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1、指数函数知识点汇总2 作者：日期：数没有偶次方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念一般地函数且叫做指数义域值域定义域值域在上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上且值域是或若则取遍所有正数当且仅当对于指数函数且总有指数函数例的图像如图所示则之间的大小关系是解选在轴上任取一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函
2、数的单调性作函数的图像如图取得说明如何比3 指数函数（一）指数与指数幂的运算1根式的概念：一般地，如果axn，那么x叫做a的n次方根，其中n1，且nN*负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是0，记作00n。当n是 奇 数 时，aann，当n是 偶 数 时，)0()0(|aaaaaann2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定：)1,0(*nNnmaaanmnm)1,0(11*nNnmaaaanmnmnm0 的正分数指数幂等于0，0 的负分数指数幂没有意义3实数指数幂的运算性质（1）rasrraa),0(Rsra；（2）rssraa)(),0(Rsra；（3）srraaab)(),0(Rsra（
3、二）指数函数及其性质1、指 数 函 数 的 概 念：一 般 地，函 数)1,0(aaayx且叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和12、指数函数的图象和性质a1 0a1 0101定义域R 定义域R 值域y值域y数没有偶次方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念一般地函数且叫做指数义域值域定义域值域在上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象
4、还可以看出在上且值域是或若则取遍所有正数当且仅当对于指数函数且总有指数函数例的图像如图所示则之间的大小关系是解选在轴上任取一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函数的单调性作函数的图像如图取得说明如何比4 0 0 在R上单调递增在R上单调递减非奇非偶函数非奇非偶函数函数图象都过定点（0，1）函数图象都过定点（0，1）注意：利用函数的单调性，结合图象还可以看出：（1）在 a，b 上，)1a0a(a)x(fx且值域是)b(f),a(f 或)a(f),b(f（2）若0 x，则1)x(f；)x(f取遍所有正数当且仅当Rx；（3
5、）对于指数函数)1a0a(a)x(fx且，总有a)1(f；指数函数例题解析【例 1】求下列函数的定义域与值域：(1)y3(2)y(3)y12x213321xx数没有偶次方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念一般地函数且叫做指数义域值域定义域值域在上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上且值域是或若则取遍所有正数当且仅当对于指数函数且总有指数函数例的图像如图所示则之间的大小关系是解选在
6、轴上任取一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函数的单调性作函数的图像如图取得说明如何比5 解(1)定义域为xR 且 x2值域 y0 且 y1(2)由 2x+21 0，得定义域 x|x 2，值域为 y0(3)由 33x-1 0，得定义域是 x|x2，033x 13，值域是 0y3练习：（1）412xy；（2）|2()3xy；（3）1241xxy；【例 2】指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图像如图2 62 所示，则 a、b、c、d、1 之间的大小关系是 Aab1cd Bab1dc C b a1dc Dcd1ab
7、解选(c)，在 x 轴上任取一点(x，0)，则得 b a1dc练习：指数函数满足不等式,则它们的图象是().【例 3】比较大小：(1)2(2)0.6、的大小关系是：248163235894512()(3)4.54.1_3.73.6数没有偶次方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念一般地函数且叫做指数义域值域定义域值域在上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上且值域是或若则取遍所有正数当
8、且仅当对于指数函数且总有指数函数例的图像如图所示则之间的大小关系是解选在轴上任取一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函数的单调性作函数的图像如图取得说明如何比6 解(1)y221()x，函数，该函数在，上是增函数，又，222242821621338254912284162123135258389493859解 (2)0.6110.6，451245123232()()解(3)借助数4.53.6打桥，利用指数函数的单调性，4.54.14.53.6，作函数y14.5x，y23.7x的图像如图263，取 x3.6，得 4.5
9、3.63.73.6 4.54.1 3.73.6说明如何比较两个幂的大小：若不同底先化为同底的幂，再利用指数函数的单调性进行比较，如例2 中的(1)若是两个不同底且指数也不同的幂比较大小时，有两个技巧，其一借助1 作桥梁，如例2 中的(2)其二构造一个新的幂作桥梁，这个新的幂具有与4.54.1同底与 3.73.6同指数的特点，即为4.53.6(或3.74.1)，如例 2 中的(3)练习：（1）1.72.5 与 1.73(2)0.10.8与0.20.8(3)1.70.3 与0.93.1（）5.31.2和7.20.2数没有偶次方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意
10、义规定的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念一般地函数且叫做指数义域值域定义域值域在上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上且值域是或若则取遍所有正数当且仅当对于指数函数且总有指数函数例的图像如图所示则之间的大小关系是解选在轴上任取一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函数的单调性作函数的图像如图取得说明如何比7【例4】解比较大小与 且 ，当 ，aaaaan nnnnnnnnnn n11
11、111111(a0a1n1)0a1n10()()，当 时，aaan naaan nnnnnn nnnnn1111111111()()()1a1n101【例 5】作出下列函数的图像：(1)y(2)y22x，()121x(3)y 2|x-1|(4)y|1 3x|解 (1)y(264)(0)(11)y1的图像如图，过点，及 ，是把函数的图像向左平移个单位得到的()()1212121xx解(2)y 2x2 的图像(如图 2 65)是把函数y2x的图像向下平移2 个单位得到的解(3)利用翻折变换，先作 y2|x|的图像，再把 y2|x|的图像向右平移1个单位，就得y 2|x-1|的图像(如图 266)解
12、(4)作函数 y3x的图像关于x 轴的对称图像得y 3x的图像，再把y 3x的图像向上平移1 个单位，保留其在x 轴及 x 轴上方部分不变，把x 轴下数没有偶次方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念一般地函数且叫做指数义域值域定义域值域在上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上且值域是或若则取遍所有正数当且仅当对于指数函数且总有指数函数例的图像如图所示则之间的大小关系是解选在轴上任取
13、一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函数的单调性作函数的图像如图取得说明如何比8 方的图像以x 轴为对称轴翻折到x 轴上方而得到(如图 267)【例8】已知f(x)(a1)aaxx11(1)判断 f(x)的奇偶性；(2)求 f(x)的值域；(3)证明 f(x)在区间(，)上是增函数解(1)定义域是Rf(x)f(x)，aaaaxxxx1111函数 f(x)为奇函数(2)yy1a1y1x函数，有 ，aayyyyxx1111110即 f(x)的值域为(1，1)(3)设任意取两个值x1、x2(，)且 x1x2f(x1)f(x
14、2)，故在 上为增函数aaaaaaaaaaaaxlxlxxxlxxlxxxxx112121221212211()()()a1xx(1)(1)0f(x)f(x)f(x)R1212单元测试题一、选择题：（本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分）1、化简1111132168421212121212，结果是（）A、11321122B、113212 C、13212 D、13211222、44366399aa等于（）A、16aB、8aC、4aD、2a3、若1,0ab,且22bbaa,则bbaa的值等于（）数没有偶次方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定的正分
15、数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念一般地函数且叫做指数义域值域定义域值域在上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上且值域是或若则取遍所有正数当且仅当对于指数函数且总有指数函数例的图像如图所示则之间的大小关系是解选在轴上任取一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函数的单调性作函数的图像如图取得说明如何比9 A、6 B、2 C、2 D、2 4、函数2()1xf xa在 R 上是减函数，则a的取
16、值范围是（）A、1a B、2a C、2a D、12a5、下列函数式中，满足1(1)()2f xf x的是()A、1(1)2x B、14x C、2xD、2x6、下列2()(1)xxf xaa是（）A、奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D、既奇且偶函数7、已知,0ab ab，下列不等式（1）22ab；(2)22ab；(3)ba11；(4)1133ab；(5)1133ab中恒成立的有（）A、1 个 B、2 个 C、3 个 D、4 个8、函数2121xxy是（）A、奇函数 B、偶函数 C、既奇又偶函数 D、非奇非偶函数9、函数121xy的值域是（）A、,1 B、,00,C、1,D、(,1)0,10
17、、已知01,1ab,则函数xyab的图像必定不经过（）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限11、2()1()(0)21xF xf xx是偶函数，且()f x不恒等于零，则()f x()A、是奇函数 B、可能是奇函数，也可能是偶函数C、是偶函数 D、不是奇函数，也不是偶函数12、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低%b，则n年后这批设备的价值为（）A、(1%)nab B、(1%)anb C、1(%)nab D、(1%)nab二、填空题：（本题共4 小题，每小题4 分，共 16 分，请把答案填写在答题纸上）13、若103,104xy，则10 xy。数没有偶次方根
18、的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念一般地函数且叫做指数义域值域定义域值域在上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上且值域是或若则取遍所有正数当且仅当对于指数函数且总有指数函数例的图像如图所示则之间的大小关系是解选在轴上任取一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函数的单调性作函数的图像如图取得说明如何比10 1
19、4、函数22811(31)3xxyx的值域是。15、函数2233xy的单调递减区间是。16、若21(5)2xfx，则(125)f。三、解答题：（本题共6 小题，共74 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17、设01a，解关于x的不等式22232223xxxxaa。18、已知3,2x，求11()142xxfx的最小值与最大值。19、设aR，22()()21xxaaf xxR，试确定a的值，使()fx为奇函数。20、已知函数22513xxy，求其单调区间及值域。数没有偶次方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有
20、意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念一般地函数且叫做指数义域值域定义域值域在上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上且值域是或若则取遍所有正数当且仅当对于指数函数且总有指数函数例的图像如图所示则之间的大小关系是解选在轴上任取一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函数的单调性作函数的图像如图取得说明如何比11 21、若函数43 23xxy的值域为1,7，试确定x的取值范围。22、已知函数1()(1)1xxafxaa(1)判
21、断函数的奇偶性；(2)求该函数的值域；(3)证明()f x是R上的增函数。指数与指数函数同步练习参考答案一、题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案A C C D D B C A D A A D 二、13、4314、991,33，令222812(2)9Uxxx，31,99xU,又13Uy为减函数，99133y。15、0,，令23,23UyUx，3Uy为增函数，2233xy的单调递减区间为0,。数没有偶次方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念
22、一般地函数且叫做指数义域值域定义域值域在上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上且值域是或若则取遍所有正数当且仅当对于指数函数且总有指数函数例的图像如图所示则之间的大小关系是解选在轴上任取一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函数的单调性作函数的图像如图取得说明如何比12 16、0，32 2 1(125)(5)(5)220fff三、17、01a,xya在,上为减函数，22232223xxxxaa,222322231xxxxx18、22111
23、3()142122124224xxxxxxxf x,3,2x,1284x.则当122x,即1x时,()f x有最小值43；当28x,即3x时，()f x有最大值57。19、要使()fx为奇函数，xR,需()()0f xfx,1222(),()212121xxxxf xafxaa,由12202121xxxaa,得2(21)2021xxa,1a。20、令13Uy,225Uxx，则y是关于U的减函数，而U是,1上的减函数，1,上的增函数，22513xxy在,1上是增函数，而在1,上是减函数，又2225(1)44Uxxx,22513xxy的值域为410,3。21、243 2323 23xxxxy，依题
24、意有22(2)3 237(2)3 231xxxx即1242221xxx或，224021,xx或由函数2xy的单调性可得(,01,2x。22、（1）定义域为xR,且11()(),()11xxxxaafxf xfxaa是奇函数；（2）1222()1,11,02,111xxxxxafxaaaa即()fx的值域为1,1；（3）设12,xxR,且12xx，数没有偶次方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念一般地函数且叫做指数义域值域定义域值域在上单调递增非奇非偶函数函数图象
25、都过定点在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上且值域是或若则取遍所有正数当且仅当对于指数函数且总有指数函数例的图像如图所示则之间的大小关系是解选在轴上任取一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函数的单调性作函数的图像如图取得说明如何比13 12121212121122()()011(1)(1)xxxxxxxxaaaaf xf xaaaa(分母大于零，且12xxaa)()f x是R上的增函数。数没有偶次方根的任何次方根都是记作当是奇数时当是偶数时分数指数幂正数的分数指数幂的意义规定的正分数指数幂等于的负分数指数幂没有意义实数指数幂的运算性质二指数函数及其性质指数函数的概念一般地函数且叫做指数义域值域定义域值域在上单调递增非奇非偶函数函数图象都过定点在上单调递减非奇非偶函数函数图象都过定点注意利用函数的单调性结合图象还可以看出在上且值域是或若则取遍所有正数当且仅当对于指数函数且总有指数函数例的图像如图所示则之间的大小关系是解选在轴上任取一点则得练习指数函数满足不等式则它们的图象是例比较大小的大小关系是解函数该函数在上是增函数又解解借助数打桥利用指数函数的单调性作函数的图像如图取得说明如何比