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1、专题05 解三角形（新课标全国卷）1已知在中，(1)求；(2)设，求边上的高【答案】(1)(2)6【详解】（1），即，又，即，所以，.（2）由（1）知，由，由正弦定理，可得，.（新课标全国卷）2记的内角的对边分别为，已知的面积为，为中点，且(1)若，求；(2)若，求【答案】(1)；(2).【详解】（1）方法1：在中，因为为中点，则，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，则，所以.方法2：在中，因为为中点，则，解得，在中，由余弦定理得，即，解得，有，则，过作于，于是，所以.（2）方法1：在与中，由余弦定理得，整理得，而，则，又，解得，而，于是，所以.方法2：在中，因为为中点，则，又，于是，即，解得
2、，又，解得，而，于是，所以.（全国乙卷数学（文）3在中，内角的对边分别是，若，且，则（）ABCD【答案】C【详解】由题意结合正弦定理可得，即，整理可得，由于，故，据此可得，则.故选：C.（全国甲卷数学（文）4在中，已知，.(1)求；(2)若D为BC上一点，且，求的面积.【答案】(1)；(2).【详解】（1）由余弦定理可得：，则，.（2）由三角形面积公式可得，则.（全国甲卷数学（文）5记的内角的对边分别为，已知(1)求；(2)若，求面积【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，所以，解得：（2）由正弦定理可得，变形可得：，即，而，所以，又，所以，故的面积为（全国甲卷数学（理）6在中，D为BC上一点
3、，AD为的平分线，则_【答案】【详解】如图所示：记，方法一：由余弦定理可得，因为，解得：，由可得，解得：故答案为：方法二：由余弦定理可得，因为，解得：，由正弦定理可得，解得：，因为，所以，又，所以，即故答案为：（新高考天津卷）7在中，角所对的边分別是已知(1)求的值；(2)求的值；(3)求【答案】(1)(2)(3)【详解】（1）由正弦定理可得，即，解得：；（2）由余弦定理可得，即，解得：或（舍去）（3）由正弦定理可得，即，解得：，而，所以都为锐角，因此，故1（2023湖南岳阳统考模拟预测）在ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若点M满足，且MABMBA，则AMC的面积是（）ABC
4、D【答案】D【详解】由正弦定理及诱导公式，可得：，化简得：，又，则.又，则 ，.因，则，则在MAC中，解之：.则，则MAC中，边对应高，则MAC面积2（2023河南开封统考三模）已知点是椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为、，且，则的面积为（）A6B12CD【答案】C【详解】由椭圆，得，.设，在中，由余弦定理可得：，可得，得，故.故选：C.3（2023广西校联考模拟预测）在中，若，则（）ABCD【答案】C【详解】因为，由正弦定理可得，且，由余弦定理可得：.故选：C4（2023河南驻马店统考三模）如图，某景区为方便游客，计划在两个山头M，N间架设一条索道为测量M，N间的距离，施工单位测得以下数据：
5、两个山头的海拔高度，在BC同一水平面上选一点A，测得M点的仰角为，N点的人仰角为，以及，则M，N间的距离为（）AB120mCD200m【答案】A【详解】由题意，可得，且，在直角中，可得，在直角中，可得，在中，由余弦定理得，所以.故选：A.5（2023广东佛山统考模拟预测）在中，M点为BC的中点，N点在线段AC上且，.(1)求AC；(2)若点P为AM与BN的交点，求的余弦值.【答案】(1)(2)【详解】（1）在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，即，解得；（2）由（1）知，又，所以，所以，又M点为BC的中点，所以，因为，所以，所以，又，且，所以.6（2023湖北武汉华中师大一附中校考模拟
6、预测）的内角的对边分别为且(1)判断的形状；(2)若为锐角三角形，且，求的最大值【答案】(1)直角三角形或等腰三角形(2)【详解】（1）由题意：，整理得，故或，因为，所以或，为直角三角形或等腰三角形（2）由正弦定理得，又，因为为锐角三角形，所以，解得，令，易知，故当时，即取最大值，最大值为，综上，最大值为7（2023湖北黄冈黄冈中学校考三模）在锐角中，内角所对的边分别为，满足，且(1)求证：；(2)已知是的平分线，若，求线段长度的取值范围【答案】(1)证明见解析(2)【详解】（1）由题意得，即所以，由正弦定理得，又由余弦定理得，所以，故，故，整理得又为锐角三角形，则，所以，因此（2）在中，由正
7、弦定理得，所以所以因为为锐角三角形，且，所以，解得故，所以因此线段长度的取值范围.8（2023河南校联考模拟预测）在中，角的对边分别为，.(1)若，求；(2)若，点在边上，且平分，求的面积.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为，则，又，则，又，所以，则.（2）由（1）知，则，由得，即，则，即，解得，所以的面积.9（2023广东东莞校考三模）在中，内角，所对的边分别为，.已知.(1)求角的大小；(2)设，求的值.【答案】(1)(2)【详解】（1）在中，由正弦定理得：，因为，所以，可得，即，又，可得；（2）在中，由余弦定理得：，由，以及，可得，因为，所以A是锐角，所以，因此，所以，综上，.10（
8、2023广东佛山校考模拟预测）已知的内角A，所对的边分别为，的最大值为.(1)求角；(2)若点在上，满足，且，解这个三角形.【答案】(1)(2)【详解】（1）由由题意及三角函数的性质可知：，即，又，；（2）如图所示，易得，(负值舍去)，由余弦定理可得：，显然：，由勾股定理逆定理可得.综上.11（2023广东校联考模拟预测）已知函数.(1)求；(2)若的面积为且，求的周长.【答案】(1)(2)20【详解】（1），因为，所以，解得；（2）在中，由（1）可得，即，因为，则，由正弦定理可得即，由余弦定理得，则，三角形周长.12（2023河南驻马店统考三模）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若
9、.(1)求A；(2)已知D为边BC上一点，若，求的周长.【答案】(1)(2)【详解】（1）因为,所以由正弦定理可得,所以,所以,所以.因为,所以或或，即或（舍去）或（舍去），又,所以；（2）由题意得,即,因为,所以,所以,即,由余弦定理得,所以,所以或（舍去），所以的周长为.13（2023浙江统考模拟预测）在ABC中，内角的对边分别为，且_.在，这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题.注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.(1)求；(2)若，求.【答案】(1)6(2)【详解】（1）由已知，选择条件，所以，所以；选择条件因为，所以，即，又，所以，又，为锐角，.，所以，
10、所以；（2）（为的外接圆直径），所以，所以，所以，14（2023河北衡水衡水市第二中学校考三模）已知的内角的对边分别为，且(1)证明：；(2)若，点在边上，且，求的周长【答案】(1)证明见解析；(2)【详解】（1）解：由，可得，所以，因为，可得，即，又由正弦、余弦定理得，可得，可得.（2）解：因为，由（1）知，可得，由余弦定理得，又因为，可得，又由，所以，可得，因为，整理得，解得，所以，可得，所以的周长为.15（2023青海海东统考模拟预测）在中，内角的对边分别为，且(1)求角的值；(2)若，求边上的中线的最大值【答案】(1)(2)【详解】（1），又，.（2）由余弦定理得：（当其仅当时取等号）
11、，即的最大值为.16（2023福建厦门统考模拟预测）记的内角的对边分别为，已知(1)求的值；(2)点在线段上，求的面积【答案】(1)；(2).【详解】（1）由正弦定理得：所以所以所以，因为，所以；（2）法1；因为，即，又，所以，即在中，由余弦定理得，所以，所以，所以.法2：设，在中，由正弦定理得：，同理，在中，所以，所以，所以，又，所以，即.在中，由余弦定理得，得，所以.所以.17（2023山东烟台统考三模）在中，为中点，(1)若，求的面积；(2)若，求的长【答案】(1)(2)【详解】（1）在中，由余弦定理可知，因为，所以，所以;（2）在中，设,则由正弦定理，即，得，所以，所以，所以，由正弦定
12、理得：，即18（2023山东山东省实验中学校考二模）在中，内角、所对的边分别为、，已知(1)求角；(2)若为边上一点（不包含端点），且满足，求的取值范围【答案】(1)(2)【详解】（1）解：由结合正弦定理可得：，则，因为、，则，所以，可得，故.（2）解：由可得，所以，所以，故，在中，由正弦定理可得，所以，因为，则，所以，.所以，的取值范围是.19（2023四川成都石室中学校考模拟预测）在中，角、的对边分别为、，若，且，则当边取得最大值时，的周长为_.【答案】/【详解】因为，由正弦定理可得，即，整理可得，因为、，所以，则，故，由正弦定理可得，整理可得，因为，当时，取最大值，且的最大值为，此时，所以，因此，当边取得最大值时，的周长为.故答案为：.20（2024安徽黄山屯溪一中校考模拟预测）在中，角的对边分别为，且为正数，为边上的中线，则的取值范围是_.【答案】【详解】依题意得，为正数.又中，为边上的中线，所以，两边平方得，则，故，设，代入得，整理得，此方程至少有1个正根，首先，解得，对于方程：若对称秞，则方程至少1个正根，符合题意；若对称轴，要使方程至少有一个正根，则需，解得；在三角形中，由余弦定理得恒成立，所以，则恒成立，由于，当且仅当，即时，等号成立，所以，结合可得.综上所述，也即的取值范围是.故答案为：. 学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司