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1、20112011 北京考研数学二真题及答案北京考研数学二真题及答案一、选择题一、选择题(1(18 8 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 3232 分下列每题给出的四个选项中，只有一分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上)(1)已知当0 x 时，3sinsin3f xxx与kcx是等价无穷小，则()(A)1,4kc(B)1,4kc(C)3,4kc(D)3,4kc(2)已知 f x在0 x 处可导，且 00f，则 23302limxx f xf xx=()(A)20f(
2、B)0f(C)0f(D)0(3)函数()ln(1)(2)(3)f xxxx的驻点个数为()(A)0(B)1(C)2(D)3(4)微分方程2(0)xxyyee的特解形式为()(A)()xxa ee(B)()xxax ee(C)()xxx aebe(D)2()xxxaebe(5)设函数(),()f x g x均有二阶连续导数，满足(0)0,(0)0,fg且(0)(0)0fg，则函数()()zf x g y在点(0,0)处取得极小值的一个充分条件是()(A)(0)0,(0)0.fg(B)(0)0,(0)0.fg(C)(0)0,(0)0.fg(D)(0)0,(0)0.fg(6)设40lnsinIxdx
3、，40lncotJxdx，40lncosKxdx，则,I J K的大小关系是()(A)IJK(B)IKJ(C)JIK(D)KJI(7)设A为 3 阶矩阵，将A的第 2 列加到第 1 列得矩阵B，再交换B的第 2 行与第 3行得单位矩阵，记1100110001P，2100001010P，则A()(A)12PP(B)112P P(C)21P P(D)121P P(8)设1234(,)A 是 4 阶矩阵，*A为A的伴随矩阵，若(1,0,1,0)T是方程组0Ax 的一个基础解系，则*0A x 的基础解系可为()(A)13,(B)12,(C)123,(D)234,二、填空题二、填空题(9(91414 小
4、题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分请将答案写在分请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上)(9)1012lim()2xxx(10)微分方程cosxyyex满足条件(0)0y的解为(11)曲线0tan(0)4xytdtx的弧长s (12)设函数,0,()0,0,0,xexf xx则()xf x dx(13)设 平 面 区 域D由 直 线,yx圆222xyy及y轴 围 成，则 二 重 积 分Dxyd(14)二次型222123123121323(,)3222f x xxxxxx xx xx x，则f的正惯性指数为三、解答题三、解答题(15(152323 小题，共小题，共
5、9494 分请将解答写在分请将解答写在答题纸答题纸指定位置上解答应写出文指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分 10 分)已知函数20ln(1)()xatdtF xx，设0lim()lim()0,xxF xF x试求a的取值范围(16)(本题满分 11 分)设函数()yy x由参数方程3311,3311,33xttytt 确定，求()yy x的极值和曲线()yy x的凹凸区间及拐点(17)(本题满分 9 分)设函数(,()zf xy yg x，其中函数f具有二阶连续偏导数，函数()g x可导且在1x 处取得极值(1)1g，求211xyzx
6、 y 1211112Oyx222xyy221xy(18)(本题满分 10 分)设函数()y x具有二阶导数，且曲线:()l yy x与直线yx相切于原点，记为曲线l在点(,)x y处切线的倾角，若,ddydxdx求()y x的表达式(19)(本题满分 10 分)(I)证明：对任意的正整数n，都有111ln(1)1nnn成立(II)设111ln(1,2,)2nan nn，证明数列 na收敛(20)(本题满分 11 分)一 容 器 的 内 侧 是 由 图 中 曲 线 绕y轴 旋 转 一 周 而 成 的 曲 面，该 曲 线 由2212()2xyy y与2211()2xyy连接而成的(I)求容器的容积
7、；(II)若将容器内盛满的水从容器顶部全部抽出，至少需要做多少功？(长度单位：m，重力加速度为2/gm s，水的密度为3310/kg m)图(21)(本题满分 11 分)已知函数(,)f x y具有二阶连续偏导数，且(1,)0fy，(,1)0f x，(,)Df x y dxdya，其中(,)|01,01Dx yxy ，计算二重积分(,)xyDIxyfx y dxdy(22)(本题满分 11 分)设向量组123(1,0,1),(0,1,1),(1,3,5)TTT，不能由向量组1(1,1,1)T，2(1,2,3)T，3(3,4,)Ta线性表示(I)求a的值；(II)将123,由123,线性表示(2
8、3)(本题满分 11 分)A为三阶实对称矩阵，A的秩为 2，即 2r A，且111100001111A(I)求A的特征值与特征向量；(II)求矩阵A参考答案一、选择题一、选择题(1(18 8 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 3232 分下列每题给出的四个选项中，只有一分下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在个选项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸答题纸指定位置上指定位置上)(1)【答案】(C)【解析】因为03sinsin3limkxxxcx03sinsincos2cos sin2limkxxxxxxcx20sin3cos22cos
9、limkxxxxcx2103cos22coslimkxxxcx221032cos12coslimkxxxcx22110044cos4sinlimlimkkxxxxcxcx304lim1kxcx所以4,3ck，故答案选(C)(2)【答案】(B)【解析】23302limxx fxfxx 223300220limxx fxx ffxfx 33000lim2xfxffxfxx 0200fff 故答案选(B)(3)【答案】(C)【解析】()ln1ln2ln3f xxxx 111()123fxxxx231211(1)(2)(3)xxxxx令()0fx，得1,2633x，故()f x有两个不同的驻点(4)【
10、答案】(C)【解析】微分方程对应的齐次方程的特征方程为220r，解得特征根12rr,所以非齐次方程2xyye有特解1xyx a e,非齐次方程2xyye有特解2xyx b e，故 由 微 分 方 程 解 的 结 构 可 知 非 齐 次 方 程2xxyyee可 设 特 解().xxyx aebe(5)【答案】(A)【解析】由题意有()()zfx g yx，()()zf x g yy所以，0,0(0)(0)0zfgx，0,0(0)(0)0zfgy，即0,0点是可能的极值点又因为22()()zfx g yx，2()()zfx g yx y，22()()zgy f xy，所以，2(0,0)2|(0)(
11、0)zAfgx，2(0,0)|(0)(0)0zBfgx y，2(0,0)2|(0)(0)zCfgy，根据题意由0,0为极小值点，可得20,ACBA C且(0)(0)0Afg，所以有(0)(0)0.Cfg由题意(0)0,(0)0fg，所以(0)0,(0)0fg，故选(A)(6)【答案】(B)【解析】因为04x时，0sincos1cotxxx，又因ln x是单调递增的函数，所以lnsinlncoslncotxxx故正确答案为(B)(7)【答案】(D)【解析】由于将A的第 2 列加到第 1 列得矩阵B，故100110001AB，即1APB，11ABP由于交换B的第 2 行和第 3 行得单位矩阵，故1
12、00001010BE，即2,P BE故122BPP因此，121AP P，故选(D)(8)【答案】(D)【解析】由于(1,0,1,0)T是方程组0Ax 的一个基础解系，所以(1,0,1,0)0TA，且()4 13r A ，即130，且0A 由 此 可 得*|A AA EO，即*1234(,)AO ，这说明1234,是*0A x 的解由于()3r A，130，所以234,线性无关又由于()3r A，所以*()1r A，因此*0A x 的基础解系中含有4 13 个线性无关的解向量而234,线性无关，且为*0A x 的解，所以234,可作为*0A x 的基础解系，故选(D)二、填空题二、填空题(9(9
13、1414 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2424 分请将答案写在分请将答案写在答题纸答题纸指定位置上指定位置上)(9)【答案】2【解析】原式=01 21lim(1)2xxxe00212 ln21limlimln22222xxxxxeee(10)【答案】sinxyex【解析】由通解公式得(cos)dxdxxyeex edxC(cos)xexdxC(sin)xexC由于(0)0,y故C=0所以sinxyex(11)【解析】选取x为参数，则弧微元 2211 tansecdsydxxdxxdx所以4400secln sectanln(12)sxdxxx(12)【答案】1【解析】原式0
14、0 xxx edxxde 0001lim0 xxxxxxxeedxee 01111limlimxxxxeee(13)【答案】712【解析】原式2sin2sin3220044cossincossindrrrdrrdr dr 4241sincos16sin4d 5522444cossin4sinsindd 66447sin612(14)【答案】2【解析】方法 1：f的正惯性指数为所对应矩阵的特征值中正的个数二次型f对应矩阵为11113 1111A111000131131132111111112EA 321412，故1230,1,4因此f的正惯性指数为 2方法 2：f的正惯性指数为标准形中正的平方项
15、个数222123123121 323,3222f x x xxxxx xx xx x2222212322332323232xxxxx xxxxx x2212322xxxx，令11232233,yxxxyxyx则22122fyy，故f的正惯性指数为 2三、解答题三、解答题(15(152323 小题，共小题，共 9494 分请将解答写在分请将解答写在答题纸答题纸指定位置上解答应写出文指定位置上解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤字说明、证明过程或演算步骤)(15)(本题满分 10 分)【解析】如果0a 时，2200(1)limlimln(1)xxaaxxlntdtxtdtx，显然与已知矛盾，故0
16、a 当0a 时，又因为22230110000ln(1)ln(1)1limlimlimlim0 xaaaaxxxxtdtxxxxaxaxa所以30a即3a 又因为223201222ln(1)ln(1)210limlimlimlim(1)(1)1xaaaaxxxxxt dtxxxxaxa axa ax所以32a，即1a，综合得13a(16)(本题满分 11 分)【解析】因为221()1dytdty xdxtdt，2222222231()12(1)(1)2141(),(1)1(1)tdt ttttty xdxdttttdt令()0y x得1t ，当1t 时，53x，13y ，此时0y，所以13y 为
17、极小值当1t 时，1x ，1y，此时0y，所以1y 为极大值令()0yx得0t，13xy当0t 时，13x，此时0y；当0t 时，13x，此时0y 所以曲线的凸区间为13，凹区间为13，拐点为1 1(,)3 3(17)(本题满分 9 分)【解析】,()zf xy yg x12,(),()()zfxy yg xyfxy yg xyg xx211112,()(,()(,()()zfxy yg xy fxy yg x xfxy yg x g xx y 21222(),()(),(),()()g xfxy yg xyg xfxy yg xxfxy yg x g x因为()g x在1x 可导，且为极值,
18、所以(1)0g，则21111121|(1,1)(1,1)(1,1)xyd zfffdxdy(18)(本题满分 10 分)【解析】由题意可知当0 x 时，0y，(0)1y，由导数的几何意义得tany,即arctan y，由题意arctanddyydxdx，即21yyy令yp，yp，则21ppp，3dpdxpp，即21dppdpdxpp，211ln|ln(1)2ppxc，即2211xpce当0 x，1p，代入得2c，所以2121xye，则2200()(0)212txxttdte dty xyee0022arcsin|arcsin4221()2ttxxxtedeee又因为(0)0y，所以2()arc
19、sin24xy xe(19)(本题满分 10 分)【解析】()设 1ln 1,0,fxxxn显然()f x在10,n上满足拉格朗日的条件，1111110ln 1ln1ln 1,0,1ffnnnnn所以10,n时，111111111 01nnnn，即：111111nnn，亦即：111ln 11nnn结论得证（II）设111111lnln23nnkannnk 先证数列 na单调递减111111111ln1lnlnln 1111nnnnkknaannkknnnn，利用（I）的结论可以得到11ln(1)1nn，所以11ln 101nn得到1nnaa，即数列 na单调递减再证数列 na有下界1111ln
20、ln 1lnnnnkkannkk，11112 3 41ln 1lnlnln11 2 3nnkkknnkkn，1111lnln 1lnln1ln0nnnkkannnnkk得到数列 na有下界利用单调递减数列且有下界得到 na收敛(20)(本题满分 11 分)【解析】(I)容器的容积即旋转体体积分为两部分12VVV1222211221yy dyy dy232123yy+13213yy=1534=94(II)所做的功为22(2)(1)(2)(2)dwgyy dygyyy dy12222112(2)(1)(2)(2)wgyy dygyyy dy1232322112(22)44)gyyydyyyy dy
21、111224322312222221111211122242243243yyyyygyy327 1033758gg(21)(本题满分 11 分)【解析】因为(,1)0f x，(1,)0fy，所以(,1)0 xfx1100(,)xyIxdxyfx y dy1100(,)xxdxydfx y111000,|,xxxdx yfx yfx y dy1100(,1)(,)xxxdx fxfx y dy1100(,)xxdxfx y dy 1100(,)xdyxfx y dx 111000(,)|(,)dy xf x yf x y dx 1100(1,)(,)dy fyf x y dx(,)Df x y
22、dxdya(22)(本题满分 11 分)【解析】(I)由于123,不能由123,线性表示，对123123(,)进行初等行变换：123123113101(,)12401313115a 113101011112023014a113101011112005210a当5a 时，1231231(,)2(,)3rr ，此时，1不能由123,线性表示，故123,不能由123,线性表示(II)对123123(,)进行初等行变换：123123101113(,)013124115135 1011130131240140221011130131240011021002150104210001102，故112324，
23、2122，31235102(23)(本题满分 11 分)【解析】(I)由于111100001111A，设121,0,1,1,0,1TT，则1212,A ，即1122,AA，而120,0，知A的特征值为121,1，对应的特征向量分别为1110kk，2220kk由于 2r A，故0A，所以30由于A是三阶实对称矩阵，故不同特征值对应的特征向量相互正交，设30对应的特征向量为3123,Tx xx，则13230,0,TT 即13130,0 xxxx解此方程组，得30,1,0T，故30对应的特征向量为3330kk(II)由于不同特征值对应的特征向量已经正交，只需单位化：312123123111,0,1,1,0,1,0,1,022TTT令123,Q ，则110TQ AQ ，TAQ Q2202222012222001102202201002222022220001222200000002210022010022