2011年湖南高考理科数学真题及答案.pdf

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1、青 青 年 年 干 干 部 部 既 既 要 要 会 会 干 干，更 更 要 要 干 干 好 好，既 既 要 要 继 继 承 承 经 经 验 验，又 又 要 要 勇 勇 于 于 创 创 新 新，面 面 对 对 发 发 展 展 中 中 的 的 新 新 问 问 题 题 要 要 着 着 力 力 培 培 养 养 创 创 新 新 思 思 维 维、辩 辩 证 证 思 思 维 维 去 去 看 看 待 待 解 解 决 决，在 在 解 解 决 决 问 问 题 题 中 中 增 增 长 长 实 实 干 干 本 本 领 领，努 努 力 力 做 做 一 一 名 名 新 新 时 时 代 代 中 中 国 国 特 特 色 色

2、社 社 会 会 主 主 义 义 事 事 业 业 的 的 建 建 设 设 者 者 和 和 接 接 班 班 人 人。20112011 年湖南高考理科数学真题及答案年湖南高考理科数学真题及答案本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共 6 页，时量 120 分钟，满分 150 分。参考公式：（1）()()()P ABP B AP A，其中,A B为两个事件，且()0P A，（2）柱体体积公式VSh，其中S为底面面积，h为高。（3）球的体积公式343VR，其中R为求的半径。一选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。1.若,a bR，

3、i为虚数单位，且()ai ibi，则（）A1,1abB1,1ab C1,1ab D1,1ab 答案：D解：因()1ai iaibi ，根据复数相等的条件可知1,1ab。2.设1,2M，2Na，则“1a”是“NM”则（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分又不必要条件答案：A解：因“1a”，即1N，满足“NM”，反之“NM”，则2=1Na，或2=2Na，不一定有“1a”。3.设图一是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（）332正视图侧视图俯视图图 1A9122B9182C942D3618答案：B解：有 三 视 图 可 知 该 几 何 体 是 一 个 长 方 体 和 球 构

4、成 的 组 合 体，其 体 积3439+3 3 2=18322V（）。4.通过随机询问 110 名性别不同的大学生是否爱好某项运动，得到如下的列联表：男女总计爱好402060不爱好203050总计6050110由22()()()()()n adbcKab cd ac bd算得22110(40 3020 20)7.860 50 60 50K附表：2()P Kk0.0500.0100.001k3.8416.63510.828参照附表，得到的正确结论是（）A在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”B在犯错误的概率不超过0.1%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”C有9

5、9%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”D有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”青 青 年 年 干 干 部 部 既 既 要 要 会 会 干 干，更 更 要 要 干 干 好 好，既 既 要 要 继 继 承 承 经 经 验 验，又 又 要 要 勇 勇 于 于 创 创 新 新，面 面 对 对 发 发 展 展 中 中 的 的 新 新 问 问 题 题 要 要 着 着 力 力 培 培 养 养 创 创 新 新 思 思 维 维、辩 辩 证 证 思 思 维 维 去 去 看 看 待 待 解 解 决 决，在 在 解 解 决 决 问 问 题 题 中 中 增 增 长 长 实 实 干 干 本 本 领 领，努

6、 努 力 力 做 做 一 一 名 名 新 新 时 时 代 代 中 中 国 国 特 特 色 色 社 社 会 会 主 主 义 义 事 事 业 业 的 的 建 建 设 设 者 者 和 和 接 接 班 班 人 人。3答案：C解：由27.86.635K，而2(6.635)0.010P K，故由独立性检验的意义可知选 C.5.设双曲线2221(0)9xyaa的渐近线方程为320 xy，则a的值为（）A4B3C2D1答案：C解：由双曲线方程可知渐近线方程为3yxa，故可知2a。6.由直线,033xxy 与曲线cosyx所围成的封闭图形的面积为（）A12B1C32D3答案：D解：由定积分知识可得333333c

7、ossin|()322Sxdxx，故选 D。7.设1m，在约束条件1yxymxxy下，目标函数zxmy的最大值小于 2，则m的取值范围为（）A(1,12)B(12,)C(1,3)D(3,)答案：A解：画出可行域，可知5zxy在点1(,)11mmm取最大值，由21211mmm解得121m。8.设直线xt与函数2(),()lnf xxg xx的图像分别交于点,M N，则当|MN达到最小时t的值为（）A1B12C52D22答案：D解：由题2|lnMNxx，(0)x 不妨令2()lnh xxx，则1()2h xxx，令()0h x 解得22x，因2(0,)2x时，()0h x，当2(,)2x时，()0

8、h x，所以当22x 时，|MN达到最小。即22t。二填空题：本大题共 8 小题，考生作答 7 小题，每小题 5 分，共 35 分，把答案填在答题卡中对应题号的横线上。一、选做题（请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答，如果全做，则按前两题记分）9.在直角坐标系xoy中，曲线 C1的参数方程为cos,1 sinxy（为参数）在极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点 O 为极点，以x轴正半轴为极轴）中，曲线2C的方程为cossin10，则1C与2C的交点个数为。答案：2解：曲线221:(1)1Cxy，2:10Cxy，由圆心到直线的距离|0 1 1|012d，故1C与2C的

9、交点个数为 2.10.设,x yR,则222211()(4)xyyx的最小值为。答案：9解：由柯西不等式可知2222211()(4)(12)9xyyx。11.如图 2，,A E是半圆周上的两个三等分点，直径4BC，青 青 年 年 干 干 部 部 既 既 要 要 会 会 干 干，更 更 要 要 干 干 好 好，既 既 要 要 继 继 承 承 经 经 验 验，又 又 要 要 勇 勇 于 于 创 创 新 新，面 面 对 对 发 发 展 展 中 中 的 的 新 新 问 问 题 题 要 要 着 着 力 力 培 培 养 养 创 创 新 新 思 思 维 维、辩 辩 证 证 思 思 维 维 去 去 看 看 待

10、 待 解 解 决 决，在 在 解 解 决 决 问 问 题 题 中 中 增 增 长 长 实 实 干 干 本 本 领 领，努 努 力 力 做 做 一 一 名 名 新 新 时 时 代 代 中 中 国 国 特 特 色 色 社 社 会 会 主 主 义 义 事 事 业 业 的 的 建 建 设 设 者 者 和 和 接 接 班 班 人 人。5ADBC,垂足为 D,BE与AD相交与点 F，则AF的长为。答案：2 33解：由题可知，60AOBEOC，2OAOB,得1ODBD,33DF，又23ADBD CD，所以2 33AFADDF.二、必做题（1216 题）12、设nS是等差数列*()nanN的前n项和，且141

11、,7aa，则5_S 答案：25解：由141,7aa可得11,2,21nadan，所以5(1 9)5252S。13、若执行如图 3 所示的框图，输入1231,2,3,2xxxx，则输出的数等于。答案：23解：由框图的算法功能可知，输出的数为三个数的方差，则222(1 2)(22)(32)233S。14、在边长为 1 的正三角形ABC中，设2,3BCBD CACE ，则_AD BE 。答案：14解：由题12ADCDCACBCA ，13BECECBCACB ，所以111171()()232364AD BECBCACACBCB CA 。15、如图 4，EFGH是以O为圆心，半径为 1 的圆的内接正方形

12、，将一颗豆子随机地扔到该圆内，用 A 表示事件“豆子落在正方形EFGH内”，B 表示事件“豆子落在扇形OHE（阴影部分）内”，则（1）=_P A（）；（2）=_PA（B|）答案：（1）2；（2）1=4PA（B|）解：（1）由几何概型概率计算公式可得2=SP AS正圆（）；（2）由条件概率的计算公式可得2114=24P ABPAP A（）（B|）（）。16、对于*nN，将n表示为1210012122222kkkkknaaaaa，当0i 时，1ia，当1ik 时，ia为 0 或 1.记()I n为上述表示中ia为 0 的个数，（例如011 2，21041 20 20 2 ：故(1)0,(4)2II

13、）则（1）(12)_I（2）127()12_I nn答案：（1）2；（2）1093解：（1）因3210121 2+1 20 20 2 ，故(12)2I；（2）在 2 进制的(2)k k 位数中，没有 0 的有 1 个，有 1 个 0 的有11kC个，有 2 个 0 的有21kC个，有m个 0 的有1mkC个，有1k 个 0 的有111kkC个。故对所有 2 进制为k位数的数n，在所求式中的()2I n的和为：011221111111 22223kkkkkkCCC。又712721恰为 2 进制的最大 7 位数，所以1277()01122231093I nknk。青 青 年 年 干 干 部 部 既

14、 既 要 要 会 会 干 干，更 更 要 要 干 干 好 好，既 既 要 要 继 继 承 承 经 经 验 验，又 又 要 要 勇 勇 于 于 创 创 新 新，面 面 对 对 发 发 展 展 中 中 的 的 新 新 问 问 题 题 要 要 着 着 力 力 培 培 养 养 创 创 新 新 思 思 维 维、辩 辩 证 证 思 思 维 维 去 去 看 看 待 待 解 解 决 决，在 在 解 解 决 决 问 问 题 题 中 中 增 增 长 长 实 实 干 干 本 本 领 领，努 努 力 力 做 做 一 一 名 名 新 新 时 时 代 代 中 中 国 国 特 特 色 色 社 社 会 会 主 主 义 义 事

15、 事 业 业 的 的 建 建 设 设 者 者 和 和 接 接 班 班 人 人。7三解答题：本大题共 6 小题，共 75 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本小题满分 12 分）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且满足sincoscAaC.（I）求角C的大小；（II）求3sincos()4AB的最大值，并求取得最大值时角,A B的大小解：（I）由正弦定理得sinsinsincos.CAAC因为0,A所以sin0.sincos.cos0,tan1,4ACCCCC从而又所以则（II）由（I）知3.4BA于是3sincos()3sincos()43sincos2s

16、in().63110,46612623ABAAAAAAAAA从而当即时2sin()6A取最大值 2综上所述，3sincos()4AB的最大值为 2，此时5,.312AB18.某商店试销某种商品 20 天，获得如下数据：日销售量（件）0123频数1595试销结束后（假设该商品的日销售量的分布规律不变），设某天开始营业时有该商品 3 件，当天营业结束后检查存货，若发现存货少于 2 件，则当天进货补充至 3 件，否则不进货，将频率视为概率。(）求当天商品不进货的概率；（）记 X 为第二天开始营业时该商品的件数，求 X 的分布列和数学期望。解：（I）P（“当天商店不进货”）=P（“当天商品销售量为 0

17、 件”）+P（“当天商品销售量 1件”）=153202010。（II）由题意知，X的可能取值为 2，3.51(2)()204P xP当天商品销售量为1件；(3)()+()+(1953)+2020204P xPPP当天商品销售量为0件当天商品销售量为2件当天商品销售量为3件故X的分布列为X23P1434X的数学期望为13112+3=444EX。19.（本 题 满 分 12 分）如 图 5，在 圆 锥PO中，已 知2,POO的 直 径2,ABCABDAC是的中点,为的中点（I）证明：;PODPAC平面平面（II）求二面角BPAC的余弦值解：（I）连接OC，因为OAOC,D为的AC中点，所以ACOD

18、.又,.POO ACOACPO底面底面所以因为,OD PO是平面 POD内的两条相交直线，所以ACPOD 平面。而ACPAC 平面，所以PODPAC平面平面。（II）在平面POD中，过O作OHPD于H，由（I）知，PODPAC平面平面,青 青 年 年 干 干 部 部 既 既 要 要 会 会 干 干，更 更 要 要 干 干 好 好，既 既 要 要 继 继 承 承 经 经 验 验，又 又 要 要 勇 勇 于 于 创 创 新 新，面 面 对 对 发 发 展 展 中 中 的 的 新 新 问 问 题 题 要 要 着 着 力 力 培 培 养 养 创 创 新 新 思 思 维 维、辩 辩 证 证 思 思 维

19、维 去 去 看 看 待 待 解 解 决 决，在 在 解 解 决 决 问 问 题 题 中 中 增 增 长 长 实 实 干 干 本 本 领 领，努 努 力 力 做 做 一 一 名 名 新 新 时 时 代 代 中 中 国 国 特 特 色 色 社 社 会 会 主 主 义 义 事 事 业 业 的 的 建 建 设 设 者 者 和 和 接 接 班 班 人 人。9所以,OHPAC 平面又,PAPAC 平面所以PAOH.在平面PAO中，过O作OGPA于G,连接HG,则有PAOGH 平面，从而PAHG，所以OGH是二面角BPAC的平面角在2,sin452Rt ODAODOA 中在2222102,51+2+2PO

20、ODRt PODOHPOOD中在222 16,32+1+PO OARt POAOGPOOA中在10155,sin563OHRt OHGOGHOG中,所以10cos5OGH。故二面角BPAC的余弦值为105。20.如图 6，长方形物体 E 在雨中沿面 P（面积为 S）的垂直方向作匀速移动，速度为(0)v v，雨速沿 E 移动方向的分速度为()c cR。E 移动时单位时间内的淋雨量包括两部分：（1）P或 P 的平行面（只有一个面淋雨）的淋雨量，假设其值与vcS 成正比，比例系数为110；（2）其它面的淋雨量之和，其值为12，记y为 E 移动过程中的总淋雨量，当移动距离 d=100，面积 S=32时

21、。（）写出y的表达式（）设 0v10,0c5，试根据 c 的不同取值范围，确定移动速度v，使总淋雨量y最少。解：（I）由题意知，E 移动时单位时间内的淋雨量为31|202vc，故100315(|)(3|10)202yvcvcvv.（II）由(I)知，当0vc时，55(310)(3310)15cycvvv；当10cv时，55(103)(3310)15cyvcvv.故5(310)15,05(103)15,10cvcvyccvv。(1)当1003c时，y是关于v的减函数.故当10v 时，min3202cy。(2)当1053c时，在(0,c上，y是关于v的减函数；在(,10c上，y是关于v的增函数；故

22、当vc时，min50yc。A.(本小题满分 13 分）青 青 年 年 干 干 部 部 既 既 要 要 会 会 干 干，更 更 要 要 干 干 好 好，既 既 要 要 继 继 承 承 经 经 验 验，又 又 要 要 勇 勇 于 于 创 创 新 新，面 面 对 对 发 发 展 展 中 中 的 的 新 新 问 问 题 题 要 要 着 着 力 力 培 培 养 养 创 创 新 新 思 思 维 维、辩 辩 证 证 思 思 维 维 去 去 看 看 待 待 解 解 决 决，在 在 解 解 决 决 问 问 题 题 中 中 增 增 长 长 实 实 干 干 本 本 领 领，努 努 力 力 做 做 一 一 名 名 新

23、 新 时 时 代 代 中 中 国 国 特 特 色 色 社 社 会 会 主 主 义 义 事 事 业 业 的 的 建 建 设 设 者 者 和 和 接 接 班 班 人 人。11如图 7，椭圆22122:1(0)xyCabab的离心率为32，x轴被曲线22:Cyxb截得的线段长等于1C的长半轴长。（）求1C，2C的方程；（）设2C与y轴的交点为 M，过坐标原点 O 的直线l与2C相交于点 A,B,直线 MA,MB 分别与1C相交与 D,E.（i）证明：MDME；(ii)记MAB,MDE 的面积分别是12,S S.问：是否存在直线l,使得21SS=3217?请说明理由。解：（I）由题意知32cea，从而

24、2ab，又2 ba，解得2,1ab。故1C，2C的方程分别为2221,14xyyx。（II）（i）由题意知，直线l的斜率存在，设为k，则直线l的方程为ykx.由21ykxyx得210 xkx，设1122(,),(,)A x yB xy，则12,x x是上述方程的两个实根，于是1212,1xxk x x。又点M的坐标为(0,1)，所以2221212121212121211(1)(1)()1111MAMByykxkxk x xk xxkkkkxxx xx x 故MAMB，即MDME。（ii）设直线的斜率为1k，则直线的方程为11yk x，由1211yk xyx解得01xy 或1211xkyk，则点

25、的坐标为211(,1)k k又直线MB的斜率为11k，同理可得点 B 的坐标为21111(,1)kk.于是221111211111111|1|1|.222|kSMAMBkkkkk 由1221440yk xxy得2211(1 4)80kxk x，解得01xy 或12121218144114kxkkyk，则点D的坐标为2112211841(,)1414kkkk；又直线的斜率为11k，同理可得点E的坐标211221184(,)44kkkk于是2112221132(1)|1|2(14)(4)kkSMDMEkk因此21122111(417)64SkSk由题意知，21211117(417)6432kk解得

26、214k或2114k。又由点,A B的坐标可知，21211111111kkkkkkk，所以3.2k 故满足条件的直线l存在，且有两条，其方程分别为32yx和32yx。22.（本小题满分 13 分）已知函数f(x)=3x，g(x)=x+x。（）求函数 h(x)=f(x)-g(x)的零点个数，并说明理由；（）设数列*()nanN满足1(0)aa a，1()()nnf ag a，证明：存在常数 M,使青 青 年 年 干 干 部 部 既 既 要 要 会 会 干 干，更 更 要 要 干 干 好 好，既 既 要 要 继 继 承 承 经 经 验 验，又 又 要 要 勇 勇 于 于 创 创 新 新，面 面 对

27、 对 发 发 展 展 中 中 的 的 新 新 问 问 题 题 要 要 着 着 力 力 培 培 养 养 创 创 新 新 思 思 维 维、辩 辩 证 证 思 思 维 维 去 去 看 看 待 待 解 解 决 决，在 在 解 解 决 决 问 问 题 题 中 中 增 增 长 长 实 实 干 干 本 本 领 领，努 努 力 力 做 做 一 一 名 名 新 新 时 时 代 代 中 中 国 国 特 特 色 色 社 社 会 会 主 主 义 义 事 事 业 业 的 的 建 建 设 设 者 者 和 和 接 接 班 班 人 人。13得对于任意的*nN，都有naM.解：（I）由3()h xxxx知，0,)x，而(0)0

28、h，且(1)10,(2)620hh ，则0 x 为()h x的一个零点，且()h x在12（，）内有零点，因此()h x至少有两个零点解法 1：1221()312h xxx，记1221()312xxx，则321()64xxx。当(0,)x时，()0 x，因此()x在(0,)上单调递增，则()x在(0,)内至多只有一个零点。又因为3(1)0,()03，则()x在3(,1)3内有零点，所以()x在(0,)内有且只有一个零点。记此零点为1x，则当1(0,)xx时，1()()0 xx；当1(,)xx时，1()()0 xx；所以，当1(0,)xx时，()h x单调递减，而(0)0h，则()h x在1(0

29、,x内无零点；当1(,)xx时，()h x单调递增，则()h x在1(,)x 内至多只有一个零点；从而()h x在(0,)内至多只有一个零点。综上所述，()h x有且只有两个零点。解法 2：122()(1)h xx xx，记122()1xxx，则321()22xxx。当(0,)x时，()0 x，因此()x在(0,)上单调递增，则()x在(0,)内至多只有一个零点。因此()h x在(0,)内也至多只有一个零点，综上所述，()h x有且只有两个零点。（II）记()h x的正零点为0 x，即3000 xxx。（1）当0ax时，由1aa，即10ax.而33211000aaaxxx，因此20ax，由此猜

30、测：0nax。下面用数学归纳法证明：当1n 时，10ax显然成立；假设当(1)nk k时，有0kax成立，则当1nk时，由331000kkkaaaxxx知，10kax，因此，当1nk时，10kax成立。故对任意的*nN，0nax成立。（2）当0ax时，由（1）知，()h x在0(,)x 上单调递增。则0()()0h ah x，即3aaa。从而33211aaaaaa，即2aa，由此猜测：naa。下面用数学归纳法证明：当1n 时，1aa显然成立；假设当(1)nk k时，有kaa成立，则当1nk时，由331kkkaaaaaa知，1kaa，因此，当1nk时，1kaa成立。故对任意的*nN，naa成立。综上所述，存在常数0max,Mx a，使得对于任意的*nN，都有naM.