《正方形练习题文档资料.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《正方形练习题文档资料.pdf（47页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 1 专题 22 正方形 1正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2正方形的性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；（4）正方形是轴对称图形，有 4条对称轴；（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3正方形的判定 判定一个四边形是正方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即有
2、一组邻边相等的矩形是正方形 先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。4正方形的面积：设正方形边长为 a，对角线长为 b，S正方形=222ba【例题 1】（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正方形和两对全等的三角形，如图所示，已知 A 90，BD 4，CF 6，则正方形 ADOF的边长是（）A B 2 C D 4 专题知识回顾 专题典型题考法及解析 2【例题 2】（2019四川省凉山州）如图，正方形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O，E是 OC上一点，连接 EB过点 A作 AM BE，垂足为 M，AM与 BD相交于
3、点 F求证：OE OF 一、选择题 1（2019内蒙古包头）如图，在正方形 ABCD中，AB 1，点 E，F分别在边 BC和 CD上，AE AF，EAF 60，则 CF的长是（）A B C 1 D 2（2019湖南张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1的正方形 OABC绕点 O顺 时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O连续旋转 2019次得到正方形 OA2019B2019C2019，那么点 A2019的坐标是（）A（，）B（1，0）C（，）D（0，1）3.（2019四川省广安市）把边长分别为 1和 2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为（）专题典型
4、训练题 3()A61()B31()C51()D41 4.（2019贵州省铜仁市）如图，正方形 ABCD中，AB 6，E为 AB的中点，将 ADE沿 DE翻折得到 FDE，延长 EF交 BC于 G，FH BC，垂足为 H，连接 BF、DG以下结论：BF ED；DFG DCG；FHB EAD；tan GEB；SBFG 2.6；其中正确的个数是（）A 2 B 3 C 4 D5（2019黑龙江省绥化）如图，在正方形 ABCD中，E、F是对角线 AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且 AB 4，EF 2，设 AE x当 PEF是等腰三角形时，下列关于 P点个数的说法中，一定正确的是（）当 x
5、0（即 E、A两点重合）时，P点有 6个 当 0 x 42 2时，P点最多有 9个 当 P点有 8个时，x 22 2 当 PEF是等边三角形时，P点有 4个 A B C D 二、填空题 6（2019湖南邵阳）公元 3世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了“赵爽弦图”如图，12 4 设勾 a=6，弦 c=10，则小正方形 ABCD的面积是.7（2019湖南张家界）如图：正方形 ABCD的边长为 1，点 E，F分别为 BC，CD边的中点，连接 AE，BF交于点 P，连接 PD，则 tan APD 8.（2019湖北省随州市）如图，已知正方形 ABCD的边长为 a，E为 CD边上一点（不与端
6、点重合），将ADE沿 AE对折至 AFE，延长 EF交边 BC于点 G，连接 AG，CF给出下列判断：EAG=45；若 DE=a，则 AG CF；若 E为 CD的中点，则 GFC的面积为 a2；若 CF=FG，则 DE=（-1）a；BG DE+AF GE=a2 其中正确的是 _（写出所有正确判断的序号）9（2019福建）如图，边长为 2的正方形 ABCD中心与半径为 2的 O的圆心重合，E、F分别是 AD、BA的延长与 O的交点，则图中阴影部分的面积是（结果保留）5 10.（2019四川省凉山州）如图，正方形 ABCD中，AB 12，AE AB，点 P在 BC上运动（不与 B、C重合），过点
7、P作 PQ EP，交 CD于点 Q，则 CQ的最大值为 11.（2019广东广州）如图，正方形 ABCD的边长为 a，点 E在边 AB上运动（不与点 A，B重合），DAM 45，点 F在射线 AM上，且 AF BE，CF与 AD相交于点 G，连接 EC，EF，EG，则下列结论：ECF 45；AEG的周长为（1+）a；BE2+DG2 EG2；EAF的面积的最大值 a2 其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）12.（2019广西贺州）如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E是 CD的中点，AF平分 BAE交 BC于点 F，将 ADE绕点 A顺时针旋转 90得 ABG，则 CF的长为 13（2
8、019山东青岛）如图，在正方形纸片 ABCD中，E是 CD的中点，将正方形纸片折叠，点 B落在线段 6 AE上的点 G处，折痕为 AF若 AD 4cm，则 CF的长为 cm 14.（2019江苏镇江）将边长为 1的正方形 ABCD绕点 C按顺时针方向旋转到 FECG的位置（如图），使得点 D落在对角线 CF上，EF与 AD相交于点 H，则 HD（结果保留根号）15（2019辽宁抚顺）如图，在 2 6的网格中，每个小正方形的边长都是 1个单位长度，网格中小正方形的顶点叫格点，点 A，B，C在格点上，连接 AB，BC，则 tan ABC 三、解答题 16（2019湖南湘西州）如图，在正方形 ABC
9、D中，点 E，F分别在边 CD，AD上，且 AF CE（1）求证：ABF CBE；（2）若 AB 4，AF 1，求四边形 BEDF的面积 17.(2019海南)如图,在边长为 1的正方形 ABCD中,E是边 CD的中点,点 P是边 AD上一点(与点 A,D不重合),第 10题图 HGFEDC BA 7 射线 PE与 BC的延长线交于点 Q.(1)求证:PDE QCE;(2)过点 E作 EF BC交 PB于点 F,连接 AF,当 PB PQ时,求证:四边形 AFEP是平行四边形;请判断四边形 AFEP是否为菱形,并说明理由.18（2019湖南株洲）如图所示，已知正方形 OEFG的顶点 O为正方形
10、 ABCD对角线 AC、BD的交点，连接 CE、DG（1）求证：DOG COE；（2）若 DG BD，正方形 ABCD的边长为 2，线段 AD与线段 OG相交于点 M，AM12，求正方形 OEFG的边长 19.（2019湖北省仙桃市）如图，E，F分别是正方形 ABCD的边 CB，DC延长线上的点，且 BE CF，过点 E作 EG BF，交正方形外角的平分线 CG于点 G，连接 GF求证：（1）AE BF；（2）四边形 BEGF是平行四边形 8 20（2019山东泰安）如图，四边形 ABCD是正方形，EFC是等腰直角三角形，点 E在 AB上，且 CEF 90，FG AD，垂足为点 C（1）试判断
11、 AG与 FG是否相等？并给出证明；（2）若点 H为 CF的中点，GH与 DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由 21（2019湖北襄阳）（1）证明推断：如图（1），在正方形 ABCD中，点 E，Q分别在边 BC，AB上，DQ AE于点 O，点 G，F分别在边 CD，AB上，GF AE 求证：DQ AE；推断：的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形 ABCD中，k（k为常数）将矩形 ABCD沿 GF折叠，使点 A落在BC边上的点 E处，得到四边形 FEPG，EP交 CD于点 H，连接 AE交 GF于点 O试探究 GF与 AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条
12、件下，连接 CP，当 k 时，若 tan CGP，GF 2，求 CP的长 9 专题 22 正方形 1正方形定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形。2正方形的性质：（1）具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质；（2）正方形的四个角都是直角，四条边都相等；（3）正方形的两条对角线相等，并且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；（4）正方形是轴对称图形，有 4条对称轴；（5）正方形的一条对角线把正方形分成两个全等的等腰直角三角形，两条对角线把正方形分成四个全等的小等腰直角三角形；（6）正方形的一条对角线上的一点到另一条对角线的两端点的距离相等。3正方形的判定 判定一个四边形是正
13、方形的主要依据是定义，途径有两种：先证它是矩形，再证有一组邻边相等。即有一组邻边相等的矩形是正方形 先证它是菱形，再证有一个角是直角。即有一个角是直角的菱形是正方形。4正方形的面积：设正方形边长为 a，对角线长为 b，S正方形=222ba【例题 1】（2019湖南郴州）我国古代数学家刘徽将勾股形（古人称直角三角形为勾股形）分割成一个正 专题知识回顾 专题典型题考法及解析 10 方形和两对全等的三角形，如图所示，已知 A 90，BD 4，CF 6，则正方形 ADOF的边长是（）A B 2 C D 4【答案】B【解析】设正方形 ADOF的边长为 x，由题意得：BE BD 4，CE CF 6，BC
14、BE+CE BD+CF 10，在 Rt ABC中，AC2+AB2 BC2，即（6+x）2+（x+4）2 102，整理得，x2+10 x 24 0，解得：x 2，或 x 12（舍去），x 2，即正方形 ADOF的边长是 2【例题 2】（2019四川省凉山州）如图，正方形 ABCD的对角线 AC、BD相交于点 O，E是 OC上一点，连接 EB过点 A作 AM BE，垂足为 M，AM与 BD相交于点 F求证：OE OF【答案】见解析。【解析】根据正方形的性质对角线垂直且平分，得到 OB OA，根据 AM BE，即可得出 MEA+MAE 90 AFO+MAE，从而证出 Rt BOE Rt AOF，得到
15、 OE OF 证明：四边形 ABCD是正方形 BOE AOF 90，OB OA 又 AM BE，11 MEA+MAE 90 AFO+MAE，MEA AFO BOE AOF（AAS）OE OF 一、选择题 1（2019内蒙古包头）如图，在正方形 ABCD中，AB 1，点 E，F分别在边 BC和 CD上，AE AF，EAF 60，则 CF的长是（）A B C 1 D【答案】C【解析】四边形 ABCD是正方形，B D BAD 90，AB BC CD AD 1，在 Rt ABE和 Rt ADF中，Rt ABE Rt ADF（HL），BAE DAF，EAF 60，BAE+DAF 30，DAF 15，在
16、AD上取一点 G，使 GFA DAF 15，如图所示：专题典型训练题 12 AG FG，DGF 30，DF FG AG，DG DF，设 DF x，则 DG x，AG FG 2x，AG+DG AD，2x+x 1，解得：x 2，DF 2，CF CD DF 1（2）1；故选：C 2（2019湖南张家界）如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1的正方形 OABC绕点 O顺 时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O连续旋转 2019次得到正方形 OA2019B2019C2019，那么点 A2019的坐标是（）A（，）B（1，0）C（，）D（0，1）【答案】A.【解析】解：四边形 OA
17、BC是正方形，且 OA 1，A（0，1），将正方形 OABC绕点 O逆时针旋转 45后得到正方形 OA1B1C1，A1（，），A2（1，0），A3（，），发现是 8次一循环，所以 2019 8 252 余 3，13 点 A2019的坐标为（，）故选：A 3.（2019四川省广安市）把边长分别为 1和 2的两个正方形按图的方式放置.则图中阴影部分的面积为()A61()B31()C51()D41【答案】A【解析】阴影部分面积=13221=61 4.（2019贵州省铜仁市）如图，正方形 ABCD中，AB 6，E为 AB的中点，将 ADE沿 DE翻折得到 FDE，延长 EF交 BC于 G，FH BC，
18、垂足为 H，连接 BF、DG以下结论：BF ED；DFG DCG；FHB EAD；tan GEB；SBFG 2.6；其中正确的个数是（）A 2 B 3 C 4 D【答案】C【解答】正方形 ABCD中，AB 6，E为 AB的中点 AD DC BC AB 6，AE BE 3，A C ABC 90 ADE沿 DE翻折得到 FDE AED FED，AD FD 6，AE EF 3，A DFE 90 BE EF 3，DFG C 90 12 14 EBF EFB AED+FED EBF+EFB DEF EFB BF ED 故结论正确；AD DF DC 6，DFG C 90，DG DG Rt DFG Rt D
19、CG 结论正确；FH BC，ABC 90 AB FH，FHB A 90 EBF BFH AED FHB EAD 结论正确；Rt DFG Rt DCG FG CG 设 FG CG x，则 BG 6 x，EG 3+x 在 Rt BEG中，由勾股定理得：32+（6 x）2（3+x）2 解得：x 2 BG 4 tan GEB 故结论正确；FHB EAD，且 BH 2FH 设 FH a，则 HG 4 2a 在 Rt FHG中，由勾股定理得：a2+（4 2a）2 22 解得：a 2（舍去）或 a SBFG 4 2.4 故结论错误。15 5（2019黑龙江省绥化）如图，在正方形 ABCD中，E、F是对角线
20、AC上的两个动点，P是正方形四边上的任意一点，且 AB 4，EF 2，设 AE x当 PEF是等腰三角形时，下列关于 P点个数的说法中，一定正确的是（）当 x 0（即 E、A两点重合）时，P点有 6个 当 0 x 42 2时，P点最多有 9个 当 P点有 8个时，x 22 2 当 PEF是等边三角形时，P点有 4个 A B C D【答案】B【解析】当 x 0（即 E、A两点重合）时，如下图，分别以 A、F为圆心，2为半径画圆，各 2个 P点，以 AF为直径作圆，有 2个 P点，共 6个，所以，正确。当 0 x 42 2时，P点最多有 8个，故错误。16 二、填空题 6（2019湖南邵阳）公元
21、3世纪初，中国古代数学家赵爽注周髀算经时，创造了“赵爽弦图”如图，设勾 a=6，弦 c=10，则小正方形 ABCD的面积是.【答案】4【解析】勾 a 6，弦 c 10，股 8，小正方形的边长 8 6 2，小正方形的面积 22 4.故答案是：4.17 7（2019湖南张家界）如图：正方形 ABCD的边长为 1，点 E，F分别为 BC，CD边的中点，连接 AE，BF交于点 P，连接 PD，则 tan APD【答案】2【解析】解：连接 AF，E，F分别是正方形 ABCD边 BC，CD的中点，CF BE，在 ABE和 BCF中，Rt ABE Rt BCF（SAS），BAE CBF，又 BAE+BEA
22、90，CBF+BEA 90，BPE APF 90，ADF 90，ADF+APF 180，A、P、F、D四点共圆，AFD APD，tan APD tan AFD 2，故答案为：2 18 8.（2019湖北省随州市）如图，已知正方形 ABCD的边长为 a，E为 CD边上一点（不与端点重合），将ADE沿 AE对折至 AFE，延长 EF交边 BC于点 G，连接 AG，CF给出下列判断：EAG=45；若 DE=a，则 AG CF；若 E为 CD的中点，则 GFC的面积为 a2；若 CF=FG，则 DE=（-1）a；BG DE+AF GE=a2 其中正确的是 _（写出所有正确判断的序号）【答案】【解析】四
23、边形 ABCD是正方形，AB=BC=AD=a，将 ADE沿 AE对折至 AFE，AFE=ADE=ABG=90，AF=AD=AB，EF=DE，DAE=FAE，在 Rt ABG和 Rt AFG中，Rt ABG Rt AFG（HL），BAG=FAG，GAE=GAF+EAF=90=45，故正确；BG=GF，BGA=FGA，设 BG=GF=x，DE=a，EF=a，CG=a-x，19 在 Rt EGC中，EG=x+a，CE=a，由勾股定理可得（x+a）2=x2+（a）2，解得 x=a，此时 BG=CG=a，GC=GF=a，GFC=GCF，且 BGF=GFC+GCF=2 GCF，2 AGB=2 GCF，AG
24、B=GCF，AG CF，正确；若 E为 CD的中点，则 DE=CE=EF=，设 BG=GF=y，则 CG=a-y，CG2+CE2=EG2，即，解得，y=a，BG=GF=，CG=a-，故错误；当 CF=FG，则 FGC=FCG，FGC+FEC=FCG+FCE=90，FEC=FCE，EF=CF=GF，BG=GF=EF=DE，EG=2DE，CG=CE=a-DE，即，DE=（-1）a，故正确；设 BG=GF=b，DE=EF=c，则 CG=a-b，CE=a-c，由勾股定理得，（b+y）2=（a-b）2+（a-c）2，整理得 bc=a2-ab-ac，=，即 SCEG=BG DE，SABG=SAFG，SAE
25、F=SADE，S五边形ABGED+SCEG=S正方形ABCD，BG DE+AF EG=a2，故正确故答案为：由折叠得 AD=AF=AB，再由 HL定理证明 Rt ABG Rt AFG便可判定正误；设 BG=GF=x，由勾股定理可得（x+a）2=x2+（a）2，求得 BG=a，进而得 GC=GF，得 GFC=GCF，再证明 AGB=GCF，便可判断正误；设 BG=GF=y，则 CG=a-y，由勾股定理得 y的方程求得 BG，GF，EF，再由同高的两个三角形的面积比等于底边之比，求得 CGF的面积，便可判断正误；证明 FEC=FCE，得 EF=CF=GF，进而得 EG=2DE，CG=CE=a-DE
26、，由等腰直角三角形的斜边与直角边的关系式便可得结论，进而判断正误；20 设 BG=GF=b，DE=EF=c，则 CG=a-b，CE=a-c，由勾股定理得 bc=a2-ab-ac，再得 CEG的面积为 BG DE，再由五边形 ABGED的面积加上 CEG的面积等于正方形的面积得结论，进而判断正误 9（2019福建）如图，边长为 2的正方形 ABCD中心与半径为 2的 O的圆心重合，E、F分别是 AD、BA的延长与 O的交点，则图中阴影部分的面积是（结果保留）【答案】1【解析】延长 DC，CB交 O于 M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论 延长 DC，CB交 O于 M，N，则图中阴影部分的
27、面积（S圆O S正方形ABCD）（4 4）1，10.（2019四川省凉山州）如图，正方形 ABCD中，AB 12，AE AB，点 P在 BC上运动（不与 B、C重合），过点 P作 PQ EP，交 CD于点 Q，则 CQ的最大值为【答案】4【解析】先证明 BPE CQP，得到与 CQ有关的比例式，设 CQ y，BP x，则 CP 12 x，代入解析式，得到 y与 x的二次函数式，根据二次函数的性质可求最值 BEP+BPE 90，QPC+BPE 90，BEP CPQ 又 B C 90，21 BPE CQP 设 CQ y，BP x，则 CP 12 x，化简得 y（x2 12x），整理得 y（x 6）
28、2+4，所以当 x 6时，y有最大值为 4 11.（2019广东广州）如图，正方形 ABCD的边长为 a，点 E在边 AB上运动（不与点 A，B重合），DAM 45，点 F在射线 AM上，且 AF BE，CF与 AD相交于点 G，连接 EC，EF，EG，则下列结论：ECF 45；AEG的周长为（1+）a；BE2+DG2 EG2；EAF的面积的最大值 a2 其中正确的结论是（填写所有正确结论的序号）【答案】【解析】正确如图 1中，在 BC上截取 BH BE，连接 EH证明 FAE EHC（SAS），即可解决问题错误如图 2中，延长 AD到 H，使得 DH BE，则 CBE CDH（SAS），再证
29、明 GCEGCH（SAS），即可解决问题 正确设 BE x，则 AE a x，AF x，构建二次函数，利用二次函数的性质解决最值问题 如图 1中，在 BC上截取 BH BE，连接 EH BE BH，EBH 90，EH BE，AF BE，AF EH，DAM EHB 45，BAD 90，FAE EHC 135，22 BA BC，BE BH，AE HC，FAE EHC（SAS），EF EC，AEF ECH，ECH+CEB 90，AEF+CEB 90，FEC 90，ECF EFC 45，故正确，如图 2中，延长 AD到 H，使得 DH BE，则 CBE CDH（SAS），ECB DCH，ECH BCD
30、 90，ECG GCH 45，CG CG，CE CH，GCE GCH（SAS），EG GH，GH DG+DH，DH BE，EG BE+DG，故错误，AEG的周长 AE+EG+AG AG+GH AD+DH+AE AE+EB+AD AB+AD 2a，故错误，设 BE x，则 AE a x，AF x，SAEF（a x）x x2+ax（x2 ax+a2 a2）（x a）2+a2，0，x a时，AEF的面积的最大值为 a2故正确，故答案为 23 12.（2019广西贺州）如图，正方形 ABCD的边长为 4，点 E是 CD的中点，AF平分 BAE交 BC于点 F，将 ADE绕点 A顺时针旋转 90得 AB
31、G，则 CF的长为【答案】6 2【解析】作 FM AD于 M，FN AG于 N，如图，易得四边形 CFMD为矩形，则 FM 4，正方形 ABCD的边长为 4，点 E是 CD的中点，DE 2，AE 2，ADE绕点 A顺时针旋转 90得 ABG，AG AE 2，BG DE 2，3 4，GAE 90，ABG D 90，而 ABC 90，点 G在 CB的延长线上，AF平分 BAE交 BC于点 F，1 2，2+4 1+3，即 FA平分 GAD，FN FM 4，AB GF FN AG，GF 2，24 CF CG GF 4+2 2 6 2 故答案为 6 2 13（2019山东青岛）如图，在正方形纸片 ABC
32、D中，E是 CD的中点，将正方形纸片折叠，点 B落在线段AE上的点 G处，折痕为 AF若 AD 4cm，则 CF的长为 cm【答案】6【解析】设 BF x，则 FG x，CF 4 x，在 Rt GEF中，利用勾股定理可得 EF2（4）2+x2，在Rt FCE中，利用勾股定理可得 EF2（4 x）2+22，从而得到关于 x方程，求解 x，最后用 4 x即可 设 BF x，则 FG x，CF 4 x 在 Rt ADE中，利用勾股定理可得 AE 根据折叠的性质可知 AG AB 4，所以 GE 4 在 Rt GEF中，利用勾股定理可得 EF2（4）2+x2，在 Rt FCE中，利用勾股定理可得 EF2
33、（4 x）2+22，所以（4）2+x2（4 x）2+22，解得 x 2 则 FC 4 x 6 14.（2019江苏镇江）将边长为 1的正方形 ABCD绕点 C按顺时针方向旋转到 FECG的位置（如图），使得点 D落在对角线 CF上，EF与 AD相交于点 H，则 HD（结果保留根号）25【答案】2 1【解析】本题考查了正方形的性质、旋转、等腰三角形的判定与性质、勾股定理由正方形的对角线与相邻的边夹角为 45，得 CFE ECF 45，而在 Rt CEF中，由勾股定理，得 CF2，从而 DF2 1，易知 DHF是等腰直角三角形，于是 DH DF2 1因此本题答案为2 1 15（2019辽宁抚顺）如
34、图，在 2 6的网格中，每个小正方形的边长都是 1个单位长度，网格中小正方形的顶点叫格点，点 A，B，C在格点上，连接 AB，BC，则 tan ABC 故答案为：【解析】连接 AD，根据网格利用勾股定理求出 AB，AD，BD的长，利用勾股定理的逆 定理判断出三角形 ABD为直角三角形，利用锐角三角函数定义求出所求即可 连接 AD，由勾股定理得：AD，AB 2，BD，（）2+（2）2（）2，即 AD2+AB2 BD2，ABD为 BAD是直角的直角三角形，tan ABC 三、解答题 16（2019湖南湘西州）如图，在正方形 ABCD中，点 E，F分别在边 CD，AD上，且 AF CE 26（1）求
35、证：ABF CBE；（2）若 AB 4，AF 1，求四边形 BEDF的面积【答案】（1）见解析；（2）12【解答】（1）在 ABF和 CBE中，ABF CBE（SAS）；（2）由已知可得正方形 ABCD面积为 16，ABF面积 CBE面积12 4 1 2 所以四边形 BEDF的面积为 16 2 2 12 17.(2019海南)如图,在边长为 1的正方形 ABCD中,E是边 CD的中点,点 P是边 AD上一点(与点 A,D不重合),射线 PE与 BC的延长线交于点 Q.(1)求证:PDE QCE;(2)过点 E作 EF BC交 PB于点 F,连接 AF,当 PB PQ时,求证:四边形 AFEP是
36、平行四边形;请判断四边形 AFEP是否为菱形,并说明理由.【答案】见解析。【解析】由正方形性质得到边角关系,从而证明全等;通过证明全等得到 AP EF,由平行线的传递性得到平行,故四边形 AFEP是平行四边形;列出方程得到 AP的长,与 PE比较,不能判定四边形 AFEP是菱形.(1)证明:四边形 ABCD是正方形,D BCD 90,ECQ 90 D.E是 CD的中点,DE CE,又 DEP CEQ,PDE QCE;27(2)(2)证明:如图,由(1)得 PDE QCE,PE QE12PQ,又 EF BC,PF FB12PB,PB PQ,PF PE,1 2,四边形 ABCD是正方形,BAD 9
37、0,在 Rt ABP中,F是 PB的中点,AF12BP FP,3 4,AD BC,EF BC,AD EF,1 4,2 3,又 PF FP,APF EFP,AP EF,又 AP EF,四边形 AFEP是平行四边形.四边形 AFEP不是菱形,理由如下:设 PD x,则 AP 1 x,由(1)可知 PDE QCE,CQ PD x,BQBC+CQ 1+x,点 E,F分别是 PQ,PB的中点,EF是 PBQ的中位线,EF12BQ1+2x.由可知 APEF,即 1 x1+2x,解得 x13,PD13,AP23,在 Rt PDE中,DE12,PE2 2PD DE+136,APPE,四边形 AFEP不是菱形.
38、18（2019湖南株洲）如图所示，已知正方形 OEFG的顶点 O为正方形 ABCD对角线 AC、BD的交点，连接 CE、DG（1）求证：DOG COE；（2）若 DG BD，正方形 ABCD的边长为 2，线段 AD与线段 OG相交于点 M，AM12，求正方形 OEFG的边长【答案】（1）见解析；（2）2【解析】解：（1）正方形 ABCD与正方形 OEFG，对角线 AC、BD 28 DO OC DB AC，DOA DOC 90 GOE 90，GOD+DOE DOE+COE 90 GOD COE GO OE 在 DOG和 COE中 DOG COE（SAS）（2）如图，过点 M作 MH DO交 DO
39、于点 H AM12，DA 2，DM MDB 45 MH DH sin45 DM，DO cos45 DA HO DO DH 在 Rt MHO中，由勾股定理得 MO DG BD，MH DO，MH DG 易证 OHM ODG，得 GO 2 则正方形 OEFG的边长为 2 29 19.（2019湖北省仙桃市）如图，E，F分别是正方形 ABCD的边 CB，DC延长线上的点，且 BE CF，过点 E作 EG BF，交正方形外角的平分线 CG于点 G，连接 GF求证：（1）AE BF；（2）四边形 BEGF是平行四边形【答案】见解析。【解析】由 SAS证明 ABE BCF得出 AE BF，BAE CBF，由
40、平行线的性质得出 CBF CEG，证出 AE EG，即可得出结论；延长 AB至点 P，使 BP BE，连接 EP，则 AP CE，EBP 90，证明APE ECG得出 AE EG，证出 EG BF，即可得出结论 证明：（1）四边形 ABCD是正方形，AB BC，ABC BCD 90，ABE BCF 90，在 ABE和 BCF中，ABE BCF（SAS），AE BF，BAE CBF，EG BF，CBF CEG，BAE+BEA 90，CEG+BEA 90，AE EG，AE BF；（2）延长 AB至点 P，使 BP BE，连接 EP，如图所示：则 AP CE，EBP 90，P 45，CG为正方形 A
41、BCD外角的平分线，ECG 45，P ECG，由（1）得 BAE CEG，在 APE和 ECG中，30 APE ECG（ASA），AE EG，AE BF，EG BF，EG BF，四边形 BEGF是平行四边形 20（2019山东泰安）如图，四边形 ABCD是正方形，EFC是等腰直角三角形，点 E在 AB上，且 CEF 90，FG AD，垂足为点 C（1）试判断 AG与 FG是否相等？并给出证明；（2）若点 H为 CF的中点，GH与 DH垂直吗？若垂直，给出证明；若不垂直，说明理由【答案】见解析。【解析】过点 F作 FM AB交 BA的延长线于点 M，可证四边形 AGFM是矩形，可得 AG MF，
42、AMFG，由“AAS”可证 EFM CEB，可得 BE MF，ME BC AB，可得 BE MA MF AG FG；延长 GH交 CD于点 N，由平行线分线段成比例可得，且 CH FH，可得 GH HN，NCFG，即可求 DG DN，由等腰三角形的性质可得 DH HG（1）AG FG，理由如下：如图，过点 F作 FM AB交 BA的延长线于点 M 31 四边形 ABCD是正方形 AB BC，B 90 BAD FM AB，MAD 90，FG AD 四边形 AGFM是矩形 AG MF，AM FG，CEF 90，FEM+BEC 90，BEC+BCE 90 FEM BCE，且 M B 90，EF EC
43、 EFM CEB（AAS）BE MF，ME BC ME AB BC BE MA MF AG FG，（2）DH HG 理由如下：如图，延长 GH交 CD于点 N，FG AD，CD AD FG CD，且 CH FH，GH HN，NC FG，AG FG NC 32 又 AD CD，GD DN，且 GH HN，DH GH 21（2019湖北襄阳）（1）证明推断：如图（1），在正方形 ABCD中，点 E，Q分别在边 BC，AB上，DQ AE于点 O，点 G，F分别在边 CD，AB上，GF AE 求证：DQ AE；推断：的值为；（2）类比探究：如图（2），在矩形 ABCD中，k（k为常数）将矩形 ABCD
44、沿 GF折叠，使点 A落在BC边上的点 E处，得到四边形 FEPG，EP交 CD于点 H，连接 AE交 GF于点 O试探究 GF与 AE之间的数量关系，并说明理由；（3）拓展应用：在（2）的条件下，连接 CP，当 k 时，若 tan CGP，GF 2，求 CP的长【答案】见解析。24【解析】（1）证明：四边形 ABCD是正方形，AB DA，ABE 90 DAQ QAO+OAD 90 AE DH，ADO+OAD 90 QAO ADO ABE DAQ（ASA），AE DQ 解：结论：1 理由：DQ AE，FG AE，DQ FG，FQ DG，四边形 DQFG是平行四边形，FG DQ，AE DQ，FG
45、 AE，1 故答案为 1（2）解：结论：k 33 理由：如图 2中，作 GM AB于 M AE GF，AOF GMF ABE 90，BAE+AFO 90，AFO+FGM 90，BAE FGM，ABE GMF，AMG D DAM 90，四边形 AMGD是矩形，GM AD，k（3）解：如图 2 1中，作 PM BC交 BC的延长线于 M FB GC，FE GP，CGP BFE，tan CGP tan BFE，可以假设 BE 3k，BF 4k，EF AF 5k，FG 2，AE 3，（3k）2+（9k）2（3）2，K 1或 1（舍弃），BE 3，AB 9，BC：AB 2：3，BC 6，BE CE 3，
46、AD PE BC 6，34 BEF FEP PME 90，FEB+PEM 90，PEM+EPM 90，FEB EPM，FBE EMP，EM，PM，CM EM EC 3，PC 正方形的性质-1 正方形的性质专项练习 30题（有答案）1如图，在正方形 ABCD中，AB=4，F为 DC的中点，E为 BC上一点，且 EC=BC求 AEF的面积 2如图所示，在正方形 ABCD中，点 E、F分别是 AD、BC的中点求证：四边形 BFDE是平行四边形 3 如图，在正方形 ABCD中，对角线 AC与 BD相交于点 E，AF平分 BAC，交 BD于点 F，求证：EF+AC=AB 4如图，在正方形 ABCD中，E
47、为对角线 AC上一点，连接 EB、ED；求证：BEC DEC；延长 BE交 AD于点 F，若 DEB=130，求 AFE的度数 5如图，在正方形 ABCD中，E是 CD边的中点，AC与 BE相交于点 F，连接 DF（1）求证：1=2；（2）连接 AE，试判断 AE与 DF的位置关系，并证明你的结论 正方形的性质-2 6如图，E、F分别是正方形 ABCD中 BC和 CD边上的点，且 AB=4，CE=BC，F为 CD的中点，连接 AF、AE，问 AEF是什么三角形？请说明理由 7如图，点 E、F在正方形 ABCD的边 BC、CD上，且 BE=CF，试判断 AE、BF的关系，并说明理由 8如图，正方
48、形 ABCD中，E为对角线 BD上一点，且 AEC=132，求 DAE的度数 9如图，在正方形 ABCD中，AE=AB，AEB=75 求证：（1）BEF是等腰三角形；（2）点 E在线段 AD的垂直平分线上 10 如图，E是正方形 ABCD外的一点，连接 AE、BE、DE，且 EBA=ADE，点 F在 DE上，连接 AF，BE=DF（1）求证：ADF ABE；（2）小明还发现线段 DE、BE、AE之间满足等量关系：DE BE=AE请你说明理由 正方形的性质-3 11如图，在边长为 4的正方形 ABCD中，点 P在 AB上从 A向 B运动，连接 DP交 AC于点 Q（1）试证明：无论点 P运动到
49、AB上何处时，都有 ADQ ABQ；（2）若点 P从点 A运动到点 B，再继续在 BC上运动到点 C，在整个运动过程中，当点 P 运动到什么位置时，ADQ恰为等腰三角形 12如图，延长正方形 ABCD的边 BC到 E，使 CE=CB，连接 AE交 CD于 F，连接 BF BEF和 ABF是否是等腰三角形，说明理由 13如图，正方形 ABCD中，M是 BC上任意一点（点 M与 B、C不重合），DE AM于 E，BF AM于 F，在图中找出一对全等三角形，并加以证明 14如图，E是正方形 ABCD中 AD边的中点，延长 BA到点 F，使 AF=AE，判断 BE与 DF之间有何关系？并说明理由 15
50、已知，如图，正方形 ABCD的面积为 100，菱形 PQCB的面积为 80，求阴影部分的面积 正方形的性质-4 16如图，正方形 ABCD的边 CD在正方形 ECGF的边 CE上，连接 BE、DG 求证：BE=DG 17如图，点 P是正方形 ABCD边 AB上一点（不与点 A，B重合），连接 PD并将线段 PD绕点 P顺时针方向旋转90得到线段 PE，PE交边 BC于点 F，连接 BE，DF（1）求证：ADP=EPB；（2）求 CBE的度数 18在 ABC中，C=90，四边形 ABDE，AGFC都是正方形，如图，求证：BG=EC 19如图，在正方形 ABCD中，E为 CD边上一点，F为 BC延