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1、2 0 2 3 2 0 2 4 学 年 高 三 质 量 检 测（一）数 学 试 卷 第 1 页(共 4 页)绝 密 启 用 前 试 卷 类 型：A2023 2024 学 年 高 三 质 量 检 测（一）数 学 试 卷本 试 卷 共 4 页，2 2 小 题，满 分 1 5 0 分。考 试 用 时 1 2 0 分 钟。注 意 事 项：1.答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号 填 写 在 答 题 卡 上，正 确 粘 贴 条 形 码；2.作 答 选 择 题 时，用 2 B 铅 笔 在 答 题 卡 上 将 对 应 答 案 的 选 项 涂 黑；3.非 选 择 题 的 答 案
2、必 须 写 在 答 题 卡 各 题 目 的 指 定 区 域 内 相 应 位 置 上；不 准 使 用 铅 笔 和 涂改 液；不 按 以 上 要 求 作 答 无 效；4.考 试 结 束 后，考 生 上 交 答 题 卡。一、选 择 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项是 符 合 题 目 要 求 的。1 已 知 集 合|2 1 xA x，2,1,0,1,2 B，则 A B A 0,1,2 B 1,2 C 2,1,0 D 2,1 2 已 知 复 数z满 足 i=1 2i z，则 z 的 虚 部 为A 1 B 1 C
3、 2 D 2 3 已 知 向 量,a b 满 足(4)a a b，(3)b a b，则 向 量,a b 的 夹 角 为A 6B3C2 3D 5 64 已 知 函 数l n(e 1)3()2axf xx 为 奇 函 数，则a A 12B 2 C13D 35“5 a”是“圆2 21:1 C x y 与 圆2 22:()(2)36 C x a y a 存 在 公 切 线”的A 充 分 而 不 必 要 条 件 B 必 要 而 不 充 分 条 件C 充 要 条 件 D 既 不 充 分 也 不 必 要 条 件6 已 知 函 数()c os()f x x 的 图 象 大 致 如 图，则()c os()f x
4、 x()c os()f x x()c o s()f x x()c o s()f x x A 12B 22C32D 1xy5 411 4O(第 6 题图)2 0 2 3.0 81 1 45 61 1 422广东省深圳市罗湖区部分学校2023-2024学年高三上学期开学模拟考试（质量检测一）数学2 0 2 3 2 0 2 4 学 年 高 三 质 量 检 测（一）数 学 试 卷 第 2 页(共 4 页)7 数 列 na 中，12 a，23 a，1 2 n n na a a，则2024a A 2 B 3 C13D 238 已 知 一 个 圆 锥 的 母 线 长 为 1 0，高 为 8，则 该 圆 锥
5、内 切 球 的 表 面 积 与 圆 锥 的 表 面 积 之 比 为A 35B 38C 13D 313二、选 择 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题目 要 求。全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2 分，有 选 错 的 得 0 分。9 若 随 机 变 量2(10,2)X N，则A(10)0.5 P X B(8)(12)1 P X P X C(8 14)(10 16)P X P X D(2 1)8 D X 1 0 已 知 函 数()f x的 定 义 域 为 R，(1)f x 为 偶 函
6、数，(3 2)f x 为 奇 函 数，则A()f x的 图 象 关 于 1 x 对 称 B()f x的 图 象 关 于(1,0)对 称C(4)()f x f x D 200()1if i1 1 已 知 椭 圆2 22 2:1(0)x yE a ba b 的 离 心 率 为12，左、右 焦 点 分 别 为1 2,F F，上 顶 点 为 P，若 过1F 且 倾 斜 角 为 30 的 直 线 l 交 椭 圆 E 于,A B 两 点，P A B 的 周 长 为 8，则A 直 线2P F 的 斜 率 为 3 B 椭 圆 E 的 短 轴 长 为 4C1 22 P F P F D 四 边 形2A P B F
7、 的 面 积 为48131 2 欧 拉 是 人 类 历 史 上 最 伟 大 的 数 学 家 之 一 在 数 学 史 上，人 们 称 1 8 世 纪 为 欧 拉 时 代 直 到今 天，我 们 在 数 学 及 其 应 用 的 众 多 分 支 中，常 常 可 以 看 到 欧 拉 的 名 字，如 著 名 的 欧 拉 函数 欧 拉 函 数*()()n n N 的 函 数 值 等 于 所 有 不 超 过 正 整 数n且 与n互 素 的 正 整 数 的 个 数，例 如(1)1，(4)2，则 下 列 说 法 正 确 的 是A(15)(3)(5)B1 2n n，都 有1 2()()n n C 方 程*()1()
8、n n n N 有 无 数 个 根 D 1(7)6 7k k()k N三、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。1 3 已 知为 锐 角，t a n 2，则 s i n c os 1 4 2 62()xx 的 展 开 式 中，3x 的 系 数 为 1 5 过 抛 物 线2:4 C y x 焦 点 F 的 直 线 l 交 抛 物 线 C 于 A，B 两 点，且3 A F F B，若 M 为 A B的 中 点，则 M 到y轴 的 距 离 为 1 6 正 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 的 棱 长 为 2，底 面 A B C D 内（含 边 界）
9、的 动 点 P 到 直 线1C C 的 距离 与 到 平 面1 1A D D A 的 距 离 相 等，则 三 棱 锥1 1P A B D 体 积 的 取 值 范 围 为 2 0 2 3 2 0 2 4 学 年 高 三 质 量 检 测（一）数 学 试 卷 第 3 页(共 4 页)四、解 答 题：本 题 共 6 小 题，共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。1 7（1 0 分）已 知 数 列 na 为 正 项 等 差 数 列，数 列 nb 为 递 增 的 正 项 等 比 数 列，11 a，1 1 2 2 4 30 a b a b a b（1）求 数
10、 列 na，nb 的 通 项 公 式；（2）数 列 nc 满 足,nnna ncb n为 奇 数为 偶 数，求 数 列 nc 的 前 2 n 项 的 和 1 8（1 2 分）在 四 棱 锥 P A B C D 中，底 面 A B C D 为 正 方 形，A B P D（1）证 明：平 面 P A D 平 面 A B C D；（2）若 P A P D，60 P D A，求 平 面 P A D 与 平 面 P B C 夹 角 的 余 弦 值 1 9（1 2 分）已 知,a b c分 别 为 三 角 形 A B C 三 个 内 角,A B C的 对 边，且 c os 3 c os c B b C a
11、 b（1）求 C；（2）若 5 a，13c os14B，D 为 A B 边 上 一 点，且 5 B D，求 A C D 的 面 积 PABCD(第 1 8 题 图)2 0（1 2 分）某 厂 生 产 的 产 品 每 1 0 件 包 装 成 一 箱，每 箱 含 0，1，2 件 次 品 的 概 率 分 别 为 0.8，0.1，0.1 在出 厂 前 需 要 对 每 箱 产 品 进 行 检 测，质 检 员 甲 拟 定 了 一 种 检 测 方 案：开 箱 随 机 检 测 该 箱 中 的 3件 产 品，若 无 次 品，则 认 定 该 箱 产 品 合 格，否 则 认 定 该 箱 产 品 不 合 格（1）在
12、质 检 员 甲 认 定 一 箱 产 品 合 格 的 条 件 下，求 该 箱 产 品 不 含 次 品的 概 率；（2）若 质 检 员 甲 随 机 检 测 一 箱 中 的 3 件 产 品，抽 到 次 品 的 件 数 为 X，求 X 的 分 布 列 及 期 望 2 1（1 2 分）已 知 函 数()e()xf x m x m R（1）讨 论()f x的 单 调 性；（2）当 0 x 时，若 关 于x的 不 等 式()l n(1)1 0 f x x 恒 成 立，求 实 数m的 取 值 范 围 2 2（1 2 分）已 知 双 曲 线2 22 2:1(0,0)x yC a ba b 的 左、右 焦 点 分
13、 别 为1F，2F，且1 2|4 F F，若 C 上的 点 M 满 足1 2|2 M F M F 恒 成 立（1）求 C 的 方 程；（2）若 过 点 M 的 直 线 l 与 C 的 两 条 渐 近 线 交 于 P，Q两 点，且|=|M P M Q（i）证 明：l 与 C 有 且 仅 有 一 个 交 点；（i i）求1 2|O P O Q的 取 值 范 围()l n(1)1 0 f x x 第1 页 共5 页 2023 2024 学 年高 三 质 量检 测（一）数 学 参 考答 案一、选择 题本 题共 8 小 题，每 小题 5 分，共 40 分。在每小 题给 出的 四个 选项 中，只有 一项
14、是符 合题目要求 的。题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C A D D A C B B 二、选 择题 本题 共 4 小 题，每小 题 5 分，共 20 分。在每小 题给 出的 选项 中，有多项 符合 题目 要求。全部选 对的 得 5 分，部分 选对的 得 2 分，有选 错的 得 0 分。题号 9 10 11 12 答案 AB AC ACD ACD 三、填 空题 本题 共4 小题，每小 题 5 分，共 20 分。13 14 15 16 四、解 答题 本题 共 6 小题，共 70 分。解 答应 写出 文 字说明、证 明过 程或 演算 步骤。17（10 分）解：（1）设 该等 差数列 的
15、公差为，等 比数 列 的公比 为，由已知 得，.2 分 因为数列 为 正项 数列，为正项递 增数 列，所以，.4 分 所以，.6 分（2）由已 知得 为奇数 为偶数，.7 分 所以数 列 的前 项和为.8 分.10 分 18（12 分）证：（1）底面 为正方 形，.1 分 又，,平面，.3 分 平面，.4 分 第2 页 共5 页 平面，.5 分 平面 平面.6 分 解：（法 一）（2）取 中点 为，连 结，在 中，,为等边 三角 形 平面 平面，平 面 平面，平面，平面，.7 分 以 为坐 标原 点，建立 如图 所示的 空间 直角 坐标 系，设底面 正方 形 的边长 为 2，.9 分设平面 的
16、一 个法 向量，则，即，令，则，.10 分由（1）可 知平 面 的一个 法 向量，.11 分 设 平面 与平 面 的夹角 为，则，平面 与平 面 夹角的 余弦 值为.12 分（法二）（2）设平 面 与平 面 的交 线为，平面，平面，平面，又 平面，平面 与平 面 有一个 交点，为过 点 且与 平行的 一条 直线，如下 图，.7 分 取 中点 为，取 中点为，连 结，底面 四边 形 为正方 形，分别为 的中 点，又 平面，平面，.8 分 平面，P A B C D(第 18 题图 1)Oy z x 第3 页 共5 页，在 中，为 的中点，又，平面，平面，又 为锐角，为平面 与平面 的夹 角，.10
17、 分设底面 正方 形 的边长 为 2，在 中，平面 与平 面 夹角的 余弦 值为.12 分 19（12 分）解：（1）由 正弦 定理得，.2 分 因为，所以，.3 分 即，而，所以，.5 分 又因为，所以.6 分（2）因为，所以，.7 分，.8 分 由正弦 定理，得，P A B C D(第 18 题图 2)O M l 第4 页 共5 页 解得，.10 分 则，所以.12 分 20（12 分）解：（1）记“质 检员 甲 认 定一箱 产品 合格”为 事件，“该 箱产 品不 含次 品”为事件，则，.3 分，.4 分 由条件 概率 公式 得，所以在 质检 员 甲 认定 一箱 产品合 格的 条件 下，该
18、箱 产品不 含次 品 的 概率 为.6 分（2）由题 意可 得 可以取，.7 分 则，.8 分，.9 分，.10 分 所以随 机变 量 的分布 列为.11 分 所以.12 分 21（12 分）解：（1），.1 分当 时，由，在 上单调 递增，.2 分 当 时，由，可得，时，单调递 减；.3 分 时，单调 递增.4 分 当 时，在 上单 调递 增；当 时，在区 间 上单调 递减，在区 间 上单调 递增（2）设，则，.5 分（i）当 时，.6 分 在区 间 上单调 递增，则 恒成立，.7 分（ii）当 时，令，则，.8 分 第5 页 共5 页 令，则，在区 间 上单调 递增，则，在区 间 上单调
19、递增，则，.9 分 若，则 恒成立，则 在区 间 上单 调递 增，.10 分 若，则，使 得，在区 间 上单调 递减，则，与条 件矛 盾，.11 分综上所 述，实数 的取值 范围 为.12 分 22（12 分）解：（1）由 双曲 线定义 可 知，.1 分又由，.2 分，.3 分 双曲 线 的方程 为.4 分（2）（i）设，则，将 可得，将 可得，.5 分，即，.6 分 由题可 知，即，.7 分 直线 的方 程为，即，又 点 在 上，则，.8 分将方程 联立，得，由 可知 方程 有且 仅有 一个解，与 有且仅 有一 个交 点.9 分（ii）由（2）（i）联立，可得，同 理可 得，.10 分，.11 分，当 且仅 当 即 时取 等号 又，的取 值范 围 为.12 分