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1、12 0 1 0 湖 北 考 研 数 学 一 真 题 及 答 案一、选 择 题（1）、极 限2lim()()xxxx a x b（C）A、1 B、e C、a beD、b ae【详 解】2 222 ln 1()()()()()()()()lim lim lim()()lim limxx x xxx a x b x a x bx x xa b x ab a b x abxxx a x b x a x bx xa bxe ex a x be ee（2）、设 函 数(,)z z x y，由 方 程(,)0y zFx x 确 定，其 中 F 为 可 微 函 数，且20 F，则z zx yu y（B）A、
2、x B、z C、x D z【详 解】等 式 两 边 求 全 微 分 得：1 2 1 2 1 2()()()0 x x y y z zF u F v d x F u F v d y F u F v d z，所 以 有，1 21 2x xz zF u F v zx F u F v，1 21 2y yz zF u F vzy F u F v，其 中，2 xyux，1yux，0zu，2 xzvx，0yv，1zvx，代 入 即 可。（3）、设,m n 是 正 整 数，则 反 常 积 分210ln(1)mnxdxx的 收 敛 性(D)(A)仅 与 m 的 取 值 有 关(B)仅 与 n 有 关(C)与,m
3、 n 都 有 关(D)都 无 关【详 解】：显 然 0,1 x x 是 两 个 瑕 点，有2 2 2 11 1210 02ln(1)ln(1)ln(1)m m mn n nx x xdx dx dxx x x 对 于2 120ln(1)mnxdxx的 瑕 点 0 x，当 0 x 时2 1 2ln(1)ln(1)mm nnxx xx 等 价 于22 2 1(1)m m nx，而2 1 120m nx dx收 敛（因,m n 是 正 整 数2 11m n），故2 120ln(1)mnxdxx收 敛；对 于2112ln(1)mnxdxx的 瑕 点 1 x，当1(1,1)(0)2x 时1 2 1 2
4、2ln(1)2 ln(1)2(1)mn m n mnxx xx，而2112(1)mx dx 显 然 收 敛，故2112ln(1)mnxdxx收 敛。所 以 选 择 D.（4）、2 21 1lim()()n nni jnn i n j(D)A、120 01(1)(1)xd x d yx y B、10 01(1)(1)xd x d yx y C、1 10 01(1)(1)dx dyx y D、1 120 01(1)(1)d x d yx y【详 解】：2 221 1 1 11 1 1 1lim lim()()(1)(1()n n n nx ni j i jni jn i n j n nn n 1
5、120 01(1)(1)d x d yx y（5）设 A 为 m n 型 矩 阵，B 为 n m 型 矩 阵，E 为 m 阶 单 位 矩 阵，若 A B=E，则（A）A、秩 r(A)=m,秩 r(B)=m B、秩 r(A)=m,秩 r(B)=nC、秩 r(A)=n,秩 r(B)=m D、秩 r(A)=n,秩 r(B)=n【详 解】m R(B)m,R(A)m R(B)m,R(A)(,R(A),(),(min()()(而即 又 m B R m B R A R m A B Rm A B RE A B(6)设 A 为 4 阶 实 对 称 矩 阵，且20 A A，若 A 的 秩 为 3，则 A 相 似
6、于（D）A 1110 B.1110 3C.1110 D.1110【详 解】设 A 的 特 征 值 为 r，因 为20 A A 为 所 以20 即1 0 0)1(或又3 R(A)，A 必 可 相 似 对 角 化，且 对 角 阵 的 秩 也 是 3.11110A 是 三 重 特 征 根所 以 正 确 答 案 为（D）(7)设 随 机 变 量 X的 分 布 函 数0 01()0 121 1xxf x xe x，则 x=1=（C）A 0.12C.112eD.11 e【详 解】1 11 1 1(1)(1 0)12 2P x F F e e.所 以 选 C(8)设1()f x为 标 准 正 态 分 布 的
7、 概 率 密 度，2()f x为 1,3 上 的 均 匀 分 布 的 概 率 密 度，若12()0()(0,0)()0a f x xf x a bb f x x 为 概 率 密 度，则,a b应 满 足：（A）A、2 3 4 a b B、3 2 4 a b C、1 a b D、2 a b【详 解】由 概 率 密 度 的 性 质()1 f x d x，有0 31 20()()11 312 42 3 4a f x d x b f x d xa ba b 所 以 选 A。二、填 空 题4（9）、设20,ln(1),ttx e y u d u 求20 2d yd x0【详 解】22222222 222
8、(ln(1)1ln 1ln 112ln 111ttt ttttty tdydx x t ed y d dy d dy dtdx dx dx dt dx dxtetx tte t etteeet 故20 20d yd x（1 0）、20cos x x d x4【详 解】20cos 4 x x d x 令,x t 原 式 为 2 20 00 0 0 02 cos 2 sin|2 sin 4 sin 4 cos|cos 4 t t dt t t t t dt t t dt t t t dt（1 1）、已 知 曲 线L的 方 程 为 1,1,1,y x x 起 点 是(1,0),终 点 是(1,0),
9、则 曲 线 积 分2Lx y d x x d y 0【详 解】令1:1 01x tL ty t 2:0 11x tL ty t 1 222 20 12 21 02 23 0 3 11 01 12 23 2 2 30LL Lx y dx x dyx y dx x dy x y dx x dyt t t dt t t t dtt tt t 5（1 2）、设2 2(,)1,x y z x y z 则 的 形 心 坐 标 z 23【详 解】222 1 10 02 1 10 02332rrz dx dy dzd r dr z dzzdx dy dzd r dr dz（1 3）设1 2 3(1,2,1,0
10、),(1,1,0,2),(2,1,1,),T T T 若 由 形 成 的 向 量 空 间 维 数 是 2，则 6【详 解】由 题 意 知 向 量 组3 2 1,线 性 相 关，而 其 中 两 个 向 量 线 性 无 关，所 以2,(3 2 1）R，即6 0 66 0 00 0 03 1 02 1 12 03 1 03 1 02 1 12 01 0 11 1 22 1 12 32 41 21 322 r rr rr rr r（1 4）设 随 机 变 量 X 概 率 分 布 为,0,1,2,!Cp X k kK，则2E X 2【详 解】由 概 率 密 度 的 性 质0 1kP X k，有101!k
11、CC ek 即1,0,1,2,!eP X k kk 为 参 数 为 1 的 泊 松 分 布，则 有2 21,1()2E X D XE X D X E X 三、解 答 题（1 5）（本 题 满 分 1 0 分）求 微 分 方 程 3 2 2xy y y x e 的 通 解【详 解】齐 次 方 程 3 2 0 y y y 的 特 征 方 程 为23 2 0 由 此 得1 22,1.对应 齐 次 方 程 的 通 解 为21 2x xy C e C e 设 非 齐 次 方 程 的 特 解 为 xy A x B x e 代 入 原 方 程 得1,2 A B 从 而 所 求 解 为62 21 2(2)x
12、x xy C e C e x x e（1 6）（本 题 满 分 1 0 分）求 函 数2221()()xtf x x t e d t 的 单 调 区 间 与 极 值【详 解】由21()2 0 xtf x x e d t，可 得，0 x，1 判 断 在 区 间，1,0，(1,)，()0 f x，函 数 单 增 在 区 间，,1，(0,1)，()0 f x，函 数 单 减。极 小 值：1 1 0 f f 极 大 值 为2(0)1 fe 单 增 区 间 1,0,1,单 减 区 间,1,0,1（1 7）（本 题 满 分 1 0 分）（）比 较10ln ln(1)nt t d t 与10ln,1,2,n
13、t t d t n 的 大 小，说 明 理 由（）设10ln ln(1)(1,2,)nnM t t d t n，求 极 限 limnnM【详 解】令 ln 1 f t t t 当 0 1 t 时，11 01f tt 故 当 0 1 t 时 0 0 f t f 当 0 1 t 时 0 ln 1 1 t t 从 而 ln 1(1,2,)nnt t n 又 由 ln 0 t 得 1 10 0ln ln(1)ln(1,2,)nnt t d t t t d t n 1 10 011 1002ln ln1 1ln1 111n nn nt t d t t t d tt t t d tn nn 10lim l
14、n 0nnt t d t 0nM 由 夹 逼 定 理 得 10lim ln ln(1)0nnt t d t 7（1 8）（本 题 满 分 1 0 分）求 幂 级 数121(1)2 1nnnxn 的 收 敛 域 及 和 函 数【详 解】因 为 2 22 122 1lim lim2 1nnnn nnx n uxu x n，所 以 当21 x 即 1 1 x 时，原 幂 级 数 绝 对 收敛；当 1 x 时，级 数 为11(1)2 1nnn，显 然 收 敛，故 原 幂 级 数 的 收 敛 域 为 1,1。因 为1 12 2 11 1(1)(1)2 1 2 1n nn nn nx x xn n 设 1
15、2 11(1)(),1,12 1nnnx f x xn 则 2 1 1211(1)1n nnf x xx 因 为 0 0 f，所 以 00 arctanxf x f t d t f x 从 而()arctan,1,1 s x x x x 收 敛 域 1,1 x，和 函 数()arctan s x x x（1 9）（本 题 满 分 1 0 分）设 P 为 椭 球 面2 2 2:1 S x y z y z 上 的 动 点，若 S 在 点 P 处 的 切 平 面 与 x O y 面 垂 直，求 点 P 的 轨 迹 C，并 计 算 曲 面 积 分2 2(3)24 4x y zI d Sy z y z，
16、其 中 是 椭 球 面 S位 于 曲 线 C 上 方 的 部 分【详 解】（1）切 平 面 法 向 量 2,2,2x y zF x F y z F z y，因 与 x O y 面 垂 直，所 以 2 0(2)0(2)1 02yx y z z y z 所 以 轨 迹 为2 2 212x y z y zy z（2）2 2 22 24 5 5 812x yx y z y zd S z z d x d y d x d yz y 8原 式=2 233,(,)1 4x yx yDx d x d y D x y x y 23 0 3 1 23x y x yD Dx dx dy dx dy（2 0）（本 题
17、满 分 1 1 分）设1 10 1 0 11 1 1aA b 已 知 线 性 方 程 组 A x b 存 在 2 个 不 同 的 解，（）求，a；（）求 方 程 组 A x b 通 解。【详 解】（）由 题 意 知，A x b 的 增 广 矩 阵 为 1 1 11 0 1 01 11 1 11 0 1 01 1)(3 1 a ab A Ar r 1 1 0 01 0 1 01 11 1 01 0 1 01 12 22 3 1 3aaaar r r rA x b 有 2 个 不 同 的 解11,2)(1)(11 0 1 1 1 0 13)()(2 ab A x A R A Ra aA R A R
18、无 解 方 程 组 时 但，或（）由（）知，0 0 0 01 0 2 01 1 1 1A9等 价 方 程 组 为 1 2123 2 1xx x x2)()(A R A R 对 应 齐 次 线 性 方 程 组 0 A x 的 基 础 解 系 含 1 个 解 向 量，即101b A x 的 一 个 特 解 为 12125 b A x 的 通 解 为 12125101k（其 中 k 为 任 意 常 数）。（2 1）（本 题 满 分 1 1 分）已 知 二 次 型1 2 3(,)Tf x x x x A x 在 正 交 变 换 x Q y 下 的 标 准 形 为2 21 2y y，且 Q 的 第 3
19、列为2 202 2T（）求 矩 阵 A；（）证 明 A E 为 正 定 矩 阵，其 中 E 为 3 阶 单 位 矩 阵。【详 解】（）由 题 意 知 A Q QT,其 中 011，则TQ Q A 设 Q 的 其 他 任 一列 向 量 为 Tx x x3 2 1,Q 为 正 交 矩 阵1 0 210210 1 0210211 0 10 2 01 0 1-0111 0 10 2 01 0 1-211 0 10 2 01 0 1-22Q1 0 10 2 01 0 1-22220220 1 022022Q22022101210101012 002222022022,T1 12 13 13 1 3 2
20、1TQ Q Ax xx x x x x 单位化得 把，即为 个线性无关的解向量，其基础解系含 即（）证 明：()T TA E A E A E A E 为 实 对 称 矩 阵又 A 的 特 征 值 为 1，1，0 A E 的 特 征 值 为 2，2，1，都 大 于 0 A E 为 正 定 矩 阵。（2 2）（本 题 满 分 1 1 分）设 二 维 随 机 变 量(,)X Y 的 概 率 密 度 为2 2(,),x x y yf x y A e x，求 常 数 A 及 条件 概 率 密 度()Y Xf y x【详 解】由 概 率 密 度 的 性 质(,)1 f x y d x d y，可 知2 2
21、 2 22 2()1x x y y x x yA e d x d y A e d x e d y 1 1又 知2xe d x，有2 2()x x ye d x e d y 所 以1A，即2 22 21(,)x x y yf x y e X 的 边 缘 概 率 密 度 为2 2 2 2()1 1 1(),x x y x xXf x e e d y e e x 2 2222 2()1(,)1(),1()x x y yx yY XxXef x yf y x e x yf xe（2 3）（本 题 满 分 1 1 分）设 总 体 X 的 概 率 分 布 为X 1 2 3P 1 2 2其 中 参 数(0,
22、1)未 知，以iN 表 示 来 自 总 体 X 的 简 单 随 机 样 本（样 本 容 量 为 n）中 等 于 i的 个 数(1,2,3)i。试 求 常 数1 2 3,a a a，使31i iiT a N为 的 无 偏 估 计 量，并 求 T 的 方 差。【详 解】由 题 知1 2 3,N N N 分 别 服 从 二 项 分 布2 2(,1),(,),(,)B n B n B n，则 有2 21 2 3(,(),1)E N n E N n E N n 3 321 2 31 1112 1 23 223()001(1)10)1i i i ii iE T E a N a E N a a aaaa a aa aan n nnn nnn nn 即32 3 1 111i iiN N n N NT a Nn n n 11 2 21 1 1)(1)(1)ND T D D N nn n n n