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1、2 0 1 0 年 内 蒙 古 高 考 理 科 数 学 真 题 及 答 案第 I 卷一 选 择 题（1）复 数231ii（A）3 4 i（B）3 4 i（C）3 4 i（D）3 4 i（2）函 数1 l n(1)(1)2xy x 的 反 函 数 是（A）2 11(0)xy e x（B）2 11(0)xy e x（C）2 11(R)xy e x（D）2 11(R)xy e x（3）若 变 量,x y 满 足 约 束 条 件1,3 2 5xy xx y，则 2 z x y 的 最 大 值 为（A）1（B）2（C）3（D）4（4）如 果 等 差 数 列 na 中，3 4 512 a a a，那 么1
2、 2 7.a a a（A）1 4（B）2 1（C）2 8（D）3 5（5）不 等 式2601x xx 的 解 集 为（A）2,3 x x x 或（B）2 1 3 x x x，或（C）2 1 3 x x x，或（D）2 1 1 3 x x x，或（6）将 标 号 为 1，2，3，4，5，6 的 6 张 卡 片 放 入 3 个 不 同 的 信 封 中 若 每 个 信 封 放 2 张，其 中 标 号 为 1，2 的 卡 片 放 入 同 一 信 封，则 不 同 的 方 法 共 有（A）1 2 种（B）1 8 种（C）3 6 种（D）5 4 种（7）为 了 得 到 函 数 s i n(2)3y x 的
3、图 像，只 需 把 函 数 s i n(2)6y x 的 图 像（A）向 左 平 移4个 长 度 单 位（B）向 右 平 移4个 长 度 单 位（C）向 左 平 移2个 长 度 单 位（D）向 右 平 移2个 长 度 单 位（8）A B C V 中，点 D 在 A B 上，C D 平 方 A C B 若 C B a u u r，C A b u u r，1 a，2 b，则 C D u u u r（A）1 23 3a b（B）2 13 3a b（C）3 45 5a b（D）4 35 5a b（9）已 知 正 四 棱 锥 S A B C D 中，2 3 SA，那 么 当 该 棱 锥 的 体 积 最
4、大 时，它 的 高 为（A）1（B）3（C）2（D）3（1 0）若 曲 线12y x 在 点12,a a 处 的 切 线 与 两 个 坐 标 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为 1 8，则a 来（A）6 4（B）3 2（C）1 6（D）8（1 1）与 正 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 的 三 条 棱 A B、1C C、1 1A D 所 在 直 线 的 距 离 相 等 的 点（A）有 且 只 有 1 个（B）有 且 只 有 2 个（C）有 且 只 有 3 个（D）有 无 数 个（1 2）已 知 椭 圆2 22 2:1(0)x yC a ba b 的 离 心 率 为32，
5、过 右 焦 点 F 且 斜 率 为(0)k k 的直 线 与 C 相 交 于 A B、两 点 若 3 A F F B，则 k（A）1（B）2（C）3（D）2第 卷二 填 空 题：本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分（1 3）已 知 a 是 第 二 象 限 的 角，4t a n(2)3a，则 t a n a（1 4）若9()axx 的 展 开 式 中3x 的 系 数 是 84，则 a（1 5）已 知 抛 物 线2:2(0)C y px p 的 准 线 为 l，过(1,0)M 且 斜 率 为 3 的 直 线 与 l 相 交于 点 A，与 C 的 一 个 交 点 为 B 若
6、 A M M B，则 p（1 6）已 知 球 O 的 半 径 为 4，圆 M 与 圆 N 为 该 球 的 两 个 小 圆，A B 为 圆 M 与 圆 N 的 公 共弦，4 A B 若 3 O M O N，则 两 圆 圆 心 的 距 离 M N 三 解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 7 0 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤（1 7）（本 小 题 满 分 1 0 分）A B C 中，D 为 边 B C 上 的 一 点，33 B D，5s i n13B，3c os5A D C，求 A D（1 8）（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 数 列 n
7、a 的 前 n 项 和2()3nnS n n（）求 l i mnnnaS；（）证 明：1 22 2 231 2n na a an（1 9）（本 小 题 满 分 1 2 分）如 图，直 三 棱 柱1 1 1A B C A B C 中，A C B C，1A A A B，D 为1B B 的 中 点，E 为1A B 上 的 一 点，13 A E E B（）证 明：D E 为 异 面 直 线1A B 与 C D 的 公 垂 线；（）设 异 面 直 线1A B 与 C D 的 夹 角 为 4 5，求 二 面 角1 1 1A A C B 的 大 小（2 0）（本 小 题 满 分 1 2 分）如 图，由 M
8、到 N 的 电 路 中 有 4 个 元 件，分 别 标 为 T1，T2，T3，T4，电 流 能 通 过 T1，T2，T3的 概 率 都 是 p，电 流 能 通 过 T4的 概 率 是 0.9 电 流 能 否 通 过 各 元 件相 互 独 立 已 知 T1，T2，T3中 至 少 有 一 个 能 通 过 电 流 的 概 率 为 0.9 9 9（）求 p；（）求 电 流 能 在 M 与 N 之 间 通 过 的 概 率；（）表 示 T1，T2，T3，T4中 能 通 过 电 流 的 元 件 个 数，求 的 期 望（2 1）（本 小 题 满 分 1 2 分）己 知 斜 率 为 1 的 直 线 l 与 双
9、曲 线 C：2 22 21 0 0 x ya ba b，相 交 于 B、D 两 点，且 B D 的 中 点 为 1,3 M（）求 C 的 离 心 率；（）设 C 的 右 顶 点 为 A，右 焦 点 为 F，17 D F B F，证 明：过 A、B、D 三 点 的 圆 与x 轴 相 切（2 2）（本 小 题 满 分 1 2 分）设 函 数 1xf x e（）证 明：当 x-1 时，1xf xx；（）设 当 0 x 时，1xf xax，求 a 的 取 值 范 围 参 考 答 案（数 学 理）（1）复 数231ii（A）3 4 i（B）3 4 i（C）3 4 i（D）3 4 i【答 案】A【命 题
10、意 图】本 试 题 主 要 考 查 复 数 的 运 算.【解 析】231ii 22(3)(1)(1 2)3 42i ii i.（2）.函 数1 l n(1)(1)2xy x 的 反 函 数 是（A）2 11(0)xy e x（B）2 11(0)xy e x（C）2 11(R)xy e x（D）2 11(R)xy e x【答 案】D【命 题 意 图】本 试 题 主 要 考 察 反 函 数 的 求 法 及 指 数 函 数 与 对 数 函 数 的 互 化。【解 析】由 原 函 数 解 得，即，又；在 反 函 数 中，故 选 D.（3）.若 变 量,x y 满 足 约 束 条 件1,3 2 5xy x
11、x y，则 2 z x y 的 最 大 值 为（A）1（B）2（C）3（D）4【答 案】C【命 题 意 图】本 试 题 主 要 考 查 简 单 的 线 性 规 划 问 题.【解 析】可 行 域 是 由 A(1,1),B(1,4),C(1,1)构 成 的 三 角 形，可 知 目 标 函 数 过 C 时 最 大，最 大 值 为 3，故 选 C.（4）.如 果 等 差 数 列 na 中，3 4 512 a a a，那 么1 2 7.a a a（A）1 4（B）2 1（C）2 8（D）3 5【答 案】C【命 题 意 图】本 试 题 主 要 考 查 等 差 数 列 的 基 本 公 式 和 性 质.【解
12、析】1 73 4 5 4 4 1 2 7 47()3 1 2,4,7 2 82a aa a a a a a a a a（5）不 等 式2601x xx 的 解 集 为（A）2,3 x x x 或（B）2 1 3 x x x，或（C）2 1 3 x x x，或（D）2 1 1 3 x x x，或【答 案】C【命 题 意 图】本 试 题 主 要 考 察 分 式 不 等 式 与 高 次 不 等 式 的 解 法.【解 析】利 用 数 轴 穿 根法 解 得-2 x 1 或 x 3，故 选 C（6）将 标 号 为 1，2，3，4，5，6 的 6 张 卡 片 放 入 3 个 不 同 的 信 封 中 若 每
13、个 信 封 放 2 张，其 中 标 号 为 1，2 的 卡 片 放 入 同 一 信 封，则 不 同 的 方 法 共 有（A）1 2 种（B）1 8 种（C）3 6 种（D）5 4 种【答 案】B【命 题 意 图】本 试 题 主 要 考 察 排 列 组 合 知 识，考 察 考 生 分 析 问 题 的 能 力.【解 析】标 号 1,2 的 卡 片 放 入 同 一 封 信 有 种 方 法；其 他 四 封 信 放 入 两 个 信 封，每 个 信 封两 个 有 种 方 法，共 有 种，故 选 B.（7）为 了 得 到 函 数 s i n(2)3y x 的 图 像，只 需 把 函 数 s i n(2)6y
14、 x 的 图 像（A）向 左 平 移4个 长 度 单 位（B）向 右 平 移4个 长 度 单 位（C）向 左 平 移2个 长 度 单 位（D）向 右 平 移2个 长 度 单 位【答 案】B【命 题 意 图】本 试 题 主 要 考 查 三 角 函 数 图 像 的 平 移.【解 析】s i n(2)6y x=s i n 2()1 2x，s i n(2)3y x=s i n 2()6x，所 以 将s i n(2)6y x 的 图 像 向 右 平 移4个 长 度 单 位 得 到 s i n(2)3y x 的 图 像，故 选 B.（8）A B C V 中，点 D 在 A B 上，C D 平 方 A C
15、B 若 C B a u u r，C A b u u r，1 a，2 b，则 C D u u u r（A）1 23 3a b（B）2 13 3a b（C）3 45 5a b（D）4 35 5a b【答 案】B【命 题 意 图】本 试 题 主 要 考 查 向 量 的 基 本 运 算，考 查 角 平 分 线 定 理.【解 析】因 为 C D 平 分 A C B，由 角 平 分 线 定 理 得A D C A2=D B C B 1，所 以 D 为 A B 的 三 等分 点，且2 2A D A B(C B C A)3 3，所 以2 1 2 1C D C A+A D C B C A a b3 3 3 3，故
16、 选 B.（9）已 知 正 四 棱 锥 S A B C D 中，2 3 S A，那 么 当 该 棱 锥 的 体 积 最 大 时，它 的 高 为（A）1（B）3（C）2（D）3【答 案】C【命 题 意 图】本 试 题 主 要 考 察 椎 体 的 体 积，考 察 告 辞 函 数 的 最 值 问 题.【解 析】设 底 面 边 长 为 a，则 高 所 以 体 积，设，则，当 y 取 最 值 时，解 得 a=0 或 a=4时，体 积 最 大，此 时，故 选 C.（1 0）若 曲 线12y x 在 点12,a a 处 的 切 线 与 两 个 坐 标 围 成 的 三 角 形 的 面 积 为 1 8，则 a（
17、A）6 4（B）3 2（C）1 6（D）8【答 案】A【命 题 意 图】本 试 题 主 要 考 查 求 导 法 则、导 数 的 几 何 意 义、切 线 的 求 法 和 三 角 形 的 面 积 公 式，考 查 考 生 的 计 算 能 力.【解 析】3 32 21 1,2 2y x k a，切 线 方 程 是1 32 21()2y a a x a，令 0 x，1232y a，令 0 y，3 x a，三 角 形 的 面 积 是121 33 182 2s a a，解 得 6 4 a.故选 A.（1 1）与 正 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 的 三 条 棱 A B、1C C、1 1
18、A D 所 在 直 线 的 距 离 相 等 的 点（A）有 且 只 有 1 个（B）有 且 只 有 2 个（C）有 且 只 有 3 个（D）有 无 数 个【答 案】D【解 析】直 线 上 取 一 点，分 别 作 垂 直 于 于 则分 别作，垂 足 分 别 为 M，N，Q，连 P M，P N，P Q，由 三 垂 线定 理 可 得，P N P M；P Q A B，由 于 正 方 体 中 各 个 表 面、对 等 角 全 等，所 以，P M=P N=P Q，即 P 到 三 条 棱 A B、C C1、A1D1.所 在 直 线 的 距离 相 等 所 以 有 无 穷 多 点 满 足 条 件，故 选 D.（1
19、 2）已 知 椭 圆2 22 2:1(0)x yC a ba b 的 离 心 率 为32，过 右 焦 点 F 且 斜 率 为(0)k k 的直 线 与 C 相 交 于 A B、两 点 若 3 A F F B，则 k（A）1（B）2（C）3（D）2【答 案】B【命 题 意 图】本 试 题 主 要 考 察 椭 圆 的 性 质 与 第 二 定 义.【解 析】设 直 线 l 为 椭 圆 的 有 准 线，e 为 离 心 率，过 A，B 分 别 作 A A1，B B1垂 直 于 l，A1，B为 垂 足，过 B 作 B E 垂 直 于 A A1与 E，由 第 二 定 义 得，由，得，即 k=，故 选 B.第
20、 卷注 意 事 项：1 用 0.5 毫 米 的 黑 色 字 迹 签 字 笔 在 答 题 卡 上 作 答。2 本 卷 共 1 0 小 题，共 9 0 分。二 填 空 题：本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分（1 3）已 知 a 是 第 二 象 限 的 角，4t a n(2)3a，则 t a n a【答 案】12【命 题 意 图】本 试 题 主 要 考 查 三 角 函 数 的 诱 导 公 式、正 切 的 二 倍 角 公 式 和 解 方 程，考 查 考 生的 计 算 能 力.【解 析】由4t a n(2)3a 得4t a n 23a，又22 t a n 4t a n 21
21、t a n 3a，解 得1t a n t a n 22 或，又 a 是 第 二 象 限 的 角，所 以1t a n2.（1 4）若9()axx 的 展 开 式 中3x 的 系 数 是 8 4，则 a【答 案】1【命 题 意 图】本 试 题 主 要 考 查 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 和 求 指 定 项 系 数 的 方 法.【解 析】展 开 式 中3x 的 系 数 是3 3 39()8 4 8 4,1 C a a a.（1 5）已 知 抛 物 线2:2(0)C y px p 的 准 线 为 l，过(1,0)M 且 斜 率 为 3 的 直 线 与 l 相 交于 点 A，与 C 的 一
22、个 交 点 为 B 若 A M M B，则 p【答 案】2【命 题 意 图】本 题 主 要 考 查 抛 物 线 的 定 义 与 性 质.【解 析】过 B 作 B E 垂 直 于 准 线 l 于 E，A M M B，M 为 中 点，1B M A B2，又斜 率 为 3，0B A E 3 0，1B E A B2，B M B E，M 为 抛 物 线 的 焦 点，p 2.（1 6）已 知 球 O 的 半 径 为 4，圆 M 与 圆 N 为 该 球 的 两 个 小 圆，A B 为 圆 M 与 圆 N 的 公 共弦，4 A B 若 3 O M O N，则 两 圆 圆 心 的 距 离 M N【答 案】3【命
23、 题 意 图】本 试 题 主 要 考 查 球 的 截 面 圆 的 性 质，解 三 角 形 问 题.【解 析】设 E 为 A B 的 中 点，则 O，E，M，N 四 点 共 面，如 图，4 A B，所 以22A BO E R 2 32，M E=3，由 球 的 截 面 性 质，有 O M M E,O N N E，3 O M O N，所 以 M E O 与 N E O 全 等，所 以 M N 被 O E 垂 直 平 分，在 直 角 三 角 形 中，由 面 积 相 等，可 得，M E M OM N=2 3O E三 解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 7 0 分 解 答 应 写 出 文 字 说
24、明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤（1 7）（本 小 题 满 分 1 0 分）A B C 中，D 为 边 B C 上 的 一 点，3 3 B D，5s i n1 3B，3c o s5A D C，求 A D【命 题 意 图】本 试 题 主 要 考 查 同 角 三 角 函 数 关 系、两 角 和 差 公 式 和 正 弦 定 理 在 解 三 角 形 中 的应 用，考 查 考 生 对 基 础 知 识、基 本 技 能 的 掌 握 情 况.【参 考 答 案】由 c o s A D C=0，知 B.由 已 知 得 c o s B=，s i n A D C=.从 而 s i n B A D=s i n（A
25、 D C-B）=s i n A D C c o s B-c o s A D C s i n B=.由 正 弦 定 理 得，所 以=.（1 8）（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 数 列 na 的 前 n 项 和2()3nnS n n（）求 l i mnnnaS；（）证 明：1 22 2 231 2n na a an【命 题 意 图】本 试 题 主 要 考 查 数 列 基 本 公 式11(1)(2)nn ns nas s n 的 运 用，数 列 极 限 和 数 列不 等 式 的 证 明，考 查 考 生 运 用 所 学 知 识 解 决 问 题 的 能 力.【参 考 答 案】（1 9）如 图，
26、直 三 棱 柱1 1 1A B C A B C 中，A C B C，1A A A B，D 为1B B 的 中 点，E 为1A B 上 的 一 点，13 A E E B（）证 明：D E 为 异 面 直 线1A B 与 C D 的 公 垂 线；（）设 异 面 直 线1A B 与 C D 的 夹 角 为 4 5，求 二 面 角1 1 1A A C B 的 大 小【命 题 意 图】本 试 题 主 要 考 查 空 间 的 线 面 关 系 与 空 间 角 的 求解，考 查 考 生 的 空 间 想 象 与 推 理 计 算 的 能 力.【参 考 答 案】(1 9)解 法 一：（I）连 接 A1B，记 A1B
27、 与 A B1的 交 点 为 F.因 为 面 A A1B B1为 正 方 形，故 A1B A B1，且 A F=F B1，又 A E=3 E B1，所 以 F E=E B1，又 D 为 B B1的 中点，故 D E B F，D E A B1.3 分作 C G A B，G 为 垂 足，由 A C=B C 知，G 为 A B 中 点.又 由 底 面 A B C 面 A A1B1B.连 接 D G，则 D G A B1，故 D E D G，由 三 垂 线 定 理，得 D E C D.所 以 D E 为 异 面 直 线 A B1与 C D 的 公 垂 线.（I I）因 为 D G A B1，故 C D
28、 G 为 异 面 直 线 A B1与 C D 的 夹 角，C D G=4 5 设 A B=2，则 A B1=，D G=，C G=，A C=.作 B1H A1C1，H 为 垂 足，因 为 底 面 A1B1C1 面 A A1C C1，故 B1H 面 A A1C1C.又 作 H K A C1，K 为 垂足，连 接 B1K，由 三 垂 线 定 理，得 B1K A C1，因 此 B1K H 为 二 面 角 A1-A C1-B1的 平 面 角.（2 0）（本 小 题 满 分 1 2 分）如 图，由 M 到 N 的 电 路 中 有 4 个 元 件，分 别 标 为 T1，T2，T3，T4，电 流 能 通 过
29、T1，T2，T3的 概 率 都 是 p，电 流 能 通 过 T4的 概 率 是 0.9 电 流 能 否 通 过 各 元 件 相 互 独 立 已 知 T1，T2，T3中 至 少 有 一 个 能 通 过 电 流 的 概 率 为 0.9 9 9（）求 p；（）求 电 流 能 在 M 与 N 之 间 通 过 的 概 率；（）表 示 T1，T2，T3，T4中 能 通 过 电 流 的 元 件 个 数，求 的 期 望【命 题 意 图】本 试 题 主 要 考 查 独 立 事 件 的 概 率、对 立 事 件 的 概 率、互 斥 事 件 的 概 率 及 数 学 期望，考 查 分 类 讨 论 的 思 想 方 法 及
30、 考 生 分 析 问 题、解 决 问 题 的 能 力.【参 考 答 案】（2 1）（本 小 题 满 分 1 2 分）己 知 斜 率 为 1 的 直 线 l 与 双 曲 线 C：2 22 21 0 0 x ya ba b，相 交 于 B、D 两 点，且B D 的 中 点 为 1,3 M（）求 C 的 离 心 率；（）设 C 的 右 顶 点 为 A，右 焦 点 为 F，1 7 D F B F，证 明：过 A、B、D 三 点 的 圆 与x 轴 相 切【命 题 意 图】本 题 主 要 考 查 双 曲 线 的 方 程 及 性 质，考 查 直 线 与 圆 的 关 系，既 考 查 考 生 的 基 础知 识 掌 握 情 况，又 可 以 考 查 综 合 推 理 的 能 力.【参 考 答 案】（2 2）（本 小 题 满 分 1 2 分）设 函 数 1xf x e（）证 明：当 x-1 时，1xf xx；（）设 当 0 x 时，1xf xa x，求 a 的 取 值 范 围【命 题 意 图】本 题 主 要 考 查 导 数 的 应 用 和 利 用 导 数 证 明 不 等 式，考 查 考 生 综 合 运 用 知 识 的 能力 及 分 类 讨 论 的 思 想，考 查 考 生 的 计 算 能 力 及 分 析 问 题、解 决 问 题 的 能 力.【参 考 答 案】