下列三个条件的最小整数：大于 1 没有小于 10 的质因数 不是质数 12、某质数加上 6 或减去 6 都仍是质数，且这三个质数均在 30 到 50 之间，那么这个质数是 13、一个质数加上 10 或减去 14 都仍是质数，这个质数是。征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能
24、整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能参考答案 1.25 个 2.2，9 3.2，43 4.1，19；1，73 或1，73 5 6.19002 5 199 有 6 组 7.2 8.9.令 N2 3 5 7210，所求合数为 N2，N3，10.分母只含 2 和 5 的质因数 11.11 11 12.37
25、 13.3 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被
26、整除当时能被整除能（4）零的特性 【知识精读】一、零既不是正数也不是负数，是介于正数和负数之间的唯一中性数。二、零是自然数，是整数，是偶数。1、零是表示具有相反意义的量的基准数。例如：海拔 0 米的地方表示它与基准的海平面一样高 收支衡可记作结存 0 元。2、零是判定正、负数的界限。若 a 0 则 a 是正数，反过来也成立，若 a 是正数，则 a0 记作 a0 a 是正数 读作 a0 等价于 a 是正数 bb 时,a-b0；当 ab 时,a-b0.四、在近似数中，当 0 作为有效数字时，它表示不同的精确度。例如 近似数 1.6 米与 1.60 米不同，前者表示精确到 0.1 米（即 1 分米）
27、,误差不超过 5厘米；后者表示精确到 0.01 米（即 1 厘米），误差不超过 5 毫米。可用不等式表示其值范围如下：1.55近似数 1.61.65 1.595近似数 1.60a,a2 a2,aa,a+1a 3、x 表示一切有理数，下面四句话中正确的共几句？答：句。（x2）2有最小值 0，x+3|有最大值 0，2x2有最大值 2，3x1有最小 3。4、绝对值小于 5 的有理数有几个？它们的积等于多少？为什么？5、要使下列等式成立，字母 X、Y 应取什么值？X00，X（X3）0，X1（Y3）20 6、下列说法正确吗？为什么？a 的倒数是a1 方程（a1）x3 的解是 x13a n 表示一切自然数
28、，2n1 表示所有的正奇数 如果 ab,那么 m2am2b(a、b、m 都是有理数)7、x 取什么值时，下列代数式的值是正数？x（x1）x（x1）（x2）征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不
29、行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能参考答案 2.只一个 3.4 4.无数多个，0 5.x 0，0 或 3.X=0且 y5（注意或与且的区别）6.都不正确，0 没有倒数 7.x1 或 x0 -2x0 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又
30、如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能（5）an 的个位数 【知识精读】.1、整数 a 的正整数次幂 an,它的个位数字与 a 的末位数的 n 次幂的个位数字相同。例如 20023与 23的个位数字都是 8。2、0，1，5，6，的任何正整数次幂的个位数字都是它们本身。例如 57的个位数是 5，620的个位数
31、是 6。3、2，3，7 的正整数次幂的个位数字的规律见下表：指 数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 底 数 2 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 3 3 9 7 1 3 9 7 1 3 9 7 7 9 3 1 7 9 3 1 7 9 其规律是：2 的正整数次幂的个位数是按 2、4、8、6 四个数字循环出现，即 24k+1与 21，24K2与 22，24K3与 23，24K4与 24的个位数是相同的（K 是正整数）。3 和 7 也有类似的性质。4、4，8，9 的正整数次幂的个位数，可仿照上述方法，也可以用 422，823，932转化为以 2、3 为底的幂。5、综上所述，整数 a
32、的正整数次幂的个位数有如下的一般规律：a4Km与 am的个位数相同(k,m 都是正整数。【分类解析】例1 20032003的个位数是多少？解：20032003与 32003的个位数是相同的，200345003，32003与 33的个位数是相同的，都是 7，2003 的个位数是 7。例2 试说明 6320001472002的和能被 10 整除的理由 解：20004500，200245002 632000与 34的个位数相同都是 1，1472002与 72的个位数相同都是 9，征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字
33、和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能6320001472002的和个位数是 0，6320001472002的和能被 10 整除。例3 K 取什么正整数值
34、时，3k2k是 5 的倍数？例4 解：列表观察个位数的规律 K 1 2 3 4 3 的个位数 3 9 7 1 2 的个位数 2 4 8 6 3k2k的个位数 5 5 从表中可知，当 K1，3 时，3k2k的个位数是 5，am与 a4n+m 的个位数相同（m,n 都是正整数，a 是整数）;当 K 为任何奇数时，3k2k是 5 的倍数。【实战模拟】，1、在括号里填写各幂的个位数（K 是正整数）220 的个位数是（）45 的个位数是（）330 的个位数是（）87 的个位数是（）74K+1 的个位数是（）31179 的个位数是（）216314的个位数是（）32k-172k-1的个位数是（）72k32k
35、 的个位数是（）74k-164k-3的个位数是（）7710331522205525的个位数是（）2、目前知道的最大素数是 22160911，它的个位数是。3、说明如下两个数都能被 10 整除的理由。53533333 1987198919931991 4、正整数 m 取什么值时，3m1 是 10 的倍数？5、设 n 是正整数，试说明 2 n 7n+2能被 5 整除的理由。6、若 a4的个位数是 5，那么整数 a 的个位数是 若 a4的个位数是 1，那么整数 a 的个位数是 若 a4的个位数是 6，那么整数 a 的个位数是 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能
36、被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能若 a2k-1的个位数是 7，那么整数 a 的个位数是 7、12+2
37、2+32+92的个位数是，12+22+32+192的个位数是，12+22+32+292的个位数是。8、a、b、c 是三个连续正整数，a2=14884,c2=15376,那么 b2是（）（A）15116，（B）15129，（C）15144，（D）15321 参考答案 1.6，4，9，2，7，4，4，0，0，7，0 要注意 3，7 为底的正奇数次幂的和为 0，正偶数次幂的差为 0 2.7 3.算出个位数的差为零 4.由 321 写出通解 m=2 4k(k 为非负整数)5.可用列表观察其规律 n=1 2 3 4 2n=7n+2=2n+7n+2 6.5；1，3 或 7，9；2，4，6，8；3，7。7.
38、5；0；5 8.B 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么
39、当时能被整除当时能被整除能（6）数学符号 【知识精读】数学符号是表达数学语言的特殊文字。每一个符号都有确定的意义，即当我们把它规定为某种意义后，就不再表示其他意义。数学符号一般可分为：1、元素符号：通常用小写字母表示数，用大写字母表示点，用和表示园和三角形等。2、关系符号：如等号，不等号，相似，全等，平行，垂直等。3、运算符号：如加、减、乘、除、乘方、开方、绝对值等。4、逻辑符号：略 5、约定符号和辅助符号：例如我们约定正整数 a 和 b 中，如果 a 除以 b 的商的整数部份记作 Z（ba），而它的余数记作 R（ba），那么 Z（310）3，R（310）1；又如设 x表示不大于 x 的最大整
40、数，那么2.55，2.56，320，33。正确使用符号的关健是明确它所表示的意义（即定义）对题设中临时约定的符号，一定要扣紧定义，由简到繁，由浅入深，由具体到抽象，逐步加深理解。在解题过程中为了简明表述，需要临时引用辅助符号时，必须先作出明确的定义，所用符号不要与常规符号混淆。【分类解析】例 1 设 Z表示不大于 Z 的最大整数，n为正整数 n 除以 3 的余数 计算：4.0773213;2004 14.7 234 。解：原式4（3）100 原式1421202 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上
41、的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能例 2求 19871988的个位数 说明 1987198919931991能被 10 整除的理由 解：设 N（x）表示整数 x
42、的个位数，N（19871988）N（74497）N（74）1 N（19871989）N（19931991）N（744971）N（344973）N（71）N（33）770 1987198919931991能被 10 整除 由于引入辅助符号，解答问题显得简要明瞭。例 3.定义一种符号的运算规则为：ab=2a+b 试计算：53 （17）4 解：5325313 （217）49429422 例4 设 ab=a(ab+7),求等式 3x=2(-8)中的 x 解：由题设可知：等式 3x=2(-8)就是 3（3x7）22（8）7 9x+21=18 x=431【实战模拟】1、设 Qx 表示有理数 x 的整数部分
43、，那么 Q2.15 Q12.3=Q0.03 Q51 2、设n表示不小于 n 的最小整数，那么4.3 2.3 2 0.30.3 3、设m表示不大于 m 的最大整数 若 m=2 则m=若 n=3.5 则n=若1Y0 则Y 若 7b8 则b 若x=4 则x 若 nCn1 则C 4、正整数 a 和 b 中，设 a 除以 b 的商的整数部分记作 Z（ba）余数记作 R（ba），ab的个位数记作 n（ab）,写出下列各数的结果：征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段
44、奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数能被整除那么当时能被整除当时能被整除能R（733）R（52）Z（733）Z（52）n(19891990)=5、设 n！表示自然数由 1 到 n 的連乘积 例如 5！12345120 计算：1203!)!35(!3
45、!5 6、设=2211baba=a1b2a2b1 计算：21 43 11 01 7、定义一种符号的运算法则为 ab=baba22 那么 32 23 （12）3 （3）（10）8、a、b 都是正整数，设 a b 表示从 a 起 b 个連续正整数的和。例如 23234,545678.己知 x52005，求 X 9、设x表示不大于 x 数的最大整数且 xxx.求 10、设a表示不大于数 a 的最大整数.例如21，22.那么3x+12x-21的所有的根的和是 参考答案 1.2，2，0，0 2.5,-2,-2,1 3.2 4 1 7 4x5 n 4.7,4,1,8 5.20,10 6.2,-2 8.7.
46、，399 9.9.1 10.2 征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成质因数为底的幂的連乘积若四位数能被整除那么若五位数
47、能被整除那么当时能被整除当时能被整除能（7）用字母表示数【知识精读】1、用字母表示数最明显的好处是能把数量间的关系简明而普遍地表达出来，从具体的数字计算到用抽象的字母概括运算规律上，是一种飞跃。1，用字母表示数时，字母所取的值，应使代数式有意义，并使它所表示的实际问题有意义。例如写出数 a 的倒数 用字母表示一切偶数 解：当 a0 时，a 的倒数是a1 设 n 为整数，2n 可表示所有偶数。2、命题中的字母，一般要注明取值范围，在没有说明的情况下，它表示所学过的数，并且能使题设有意义。例题 化简：x 3（x3）|x+5|解：x3,x30，x3（x3）x3 当 x5 时，x5x5，当 x 0，b
48、0，那么 a+b0，不可逆 绝对值性质 如果 a0,那么|a|=a 也不可逆(若|a|=a 则 a0)5、有规律的计算，常可用字母表示其结果，或概括成公式。【分类解析】例 1：正整数中不同的五位数共有几个？不同的 n 位数呢？解：不同的五位数可从最大 五位数 99999 减去最小五位数 10000 前的所有正整数，即99999-9999=90000.推广到 n 位正整数，则要观察其规律 一位正整数,从 1 到 9 共 9 个，记作 91 二位正整数从 10 到 99 共 90 个，记作 910 三位正整数从 100 到 999 共 900 个，记作 9102 四位正整数从 1000 到 999
49、9 共 9000 个，记作 9103 (指数 3=4-1)n 位正整数共 910 n-1个 例 2 _ A C D E B 在线段 AB 上加了 3 个点 C、D、E 后，图中共有几条线段？加 n 点呢？解：以 A 为一端的线段有：AC、AD、AE、AB 共 4 条 以 C 为一端的线段有：(除 CA 外)CD、CE、CB 共 3 条 以 D 为一端的线段有：(除 DC、DA 外)DE、DB 共 2 条 以 E 为一端的线段有：(除 ED、EC、EA 外)EB 共 1 条 共有线段 1+2+3+4=10 (条)注意：3 个点时，是从 1 加到 4，因此 如果是 n 个点，则共有线段 1+2+3
50、+n+1=nn211=2)2(nn条【实战模拟】1、右边代数式中的字母应取什么值？征除数能被整除的数的特征或末位数能被或整除或末两位数能被或整除或末三位数能被或整除或各位上的数字和被或整除如奇数位上的数字和与偶数位上的数和相减其差能被整除如等从右向左每三位为一段奇数段的各数和与偶数段又如能被整除能被整除的数的特征抹去个位数减去原个位数其差能被整除如能整除又如能整除分类解析例已知两个三位数和的和仍是三位数且能被整除求解都是到的整数能被整除例己知五位数能被整除求解五位数能被整除必然同时的最小五位数是但不能被整除只调整末位数仍不行调整末两位数为均可五位数字都不相同的最小五位数是实战模拟分解质因数写成