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1、20132013 年湖南高考理科数学试题及答案年湖南高考理科数学试题及答案本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 5 5 页，时量页，时量 120120 分钟，满分分钟，满分 150150 分。分。一一、选择题选择题：本大题共本大题共 8 8 小题小题，每小题每小题 5 5 分分，共共 4040 分分.在每小题给出的四个选项中在每小题给出的四个选项中，只有一项是符只有一项是符合题目要求的合题目要求的.1.复数1ziii为虚数单位在复平面上对应的点位于A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限【答案】B【解析】z=i(1+i)=i 1,所以对应点(-1
2、,1).选 B选 B2.某学校有男、女学生各 500 名.为了解男女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取 100 名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是A抽签法B随机数法C系统抽样法D分层抽样法【答案】D【解析】因为抽样的目的与男女性别有关，所以采用分层抽样法能够反映男女人数的比例。选 D3.在锐角中ABC，角,A B所对的边长分别为,a b.若2 sin3,aBbA则角 等于A12B6C4D3【答案】D【解析】3=A 223=sinA sinB3=sinB2sinA :得b3=2asinB由A，选 D4.若变量,x y满足约束条件211yxxyy，2xy则的最大值是
3、A5-2B0C53D52【答案】C【解析】区域为三角形，直线 u=x+2y 经过三角形顶点最大时，35)32,31(u选 C5.函数 2lnf xx的图像与函数 245g xxx的图像的交点个数为A3B2C1D0【答案】B【解析】二次函数 245g xxx的图像开口向上，在 x 轴上方，对称轴为 x=2，g(2)=1；f(2)=2ln2=ln41.所以 g(2)f(2),从图像上可知交点个数为 2选 B6.已知,a b是单位向量，0a b.若向量c满足1,cabc则的取值范围是A2-1,2+1，B2-1,2+2，C1,2+1，D1,2+2，【答案】A【解析】向量之差的向量与即一个模为单位c2.
4、1|c-)ba(|ba-c|,2|ba|向量，是b,a的模为 1，可以在单位圆中解得12|1-2 c。选 A7已知棱长为 1 的正方体的俯视图是一个面积为 1 的正方形，则该正方体的正视图的面积不可能等于A1B2C2-12D2+12【答案】C【解析】由题知，正方体的棱长为 1，121-2.2,1 2,1 1而上也在区间上，所以正视图的面积，宽在区间正视图的高为。选 C8.在等腰三角形ABC中，=4AB AC ，点P是边AB上异于,A B的一点，光线从点P出发，经,BC CA发射后又回到原点P（如图1）.若光线QR经过ABC的中心，则AP等A2B1C83D43【答案】D【解析】使用解析法。).3
5、4,34(32).2,2(),0,(OOABCDBCxP处，在中线的的重心的中点设)1(3)12(4,)1(3)2(4(),1(34,0(34)34(,kkkkQkRxkykRQ则其方程为的斜率为设直线。0)1)(12(1,0,)1(3)2(4)12(4,3)1(4kkkkkkkxkkkkkQPRPQPRP由题知3421(01xkxk，舍）选 D二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 8 8 小题，考生作答小题，考生作答 7 7 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 3535 分分.（一）选做题（请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题计分）9.在平面直
6、角坐标系xoy中，若,3cos,:(t)C:2sinxtxlytay 为参数 过椭圆()为参数 的右顶点，则常数a的值为3.【答案】3【解析】303)0,3(149,:22aayxCaxyl的右顶点程：椭圆方方程直线10.已知222,236,49a b cabcabc则的最小值为12.【答案】12【解析】.考察柯西不等式12943631211)3()2()111(2222222222cbacbacba）（时，取最小值且当32,1,2cba.11.如图 2，在半径为7的O中,弦,2,AB CDP PAPB相交于点1PDO，则圆心 到弦CD的距离为.【答案】23【解析】23)2(5,422PCrd
7、CDDCPCPCDPPBAP的距离，圆心到由相交弦定理得（一）必做题（12-16 题）12.若209,Tx dxT则常数 的值为3.【答案】3【解析】393330302TTxdxxTT13.执行如图 3 所示的程序框图，如果输入1,2,aba则输出的 的值为9.【答案】9【解析】922221a14 设12,F F是双曲线2222:1(0,0)xyCabab的两个焦点，P 是 C 上一点，若216,PFPFa且12PFF的最小内角为30，则 C 的离心率为_。【答案】3【解析】设 P 点在右支上，anamanmanmPFnPFm2,426|,|,|21则23)3(4182441630cos:.3
8、02222121accaacacaFPFFPF由余弦定理得中，由题知，3ace15设nS为数列na的前 n 项和，1(1),2nnnnSanN 则（1）3a _；（2）12100SSS_。【答案】3【解析】设 P 点在右支上，anamanmanmPFnPFm2,426|,|,|21则16设函数(),0,0.xxxf xabccacb其中（1）记集合(,),Ma b c a b ca不能构成一个三角形的三条边长，且=b，则(,)a b cM所对应的()f x的零点的取值集合为_ 10(，_。【答案】10(，【解析】acxaccaccaxfabacacxxxxxln2ln2)(0 1)(22)(2
9、,，令由题知 10(ln2ln,0ln2ln2ln2ln02lnln.2，又acxacacac。所以 f(x)的零点集合为 10(，（2）若,a b cABC是的三条边长，则下列结论正确的是.（写出所有正确结论的序号）,1,0;xf x ,xxxxRxa b c 使不能构成一个三角形的三条边长；若 1,2,0.ABCxf x 为钝角三角形，则使【答案】【解析】01)()(1)()(),1,(,1,1,1)()()(11ccbacbcacbcaxcbcacbcacxfxxxxx1所以正确。.2,1,1,2,1,1边长不能构成三角形的三条则令xxxcbacbax所以正确。0-)2(,0)1(;0-
10、222222cbafcbafcba，则令若三角形为钝角三角形0)(),2,1(xfx使。所以正确。三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7575 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17（本小题满分 12 分）已知函数2()sin()cos().()2sin632xf xxxg x。（I）若是第一象限角，且3 3()5f。求()g的值；（II）求使()()f xg x成立的 x 的取值集合。【答案】（I）51（II）Zkkk,322,2【解析】（I）533sin3)(sin3sin23cos21cos21sin23
11、)(fxxxxxxf.51cos12sin2)(,54cos)2,0(,53sin2g且（II）21)6sin(cos21sin23cos1sin3)()(xxxxxxgxfZkkkxkkx,322,2652,626.(完)18（本小题满分 12 分）某人在如图 4 所示的直角边长为 4 米的三角形地块的每个格点（指纵、横的交叉点记忆三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收获量 Y（单位：kg）与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表所示：X1234Y51484542这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过 1 米。（I）从三角形地块的内部
12、和边界上分别随机选取一株作物，求它们恰好“相近”的概率；（II）从所种作物中随机选取一株，求它的年收获量的分布列与数学期望。【答案】（）92p（）46)(YE【解析】()由图知，三角形边界共有 12 个格点,内部共有 3 个格点.从三角形上顶点按逆时针方向开始，分别有 0,0,1,1,0,1,1,0,0,1,2,1 对格点，共 8 对格点恰好“相近”。所以，从三角形地块的内部和边界上分别随机选取一株作物，它们恰好“相近”的概率923128P（）三角形共有 15 个格点。与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 1 个的格点有 2 个，坐标分别为(4,0),(0,4)。154)51(YP所以与
13、周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 2 个的格点有 4 个，坐标分别为(0,0),(1,3),(2,2),(3,1)。154)48(YP所以与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0),(2,0),(3,0),(0，1,),(0，2),(0，3,)。156)45(YP所以与周围格点的距离不超过 1 米的格点数都是 4 个的格点有 3 个，坐标分别为(1，1),(1,2),(2,1)。153)42(YP所以如下表所示：46156901512627019210215342156451544815251)(YE46)(YE.(完)19（本小题满分 12 分）如图
14、 5，在直棱柱1111/ABCDABC DADBC中，190,1,3.BADACBD BCADAA（I）证明：1ACB D；（II）求直线111BCACD与平面所成角的正弦值。【答案】（）见下（）721【解析】()ACBBABCDBDABCDBBDCBAABCD111111,面且面是直棱柱DBACBDBDBBDBACBBBBDBDAC11111,，面。面且又.(证毕)X1234Y51484542频数2463概率 P152154156153（）。的夹角与平面的夹角即直线与平面直线111111,/ACDADACDCBADBCCB轴正半轴。为轴正半轴，为点，量解题。设原点在建立直角坐标系，用向XAD
15、YABABDACyBDyACyCyBDDA),0,3(),0,1()0,1(),0,0(),3,0,3(),0,0,3(,00,01，则，设).3,0,3(),0,3,1(.30,003012ADACyyyBDAC），（），（的一个法向量平面则的法向量为设平面303,313-.00,111ADnACDADnACnnACD7213733|,cos|sin003,313-1ADnADnACD），（），（的一个法向量平面72111夹角的正弦值为与平面所以ACDBD。(完)20（本小题满分 13 分）在平面直角坐标系 xOy 中，将从点 M 出发沿纵、横方向到达点 N 的任一路径成为 M 到 N 的一
16、条“L路径”。如图 6 所示的路径1231MM M M NMN N与路径都是 M 到 N 的“L 路径”。某地有三个新建的居民区，分别位于平面 xOy 内三点(3,20),(10,0),(14,0)ABC处。现计划在 x 轴上方区域（包含 x 轴）内的某一点 P 处修建一个文化中心。（I）写出点 P 到居民区 A 的“L 路径”长度最小值的表达式（不要求证明）；（II）若以原点 O 为圆心，半径为 1 的圆的内部是保护区，“L 路径”不能进入保护区，请确定点P 的位置，使其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小。【答案】（）d=|x 3|+|y 20|，.,0Rxy（）当点 P(x,y)满足
17、P(3,1)时,其到三个居民区的“L 路径”长度值和最小为 45【解析】.0),(yyxP且设点()dLAP路径”的最短距离的“到点点)20,3(,|20-y|+|3 -x|d垂直距离，即等于水平距离，其中.,0Rxy（）本问考查分析解决应用问题的能力，以及绝对值的基本知识。点 P 到 A,B,C 三点的“L 路径”长度之和的最小值 d=水平距离之和的最小值 h+垂直距离之和的最小值 v。且 h 和 v 互不影响。显然当 y=1 时，v=20+1=21；时显然当14,10 x，水平距离之和 h=x (-10)+14 x+|x-3|24,且当 x=3 时，h=24.因此,当 P(3,1)时，d=
18、21+24=45.所以，当点 P(x,y)满足 P(3,1)时,点 P 到 A,B,C 三点的“L 路径”长度之和 d 的最小值为 45.21（本小题满分 13 分）过抛物线2:2(0)E xpy p的焦点 F 作斜率分别为12,k k的两条不同的直线12,l l，且122kk，1lE与相交于点 A，B，2lE与相交于点 C，D。以 AB，CD 为直径的圆 M，圆 N（M，N 为圆心）的公共弦所在的直线记为l。（I）若120,0kk，证明；22FM FNP ；（II）若点 M 到直线l的距离的最小值为755，求抛物线 E 的方程。【答案】（）见下（）yx162【解析】()，设),(),(),(
19、),(),(),().2,0(3434121244332211yxNyxMyxDyxCyxByxApF02,221211pxpkxEpxkyl：方程联立，化简整理得与抛物线方程：直线),(2,20,2211211212112221121pkpkFMppkypkxxxpxxpkxx),(2,2,222223422134pkpkFNppkypkxxx同理.)1(2121222221221kkkkppkkpkkFNFM222121221212121212)11(1)1(,122,0,0ppkkkkpFNFMkkkkkkkkkk所以，22pFNFM成立.(证毕)（）,)2(221)2()2(21,21
20、2121121ppkppkpypyprrrNM的半径分别为、设圆,2同理,221211ppkrppkr.,21rrNM的半径分别为、设圆则21212212)()(ryyxxNM的方程分别为、，的方程为：，直线lryyxx22234234)()(0-)(2)(2222123421223421212341234rryyxxyyyxxx.0)(-()()()(2)(212123412341234123412212212rrrryyyyxxxxykkpxkkp02)(1)()(2)(2)(2222121222222122212212212212kkkkpkkkkpkkpykkpxkkp0202)(1)
21、(222212221yxkkpkkppyx55758751)41()41(2|512|52|),(212112121212ppkkpyxdlyxM的距离到直线点yxp1682抛物线的方程为.(完)22（本小题满分 13 分）已知0a，函数()2xafxxa。（I）；记()0,4fxa在 区 间上 的 最 大 值 为 g(),求ag()的表达式；（II）是否存在a，使函数()yf x在区间0,4内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直？若存在，求a的取值范围；若不存在，请说明理由。【答案】（）时当时当),1(,21 1,0(,243-1g(a)aaaa（）)21,0(【解析】时，是单调递减的
22、。当时，是单调递增的。或当axaaxaaxaxaxaxaxaaxaxxfa2,231-2,2,23-12)(,0()21231-)0(4,0)(4aafxxfa为上单调递减，其最大值在时，由上知，当上单调递增。上单调递减，在在时，当4,0)(4aaxfa);0()(4,1(,4,1(,21)0(243-1)4(fagaafaaf的最大值为时，即当解得：令)4()(1,0(faga的最大值为时，当 时当时当),1(,21 1,0(,243-1综上，g(a)aaaa（II）由前知，y=f(x)的图像是由两段反比例函数的图像组成的。因此，若在图像上存在两点),(),(2211yxQyxP满足题目要求，则 P,Q 分别在两个图像上，且1)()(21xfxf。402,)2(3,2,)2(3)(22aaxaaxaaxaxaxaxf时当时或当不妨设)2)(2(38,(),0(,1)2(3)2(321212221axaxaaxaxaxaaxa824230242334)(202222222122121xaaaxaaxaaxaaxaxaaxxaxx)21,0(40311642432434216222424328214230222222aaaaaaaaxaxaaxxaaxax，且所以，当)21,0(a时，函数()yf x在区间0,4内的图像上存在两点，在该两点处的切线相互垂直.(完)