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1、第七节正弦定理和余弦定理第七节正弦定理和余弦定理第五章第五章内容索引0102强基础强基础 固本增分固本增分研考点研考点 精准突破精准突破课标解读1.通过对三角形边长和角度关系的探索,掌握正弦定理、余弦定理,并能解决一些简单的三角形度量问题.2.会用三角形的面积公式解决与面积有关的计算问题.3.会用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决三角形中的综合问题.强基础强基础 固本增分固本增分1.正弦定理和余弦定理在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,R为ABC外接圆的半径,则2.三角形的面积公式 微点拨微点拨 ABC的面积公式的其他形式(4)SABC=2R2sin Asin Bsin C,其
2、中R为三角形外接圆半径;常用结论1.三角形中,大边对大角,大角的正弦值也较大,即abABsin Asin B.4.三角形中的射影定理:bcos C+ccos B=a,acos C+ccos A=b,acos B+bcos A=c.5.三角形中判断内角范围的方法:(1)若b2+c2a2,则角A为锐角;(2)若b2+c2=a2,则角A为直角;(3)若b2+c2a2,则角A为钝角.自主诊断题组一思考辨析(判断下列结论是否正确,正确的画“”,错误的画“”)1.在ABC中,一定有a+b+c=sin A+sin B+sin C.()2.在ABC中,若sin 2A=sin 2B,则必有A=B.()题组二双基
3、自测5.在ABC中,求证:c(acos B-bcos A)=a2-b2.研考点研考点 精准突破精准突破考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一利用正弦定理和余弦定理求三角形的基本量利用正弦定理和余弦定理求三角形的基本量题组(1)(2023江苏淮安高三月考)在ABC中,BC=15,AC=10,A=60,则cos B=()考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案(1)B(2)C(3)A 考点一考点一考点二考点二考点三考点三规律方法规律方法 三角形中边角互化的基本原则(1)若式子中含有正弦的齐次式,优先考虑正弦定理“角化边”;(2)若式子中含有a,b,c的齐次式,优先考虑正弦定理“边化角”;
4、(3)若式子中含有余弦的齐次式,优先考虑余弦定理“角化边”;(4)含有面积公式的问题,要考虑结合余弦定理求解;(5)同时出现两个自由角(或三个自由角)时,要用到三角形的内角和定理.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点二考点二利用正弦定理和余弦定理判断三角形形状利用正弦定理和余弦定理判断三角形形状例题(2023江苏徐州高三期中)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a-b=ccos B-ccos A,则ABC的形状一定是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形答案D考点一考点一考点二考点二考点三考点三解析(方法1)因为a-b=ccos B-cco
5、s A,所以由正弦定理得sin A-sin B=sin Ccos B-sin Ccos A.又因为sin A=sin(B+C)=sin Bcos C+cos Bsin C,sin B=sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C,所以sin Bcos C+cos Bsin C-sin Acos C-cos Asin C=sin Ccos B-sin Ccos A,整理得sin Bcos C-sin Acos C=0,因此(sin B-sin A)cos C=0,所以sin B=sin A或cos C=0.因为A,B,C(0,),所以A=B或C=,即ABC是等腰或直角三角形,故选
6、D.考点一考点一考点二考点二考点三考点三规律方法规律方法 判断三角形形状的基本方法 考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练(2023江苏南通高三模拟)小强计划制作一个三角形,使得它的三条边中线的长度分别为1,则()A.能制作一个锐角三角形B.能制作一个直角三角形C.能制作一个钝角三角形D.不能制作这样的三角形考点一考点一考点二考点二考点三考点三答案C 考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点三考点三正弦定理和余弦定理的正弦定理和余弦定理的综合合应用用(多考向探究多考向探究预测)考向1范围与最值问题例题(2023安徽合肥高三月考)已知ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且(a-
7、b)sin A=csin C-bsin B.若ABC的面积为3 ,则c的最小值为()答案A 考点一考点一考点二考点二考点三考点三引申探究1将本例中的条件“若ABC的面积为3 ”改为“若AB=4”,则AB边上的高的最大值为.考点一考点一考点二考点二考点三考点三引申探究2将本例中的条件“若ABC的面积为3 ”改为“若b=2”,且将“ABC”改为“锐角三角形”,试确定ABC面积的取值范围.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三规律方法规律方法 解决三角形最值与范围问题的两个基本途径(1)利用均值不等式解决三角形的最值问题:在解决三
8、角形问题时,主要涉及边与角的关系,特别是在运用余弦定理、计算周长、计算面积时,会出现三角形两边的平方和、两边的积、两边的和等代数式,这就为均值不等式的应用提供了条件,因此在解决最值或范围问题时,应注意均值不等式的合理运用.(2)借助三角恒等变换解决三角形中的最值或范围问题:解决三角形问题时,通过正弦定理与余弦定理的应用,将问题转化为某一内角的三角函数,然后借助三角恒等变换,求出三角函数的最值或值域,解决相关的最值或范围问题.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向2多三角形背景问题 考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三规律
9、方法规律方法 多三角形背景问题的求解策略(1)寻找各三角形中已知条件较多,边角关系较明显的三角形,以这样的三角形为主运用正弦、余弦定理解决问题.(2)注意发现不同三角形内角之间的关系,尤其是具有互余、互补关系的角,通过这些关系结合诱导公式的运用进行三角函数值之间的转化并进行求解.考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练(2023江苏盐城高三期末)如图,在平面四边形ABCD中,ADCD,ABAC,AB=2 .(1)若ABC=30,CD=AD,求BD的长;(2)若AC=2,ADB=30,求sinCAD的值.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点
10、二考点二考点三考点三考向3三角形的中线与角平分线问题例题(1)(2023广东佛山高三期中)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,sin2B+sin2C=sin2A+sin Bsin C.求A;若b+c=8,求ABC的中线AM的最小值.(2)(2023吉林高三模拟)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且求角A的大小;若AB=3,AC=1,BAC的角平分线交BC于点D,求AD.考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考
11、点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三规律方法规律方法 求解三角形中线或角平分线问题的常用方法 考点一考点一考点二考点二考点三考点三对点训练(2023辽宁铁岭高三期中)在ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,bsin B=asin A-(b+c)sin C.(1)求角A的大小;考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考向4与面积有关的解三角形问题例题(12分)(2022新高考,18)记ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,以a,b,c为边长的三个正三角形的面积分别为S1,S2,S3,且考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三规律方法规律方法 三角形面积公式的应用原则考点一考点一考点二考点二考点三考点三考点一考点一考点二考点二考点三考点三