《湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题含答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《湖南省长沙市第一中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题含答案.pdf（18页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、高三数学试题第姓 名：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 准 考 证 号：_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _本 试 卷 共 6 页，2 2 题。全 卷 满 分 1 5 0 分，考 试 用 时 1 2 0 分 钟。注 意 事 项：1 答 题 前，先 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号、考 场 号、座 位 号 填 写 在 试 卷 和 答 题 卡 上，并 认 真 核 准 准 考 证 号条 形 码 上 的 以 上 信 息，将 条 形 码 粘 贴 在 答 题 卡 上 的 指 定 位 置；2 请 按 题 号 顺 序 在 答 题 卡 上 各 题 目 的 答
2、 题 区 域 内 作 答，写 在 试 卷、草 稿 纸 和 答 题 卡 上 的 非 答 题 区 域 均 无效；3 选 择 题 用 2 B 铅 笔 在 答 题 卡 上 把 所 选 答 案 的 标 号 涂 黑；非 选 择 题 用 黑 色 签 字 笔 在 答 题 卡 上 作 答；字体 工 整，笔 迹 清 楚；4 考 试 结 束 后，请 将 试 卷 和 答 题 卡 一 并 上 交。一、单 选 题:本 大 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 0 分 在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项是 符 合 题 目 要 求 的 1 已知集合 2 2 3 0 A x x x，1,0
3、,1,2 B，则（）A 2 A B B A B R C R 1,0 B A D R 3 1 B A x x 2 若复数z 满足 3 4 i 1 i z，则 z（）A 7 1 i 5 5 B 7 1 i 2 5 2 5 C 1 1 i 2 5 2 5 D 7 1 i 5 5 3 已知向量()2,4 a=-，1,3 b，则向量2 3 a b 与3 a b 的夹角的余弦值为（）A 1 3 1 3 B 2 2 6 2 6 C 2 6 2 6 D 2 1 3 1 3 4 下列函数在(0,)上是增函数的是（）A 1 2()f x x B 1()()2 x f x C 1()1 f x x x D 2 1(
4、)f x x 5 过椭圆2 2 2 2 1(0)x y a b a b 的两个焦点作垂直于 x 轴的直线与椭圆有四个交点，且这四个交点恰好为正方形的四个顶点，则椭圆的离心率为（）A 5 1 4 B 5 1 2 C 3 1 2 D 3 1 4 6 命题 A:2 s i n c o s 3，命题 B：5 s i n 2 9，则命题 A 是命题 B 的（）A 充分非必要条件 B 必要非充分条件C 充分且必要条件 D 既非充分也非必要条件1 页（共 3 页）7 已知 3,4 2 2 P，过点 P 作圆 2 2:1 1 C x a y a（a 为参数，且 a R）的两条切线分别切圆 C 于点 A、B，则
5、 s i n A P B 的最大值为（）A 1 B 1 2 C 3 2 D 6 4 8 甲、乙、丙三人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，下列说法正确的是（）A 2 次传球后球在丙手上的概率是1 2 B 3 次传球后球在乙手上的概率是1 4 C 3 次传球后球在甲手上的概率是1 4 D n 次传球后球在甲手上的概率是1 1 1 3 2 n 二、多 项 选 择 题:本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分 在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合题 目 要 求 全 部 选 对 的 得 5 分，部 分
6、选 对 的 得 2 分，有 选 错 的 得 0 分 9 已知 n a 为等差数列，前n 项和为n S，1 1 0 a，公差 d=2，则（）A 4 S=7 S B 当 n=6 或 7 时，n S 取得最小值C 数列 n a 的前 1 0 项和为 5 0 D 当 n 2 0 2 3 时，n a 与数列 3 1 0 m（m N）共有 6 7 1 项互为相反数1 0 物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体初始温度是0（单位：），环境温度是1（单位：），其中0 1、则经过 t 分钟后物体的温度 将满足 1 0 1 e k t f t（k R 且 0 k）现有一杯1 0 0 C 的热红茶置于 1 0
7、C 的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是（）（参考数值：2 0.7，3 1.1）A 若 3 4 0 C f，则 6 2 0 C f B 若1 1 0 k，则红茶下降到5 5 C 所需时间大约为 6 分钟C 5 分钟后物体的温度是 4 0 C o，k 约为 0.2 2 D 红茶温度从 8 0 C 下降到 6 0 C 所需的时间比从 6 0 C 下降到4 0 C o 所需的时间多1 1 已知定义在 R 上的函数 f x 满足 2 0 f x f x，且 2 y f x 为偶函数，则下列说法一定正确的是（）A 函数 f x 的周期为 2 B 函数 f x 的图象关于 1,0 对称
8、C 函数 f x 为偶函数 D 函数 f x 的图象关于 3 x 对称高三数学试题第 2 1 2 如图是一个装有水的全封闭直三棱柱容器1 1 1 1,8 2 A B C A B C A B C A C A A 若水的体积恰好是该容器体积的一半，容器厚度忽略不计，则（）A 转动容器，当平面1 1 A A C C 水平放置时，容器内水面形成的截面为 D E F G，则,D E F G 都是所在棱的中点B 当底面1 1 A A C C 水平放置后，将容器绕着1 C C 转动（转动过程中1 C C 始终保持水平），有水的部分是棱柱C 在翻滚转动容器的过程中，有水的部分不可能是三棱锥D 容器中水的体积与
9、直三棱柱外接球体积之比至多为3 2 1 6 三、填 空 题:本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分 1 3 二项式5 1 3 3 x y 的展开式中2 3 x y 的系数是.1 4 若函数 s i n s i n 0 3 f x x x，在 0,上恰有两个最大值点和四个零点，则实数 的取值范围是 1 5 九章算术 中将正四棱台体（棱台的上下底面均为正方形）称为方亭.如图，现有一方亭 A B C D E F H G，其中上底面与下底面的面积之比为 1:4，6 2 B F E F，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为1 2 5，则方亭的体积为.1 6
10、已知1 F，2 F 分别是双曲线2 2 2 2 1(0 x y a a b，0)b 的左、右焦点，双曲线上有一点 M，满足1 2 1 1|()3 2 M F M F，且1 2 6 0 F M F，则该双曲线离心率的取值范围是2 页（共 3 页）四、解 答 题:本 题 共 6 小 题，共 7 0 分 解 答 应 写 出 文 宇 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤 1 7（本小题满分 1 0 分）在 A B C 中，角 A，B，C 的对边分别是a，b，c，且满足2 c o s c o s c o s B A C a c a b b c(1)求 B；(2)若 6 b，B D 是 A C 边上
11、的高，求 B D 的最大值1 8（本小题满分 1 2 分）如图，在四棱锥 P A B C D 中，C D 平面 P A D，P A D 为等边三角形，A D/B C，2 2 A D C D B C，平面 P B C 交平面 P A D 直线 l，E、F 分别为棱 P D，P B 的中点(1)求证：B C l；(2)求平面 A E F 与平面 P A D 所成锐二面角的余弦值；(3)在棱 P C 上是否存在点 G，使得 D G 平面 A E F？若存在，求P G P C 的值，若不存在，说明理由高三数学试题第1 9（本小题满分 1 2 分）设等比数列 n a 的首项为1 2 a，公比为q（q 为
12、正整数），且满足3 3 a 是1 8 a 与5 a 的等差中项；数列 n b 满足 2 3 2 0 2 n n n t b n b（t R，*n N）.(1)求数列 n a 的通项公式；(2)试确定 t 的值，使得数列 n b 为等差数列；(3)当 n b 为等差数列时，对每个正整数 k，在k a 与1 k a 之间插入k b 个 2，得到一个新数列 n c.设n T 是数列 n c 的前n 项和，试求1 0 0 T.2 0（本小题满分 1 2 分）已知椭圆 2 2 2 2:1 0 x y E a b a b 经过点 0,1 A，且离心率为3 2.(1)求椭圆 E 的方程；(2)若经过点 2,
13、1，且斜率为 k 的直线与椭圆 E 交于不同的两点 P，Q（均异于点 A），证明：直线 A P 与A Q 的斜率之和为定值.第 3 页（共 3 页）2 1（本 小 题 满 分 1 2 分）五 一 小 长 假 到 来，多 地 迎 来 旅 游 高 峰 期，各 大 旅 游 景 点 都 推 出 了种 种新 奇活 动 以吸引 游 客，小 明 去 成 都 某 熊 猫 基 地 游 玩 时，发 现 了 一 个 趣 味 游 戏，游 戏 规 则 为：在 一 个 足够 长 的直 线轨 道的 中心 处 有 一 个 会 走 路 的 机 器 人，游 客 可 以 设 定 机 器 人 总 共 行 走 的 步 数，机 器 人
14、每 一 步 会 随机 选 择向 前行 走或 向后 行 走，且 每 一 步 的 距 离 均 相 等，若 机 器 人 走 完 这 些 步 数 后，恰 好 回 到 初 始 位 置，则 视为 胜 利.(1)若 小 明 设 定 机 器 人 一 共 行 走 4 步，记 机 器 人 的 最 终 位 置 与 初 始 位 置 的 距 离 为 X 步，求 X 的 分 布列 和期 望；(2)记*N i p i 为 设 定 机 器 人 一 共 行 走 2 i 步 时 游 戏 胜 利 的 概 率，求i p，并 判 断 当 i 为 何值 时，游戏 胜利 的概 率最 大；(3)该 基 地 临 时 修 改 了 游 戏 规 则
15、，要 求 机 器 人 走 完 设 定 的 步 数 后，恰 好 第 一 次 回 到 初 始 位置，才视 为胜 利.小明发 现，利 用 现 有 的 知 识 无 法 推 断 设 定 多 少 步 时 获 得 胜 利 的 概 率 最 大，于 是 求 助 正 在 读 大学 的 哥哥，哥 哥告 诉他，“卡 特 兰 数”可 以 帮 助 他 解 决 上 面 的 疑 惑：将n 个 0 和n 个 1 排 成 一 排，若 对 任 意 的 1 2 k n，在前 k 个 数中，0 的 个 数 都 不 少 于 1 的 个 数，则 满 足 条 件 的 排 列 方 式 共 有1 2 2 C C n n n n 种，其 中，1
16、2 2 C C n n n n 的 结果 被 称为 卡特 兰 数.若 记i P 为 设 定 机 器 人 行 走 2 i 步 时 恰 好 第 一 次 回 到 初 始 位 置 的 概 率，证 明：对（2）中的i p，有*N 2 1 i i p P i i 2 2（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知 函 数()(1)e m x f x x(1)讨 论()f x 在 区 间(0,)上 的 单 调 性；(2)当 1 m 时，若 存 在 a b 满 足 l n(1)l n(1)a a b b，证 明1 1:0 a b 1 一、二、选 择 题题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B D C B A 题
17、号 7 8 9 1 0 1 1 1 2 答案 C C A C A C B C B C D 1 A【解析】因为 2 2 3 0|3 A x x x x x 或 1 x,故R|3 1 A x x，又 1,0,1,2 B，所以 2 A B，R A B，R 1,0,1 B A，R 3,1 2 B A，则 A 正确，B，C，D 错误，故选：A 2 B【解析】由已知可得 2 1 i 3 4 i 1 i 3 4 i 3 4 i 7 1 i 3 4 i(3 4)(3 4)2 5 2 5 2 5 i z i i，故选：B 3 D【解析】由已知可得 2 3 1,1 a b，3 1,5 a b，所以 2 3 3 1
18、 5 4 a b a b，2 3 2 a b，3 2 6 a b，则4 2 1 3 c o s 1 3 2 2 6.故选：D.4 C【解析】函数 1 2 f x x x 在 0,上是减函数，1 2 x f x 在 0,上是减函数，1 1 f x x x，设 t=x+1,故得到1 1 y t t 在 1,上单调增，内层也是增函数，故函数在 0,上是增函数；2 1 f x x 在 0,上是减函数.故答案为 C.5 B【解析】过椭圆2 2 2 2 1(0)x y a b a b 的两个焦点作垂直于 x 轴的直线与椭圆有四个交点，且这四个交点恰好为正方形的四个顶点，则有2 b c a=，2 2 a c
19、 a c，2 1 0 e e，0 1 e Q，5 1 2 e 故选：B 6 A【解析】先考虑充分性，由2 s i n c o s 3，平方得 s i n 2+2 s i n c o s+c o s 2 4 9，即 2 s i n c o s 5 s i n 2 9 所以命题 A 是命题 B 充分条件；再考虑必要性，当5 s i n 2 9 时，s i n 2+2 s i n c o s+c o s 2 4 9，则2 s i n c o s 3，所以命题 A 是命题 B 非必要条件.综合得命题 A 是命题 B 充分非必要条件.故选：A.7 C【解析】圆心,1 C a a，半径为 1，圆心 C 在
20、直线1 y x 上运动，2 设 A P C，则 2 A P B，由圆的几何性质可知1 t a n A C P A P A，所以，2 2 2 2 s i n c o s 2 t a n 2 2 s i n s i n 2 1 1 s i n c o s t a n 1 t a n t a n A P B P A P A，当直线 P C 与直线1 y x 垂直时，P C 取最小值，则2 1 P A P C 取最小值，且 m i n 3 4 2 2 1 2 2 P C，则2 m i n 2 1 3 P A，则 3 P A，由双勾函数的单调性可知，函数1 y x x 在3,上为增函数，且1 0 y x
21、 x，故函数 2 1 f x x x 在3,上为减函数，故当 3 P A 时，s i n A P B 取得最大值2 3 3 4 2.故选：C.8 C【解析】第一次甲将球传出后，2 次传球后的所有结果为：甲乙甲，甲乙丙，甲丙甲，甲丙乙，共 4 个结果，它们等可能，2 次传球后球在丙手中的事件有：甲乙丙，1 个结果，所以概率是1 4，故 A 错误；第一次甲将球传出后，3 次传球后的所有结果为：甲乙甲乙，甲乙甲丙，甲乙丙甲，甲乙丙乙，甲丙甲乙，甲丙甲丙，甲丙乙甲，甲丙乙丙，共 8 个结果，它们等可能，3 次传球后球在乙手中的事件有：甲乙甲乙，甲乙丙乙，甲丙甲乙，3 个结果，所以概率为3 8，故 B
22、错误；3 次传球后球在甲手上的事件为：甲乙丙甲，甲丙乙甲，2 个结果，所以概率为2 1 8 4，故 C 正确；n 次传球后球在甲手上的事件记为n A，则有1 1 1 n n n n n A A A A A，令()n n p P A，则1 1 1(|)0,(|)2 n n n n P A A P A A，于是得1 1 1 1()()(|)()(|)0(1)2 n n n n n n n n n P A P A P A A P A P A A p p，故1 1(1)2 n n p p，则1 1 1 1()3 2 3 n n p p，而第一次由甲传球后，球不可能在甲手中，即1 0 p，则有1 1 1
23、 3 3 p，数列1 3 n p 是以1 3 为首项，1 2 为公比的等比数列，所以1 1 1 1(),3 3 2 n n p 即1 1 1 1()3 2 n n p，故 D 错误.故选：C 9 A C【解析】对于 A，等差数列 n a 中，1 1 0 a，公差 2 d，则 1(1)2 1 2 n a a n d n，7 4 5 6 7 6 3 0 S S a a a a，故 A 正确；对于 B，由 A 的结论，2 1 2 n a n，则 6 0 a，3 由 d=2 当 6 n 时，0 n a，6 0 a，当 6 n 时，0 n a，则当 5 n 或 6 时，n S 取得最大 值，且其最大值为
24、(1 0 0)6 3 0 2，B 错误；对于 C,1 2 1 0 1 2 6 7 8 9 1 0 6 2 4 6 8 3 0 2 0 5 0 a a a a a a a a a a S,故 C 正确，对于 D，由 2 0 2 3 n，则 2 0 2 3 4 0 3 4 n a a，则数列 n a 中与数列 3 1 0 m 中的项互为 相反数的项依次为：1 6，2 2，2 8，4 0 3 0，可以组成以 1 6 为首项，6 为公差 的等差数列，设该数列为 n c，则 1 0 6 n c n，若 1 0 6 4 0 3 0 n c n，解可得 6 7 0 n，即 两个数列共有 6 7 0 项互为相
25、反数，D 错误故选：A C 1 0 A C【解析】由题知 1 0 9 0 e k t f t，A 选项：若 3 4 0 C f，即3 4 0 1 0 9 0 e k，所以3 1 e 3 k，则6 3 2 2 1(6)1 0 9 0 e 1 0 9 0(e)1 0 9 0 0 C 3()2 k k f，A 正确；B 选项：若1 1 0 k，则1 1 0 1 0 9 0 e 5 5 t，则1 1 0 1 e 2 t，两边同时取对数得1 1 l n l n 2 1 0 2 t，所以 1 0 l n 2 7 t，所以红茶下降到5 5 C 所需时间大约为 7 分钟，B 错误；C 选项：5 分钟后物体的温
26、度是4 0 C o，即5 1 0 9 0 e 4 0 k，则5 e 1 3 k，得1 5 l n l n 3 3 k，所以1 l n 3 0.2 2 5 k，故 C 正确；D 选项：()f t 为指数型函数，如图，可得红茶温度从 8 0 C 下降到6 0 C 所需的时间（2 1 t t）比从 6 0 C 下降到4 0 C o 所需的时间（3 2 t t）少，故 D 错误故选：A C 1 1 B C【解析】依题意，R 上的函数 f x，2 f x f x，则 4 2 f x f x f x，函数 f x 的周期为 4，A 错误；因为函数 2 y f x 是偶函数，则 2 2 f x f x，函数
27、 f x 的图象关于 2 x 对称，且 2 f x f x，即 2 0 f x f x，函数 f x 图象关于 1,0 对称，B 正确；由 2 2 f x f x 得 4 f x f x f x，则函数 f x 为偶函数，C 正确；由 2 0 f x f x 得 3 1 0 f x f x，由 2 2 f x f x 得 3 1 f x f x，因此 3 3 0 f x f x，函数 f x 的图象关于 3,0 对称，D 错误.故选：B C4 1 2 B C D【解析】A：当平面1 1 A A C C 水平放置时，假设,D E F G 都为所在棱的中点，设水面到底面的的距离为 h，,A B a
28、 B C b，所以水的体积为1 1 1 1 1 4 3 2 2 2 A B C V S C C a b C C a b a b a b，又转动前水的体积为1 1 4 2 3 2 2 A B C C C V S a b a b a b，所以,D E F G 不为所在棱的中点，故 A 错误；B：当平面1 1 A A C C 水平放置时（1 C C 始终保持水平），则平面/A B C 平面1 1 1 A B C，所以有水的部分是棱柱，故 B 正确；C：在翻滚转动容器的过程中，当平面1 A B C 水平放置时，三棱锥1 A A B C 的体积取到最大值，如图，此时1 1 1 1 1 4 8 3 3 2
29、 3 A A B C A B C V S A A a b a b，而水的体积为4 2 3 V a b a b，所以有水的部分不可能是三棱锥，故 C 正确；D：取1 1,A C A C 的中点1,D D，连接1 D D，取1 D D 的中点 O，连接 O A，则 D 为 R t A B C 的外接圆圆心，O 为三棱柱1 1 1 A B C A B C-外接球的球心，所以 O A 为外接球的半径，且2 2 4 4 4 2 O A，所以直三棱柱外接球体积 3 3 4 4 5 1 2 2 4 2 3 3 3 V R 球.由选项 A 可知，容器中水的体积为2 V a b 水，又2 2 2 8 6 4 a
30、 b，所以2 2 6 4 2 3 2 a b a b a b，当且仅当4 2 a b 时等号成立，所以2 6 4 V a b 水，则水的体积与直三棱柱外接球体积之比为2 6 4 3 3 2 1 6 5 1 2 2 5 1 2 2 8 2 3 3 a b，即容器中水的体积与直三棱柱外接球体积之比至多为3 2 1 6，故 D 正确.故选：B C D.5 三、填 空 题1 3 1 0 3【解析】展开式的通项公式为5 5 5 1 5 5 1 1 C(3)3 C 3 3 k k k k k k k k k T x y x y，令 3 k，则3 2 3 2 3 2 3 4 5 1 1 0 3 C 3 3
31、T x y x y，故答案为:1 0 3.1 4 2 3 1 3,6 3【解析】由三角恒等变换可得 3 s i n 6 f x x，0,x 时，有,6 6 6 x，若要满足题意则需：9 2 3 1 3 4,6 2 6 3.故答案为：2 3 1 3,6 3 1 5 5 6 3【解析】解：由题意得1 2 E F A B，设 2 E F x，则 4 A B x，6 B F x.过点 E，F 在平面 A B F E 内分别作 E M A B，F N A B，垂足分别为点 M、N，在等腰梯形 A B F E 中，因为/E F A B，E M A B，F N A B，则四边形 M N F E 为 矩形，所
32、以 M N E F，E M F N，则 2 M N E F x，因为 A E B F，E M F N，9 0 A M E B N F，所以 R t R t A M E B N F，所以2 A B E F A M B N x，在 R t B N F 中，由勾股定理得2 2 5 F N B F B N x，所以等腰梯形 A B F E 的面积为2 2 4 5 3 5 3 5 2 x x S x x，所以 1 x.所以 2 2 E F x，4 4 A B x，方亭的高 2 5 1 2 h，故方亭的体积为 1 1 5 6 2 4 1 6 6 4 3 3 3 h S S S S 上 下 下 上.故答案为
33、：5 6 3 1 6 7,3 2.【解析】如示意图，设2 1|,|t M F M F t，由双曲线的定义可得：2 2 1 a t t a t，而1 2 6 0 F M F，由余弦定理得 2 2 2 2 2 2 2 2 4 1 c o s 6 0 1 4 2 2 t t c t c t，于是 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 4 1 3 2 1 a c c e a.记 2 2 1 1 1 3 2 1 f，2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 2 f，由对勾函数的性质可知，函数1 2 y 在1 1,3 2 上单调递减，则函数 1 1 1 2 f 在1 1,3 2 上6 单调
34、递增，所以 m i n 1 7 3 4 f f，m a x 1 3 2 f f，2 7 7,3,3 4 2 e e.故答案为：7,3 2.1 7【解析】（1）解：因为2 c o s c o s c o s B A C a c a b b c，所以 2 c o s c o s c o s b B c A a C，由正弦定理可得 2 s i n c o s s i n c o s s i n c o s B B C A A C，即 2 s i n c o s s i n s i n B B C A B，因为 0,B，所以 s i n 0 B，所以1 c o s 2 B，则3 B.（4 分）（2）解
35、：因为 6 b，3 B，由余弦定理2 2 2 2 c o s b a c a c B，即2 2 6 a c a c，所以2 2 6 2 a c a c a c 当且仅当a c 时取等号，所以 6 a c，则1 3 3 3 s i n 2 4 2 A B C S a c B a c，当且仅当6 a c 时取等号，所以 m a x 3 3 2 A B C S，又1 2 A B C A C B D S，所以3 3 2 2 2 3 2 2 2 6 6 A B C A B C S S B D A C，故 B D 的最大值为3 2 2.（6 分）1 8【解析】（1）因为 A D/B C，A D 平面 P
36、A D，B C 平面 P A D，所以 B C/平面 P A D，又因为 B C 平面 P B C，平面 P B C 平面 P A D 直线 l，所以 B C l.（3 分）（2）取 A D 的中点 O，连接,O P O B，由题意可得：B C/O D，且 B C O D，则 O B C D 为平行四边形，可得 O B/C D，且 C D 平面 P A D，则 O B 平面 P A D，由 O P 平面 P A D，则O P O B，又因为 P A D 为等边三角形，则 O 为 A B 的中点，可得 O P A D，O B A D O，,O B A D 平面 A B C D，则 O P 平面
37、A B C D，如图，以 O 为坐标原点，,O A O B O P 分别为,x y z 轴建立空间直角坐标系，则 1 3 3 1,0,0,0,2,0,1,2,0,1,0,0,0,0,3,0,0,1,2 2 2 A B C D P E F，可得3 3 1,0,1,0 2 2 2 A E E F，7 设平面 A E F 的法向量,n x y z，则3 3 0 2 2 1 0 2 n A E x z n E F x y，令 2 x，则 1,2 3 y z，即 2,1,2 3 n，由题意可知：平面 P A D 的法向量 0,1,0 m，可得1 1 7 c o s,1 7 1 7 1 n m n m n
38、 m，所以平面 A E F 与平面 P A D 所成锐二面角的余弦值1 7 1 7.（5 分）（3）由（2）可得：1,2,3 P C，设P G P C，,G a b c，则,3 P G a b c，可得 2 3 3 a b c，解得 2 3 1 a b c，即,2,3 1 G，可得 1,2,3 1 D G，若 D G 平面 A E F，则n D G，可得 2 1 2 6 1 0 n D G，解得4=5，所以存在点 G，使得 D G 平面 A E F，此时4 5 P G P C.（4 分）1 9【解析】（1）由题意，可得3 1 5 6 8 a a a，所以2 4 6 8 q q，解得2 4 q
39、或2 2 q（舍），则 2 q=，又1 2 a，所以 2 n n a.（4 分）（2）由 2 3 2 0 2 n n n t b n b，得2 2 3 2 n n t n b n，所以1 2 4 b t，2 1 6 4 b t，3 1 2 2 b t，因为数列 n b 为等差数列，所以1 3 2 2 b b b，解得 3 t，所以当 3 t 时，2 n b n，由1 2 n n b b+-=（常数）知此时数列 n b 为等差数列.（4 分）（3）因为1 2 b，所以1 a 与2 a 之间插入 2 个 2，2 4 b，所以2 a 与3 a 之间插入 4 个 2，3 6 b，所以3 a 与4 a
40、之间插入 6 个 2，则 n c 的前 1 0 0 项，由 9 0 个 2，1 2 3 9 1 0,a a a a a 构成，所以1 0 0 1 2 1 0()2 9 0 T a a a 1 0 2 1 2 1 8 0 2 2 2 6 1 2.（4 分）8 2 0【解析】（1）由题意可知：3 1,2 c b e a，又2 2 2 a b c，解得 2,1,3 a b c，所以椭圆方程为2 2 1 4 x y（4 分）（2）证明：由题意可知直线P Q 有斜率，由于(2,1)与点(0,1)A 的连线的斜率为 1 1 1 0 2，且 2,1 的横纵坐标恰好与 2,1 a b 相反，因此直线P Q 有
41、斜率 k 满足 0 k 且 1 k，直线P Q 的方程为：2 1 y k x，（2 分）联立直线与椭圆方程：2 2 2 2 2 2 2 1(1 4)8 2 1 6 0 1 4 y k x k x k k x k k x y，（1 分）设 1 1 2 2,P x y Q x y，则 2 2 1 2 1 2 2 2 8 2 1 6,1 4 1 4 k k k k x x x x k k，1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 1 1 A Q A P y x y x k x k x k x k x y y k k x x x x x x 1 2 2 1
42、 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 k x k x k x k x k x x k x x x x x x，将 2 2 1 2 1 2 2 2 8 2 1 6,1 4 1 4 k k k k x x x x k k 代入可得 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 6 8 2 2 2 2 3 2 8 2 2 2 1 6 1 4 1 4 1 1 6 1 6 1 6 1 4 A Q A P k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k k 故直线 A P 与 A Q 的斜率之和为 1，即为定值，得证.（5 分）2
43、1【解析】（1）依题可知，X 的可能取值为 0,2,4.4 2 4 1 3(0)C 2 8 P X 4 1 4 1 1(2)2 C 2 2 P X，4 4 4 1 1(4)2 C 2 8 P X，所以，X 的分布列如下：9 X 0 2 4 P 3 8 1 2 1 8 所以，3 1 1 3()0 2 4 8 2 8 2 E X（4 分）（2）依题可知2 2 C 2 i i i i p，2 i 时，2 1 1 2 2 C 2 1 1 4 C 2 i i i i i i p i p i，所以 1 i 时胜利的概率最大.(3 分）（3）记事件 A“机器人行走 2 i 步时恰好第一次回到初始位置”，B“
44、机器人第一步向前行走”，则B“机器人第一步向后行走”.（下面我们对事件 A B 进行分析.A B 发生时，假设机器人第 2 i 步是向前行走，则之前的 2 1 i 步机器人向前走的步数比向后走少一步，而因为机器人第一步为向前行走，这说明存在(2 2 1)k k i 使得机器人走了 k 步时回到了初始位置，这与 A 的发生矛盾，所以假设不成立.即机器人第 2 i 步为向后行走，从而机器人第 2 步到第 2 1 i 步向前和向后行走的步数均为1 i，且从第 2 步开始，到第 2 1 i 步的这 2 2 i 步，任意时刻机器人向前走的步数均不少于向后走的步数(否则在这过程中机器人会回到初始位置).）
45、根据卡特兰数，从第 2 步到第 2 1 i 步共有1 2 2 2 2 2 C C i i i i 种行走方式.通过上述分析知，1 2 2 2 2 2 2 2 C C()()()2()2 i i i i i i P P A P A B P A B P A B，所以 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 C C C C 2 C C 2 1 2(2 1)2 2 1 i i i i i i i i i i i i i i i i p P i i i 由于 1 2 2 2 2 2 2 2!2 2!2 2!2 C C 2 2 1!1!2!1!i i i i i i i i i
46、 i i i i，2 2!2 2 2!2 2!C 2(2 1)!(2 1)!1!i i i i i i i i i i i i i i，故等式成立（5 分）2 2.【解析】（1）当 0 m，1 f x x 在 0,单调递减；当 0 m 时，1 1 e m x f x m x m，当 1 m 时，1 0 1 x m，()0 f x，1 1 x m，0 f x；当 0 1 m 时，0 f x 在 0,恒成立；1 0 当 0 m 时，1 0 1 x m，0 f x，1 1 x m，()0 f x；综上所述，当 1 m 时，f x 在1 0,1 m 单调递增，在1 1,m 单调递减；当 0 1 m 时
47、，f x 在 0,单调递减；当 0 m 时，f x 在1 0,1 m 单调递减，在1 1,m 单调递增（2）由 l n 1 l n 1 a a b b，得 l n 1 e l n 1 e a b a b，即 1 e 1 e a b a b，由（1）可知，当 1 m 时，1 e x f x x，1 1 e e x x f x x x，当,0 x 时，()0 f x；当 0,x 时，0 f x，f x 在,0 单调递增，在 0,单调递减，又当,1 x，0 f x，当 1,m 时，0 f x，故 0 1 a b，即 0 a b 欲证1 1 0 a b，即证 0 a b 设 g x f x f x，0
48、 1 x，则 e e 0 x x g x f x f x x，即 g x 在 0,1 单调递减，又 0 0 g，所以 0 g x，即 f b f b，又 f a f b，所以 f a f b，又因为 f x 在,0 单调递增，0 a，0 b，所以 a b，即 0 a b 得证2 0 2 4 年 全 国 普 通 高 等 学 校 全 国 统 一 招 生 高 三 适 应 性 考 试暨 长 沙 市 第 一 中 学 高 二 下 学 期 期 末 考 试 数 学 答 题 卡姓 名 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
49、_ _ _ _ 准考证号一、选 择 题（其 中 1 8 小 题 为 单 选 题，9 1 2 小 题 为 多 选 题，共 6 0 分）考 生 条 形 码 粘 贴 处1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码；2.选择题必须用 2 B 铅笔填涂，解答题必须用 0.5 毫米黑色签字笔书写，字体工整，笔迹清楚；3.请按照题号顺序在各题的答题区域内答题，超出答题区域的答案无效，在草稿纸、试题纸上的答案无效；4.保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破.注意事项二、填 空 题（每 小 题 5 分，共 2 0 分）1 3._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _
50、_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 4._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _1 5._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 6._ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _三、解 答 题（共 7 0 分）1 7.（本 小 题 满 分 1 0 分）请 在 各 题 的 答 题 区 域 内 答 题，超 出 黑 色 矩 形 边 框 限 定 区 域 的 答 案 无 效1 8.（本 小 题 满 分 1 2 分）请 在 各 题 的 答