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1、20112011 年安徽高考理科数学真题及答案年安徽高考理科数学真题及答案一、选择题（共一、选择题（共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，满分分，满分 5050 分）分）1（5 分）设 i 是虚数单位，复数为纯虚数，则实数 a 为（）A2B2CD【解答】解：复数=，它是纯虚数，所以 a=2，故选 A2（5 分）双曲线 2x2y2=8 的实轴长是（）A2BC4D【解答】解：2x2y2=8 即为a2=4a=2故实轴长为 4故选 C3（5 分）设 f（x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时，f（x）=2x2x，则 f（1）=（）A3B1C1D3【解答】解：当 x0 时，f（x）=2
2、x2x，f（1）=2（1）2（1）=3，又f（x）是定义在 R 上的奇函数f（1）=f（1）=3故选 A4（5 分）设变量 x，y 满足|x|+|y|1，则 x+2y 的最大值和最小值分别为（）A1，1B2，2C1，2D2，1【解答】解：约束条件|x|+|y|1 可化为：其表示的平面区域如下图所示：由图可知当 x=0，y=1 时 x+2y 取最大值 2当 x=0，y=1 时 x+2y 取最小值2故选 B5（5 分）在极坐标系中，点（2，）到圆=2cos的圆心的距离为（）A2BCD【解答】解：在直角坐标系中，点即（1，），圆即 x2+y2=2x，即（x1）2+y2=1，故圆心为（1，0），故点（
3、2，）到圆=2cos的圆心的距离为=，故选 D6（5 分）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A48B32+8C48+8D80【解答】解：如图所示的三视图是以左视图所示等腰梯形为底的直四棱柱，其底面上底长为 2，下底长为 4，高为 4，故底面积 S底=（2+4）4=12腰长为：=则底面周长为：2+4+2=6+2则其侧面积 S侧=4（6+2）=24+8则该几何体的表面积为 S=2S底+S侧=212+24+8=48+8故选 C7（5 分）命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定是（）A所有不能被 2 整除的整数都是偶数B所有能被 2 整除的整数都不是偶数C存在一个不能被 2
4、 整除的整数是偶数D存在一个能被 2 整除的整数不是偶数【解答】解：命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”是一个全称命题其否定一定是一个特称命题，故排除 A，B结合全称命题的否定方法，我们易得命题“所有能被 2 整除的数都是偶数”的否定应为“存在一个能被 2 整除的整数不是偶数”故选：D8（5 分）设集合 A=1，2，3，4，5，6，B=4，5，6，7，8，则满足 SA 且 SB的集合 S 的个数是（）A57B56C49D8【解答】解：集合 A 的子集有：，1，2，3，4，5，6，1，2，1，3，1，4，1，5，1，2，3，4，5，6，共 1+=64 个；又 SB，B=4，5，6，7，8，所以
5、 S 不能为：，1，2，3，1，2，1，3，2，3，1，2，3共 8 个，则满足 SA 且 SB的集合 S 的个数是 648=56故选：B9（5 分）已知函数 f（x）=sin（2x+），其中为实数，若 f（x）|f（）|对 xR恒成立，且 f（）f（），则 f（x）的单调递增区间是（）Ak，k+（kZ）Bk，k+（kZ）Ck+，k+（kZ）Dk，k（kZ）【解答】解：若对 xR 恒成立，则 f（）等于函数的最大值或最小值即 2+=k+，kZ则=k+，kZ又即 sin0令 k=1，此时=，满足条件令 2x2k，2k+，kZ解得 x故选 C10（5 分）函数 f（x）=axm（1x）n在区间0，
6、1上的图象如图所示，则 m，n 的值可能是（）Am=1，n=1 Bm=1，n=2 Cm=2，n=1 Dm=3，n=1【解答】解：由于本题是选择题，可以用代入法来作，由图得，原函数的极大值点小于 0.5当 m=1，n=1 时，f（x）=ax（1x）=a+在 x=处有最值，故 A 错误；当 m=1，n=2 时，f（x）=axm（1x）n=ax（1x）2=a（x32x2+x），所以 f（x）=a（3x1）（x1），令 f（x）=0 x=，x=1，即函数在 x=处有最值，故 B 正确；当 m=2，n=1 时，f（x）=axm（1x）n=ax2（1x）=a（x2x3），有 f（x）=a（2x3x2）=a
7、x（23x），令 f（x）=0 x=0，x=，即函数在 x=处有最值，故 C 错误；当 m=3，n=1 时，f（x）=axm（1x）n=ax3（1x）=a（x3x4），有 f（x）=ax2（34x），令 f（x）=0，x=0，x=，即函数在 x=处有最值，故 D 错误故选：B二、填空题（共二、填空题（共 5 5 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，满分分，满分 1515 分）分）11（3 分）如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是15【解答】解：程序在运行过程中各变量的值如下表示：kI是否继续循环循环前00是第一圈11是第二圈21+2是第三圈31+2+3是第四圈41+2+3+4是依此类
8、推第十六圈151+2+3+15105否故最后输出的 k 值为：15，故答案为：1512（3 分）设（x1）21=a0+a1x+a2x2+a21x21，则 a10+a11=0【解答】解：根据题意，（x1）21的通项公式为 Tr+1=C21r（x）21r（1）r，则有 T11=C2110（x）11（1）10，T12=C2111（x）10（1）11，则 a10=C2110，a11=C2111，故 a10+a11=C2110C2111=0；故答案为：013（3 分）已知向量，满足（+2）（）=6，|=1，|=2，则 与 的夹角为60【解答】解：（+2）（）=222+=18+=6 =1cos=又090=
9、60故答案为 60或者14（3 分）已知ABC 的一个内角为 120，并且三边长构成公差为 4 的等差数列，则ABC的面积为15【解答】解：设三角形的三边分别为 x4，x，x+4，则 cos120=，化简得：x16=4x，解得 x=10，所以三角形的三边分别为：6，10，14则ABC 的面积 S=610sin120=15故答案为：1515（3 分）在平面直角坐标系中，如果 x 与 y 都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是（写出所有正确命题的编号）存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点如果 k 与 b 都是无理数，则直线 y=kx+b 不经过任何整点直线 l 经过无穷多
10、个整点，当且仅当 l 经过两个不同的整点直线 y=kx+b 经过无穷多个整点的充分必要条件是：k 与 b 都是有理数存在恰经过一个整点的直线【解答】解：令 y=x+，既不与坐标轴平行又不经过任何整点，所以本命题正确；若 k=，b=，则直线 y=x+经过（1，0），所以本命题错误；设 y=kx 为过原点的直线，若此直线 l 过不同的整点（x1，y1）和（x2，y2），把两点代入直线 l 方程得：y1=kx1，y2=kx2，两式相减得：y1y2=k（x1x2），则（x1x2，y1y2）也在直线 y=kx 上且为整点，通过这种方法得到直线 l 经过无穷多个整点，则正确；当 k，b 都为有理数时，y=
11、kx+b 可能不经过整点，例如 k=，b=，故不正确；令直线 y=x 恰经过整点（0，0），所以本命题正确综上，命题正确的序号有：故答案为：三、解答题（共三、解答题（共 6 6 小题，满分小题，满分 7575 分）分）16（12 分）设，其中 a 为正实数（）当 a=时，求 f（x）的极值点；（）若 f（x）为 R 上的单调函数，求 a 的取值范围【考点】利用导数研究函数的极值；利用导数研究函数的单调性；一元二次不等式的解法【专题】计算题【分析】（）首先对 f（x）求导，将 a=代入，令 f（x）=0，解出后判断根的两侧导函数的符号即可（）因为 a0，所以 f（x）为 R 上为增函数，f（x）
12、0 在 R 上恒成立，转化为二次函数恒成立问题，只要0 即可【解答】解：对 f（x）求导得f（x）=ex（）当 a=时，若 f（x）=0，则 4x28x+3=0，解得结合，可知x（，）（，）（，+）f（x）+00+f（x）增极大值减极小值增所以，是极小值点，是极大值点（）若 f（x）为 R 上的单调函数，则 f（x）在 R 上不变号，结合与条件 a0 知 ax22ax+10 在 R 上恒成立，因此=4a24a=4a（a1）0，由此并结合 a0，知 0a1【点评】本题考查求函数的极值问题、已知函数的单调性求参数范围问题，转化为不等式恒成立问题求解17（12 分）如图，ABEDFC 为多面体，平面
13、 ABED 与平面 ACFD 垂直，点 O 在线段 AD 上，OA=1，OD=2，OAB，OAC，ODE，ODF 都是正三角形（I）证明直线 BCEF；（II）求棱锥 FOBED 的体积【考点】空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积【专题】综合题【分析】（I）利用同位角相等，两直线平行得到 OBDE；OB=，得到 B 是 GE 的中点；同理 C 是 FG 的中点；利用三角形的中位线平行于底边，得证（II）利用三角形的面积公式求出底面分成的两个三角形的面积，求出底面的面积；利用两个平面垂直的性质找到高，求出高的值；利用棱锥的体积公式求出四棱锥的体积【解答】解：（I）证明：设 G
14、是线段 DA 与线段 EB 延长线的交点，由于OAB 与ODE 都是正三角形，所以 OBDE，OB=同理，设 G是线段 DA 与线段 FC 延长线的交点，有OG=OD=2，又由于 G 与 G都在线段 DA 的延长线上，所以 G 与 G重合，在GED 和GFD中，由和可知 B，C 分别是 GE，GF 的中点，所以BC 是GFE 的中位线，故 BCEF（II）解：由 OB=1，OE=2，EOB=60，知而OED 是边长为 2 的正三角形，故所以过点 F 作 FQAD，交 AD 于点 Q由平面ABED平面ACFD，FQ就是四棱锥FOBED的高，且 FQ=，所以另外本题还可以用向量法解答，同学们可参考
15、图片，自行解一下，解法略【点评】本题考查证明两条直线平行的方法有：同位角相等，两直线平行、三角形的中位线平行于底边、考查平面垂直的性质定理、棱锥的体积公式18（13 分）在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n+2 个数构成递增的等比数列，将这n+2 个数的乘积计作 Tn，再令 an=lgTn，n1（）求数列an的通项公式；（）设 bn=tanantanan+1，求数列bn的前 n 项和 Sn【考点】等比数列的通项公式；数列与三角函数的综合【专题】计算题；压轴题【分析】（I）根据在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n+2 个数构成递增的等比数列，我们易得这 n+2
16、 项的几何平均数为 10，故 Tn=10n+2，进而根据对数的运算性质我们易计算出数列an的通项公式；（II）根据（I）的结论，利用两角差的正切公式，我们易将数列bn的每一项拆成的形式，进而得到结论【解答】解：（I）在数 1 和 100 之间插入 n 个实数，使得这 n+2 个数构成递增的等比数列，又这 n+2 个数的乘积计作 Tn，Tn=10n+2又an=lgTn，an=lg10n+2=n+2，n1（II）bn=tanantanan+1=tan（n+2）tan（n+3）=，Sn=b1+b2+bn=+=【点评】本题考查的知识点是等比数列的通项公式及数列与三角函数的综合，其中根据已知求出这 n+
17、2 项的几何平均数为 10，是解答本题的关键19（12 分）（）设 x1，y1，证明 x+y+xy；（）1abc，证明 logab+logbc+logcalogba+logcb+logac【考点】不等式的证明【专题】证明题；转化思想【分析】（）根据题意，首先对原不等式进行变形有 x+y+xyxy（x+y）+1x+y+（xy）2；再用做差法，让右式左式，通过变形、整理化简可得右式左式=（xy1）（x1）（y1），又由题意中 x1，y1，判断可得右式左式0，从而不等式得到证明（）首先换元，设 logab=x，logbc=y，由换底公式可得：logba=，logcb=，logac=，logac=xy
18、，将其代入要求证明的不等式可得：x+y+xy；又有 logab=x1，logbc=y1，借助（）的结论，可得证明【解答】证明：（）由于 x1，y1；则 x+y+xyxy（x+y）+1x+y+（xy）2；用作差法，右式左式=（x+y+（xy）2）（xy（x+y）+1）=（xy）21）（xy（x+y）（x+y）=（xy+1）（xy1）（x+y）（xy1）=（xy1）（xyxy+1）=（xy1）（x1）（y1）；又由 x1，y1，则 xy1；即右式左式0，从而不等式得到证明（）设 logab=x，logbc=y，由换底公式可得：logba=，logcb=，logca=，logac=xy，于是要证明的
19、不等式可转化为 x+y+xy；其中 logab=x1，logbc=y1，由（）的结论可得，要证明的不等式成立【点评】本题考查不等式的证明，要掌握不等式证明常见的方法，如做差法、放缩法；其次注意（）证明在变形后用到（）的结论，这个高考命题考查转化思想的一个方向20（13 分）工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过 10 分钟，如果有一个人 10 分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别 p1，p2，p3，假设 p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立（
20、）如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？（）若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为 q1，q2，q3，其中 q1，q2，q3是 p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目 X 的分布列和均值（数学期望）EX；（）假定 lp1p2p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小【考点】离散型随机变量的期望与方差；相互独立事件的概率乘法公式【专题】计算题；应用题；压轴题【分析】（）可先考虑任务不能被完成的概率为（1p1）（1p2）（1p3）为定值，故任务能被
21、完成的概率为定值，通过对立事件求概率即可（）X 的取值为 1，2，3，利用独立事件的概率分别求出概率，再求期望即可（）由（）中得到的关系式，考虑交换顺序后 EX 的变化情况即可【解答】解：（）任务不能被完成的概率为（1p1）（1p2）（1p3）为定值，所以任务能被完成的概率与三个人被排除的顺序无关任务能被完成的概率为 1（1p1）（1p2）（1p3）（）X 的取值为 1，2，3P（X=1）=q1P（X=2）=（1q1）q2P（X=3）=（1q1）（1q2）EX=q1+2（1q1）q2+3（1q1）（1q2）=32q1q2+q1q2（）EX=3（q1+q2）+q1q2q1，若交换前两个人的派出顺
22、序，则变为 3（q1+q2）+q1q2q2，由此可见，当 q1q2时，交换前两个人的派出顺序可增大均值；若保持第一人派出的人选不变，交换后个人的派出顺序，EX 可写为 32q1（1q1）q2，交换后个人的派出顺序则变为 32q1（1q1）q3，当 q2q3时交换后个人的派出顺序可增大均值故完成任务概率大的人先派出，可使所需派出的人员数目的均值（数学期望）达到最小【点评】本题考查对立事件、独立事件的概率、离散型随机变量的分布列和方差等知识，以及利用概率知识解决实际问题的能力21（13 分）设0，点 A 的坐标为（1，1），点 B 在抛物线 y=x2上运动，点 Q 满足，经过点 Q 与 x 轴垂直
23、的直线交抛物线于点 M，点 P 满足，求点 P 的轨迹方程【考点】抛物线的应用；轨迹方程【专题】综合题；压轴题【分析】设出点的坐标，利用向量的坐标公式求出向量的坐标，代入已知条件中的向量关系得到各点的坐标关系；表示出 B 点的坐标；将 B 的坐标代入抛物线方程求出 p 的轨迹方程【解答】解：由知 Q，M，P 三点在同一条垂直于 x 轴的直线上，故可设 P（x，y），Q（x，y0），M（x，x2）则x2y0=（yx2）即 y0=（1+）x2y再设 B（x1，y1）由得将代入式得又点 B 在抛物线 y=x2将代入得（1+）2x2（1+）y=（1+）x）2整理得 2（1+）x（1+）y（1+）=0 因为0 所以 2xy1=0故所求的点 P 的轨迹方程：y=2x1【点评】本题考查题中的向量关系提供点的坐标关系、求轨迹方程的重要方法：相关点法，即求出相关点的坐标，将相关点的坐标代入其满足的方程，求出动点的轨迹方程