2023年高考考前押题密卷-数学（新高考Ⅰ卷）（全解全析）.pdf

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1、2023年 高 考 考 前 押 题 密 卷(新 高 考 I 卷)数 学 全 解 全 析 一、单 选 题：本 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 0分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1.已 知 集 合 A=x I f-2 X-8 0,则 A c B=()A.(0,4)B.(1,4)C.-1,4)D.(-1,4【答 案】B【详 解】解 集 合 A=X|X2-2 X-8-2%0=x+2l=x-lA c 6=(-1,4)故 选:B.2.已 知 复 数 a+3i=4+，则 a+bi5+12i5A.13【答 案】A7B.139C

2、.13D.1113【详 解】根 据 待 定 系 数 法 可 得 a=4,b=3a+bi 4+3i5+5+12i56 33.1 6 9 1 6 915 6、169,33 V169,513则()2+故 选：A.3.某 艺 术 团 为 期 三 天 公 益 演 出，其 表 演 节 目 分 别 为 歌 唱，民 族 舞，戏 曲，演 奏，舞 台 剧，爵 士 舞，要 求 歌 唱 与 民 族 舞 不 得 安 排 在 同 一 天 进 行，每 天 至 少 进 行 一 类 节 目.则 不 同 的 演 出 安 排 方 案 共 有()A.720 种 B.3168 种 C.1296 种 D.5040 种【答 案】D【分 析

3、】根 据 每 天 演 出 项 目 的 数 量 进 行 分 类 讨 论，由 此 求 得 不 同 的 演 出 安 排 方 法 数.【详 解】若 三 天 演 出 项 目 数 量 为 2,2,2,则 安 排 方 法 数 为:C：C；C；x(A)-3 x C；C；x(A；丫=576.若 三 天 演 出 项 目 数 量 为 3,2,1,则 安 排 方 法 数 为:C：C汨 x A；x(A；x A；)-C；C汨 x A；x(A；x A；)-C：C：x A；x(A；x A,=3168,若 三 天 演 出 项 目 数 量 为 4,1.1,则 安 排 方 法 数 为:C：x A；x（A：）-C；x A；x（A：）

4、=1296,所 以 不 同 的 演 出 安 排 方 案 共 有 576+3168+1296=5040种.故 选：D七（eN*）的 展 开 式 中 只 有 第 7 项 的 二 项 式 系 数 最 大，若 展 开 式 4.若 二 项 式 2x+的 有 理 项 中 第/项 的 系 数 最 大，则&=（）A.5 B.6 C.7 D.8【答 案】A【分 析】根 据 条 件 可 得=1 2.写 出 展 开 式 的 通 项 则 当 r 是 偶 数 时,该 项 为 有 理 项，求 得 所 有 的 有 理 项 的 系 数，可 解 出 火 的 值.【详 解】由 已 知 可 得，=1 2.根 据 二 项 式 定 理

5、，知 展 开 式 的 通 项 为 3/广 住）=4 2 广 等 显 然 当,是 偶 数 时，该 项 为 有 理 项,厂=0 时，7；=C22l2x12=4096x12；厂=2 时，7；=C222l0 x8 9*1 1=67584x9；8 8当/有-1+7；-;%，所 以 的 最 小 值 为?=彳.r=4 时，T5=C228X6=126 7 20X6；r=6 时，7；=C,226x3=59136x3；r=8时，7；=C*224=7920：r=10时，7；,=C；22x-3=264x-3；;=12 时，q=C；2x=x f经 比 较 可 得，r=4,即 2=5时 系 数 最 大,即 展 开 式 的

6、 有 理 项 中 第 5 项 的 系 数 最 大.故 选：A.5.已 知 数 列。“=-1+善 7 也 2 72 1 2若 对 任 意 的“w N*,(/l a,)(i)+-_ 由 解 得 K 2；2M-1 2n+l3 一 7 3-4当”6向，有 方 丁 三，由 e N*,解 得 w N 4；当 4 所 以 的 最 大 值 为&=|.8 2 o所 以 凡 的 最 小 值 大 于 瓦 的 最 大 值，即 仇，恒 成 立，所 以（2-4,）（2-包）0解 得 2，对 任 意 的 e N*,恒 成 立，则 有 瓦,即 实 数 2 的 取 值 范 围 是（$三）.故 选：B6.定 义 在 R 上 的

7、函 数 x）=2 s i n+T e N*）满 足 在 区 间 卜 烷）内 恰 有 两 个 零 点 和 一 个 极 值 点，则 下 列 说 法 正 确 的 是（）A.x）的 最 小 正 周 期 为 曰 B.将 f（x）的 图 象 向 右 平 移 W 个 单 位 长 度 后 关 于 原 点 对 称 C.x）图 象 的 一 个 对 称 中 心 为（亲 0）D./（X）在 区 间（-/0）上 单 调 递 增【答 案】D【分 析】根 据 题 意 可 求 出。的 值，从 而 可 得 到 了）的 解 析 式，再 根 据 解 析 式 逐 项 分 析 即 可.兀/兀 G 兀 C-+0【详 解】依 题 可 知

8、于 是 3。6,于 是 2 6：,2 3 7C69 兀，3乃 对 于 A,由 7=m=?,则 x）的 最 小 正 周 期 为?，故 A 错 误；（O 5 5对 于 B,将 x）的 图 象 向 右 平 移 g 个 单 位 长 度 后 得 g（x）=2sin（5x+j,贝 心（。）=2如（1）=6,所 以 g（x）不 关 于 原 点 对 称，故 B 错 误；对 于 C,由 f Q）=2sin仔）=-1,所 以（右 0）不 是“X）图 象 的 一 个 对 称 中 心，故 C错 误;对 于 D,由 则 5x+e,所 以 在 区 间（-看,0）上 单 调 递 增,故 D 正 确.故 选：D.7.中 国

9、是 茶 的 故 乡，也 是 茶 文 化 的 发 源 地，茶 文 化 是 把 茶、赏 茶、闻 茶、饮 茶、品 茶 等 习 惯 与 中 国 的 文 化 内 涵 相 结 合 而 形 成 的 一 种 文 化 现 象，具 有 鲜 明 的 中 国 文 化 特 征.其 中 沏 茶、饮 茶 对 水 温 也 有 一 定 的 要 求，把 物 体 放 在 空 气 中 冷 却，如 果 物 体 原 来 的 温 度 是 R C,空 气 的 温 度 是 C,经 过 f分 钟 后 物 体 的 温 度 为 G C,满 足 公 式，=2+（4-4）5 6.现 有 一 壶 水 温 为 92 的 热 水 用 来 沏 茶，由 经 验

10、可 知 茶 温 为 52 时 口 感 最 佳，若 空 气 的 温 度 为 12,那 从 沏 茶 开 始，大 约 需 要（）分 钟 饮 用 口 感 最 佳.（参 考 数 据；ln3=1.099,In2=0,693）A.2.57 B.2.77 C.2.89 D.3.26【答 案】B【分 析】有 题 意，根 据 公 式 e n d+M i-q J e 5,代 入 数 据 得 52=12+（92-12 v 变 形、化 简 即 可 得 出 答 案.【详 解】由 题 意 得 e n q+Q-a J e 425,代 入 数 据 得 52=12+（92-12）64沟，整 理 得/均=，即-0.25f=In=-

11、In2x-0.693,解 得 6 2.77；2 2所 以 若 空 气 的 温 度 为 12,从 沏 茶 开 始，大 约 需 要 2.77分 钟 饮 用 口 感 最 佳.故 选：B.8.刘 徽 的 九 章 算 术 注 中 有 这 样 的 记 载：“邪 解 立 方 有 两 堑 堵，邪 解 堑 堵，其 一 为 阳 马，一 为 鳖 麝，阳 马 居 二，鳖 膈 居 一，不 易 之 率 也 意 思 是 说：把 一 块 长 方 体 沿 斜 线 分 成 相 同 的 两 块，这 两 块 叫 做 堑 堵，再 把 一 块 堑 堵 沿 斜 线 分 成 两 块，大 的 叫 阳 马，小 的 叫 鳖 腌，两 者 体 积 比

12、 为 2：1,这 个 比 率 是 不 变 的.如 图 所 示 的 三 视 图 是 一 个 鳖 席 的 三 视 图，则 其 分 割 前 的 长 方 体 的 体 积 为（）【答 案】D【分 析】根 据 鳖 膈 的 三 视 图 确 定 长 方 体 的 长 宽 高，计 算 体 积 即 可.【详 解】根 据 鳖 肺 的 正 视 图 得 原 长 方 体 的 长 为 3,根 据 鳖 嚅 的 俯 视 图 得 原 长 方 体 的 宽 为2,根 据 鳖 腌 的 侧 视 图 得 原 长 方 体 的 高 为 4,所 以 长 方 体 的 体 积 V=3x2x4=24.故 选：D二、多 选 题：本 题 共 4 小 题，每

13、 小 题 5 分，共 2 0分。在 每 小 题 给 出 的 选 项 中，有 多 项 符 合 题 目 要 求。全 部 选 对 的 得 5 分，部 分 选 对 的 得 2 分，有 选 错 的 得 0 分。9.已 知 圆 M 的 方 程 为：x2+y2+ax+ay-2a-4=0,(aeR),点 给 出 以 下 结 论，其 中 正 确 的 有()A.过 点 P 的 任 意 直 线 与 圆 M 都 相 交 B.若 圆 M 与 直 线 x+y+2=0无 交 点，则 C.圆 用 面 积 最 小 时 的 圆 与 圆 Q：/+y2+6x-10y+16=0有 三 条 公 切 线 D.无 论。为 何 值，圆 M 都

14、 有 弦 长 为 2夜 的 弦，且 被 点 尸 平 分【答 案】ACD【分 析】根 据 点 与 圆 的 位 置 关 系 判 断 A 选 项，通 过 几 何 法 判 断 直 线 与 圆 的 位 置 关 系 判 断 B 选 项，根 据 圆 与 圆 的 位 置 关 系 判 断 公 切 线 的 条 数 判 断 C 选 项，根 据 半 径 的 最 小 值 及 垂 直 弦 平 分 弦 判 断 D 选 项.【详 解】因 为 点 代 入 入 圆 的 方 程 得 12+12+/+“_2a-4=-2 r=-TfTF 2+2 c-._ i2 2+44+8 一 a+2|y/a2+4a+8-4a+4/+4a+8,a-,

15、B 选 A/12+12 项 错 误；圆 初,.=2/+8“+1 6，当。=_2时，圆 历 半 径 最 小 则 面 积 最 小，2圆 Q/+V+6x-10),+16=0,Q(-3,5),R=后+胎 乂 馋=,|MQ 卜 7(1+3+(1-5=4&=R+r=&+3 夜,圆 M面 积 最 小 时 的 圆 M 与 圆。外 切 所 以 有 三 条 公 切 线,C 选 项 正 确；无 论“为 何 值，/=/片+8a+l吐 血“+2+8=6 2 6 2 a,所 以 圆 M都 有 弦 长 2 2为 2啦 的 弦，d=2=产+”6 _ 2=产 竽+8=生、2a+2,d=MP,因 为 垂 直 弦 平 分 弦，圆

16、M 都 有 弦 长 为 2&的 弦，且 被 点 P 平 分，故 D 选 项 正 确.故 选:ACD.1 0.直 角 三 角 形 ABC中，尸 是 斜 边 B C上 一 点，且 满 足 8P=2尸 C，点 M,N 在 过 点 p 的 直 线 上，若 AM=?A8,AN=A C,(/n 0,0),则 下 列 结 论 正 确 的 是()1?1 5A.上+士 为 常 数 B.?，的 值 可 以 为：m=m n 2 2C.什 2 的 最 小 值 为 3 D.2 s 的 最 小 值 为，、VABC 9【答 案】ACD【分 析】作 出 图 形，由 BP=2 P C可 得 出 AP=；A 8+：A C，根 据

17、 三 点 共 线 的 结 论 得 出 1 9+=3,由 此 判 断 A,B,结 合 基 本 不 等 式 可 判 断 CD.m n【详 解】如 下 图 所 示：由 BP=2 P C，可 得 AP_AB=2(A C-A P),AP=-AB+-AC,3 3A M=mAB.AN=n A C，(m 0,0),贝 ij A B A M,A C=-AN,m n:.AP=A M+AN,3m 3n“、P、N 三 点 共 线，1 2,1 2 c/.-1-=1,i=3,3m 3n m n故 A 正 确；当 机=；1,s 时，1-+?-=1 v4*3,所 以 B 错 误;2 2 m n 5Q，+2=(?+当 且 仅

18、当=1时，等 号 成 立，C 正 确；ABC 的 面 积 S A B C=A B A C,_AMN 的 面 积 S A M N=A M-A N,所 以 S V V A A M M N N=-A-M-A-N-=m n S VABC Am AC因 为 _1L+42=3,所 以 2n H2.当 且 仅 当 枕=2：,=4:时 等 号 成 立,m n n 3 38 2 4即 mn-,当 且 仅 当 根=,=时 等 号 成 立，所 以 当 机=52，=4 9 时，记 取 最 小 值，最 小 值 为 8?，3 3 9所 以 沁 的 最 小 值 为，D 正 确；、VABC 9故 选：ACD.1 1.如 图，

19、棱 长 为 2 的 正 四 面 体 ABC。中，M,N 分 别 为 棱 A R B C的 中 点，。为 线 段 MN的 中 点，球。的 表 面 正 好 经 过 点，则 下 列 结 论 中 正 确 的 是（）A.A。！.平 面 BCDB.球 O 的 体 积 为 它 兀 34C.球。被 平 面 3C Q截 得 的 截 面 面 积 为 1 兀D.球。被 正 四 面 体 A8CZ)表 面 截 得 的 截 面 周 长 为 座 兀 3【答 案】ABD【分 析】设 E,尸 分 别 为 8 的 中 点，连 接 ME,EN,NF,MF,EF,AN,DN,根 据 线 面 垂 直 的 判 定 定 理 可 判 断 A

20、；求 出 球 的 半 径，计 算 球 的 体 积，判 断 B；求 出 球。被 平 面 3 8截 得 的 截 面 圆 的 半 径，可 求 得 截 面 面 积，判 断 C；结 合 C 的 分 析，利 用 圆 的 周 长 公 式 可 判 断 D.【详 解】设 民 尸 分 别 为 A 8,8 的 中 点，连 接 ME,EN,NF,MF,EF,AN,DN,则 E M/BD,NF/BD,EM=gBD,NF=；BD,故 E M/NF,E M=N F,则 四 边 形 M E N F 为 平 行 四 边 形，故 EF,MN交 于 一 点,且 互 相 平 分，即。点 也 为 E尸 的 中 点，又 A8=AC,D8

21、=L C,故 AN 1BC,DN 工 B C,AN D N=N,AN,DNu 平 面 A N D,故 8 c 上 平 面 AND,由 于 O e M N,M N u平 面 A M),则 A O u平 面 AND,故 B C L A O,结 合 O 点 也 为 E F的 中 点，同 理 可 证。C_LA。，B C。C=C,B C,D C u平 面 BC。，故 A O,平 面 BCD,A 正 确；由 球 O 的 表 面 正 好 经 过 点 M,则 球 O 的 半 径 为 OM,棱 长 为 2 的 正 四 面 体 A8C。中，AN=D N=y/3,M为 A的 中 点，则 M N J.A。，故 二！=

22、0，则 0 M=4,所 以 球。的 体 积 为 兀*(0)3=1 7 1 x(=兀，B 正 确;由 8 c l 平 面 4V D,B C u平 面 B C D,故 平 面 4V_L平 面 BCD,平 面 4VC平 面 8C)=D V,由 于 A O _L平 面 BCD,延 长 AO交 平 面 BCD于 G 点，则。G_L平 面 5C。，垂 足 G落 在 DN上，.A且 G 为 正 3 8 的 中 心，N G=-N D=,3 3所 以 O G=JON2-N G2=J()2-(y-)2=骼，故 球 O 被 平 面 B C D 截 得 的 截 面 圆 的 半 径 为，(亭 2 _(当 2 邛，则 球

23、 O 被 平 面 8 8 截 得 的 截 面 圆 的 面 积 为 冗(乎 尸，C 错 误；由 A 的 分 析 可 知，O 也 为 棱 AC,8。中 点 连 线 的 中 点，则 球。与 每 条 棱 都 交 于 棱 的 中 点，结 合 C 的 分 析 可 知，球。被 正 四 面 体 ABC。的 每 个 面 截 得 的 截 面 都 为 圆，且 圆 的 半 径 都 为 如，3故 球。被 正 四 面 体 ABC。表 面 截 得 的 截 面 周 长 为 4x2兀 乂 3=晅 兀，D 正 确，3 3故 选：ABD12.已 知 定 义 在 R 上 的 函 数/(x),对 于 给 定 集 合 A,若 当 士-x

24、2e A 时 都 有/(西)-/()w A,则 称 x)是“A 封 闭”函 数.则 下 列 命 题 正 确 的 是()A.力=/是 卜 1 5 封 闭 函 数 B.定 义 在 R 上 的 函 数 x)都 是“0封 闭”函 数 C.若 f(x)是“1封 闭”函 数，则 f(x)一 定 是“封 闭”函 数(&eN*)D.若 是“口 可 封 闭 函 数(a/eN*),则 x)不 一 定 是“卜 小 封 闭”函 数【答 案】BC【分 析】A 特 殊 值=4,=3判 断 即 可；B 根 据 定 义 及 函 数 的 性 质 即 可 判 断；C 根 据 定 义 得 到 Vx e R 都 有 f(x+1)=/

25、W+1,再 判 断 所 给 定 区 间 里 是 否 有 f(x2+k-=k成 立 即 可 判 断，D 选 项 可 判 断 出 其 逆 否 命 题 的 正 误，得 到 D 选 项 的 正 误.【详 解】对 A：当 玉=4,=3时，X,-x2=1,fln/U,)-/a2)=16-9=7 g|-l,I),A 错 误；对 B：对 于 集 合 0,占 e R 使-占=0,即%=占，必 有/(%)-/(当)=0,所 以 定 义 在 R 上 的 函 数/(x)都 是“0封 闭”函 数，B 正 确；对 C：对 于 集 合 1,”,当 6!使 玉 一 毛 1,则 玉=电+1,而“X)是“1封 闭”函 数，则/(

26、+1)-/(&)=1，即 VxeR 都 有 x+l)=f(x)+l,对 于 集 合 k,“，马 区 使 用 一 XjW快，则 公=+&，&G N*,而 f(%+无)=，(3+左 一 1)+1,f(x2+k-1)=f(x2+k-2)+./(x2+l)=/(x2)+l,所 以/(工 2+%)+，(*2+A D+/(+D=f(X2+A1)+f(+%2)+f()+忆 1,即 f x2+%)=/(%)+k,故 f(x2+k)-f(x2)=k,x)一 定 是“快 封 闭”函 数 依 eN),C 正 确：对 D,其 逆 否 命 题 为，若 X)是“的 封 闭”函 数，则 x)不 是 心,句 封 闭”函 数(

27、,eN),只 需 判 断 出 其 逆 否 命 题 的 正 误 即 可，VX1,%w R 使 百 一 了 2=成,则/(占)一/()=,aba若 可，贝 lj卜 ah由 就 工 人 解 得 因 为 Q W N,所 以 a=l,即/百,入 2 WR 使-9=6/Z?=Z?G,/?,则/(X|)-/(w)=4=。,目，满 足 了(X)是“可 封 闭”函 数 3。e N*),故 逆 否 命 题 为 假 命 题，故 原 命 题 也 时 假 命 题，D 错 误.故 选：BC【点 睛】关 键 点 点 睛:对 于 C,根 据 给 定 的 条 件 得 到 Txe R 都 有/(x+1)=f(x)+1,Vx w

28、R有 f(x+a)=f(x)+6恒 成 立，利 用 递 推 关 系 及 新 定 义 判 断 正 误.三、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0分。13.如 图 是 函 数/(x)=sinx+s)|9|3的 部 分 图 像，则 f(x)的 单 调 递 增 区 间 为【答 案】+k w Z【分 析】运 用 三 角 函 数 的 周 期 公 式 及 五 点 法 求 得。、夕 的 值，结 合 同 增 异 减 求 得 其 单 调 递 增 区 间.T TT TT TT【详 解】由 图 知,；=-(-少=：，解 得：T=n,4 12 6 42 T T所 以 1。1=7=2,解 得：

29、。=2,当 啰 二 一 2 时，/(x)=sin(-2x+),T T TT 27r则 一 2x(p=F2kit,k e Z,解 得：(p=-i_2E,k w Z,12 2 3又 因 为 网 告，所 以 夕 无 解，故 舍 去；当(y=2 时，/(x)=sin(2x+s),TT It TT则 2x+0=+2E,Z e Z,解 得：*=+2E,kwZ,12 2 3又 因 为 I就 苦,所 以 夕=:,综 述：0=2且 夕=,TT所 以/(x)=sin(2x+w),-1-2kli V 2x 4 W F 2 E,k Z,2 3 257r 7 T解 得：一+人 元 工 x K+攵 兀，k Z,所 以/(

30、X)的 单 调 递 增 区 间 为 冷+E,1+E,keZ.故 答 案 为：喑+也 嗜+也，keZ.14.某 中 学 举 办 思 维 竞 赛，现 随 机 抽 取 50名 参 赛 学 生 的 成 绩 制 作 成 频 率 分 布 直 方 图(如【分 析】利 用 直 方 图 求 学 生 的 平 均 成 绩 即 可.【详 解】由 直 方 图 知：平 均 成 绩 为(95x0.03+105x0.04+115x0.015+125x0.01+135x0.005)x10=107.故 答 案 为：10715.圆 锥 曲 线 都 具 有 光 学 性 质，如 双 曲 线 的 光 学 性 质 是：从 双 曲 线 的

31、一 个 焦 点 发 出 的 光 线，经 过 双 曲 线 反 射 后，反 射 光 线 是 发 散 的，其 反 向 延 长 线 会 经 过 双 曲 线 的 另 一 个 焦 点.如 图，一 镜 面 的 轴 截 面 图 是 一 条 双 曲 线 的 部 分，AP是 它 的 一 条 对 称 轴，尸 是 它 的 一 个 焦 点，一 光 线 从 焦 点 F 发 出，射 到 镜 面 上 点 8,反 射 光 线 是 8 C,若 NP尸 8=120。，1FBC 90?,则 该 双 曲 线 的 离 心 率 等 于.【答 案】y/3+1/I+/3【分 析】反 射 光 线 的 反 向 延 长 线 经 过 双 曲 线 的

32、另 一 个 焦 点 的，由 题 中 条 件 可 得 ZBFFt=60,/尸 W=9 0。，在 直 角 三 角 形 耳 B F 中，BFt=c,BF=c,由 双 曲 线 的 定 义 可 得 怛 用-忸 P|=2 a,所 以 Q c-c=2 a,即 可 求 得 答 案.【详 解】在 平 面 直 角 坐 标 系 中，如 图,反 射 光 线 的 反 向 延 长 线 经 过 双 曲 线 的 另 一 个 焦 点 匕，由 N 尸 尸 8=120。，1 FBC 90?,可 得 乙 8尸 耳=60。，ZFBF,=90,在 直 角 三 角 形 耳 5尸 中，忸 耳|=|耳 目 疝 60。=辰，忸 同=|百 尸 1

33、8s60。=由 双 曲 线 的 定 义 可 得|明|一 忸 q=2。，所 以 G c-c=2 a,即(6-l)c=2a,所 以 二 C 京 2=6r+-1 故 答 案 为：G+1.16.已 知 函 数/&)=J d+2 x 2，若 曲 线 y=-d+2 x 上 存 在 点(毛,)使 得/(/(%)=%，则 a 的 取 值 范 围 是.【答 案】()【分 析】设)=，则/)=%，换 元 将 问 题 转 化 为 f(x)=J d+zx_2a=x 有 解 的 问 题，即 可 得 出 答 案.【详 解】若 曲 线 丁=-%2+2%上 存 在 点(%,%)，故 为=-x；+2Xo 41,设 八%)=小

34、则 1)=%，即。，%)、(%，。都 在 产/(可 图 象 上，不 难 发 现 该 两 点 关 于 y=寸 称，故，1+2%-2=小 0,1)有 解-x2+2x=2 a x e 0 A),令(x)=d-x?+2X=(X)=3%2-2 X+2,A=22-4 X2 X30=力(1)在 0,1上 单 调 递 增，所 以 2a/i(O)，Ml)=(O,2naO,l故 答 案 为：0,1四、解 答 题：共 6 小 题，共 70分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。17.已 知 数 列 叫 中，4=1,(1)求 数 列 4 的 通 项 公 式;34 设。=噬 2“；+

35、3，数 列;的 前 项 和 S“，求 证：5y.3 4n(n-l)【答 案】(1)“=2 k(2)证 明 见 解 析【分 析】(1)由 空=a.5 e N”),得 到 黄=2(”eN),再 利 用 累 乘 法 求 解;由 易 得(=；匕=养 一 焉)，再 利 用 裂 项 相 消 法 求 解.【详 解】(1)解：因 为 4=1,$=能(eN-),所 以 4L=2(N),%匚 UI、I c _ a 4-1 a2 c M(M-l)所 以,T a,=2 f 2-22.l=2 i=2-当”=1时，=1满 足 条 件,所 以。“=2 2（2）因 为=k）g2。；+3=（+2）,所 以=另 一），rrul

36、o1Z1 I 1 1 1 1、1 八 I I 1、1,3 1 1.2 3 2 4 n+2 2 2+1 n+2 2 2 n+1 n+2所 以 S.0,cosy 0,则 cos0=2sin0cos0,可 得 sing=L,所 以，=y,解 得 B=f,2 2 2 2 2 2 6 3因 为 A=1,b=近,所 以，一 A B C 是 边 长 为 收 的 等 边 三 角 形，所 以，AHC=-csin A=x2x=；2 2 2 2若 选，因 为 Qcos5=/?sin A,由 正 弦 定 理 可 得 sin Acos 3=sin Asin 8,因 为 A、B G（0,7t）,则 sin A 0,cos

37、B=sinB0,所 以，tan B=1,则 8=；,由 正 弦 定 理 4sin Absin B，所 以,inAcsB+8sAsinB=x 立+L 竺 sinC=sin（A+B）=s2 2 2 2 4所 以，S sinC G x 忘 x姐 里 射 瓯 2 2 4 4若 选，因 为 tanB=t a n 卜;tan 了+,-t a/2+l+tanB+t a n/2,PA=PB=PC=AC=4,。为 A C 的 中 点.证 明：P 0,平 面 A 8C；C M（2）若 点 M 在 棱 B C 上，且 二 面 角 M-P A-C 为 30。，求 布 的 值.【答 案】（1）证 明 见 解 析【分 析

38、】（1）由 等 腰 三 角 形 三 线 合 一 得 到 P O,A C,由 勾 股 定 理 逆 定 理 得 到 B O _LPO,从 而 证 明 出 线 面 垂 直；C M（2）建 立 空 间 直 角 坐 标 系，求 出 点 的 坐 标，设 黑=2,利 用 空 间 向 量 及 二 面 角 列 出 C D方 程，求 出 答 案.【详 解】（1）在 R4C中，PA=P C=4,。为 A C 的 中 点.则 中 线 尸。-L A C,且 AO=CO=2,OP=2 后;同 理 在 04?C 中 有 AB2+BC2=A C 2,则 加 上 8 C；因 为 AB=BC=2也，。为 4 c 的 中 点.所

39、以 8 O 1 A C 且 8 0=2；在 一 PO3 中 有 PO2+8 O 2=B P 2,则 8 O L P O,因 为 A C c 3 O=O,AC,8 0 u 平 面 ABC,所 以 P0_L平 面 ABC.（2）由（1）得 PO J_平 面 A 8 C,故 建 立 如 图 所 示 空 间 直 角 坐 标 系。-肛 z,则 B(2,0,0),C(0,2,0),A(0,-2,0),P(0,0,2G),设 C三 M=兀，则 C M=2 C B，C D而 CB=(2,-2,0),PA=(0,-2,-2拘,PC=(0,2,-2回，C M=ACB=(2A,-240),:.PM=PC+C M=(

40、0,2,-2 扬+(22,-22,0)=(2/1,2-22,-2 两,设 平 面 的 一 个 法 向 量 为 机=(x,y,z),m-PM=0 2 y _ 2 G z=0由 得，L，m-PA=0 2Zr+(2-2X)y-2j3z=0又 x 轴 所 在 直 线 垂 直 于 平 面 PAC,.取 平 面 以 C 的 一 个 法 向 量 9-3COS（777,n）=M+3+9=(1,0,0),在 F)2平 方 得 9.3、2令 9-3 I+124 AU JtTl 3.2 2 c/；-=n 4加=3/12+36,m=36,m=6,加 2+12 46 与，6 2-3=o,X=.2 9 320.随 着 春

41、 季 学 期 开 学，某 市 市 场 监 管 局 加 强 了 对 学 校 食 堂 食 品 安 全 管 理，助 力 推 广 校 园 文 明 餐 桌 行 动，培 养 广 大 师 生 文 明 餐 桌 新 理 念，以“小 餐 桌”带 动“大 文 明”，同 时 践 行 绿 色 发 展 理 念.该 市 某 中 学 有 4 3 两 个 餐 厅 为 老 师 与 学 生 们 提 供 午 餐 与 晚 餐 服 务，王 同 学、张 老 师 两 人 每 天 午 餐 和 晚 餐 都 在 学 校 就 餐，近 一 个 月（30天）选 择 餐 厅 就 餐 情 况 统 计 如 下:选 择 餐 厅 情 况（午 餐，晚 餐）（A A

42、）(AB)(&A)（B,B）王 同 学 9 天 6 天 12天 3 天 张 老 师 6 天 6 天 6 天 12天 假 设 王 同 学、张 老 师 选 择 餐 厅 相 互 独 立，用 频 率 估 计 概 率.（1）估 计 一 天 中 王 同 学 午 餐 和 晚 餐 选 择 不 同 餐 厅 就 餐 的 概 率;（2）记 X 为 王 同 学、张 老 师 在 一 天 中 就 餐 餐 厅 的 个 数，求 X 的 分 布 列 和 数 学 期 望 E（X）；（3）假 设 M 表 示 事 件“4 餐 厅 推 出 优 惠 套 餐”,N 表 示 事 件“某 学 生 去 A 餐 厅 就 餐”，P（M）0,已 知

43、推 出 优 惠 套 餐 的 情 况 下 学 生 去 该 餐 厅 就 餐 的 概 率 会 比 不 推 出 优 惠 套 餐 的 情 况 下 去 该 餐 厅 就 餐 的 概 率 要 大，证 明：【答 案】（1）0.6（2）分 布 列 见 解 析，E（X）=1.9（3）证 明 见 解 析【分 析】（1）运 用 古 典 概 型 求 概 率 即 可.（2）根 据 已 知 条 件 计 算 简 单 离 散 型 随 机 变 量 的 分 布 列 及 期 望.（3）运 用 条 件 概 率 及 概 率 加 法 公 式 计 算 可 证 明 结 果.【详 解】（1）设 事 件 C 为“一 天 中 王 同 学 午 餐 和

44、晚 餐 选 择 不 同 餐 厅 就 餐”,因 为 30天 中 王 同 学 午 餐 和 晚 餐 选 择 不 同 餐 厅 就 餐 的 天 数 为 6+12=18,1 Q所 以 P（C）=缶=0.6.（2）由 题 意 知，王 同 学 午 餐 和 晚 餐 都 选 择 4 餐 厅 就 餐 的 概 率 为 0.3,王 同 学 午 餐 和 晚 餐 都 选 择 B餐 厅 就 餐 的 概 率 为 0.1,张 老 师 午 餐 和 晚 餐 都 选 择 A餐 厅 就 餐 的 概 率 为 0.2,张 老 师 午 餐 和 晚 餐 都 选 择 8 餐 厅 就 餐 的 概 率 为 0.4,记 X为 王 同 学、张 老 师 在

45、 一 天 中 就 餐 餐 厅 的 个 数，则 X的 所 有 可 能 取 值 为 1、2,所 以 P（X=l）=0.3x0.2+0.1x0.4=0.1,P（X=2）=1-P（X=1）=0 9,所 以 X的 分 布 列 为 所 以 X的 数 学 期 望 E（X）=lxO.l+2xO.9=1.9（3）证 明：由 题 知 P（N|M）P（N 附）,_、P（NM）P（N而）_ P（N）_ P（NM）所 以 P（M）P（M）l-P（M）一 所 以 P（MW）P（N P（M）,所 以 P（MW）P（N）P（NM）P（N）.P（）-P（N）P（MW）,即：P（N M P 网 P（N）.,所 以 P(N M)P

46、(N)P 即 P（M|N）P（M 网.2 1.已 知 椭 圆 从/+%=0）的 离 心 率 为 暗,且 过 点 11，（1）求 椭 圆 的 方 程;设 直 线/:x=l与 X轴 交 于 点 M,过 M 作 直 线 4,4 4 交 E 于 4,8 两 点，6交 E于 C,D两 MG点,已 知 直 线 A C交/于 点 G,直 线 8 0 交/于 点 H.试 探 究 谒 是 否 为 定 值，若 为 定 值,求 出 定 值；若 不 为 定 值，说 明 理 由.【答 案】（1）+产=14（2）是，1【分 析】（1）由 题 设 可 得 关 于。力 的 方 程 组，求 出 其 解 后 可 得 椭 圆 的

47、方 程.（2）【详 解】（1）由 题 意，e=-=-,a2=h2+c2,解 得/=4,a 21 3代 入 点 W y+2=，解 得=1,2=4,:x=n y+,l2:x=m2y-,A 6,%）,B（w，%）,C（f,%翅），当 网+网=0 时，由 对 称 性 得=丁 2+4 2 4 0当 町+血 工。时，联 立 方 程 十）,得（叫 2+4）9+2 町 y-3=0 x=iny+l/一 2 犯 一 3 0恒 成 立，M+必=77，=2 7，叫+4 町+4-2m、-3同 理 可 得：%+”=2；，%北=2/，nt.+4 叫+4直 线 A C 方 程：-）1=（-占），X3 X令 X=,得%=x+0

48、（1-力 y f 乂 上=处 也 迈,七 一 百 用 2%一 叫 乂 牡 为 一 叫 乂 同 理：=（?2 一 町）%先 加 2y4 一 4%机 2y3 一 犯 乂 吗%一 见 叫)访(如 乂 一 根%(g%一 叫 乂)(乃 必 一 町)1)(殒-仍)=(mm 1+%)一 町+%)2(?为 一 町)1)(生 必 一 犯 必)一 3 帆 2-2 ml-3m-2/7727,2 7 2 7,)7/、zn/+4 图+4 犯+4%+4 八，铀(色%一 叫 乂)(吗%一/丫 2).MGMH,当 4 4 斜 率 之 一 为 0 时，不 妨 设 斜 率 为 0,则 A(-2,0),3(2,0),直 线 A C

49、 方 程：y=/(x+2),直 线 B方 程：)=7%(X-2),令 x=,得%=壬=事，%=3 二 号，x3+2 叫 乃+3 x4-2 m2y-v.+v r 3%一 一 2nLy4-3(%+)_|MG H/力+3 w2y4T(牡%+3)(啊-l)，,|M/|，MG练 L|AW|，2 2.已 知 函 数 x)=2xlnx-2ar2,a e R.当 a=g,求 x)的 单 调 递 减 区 间；若 x)/毕-Inx-l在。,”)恒 成 立，求 实 数。的 取 值 范 围.【答 案】(1)单 调 递 减 区 间 为(0,+8)1,+8)【分 析】(1)根 据 导 函 数 和 原 函 数 的 单 调

50、性 关 系，先 设 g(x)=_f(x)=21nx-2x+2求 得 f(x)0,得 到 函 数 单 调 区 间；(2)把 在 xw(l,+a)上 恒 成 立，转 化 为 Inx-ar+aWO在 xw(l,+oo)上 恒 成 立，令(x)=lnx-ax+a，即 得(x)。恒 成 立 求 参 即 可.【详 解】(1)当 a=g 时，f(x)=2xlnx-x2,z/7所 以/(x)=21nx-2x+2,令 g(x)=r(x)=21nx-2x+2,所 以 g，(x)=-2,当 xe(O,l)时,g(x)0,故 g(x)为 增 函 数；当 X(l,+oo)时，g，(x)o,故 g(x)为 减 函 数,所