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1、2 0 1 1 年 山 西 高 考 理 科 数 学 真 题 及 答 案第 I 卷一、选 择 题：本 大 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目要 求 的。1 复 数21 2ii的 共 轭 复 数 是A 35i B 35iC i D i2 下 列 函 数 中，既 是 偶 函 数 哦、又 在（0，）单 调 递 增 的 函 数 是A 2y x B 1 y x C 21 y x D 2xy3 执 行 右 面 的 程 序 框 图，如 果 输 入 的 N 是 6，那 么 输 出 的 p 是A 1 2 0B 7 2 0C
2、 1 4 4 0D 5 0 4 04 有 3 个 兴 趣 小 组，甲、乙 两 位 同 学 各 自 参 加 其 中 一 个 小 组，每 位 同 学 参 加 各 个 小 组 的 可 能 性 相同，则 这 两 位 同 学 参 加 同 一 个 兴 趣 小 组 的 概 率 为A 13B 12C 23D 345 已 知 角 的 顶 点 与 原 点 重 合，始 边 与 x 轴 的 正 半 轴 重 合，终 边 在 直 线 2 y x 上，则 c o s 2=A 45 B 35C 35D 456 在 一 个 几 何 体 的 三 视 图 中，正 视 图 和 俯 视 图 如 右 图 所 示，则 相 应 的 俯 视
3、图 可 以 为7 设 直 线 l 过 双 曲 线 C 的 一 个 焦 点，且 与 C 的 一 条 对 称 轴 垂 直，l 与 C 交 于 A,B 两 点，A B 为 C的 实 轴 长 的 2 倍，则 C 的 离 心 率 为A 2 B 3 C 2 D 38 512ax xx x 的 展 开 式 中 各 项 系 数 的 和 为 2，则 该 展 开 式 中 常 数 项 为A-4 0 B-2 0 C 2 0 D 4 09 由 曲 线 y x，直 线 2 y x 及 y 轴 所 围 成 的 图 形 的 面 积 为A 103B 4 C 163D 61 0 已 知 a 与 b 均 为 单 位 向 量，其 夹
4、 角 为，有 下 列 四 个 命 题12:1 0,3P a b 22:1,3P a b 3:1 0,3P a b 4:1,3P a b 其 中 的 真 命 题 是A 1 4,P P B 1 3,P P C 2 3,P P D 2 4,P P1 1 设 函 数()s i n()c os()(0,)2f x x x 的 最 小 正 周 期 为，且()()f x f x，则A()f x 在 0,2 单 调 递 减 B()f x 在3,4 4 单 调 递 减C()f x 在 0,2 单 调 递 增 D()f x 在3,4 4 单 调 递 增1 2 函 数11yx的 图 像 与 函 数 2 s i n(
5、2 4)y x x 的 图 像 所 有 交 点 的 横 坐 标 之 和 等 于A 2 B 4 C 6 D 8第 卷本 卷 包 括 必 考 题 和 选 考 题 两 部 分。第 1 3 题-第 2 1 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 做 答。第 2 2 题 第 2 4 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 做 答。二、填 空 题：本 大 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分。1 3 若 变 量,x y 满 足 约 束 条 件3 2 9,6 9,x yx y 则 2 z x y 的 最 小 值 为。1 4 在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，椭 圆 C 的
6、 中 心 为 原 点，焦 点1 2,F F 在 x 轴 上，离 心 率 为22。过 F1的 直 线 交 于 C,A B 两 点，且2A B F 的 周 长 为 1 6，那 么 C 的 方 程 为。1 5 已 知 矩 形 A B C D 的 顶 点 都 在 半 径 为 4 的 球 O 的 球 面 上，且 6,2 3 A B B C,则 棱 锥O A B C D 的 体 积 为。1 6 在 A B C 中，60,3 B A C，则 2 A B B C 的 最 大 值 为。三、解 答 题：解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤。1 7（本 小 题 满 分 1 2 分）
7、等 比 数 列 na 的 各 项 均 为 正 数，且21 2 3 2 62 3 1,9.a a a a a 求 数 列 na 的 通 项 公 式.设3 1 3 2 3l og l og.l og,n nb a a a 求 数 列1nb 的 前 n 项 和.1 8(本 小 题 满 分 1 2 分)如 图，四 棱 锥 P A B C D 中，底 面 A B C D 为 平 行 四边 形，D A B=6 0,A B=2 A D,P D 底 面 A B C D.()证 明：P A B D；()若 P D=A D，求 二 面 角 A-P B-C 的 余 弦 值。1 9（本 小 题 满 分 1 2 分）某
8、 种 产 品 的 质 量 以 其 质 量 指 标 值 衡 量，质 量 指 标 值 越 大 表 明 质 量 越 好，且 质 量 指 标 值 大 于 或等 于 1 0 2 的 产 品 为 优 质 品，现 用 两 种 新 配 方（分 别 称 为 A 配 方 和 B 配 方）做 试 验，各 生 产 了 1 0 0件 这 种 产 品，并 测 试 了 每 件 产 品 的 质 量 指 标 值，得 到 下 面 试 验 结 果：A 配 方 的 频 数 分 布 表指 标 值 分 组 9 0，9 4）9 4，9 8）9 8，1 0 2）1 0 2，1 0 6）1 0 6，1 1 0 频 数 8 2 0 4 2 2
9、2 8B 配 方 的 频 数 分 布 表指 标 值 分 组 9 0，9 4）9 4，9 8）9 8，1 0 2）1 0 2，1 0 6）1 0 6，1 1 0 频 数 4 1 2 4 2 3 2 1 0（I）分 别 估 计 用 A 配 方，B 配 方 生 产 的 产 品 的 优 质 品 率；（I I）已 知 用 B 配 方 生 产 的 一 种 产 品 利 润 y（单 位：元）与 其 质 量 指 标 值 t 的 关 系 式 为2,942,94 1024,102ty tt 从 用 B 配 方 生 产 的 产 品 中 任 取 一 件，其 利 润 记 为 X（单 位：元）求 X 的 分 布 列 及 数
10、 学 期 望（以试 验 结 果 中 质 量 指 标 值 落 入 各 组 的 频 率 作 为 一 件 产 品 的 质 量 指 标 值 落 入 相 应 组 的 概 率）2 0（本 小 题 满 分 1 2 分）在 平 面 直 角 坐 标 系 x O y 中，已 知 点 A（0，-1），B 点 在 直 线 3 y 上，M 点 满 足/M B O A，M A A B M B B A，M 点 的 轨 迹 为 曲 线 C（I）求 C 的 方 程；（I I）P 为 C 上 动 点，l 为 C 在 点 P 处 的 切 线，求 O 点 到 l 距 离 的 最 小 值 2 1（本 小 题 满 分 1 2 分）已 知
11、 函 数l n()1a x bf xx x，曲 线()y f x 在 点(1,(1)f 处 的 切 线 方 程 为 2 3 0 x y（I）求 a，b 的 值；（I I）如 果 当 x 0，且 1 x 时，l n()1x kf xx x，求 k 的 取 值 范 围 请 考 生 在 第 2 2、2 3、2 4 三 题 中 任 选 一 题 做 答，如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分 做 答 是 用2 B 铅 笔 在 答 题 卡 上 把 所 选 题 目 对 应 题 号 下 方 的 方 框 涂 黑 2 2（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4-1：几 何 证 明 选 讲如 图
12、，D，E 分 别 为 A B C 的 边 A B，A C 上 的 点，且 不 与 A B C 的 顶 点 重 合 已 知 A E 的 长 为 m，A C 的 长 为 n，A D，A B 的 长 是 关 于 x 的 方 程214 0 x x m n 的 两 个 根（I）证 明：C，B，D，E 四 点 共 圆；（I I）若 9 0 A，且 4,6,m n 求 C，B，D，E 所 在 圆 的 半 径 2 3（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程在 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线1C 的 参 数 方 程 为2 c os(2 2 s i nxy 为
13、参 数），M 为1C 上 的 动 点，P 点 满 足 2 O P O M，点 P 的 轨 迹 为 曲 线2C（I）求2C 的 方 程；（I I）在 以 O 为 极 点，x 轴 的 正 半 轴 为 极 轴 的 极 坐 标 系 中，射 线3 与1C 的 异 于 极 点 的 交点 为 A，与2C 的 异 于 极 点 的 交 点 为 B，求|A B|.2 4（本 小 题 满 分 1 0 分）选 修 4-5：不 等 式 选 讲设 函 数()|3 f x x a x，其 中 0 a（I）当 a=1 时，求 不 等 式()3 2 f x x 的 解 集（I I）若 不 等 式()0 f x 的 解 集 为
14、x|1 x，求 a 的 值 2 0 1 1 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试理 科 数 学 试 卷 参 考 答 案一、选 择 题（1）C（2）B（3）B（4）A（5）B（6）D（7）B（8）D（9）C（1 0）A（1 1）A（1 2）D二、填 空 题（1 3）-6（1 4）2 2116 8x y（1 5）8 3（1 6）2 7三、解 答 题（1 7）解：（）设 数 列 an 的 公 比 为 q，由23 2 69 a a a 得3 23 49 a a 所 以219q。由 条 件 可 知 c 0，故13q。由1 22 3 1 a a 得1 22 3 1 a a q，所 以
15、113a。故 数 列 an 的 通 项 式 为 an=13n。（）3 1 3 2 3 nl og l og.l ognb a a a(1 2.)(1)2nn n 故1 2 1 12()(1)1nb n n n n 1 21 1 1 1 1 1 1 1 2.2(1)().()2 2 3 1 1nnb b b n n n 所 以 数 列1 nb的 前 n 项 和 为21nn(1 8)解：（）因 为 60,2 D A B A B A D，由 余 弦 定 理 得 3 B D A D 从 而 B D2+A D2=A B2，故 B D A D又 P D 底 面 A B C D，可 得 B D P D所 以
16、 B D 平 面 P A D.故 P A B D（）如 图，以 D 为 坐 标 原 点，A D 的 长 为 单 位 长，射 线 D A 为 x 轴 的 正 半 轴 建 立 空 间 直 角 坐标 系 D-x y z，则 1,0,0 A，0 3,0 B，1,3,0 C，0,0,1 P。(1,3,0),(0,3,1),(1,0,0)A B P B B C u u u v u u v u u u v设 平 面 P A B 的 法 向 量 为 n=（x，y，z），则0,0,n A Bn P B u u u ru u u r即3 03 0 x yy z 因 此 可 取 n=(3,1,3)设 平 面 P B
17、 C 的 法 向 量 为 m，则m 0,m 0,P BB C u u u ru u u r可 取 m=（0，-1，3）4 2 7c os,7 2 7m n 故 二 面 角 A-P B-C 的 余 弦 值 为2 77（1 9）解（）由 试 验 结 果 知，用 A 配 方 生 产 的 产 品 中 优 质 的 平 率 为22 8=0.3100，所 以 用 A 配 方 生 产的 产 品 的 优 质 品 率 的 估 计 值 为 0.3。由 试 验 结 果 知，用 B 配 方 生 产 的 产 品 中 优 质 品 的 频 率 为32 100.42100，所 以 用 B 配 方 生 产的 产 品 的 优 质
18、品 率 的 估 计 值 为 0.4 2（）用 B 配 方 生 产 的 1 0 0 件 产 品 中，其 质 量 指 标 值 落 入 区 间 90,94,94,102,102,110 的频 率 分 别 为 0.0 4，0 5 4，0.4 2，因 此P(X=-2)=0.0 4，P(X=2)=0.5 4，P(X=4)=0.4 2，即 X 的 分 布 列 为X 2 2 4P 0.0 4 0.5 4 0.4 2X 的 数 学 期 望 值 E X=-2 0.0 4+2 0.5 4+4 0.4 2=2.6 8(2 0）解：()设 M(x，y)，由 已 知 得 B(x，-3)，A(0，-1).所 以 M Au
19、u u r=（-x，-1-y），M Bu u u r=(0，-3-y)，A Bu u u r=(x，-2).再 由 题 意 可 知（M Au u u r+M Bu u u r）A Bu u u r=0，即（-x，-4-2 y）(x，-2)=0.所 以 曲 线 C 的 方 程 式 为 y=14x2-2.()设 P(x0，y0)为 曲 线 C：y=14x2-2 上 一 点，因 为 y=12x，所 以 l 的 斜 率 为12x0因 此 直 线 l 的 方 程 为0 0 01()2y y x x x，即20 0 02 2 0 x x y y x。则 O 点 到 l 的 距 离20 020|2|4y x
20、dx.又20 0124y x，所 以20202 20 0141 42(4)2,24 4xd xx x 当20 x=0 时 取 等 号，所 以 O 点 到 l 距 离 的 最 小 值 为 2.（2 1）解：（）2 21(l n)()(1)xxbxf xx x 由 于 直 线 2 3 0 x y 的 斜 率 为12，且 过 点(1,1)，故(1)1,1(1),2ff 即1,1,2 2bab 解 得 1 a，1 b。（）由（）知l n 1f()1xxx x，所 以22l n 1(1)(1)()()(2 l n)1 1x k k xf x xx x x x。考 虑 函 数()2 l n h x x 2
21、(1)(1)k xx(0)x，则22(1)(1)2()k x xh xx。(i)设 0 k，由2 22(1)(1)()k x xh xx 知，当 1 x 时，()0 h x。而(1)0 h，故当(0,1)x 时，()0 h x，可 得21()01h xx；当 x（1，+）时，h（x）0从 而 当 x 0，且 x 1 时，f（x）-（1l n xx+xk）0，即 f（x）1l n xx+xk.（i i）设 0 k 0，故h(x）0，而h（1）=0，故 当 x（1，k 11）时，h（x）0，可 得211x h（x）0，而 h（1）=0，故 当 x（1，+）时，h（x）0，可 得211x h（x）1
22、 与 0 x 1 时，需 证2(1)l n 1(1)l n x x x x x x x 即21l nxxx 即 需 证1l n x xx（1）设1()l n g x x xx，则1()1 g xx 由 x 1 得()0 g x，所 以1()l n g x x xx 在（1，+）上 为 减 函 数 又 因 g（1）=0所 以 当 x 1 时 g（x）0 即（1）式 成 立 同 理 0 x 1 时，需 证1l n x xx（2）而 由 0 x 1 得()0 g x，所 以1()l n g x x xx 在（0，1）上 为 增 函 数 又 因 g（1）=0所 以 当 0 x 1 时 g（x）0 即（
23、2）式 成 立 综 上 所 证，知 要 证 不 等 式 成 立 点 评：抓 住 基 本 思 路，去 分 母 化 简 问 题，不 可 死 算（2 2）解：（I）连 接 D E，根 据 题 意 在 A D E 和 A C B 中，A D A B=m n=A E A C，即A BA EA CA D.又 D A E=C A B，从 而 A D E A C B因 此 A D E=A C B所 以 C，B，D，E 四 点 共 圆。（）m=4，n=6 时，方 程 x2-1 4 x+m n=0 的 两 根 为 x1=2，x2=1 2.故 A D=2，A B=1 2.取 C E 的 中 点 G，D B 的 中
24、点 F，分 别 过 G，F 作 A C，A B 的 垂 线，两 垂 线 相 交 于 H 点，连 接 D H.因 为 C，B，D，E 四 点 共 圆，所 以 C，B，D，E 四 点 所 在 圆 的 圆 心 为 H，半 径 为 D H.由 于 A=9 00，故 G H A B，H F A C.H F=A G=5，D F=21(1 2-2)=5.故 C，B，D，E 四 点 所 在 圆 的 半 径 为 5 2（2 3）解：（I）设 P(x，y)，则 由 条 件 知 M(2,2Y X).由 于 M 点 在 C1上，所 以 s i n 2 22,c os 22yx即 s i n 4 4c os 4yx从
25、而 2 C 的 参 数 方 程 为4 c os4 4 s i nxy（为 参 数）（）曲 线 1 C 的 极 坐 标 方 程 为 4 s i n，曲 线 2 C 的 极 坐 标 方 程 为 8 s i n。射 线3 与 1 C 的 交 点 A 的 极 径 为 1 4 s i n3，射 线3 与 2 C 的 交 点 B 的 极 径 为 2 8 s i n3。所 以 2 1|2 3 A B.（2 4）解：（）当 1 a 时，()3 2 f x x 可 化 为|1|2 x。由 此 可 得 3 x 或 1 x。故 不 等 式()3 2 f x x 的 解 集 为|3 x x 或 1 x。()由()0 f x 得3 0 x a x 此 不 等 式 化 为 不 等 式 组3 0 x ax a x 或3 0 x aa x x 即4x aax 或2x aaa 因 为 0 a，所 以 不 等 式 组 的 解 集 为|2ax x 由 题 设 可 得2a=1，故 2 a