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1、第二节函数的单调性与最大第二节函数的单调性与最大(小小)值值第二章第二章内容索引0102强基础强基础 固本增分固本增分研考点研考点 精准突破精准突破课标解读衍生考点核心素养1.理解函数的单调性、最大(小)值及其几何意义.2.会运用基本初等函数的图象分析函数的单调性.1.判断或证明函数的单调性2.求函数的单调区间3.求函数的最大(小)值(值域)4.利用单调性比较大小5.利用单调性解不等式6.利用单调性求参数的值或取值范围1.数学抽象2.直观想象3.数学运算强基础强基础 固本增分固本增分1.函数的单调性(1)单调函数的定义类别增函数减函数定义一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于定义域I内某
2、个区间D上的任意两个自变量的值x1,x2显然DI当x1x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是增函数当x1x2时,都有,那么就说函数f(x)在区间D上是减函数f(x1)f(x2)(2)单调区间的定义如果函数y=f(x)在区间D上是或,那么就说函数y=f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,叫做y=f(x)的单调区间.逐渐上升逐渐下降增函数减函数区间D微点拨1.增(减)函数定义中的x1,x2的三个特征:一是任意性;二是有大小,即x1x2);三是同属于一个单调区间,三者缺一不可.2.增函数与减函数形式的等价变形:x1,x2a,b且x1x2,则微思考1函数y=的单调递减区间是(-,0)(0,+
3、),这种说法对吗?微思考2“函数f(x)的单调区间是M”与“函数f(x)在区间N上单调”,这两个说法一样吗?提示:不对.函数y=在(-,0)和(0,+)上都是减函数,但在定义域(-,0)(0,+)上不具有单调性.注意:一个函数有多个单调性相同的单调区间,应分开写,用“和”或“,”连接,不能用“”连接.提示:不一样,这是两个不同的概念,显然NM.2.函数的最大(小)值 前提设函数y=f(x)的定义域为I,如果存在实数M满足条件对于任意xI,都有;存在x0I,使得对于任意xI,都有;存在x0I,使得结论M是函数y=f(x)的最大值M是函数y=f(x)的最小值微点拨闭区间上的连续函数一定存在最大值和
4、最小值.当函数在闭区间上单调时最大(小)值一定在端点处取到.f(x)Mf(x0)=Mf(x)Mf(x0)=M常用结论1.若函数f(x),g(x)在区间I上具有单调性,则在区间I上具有以下性质:(1)当f(x),g(x)都是增(减)函数时,f(x)+g(x)是增(减)函数;(2)若k0,则kf(x)与f(x)单调性相同;若k0,则kf(x)与f(x)单调性相反;(3)复合函数单调性的判断方法:若两个简单函数的单调性相同,则这两个函数的复合函数为增函数;若两个简单函数的单调性相反,则这两个函数的复合函数为减函数.简称“同增异减”.研考点研考点 精准突破精准突破考点一考点一考点二考点二考点三考点三考
5、点四考点四考点一考点一判断或判断或证明函数的明函数的单调性性例1.试讨论函数f(x)=(a0)在(-1,1)上的单调性.由于-1x1x20,x1-10,x2-10时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a0时,f(x1)-f(x2)0,即f(x1)0时,f(x)0,函数f(x)在(-1,1)上单调递减;当a0,函数f(x)在(-1,1)上单调递增.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四规律方法 证明函数在某区间上单调的两种方法 定义法基本步骤为取值:任取x1,x2D,且x1x2;作差:求f=f(x1)-f(x2);变形(通常是通分
6、、因式分解和配方);定号:即判断的正负;下结论:即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性.导数法 可导函数可以利用导数证明考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四对点训练1判断并证明函数f(x)=ax2+(其中1a0,即f(x2)f(x1),故当a(1,3)时,f(x)在1,2上单调递增.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点二考点二求函数的求函数的单调区区间例2(1)(2023江苏如东月考)函数y=log5(x2+2x-3)的单调递增区间是.(2)(2022江苏镇江一中月考)函数f(x)=x+2cosx在(0,2)上的单调递减区间为.(结果写为开区间形式)考点一考点一
7、考点二考点二考点三考点三考点四考点四解析:(1)由题意,令x2+2x-30,解得x1,因为函数y=x2+2x-3在(1,+)上单调递增,所以函数y=log5(x2+2x-3)的单调递增区间为(1,+).考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四规律方法 确定一般函数单调区间的方法 定义法一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论图象法如果f(x)是以图象形式给出的,或者f(x)的图象易作出,则可由图象的上升或下降确定单调性导数法先求导数,利用导数值的正负确定函数的单调区间性质法对于由基本初等函数的和、差构成的函数,根据各初等函数的增减性及f(x)g(x)增减性质进行判断复合法对于复合函数y=
8、f(g(x),先将函数分解成y=f(t)和t=g(x),再讨论(判断)这两个函数的单调性,最后根据复合函数“同增异减”的规则进行判断考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四对点训练2(1)下列关于函数f(x)=|x-1|-1的结论,正确的是()A.f(x)在(0,+)上单调递增B.f(x)在(0,+)上单调递减C.f(x)在(-,0上单调递增D.f(x)在(-,0上单调递减(2)已知函数f(x)=,则该函数的单调递增区间为()A.(-,-1B.(-,2C.2,+)D.5,+)考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四答案:(1)D(2)D作出函数f(x)的图象如图所示:由图可知,
9、函数f(x)在(-,1)上单调递减,在1,+)上单调递增.(2)由x2-4x-50,解得x5或x-1,所以函数的定义域为(-,-15,+).t=x2-4x-5=(x-2)2-9在5,+)上单调递增,由复合函数的单调性的判定知,函数f(x)的单调递增区间为5,+).考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点三考点三求函数的最大求函数的最大(小小)值(值域域)考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四x-2,2,ymin=-2,m-2.故选B.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考
10、点四规律方法 求函数最大(小)值的五种常用方法及其思路 单调性法 先确定函数的单调性,再由单调性求最值图象法先作出函数的图象,再观察其最高点、最低点,求出最大(小)值基本不等式法先对解析式变形,使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最大(小)值导数法先求导,然后求出在给定区间上的极值,最后结合端点值,求出最大(小)值换元法对比较复杂的函数可通过换元转化为熟悉的函数,再用相应的方法求最大(小)值考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点四考点四函数函数单调性的性的应用用(多考向探究多考向探究)考向考向1.利用利用单调性比性比较
11、大小大小例4已知函数f(x)=2-x-4x,若a=0.3-0.25,b=log0.250.3,c=log0.32.5,则()A.f(b)f(a)f(c)B.f(c)f(b)f(a)C.f(c)f(a)f(b)D.f(a)f(b)0.30=1,0=log0.251log0.250.3log0.250.25=1,log0.32.5bc,f(a)f(b)f(c).考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四规律方法 对已知函数解析式比较函数值大小的问题,应先将自变量转化到同一个单调区间内,再利用函数的单调性解决;对没有给出函数解析式的比较大小问题,需要先构造函数,再求函数的单调区间,最后利用函数
12、的单调性比较大小.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四对点训练4已知函数f(x)=在3,+)上是减函数,a=4ln65,b=6ln45,c=6ln54,则a,b,c的大小关系为()A.cabB.acbC.bcaD.ab4且f(x)在3,+)上是减函数,所以5ln66ln5,ln65ln56,所以4ln654ln56,则ac.综上,acb.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考向考向2.利用利用单调性解性解不等式不等式(2)(2022陕西二模)已知函数y=f(x)在R上单调递减,令g(x)=f(x)-ex,若g(t)g(4-t),则实数t的取值范围为()A.(1,+)B.
13、(-,1)C.(2,+)D.(-,2)考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四答案:(1)A(2)C(2)由于函数y=f(x)在R上单调递减,所以函数g(x)=f(x)-ex在R上单调递减,由g(t)4-t,解得t2.因此实数t的取值范围是(2,+).故选C.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四规律方法 求解含“f”的不等式,应先将不等式转化为f(m)f(n)的形式,再根据函数的单调性去掉“f”,注意m,n应在定义域内取值.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四对点训练5(1)已知函数f(x)为R上的减函数,则满足f(1)的实数x的取值范围是()A.(-1,1)B
14、.(0,1)C.(-1,0)(0,1)D.(-,-1)(1,+)考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四答案:(1)C(2)C所以-1x0或0 x1.(2)由题意,当01时,f(x)=2x-11,且单调递增,考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考向考向3.利用利用单调性求参数的取性求参数的取值范范围例6(1)已知函数f(x)=ax2-x-a+2,若y=lnf(x)在上为增函数,则实数a的取值范围是()A.1,+)B.1,2)C.1,2D.(-,2考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四答案:(1)C(2)C考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四考点一考点一
15、考点二考点二考点三考点三考点四考点四规律方法 利用单调性求参数需要注意几点(1)依据函数的图象或单调性定义,确定函数的单调区间,与已知单调区间比较;(2)需注意若函数在区间a,b上是单调的,则该函数在此区间的任意子集上也是单调的;(3)分段函数的单调性,除注意各段的单调性外,还要注意衔接点的取值.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四对点训练6(1)设函数f(x)=若函数y=f(x)在区间(m,m+1上单调递减,则实数m的取值范围是()A.2,3B.(2,3)C.(2,3D.2,3)考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点四考点四函数f(x)在(-,2)以及(4,+)上单调递增,在2,4上单调递减,故若函数y=f(x)在区间(m,m+1上单调递减,需满足2m且m+14,即2m3.