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1、高 考 数 学 复 习 一 立 体 几 何 练 习 试 卷 第 I 卷(选 择 题 共 5 0 分)一、选 择 题(10X 5,=5 0)1.如 图，设 O 是 正 三 棱 锥 P-ABC底 面 三 角 形 力 8 C 的 中 心，过 0 的 动 平 面 与 P-ABC的 三 条 侧 棱 或 其 延 长 线 的 交 点 分 别 记 为 0、R、S,则-+-+-PQ PR PS)A.有 最 大 值 而 无 最 小 值 B.有 最 小 值 而 无 最 大 值 C.既 有 最 大 值 又 有 最 小 值，且 最 大 值 与 最 小 值 不 等 D.是 一 个 与 平 面 位 置 无 关 的 常 量
2、2.在 正 棱 锥 中，相 邻 两 侧 面 所 成 的 二 面 角 的 取 值 范 围 是 A.7C,7t B.n-2-71,7 CnD.一 2n)一 1九,-nn3.正 三 棱 锥 P-4 8 C的 底 面 边 长 为 2a,点&F、G、/分 别 是 以、PB、BC、/C 的 中 点，则 四 边 形 EFGH的 面 积 的 取 值 范 围 是)A.(0,+8)B.a 2,-w C.4 2,+coD.6f2,4-0 04.已 知 二 面 角 a-a-B 为 60,点 4 在 此 二 面 角 内，且 点/到 平 面 a、B的 距 离 分 别 是/E=4,/尸=2,若 B d a,CW B,则/B
3、 C 的 周 长 的 最 小 值 是()A.4V3 B.2V7 C.4 D.2 石 5.如 图，正 四 面 体/-8 C O 中，E 在 棱 上，尸 在 棱 C D上，使 得 盘=W L=入(0 X v+8),记/(入 尸 a、+6、，其 中 a 表 示 EFEB FD与 N C所 成 的 角，B-表 示 E F与 5。所 成 的 角，则()A/(X)在(0,+8)单 调 增 加 B.f(入)在(0,+8)单 调 减 少 C/(X)在(0,1)单 调 增 加,在(1,+8)单 调 减 少 D/(X)在(0,+8)为 常 数 第 5 题 图 6.直 线 a 平 面 B，直 线 a 到 平 面 B
4、的 距 离 为 1,则 到 直 线 a 的 距 离 与 平 面 B的 距 离 都 等 于 1 的 点 的 集 合 是()A.一 条 直 线 B.一 个 平 面 C.两 条 平 行 直 线 D.两 个 平 面 7.正 四 棱 锥 底 面 积 为 0,侧 面 积 为 S,则 它 的 体 积 为()A.O(s 2-0 2)B=J O(S 2-Q 2)6 3C.Q(S2-Q2)D.g即8.已 知 球。的 半 径 为/?,A.8 是 球 面 上 任 意 两 点，则 弦 长|/8的 取 值 范 围 为()A.0,27?1 B.(0,2R C.(0,27?)D.7?,27?9.已 知 平 面 a C 平 面
5、 0=/,机 是 平 面 a 内 的 一 条 直 线，则 在 平 面 B 内()A.一 定 存 在 直 线 与 直 线，平 行，也 一 定 存 在 直 线 与 直 线 机 垂 直 B.一 定 存 在 直 线 与 直 线 m 平 行，但 不 一 定 存 在 直 线 与 直 线 m 垂 直 C.不 一 定 存 在 直 线 与 直 线 加 平 行，但 一 定 存 在 直 线 与 直 线”7垂 直.D.不 一 定 存 在 直 线 与 直 线 机 平 行，也 不 一 定 存 在 直 线 与 直 线 m 垂 直?.7 A10.如 图 为 一 个 简 单 多 面 体 的 表 面 展 开 图(沿 图 中 虚
6、线 折：上 叠 即 可 还 原)，则 这 个 多 面 体 的 顶 点 数 为()A.6 B.7 C.8 D.9 上 二、填 空 题(4X4=16)第 10题 图 11.边 长 为 a 的 等 边 三 角 形 内 任 一 点 到 三 边 距 离 之 和 为 定 值，这 个 定 值 为；推 广 到 空 间，棱 长 为“的 正 四 面 体 内 任 一 点 到 各 面 距 离 之 和 为.12.在 Z8C中，AB=9,AC=5,Z5JC=120,其 所 在 平 面 外 一 点 尸 到 4、B、。三 个 顶 点 的 距 离 都 是 14,则 P 点 到 直 线 B C 的 距 离 为.13.已 知 将
7、给 定 的 两 个 全 等 的 正 三 棱 锥 的 底 面 粘 在 一 起，恰 得 到 一 个 所 有 二 面 角 都 相 等 的 六 面 体，并 且 该 六 面 体 的 最 短 棱 的 长 为 2,则 最 远 的 两 顶 点 间 的 距 离 是.14.有 120个 等 球 密 布 在 正 四 面 体/-8CD内，问 此 正 四 面 体 的 底 部 放 有 个 球.三、解 答 题(4X10+14=54)15.定 直 线/i_L平 面 a，垂 足 为 M,动 直 线 b 在 平 面 a 内 过 定 点 N,但 不 过 定 点 M.MN=a为 定 值，在 八、/2上 分 别 有 动 线 段 N8=
8、6,CZ)=cA c 为 定 值.问 在 什 么 情 况 下 四 面 体 N5CZ)的 体 积 最 大？最 大 值 是 多 少？16.如 图 所 示，己 知 四 边 形/8 8、E/O M 和 A/DCF都 是 边 长 为 a 的 正 方 形，点 P、。分 别 是 和 N C 的 中 点，求：(1)丽 与 亚 所 成 的 角；(2)P 点 到 平 面 的 距 离；(3)异 面 直 线 P/W与 尸。的 距 离.E第 16题 图17.如 图，在 梯 形/8CZ)中，AB/CD,/C=90,3/。=3,28=2,：是。上 一 点，满 足 D E=,连 结/,将。/E 沿/E 折 起 到 的 位 置
9、，使 得/。/8=60，设/C 与 B E 的 交 点 为。试 用 基 向 量 表 示 向 量。(2)求 异 面 直 线 0 4 与 A E 所 成 的 角.(3)判 断 平 面。M E 与 平 面 Z8CE是 否 垂 直，并 说 明 理 由.第 17题 图 18.如 图，在 斜 棱 柱 48C4 8 1 G 中，底 面 为 正 三 角 形，侧 棱 长 等 于 底 面 边 长，且 侧 棱 与 底 面 所 成 的 角 为 60，顶 点 Bi在 底 面 A B C 上 的 射 影 O 恰 好 是 A B 的 中 点.(1)求 证：SiCCi/4；(2)求 二 面 角 G d&C 的 大 小.19.
10、如 图 所 示，在 三 棱 锥 尸-48C中，PA=PB=PC,BC=2a/C=%48=V?w点 尸 到 平 面 48 C 的 距禺 为 a a.2(1)求 二 面 角 尸-4C-8的 大 小；(2)求 点 8 到 平 面 刃 C 的 距 离.第 19题 图 立 体 几 何 练 习 参 考 答 案一、选 择 题 1.D 设 正 三 棱 锥 2 Z 8 C 中，各 棱 之 间 的 夹 角 为 a,棱 与 底 面 夹 角 为 B,为 点 S到 平 面 PQR的 距 离,则 VS-PQR=S PQR H?sin a)PS sin B，另 一 方 面，记 O 到 各 平 面 的 距 离 为 d,则 有
11、 ys-PQR=yo-PQR+Vb-PRs+Vo-PQ尸 f S PQR d+?S.PRS d+f S PQS t/=,PQ,PR,sin a+y-PR s in a+y y*PQ-PS，sina.故 有 PQ-PR-PS sin 3=d(PQ*PR+PR PS+PQ PS),即 一+一+一=包 2=常 量.PQ PR PS d2.B 设 正 n 棱 锥 的 高 为 6,相 邻 两 侧 面 所 成 二 面 角 为.当 人 一 0 时，正”棱 锥 的 极 限 为 正 n 边 形,这 时 相 邻 两 侧 面 所 成 二 面 角 为 平 面 角，即 二 面 角 0 一 口.当 f 8 时，正 棱 锥
12、 的 极 限 为 正 棱 柱，这 时 相 邻 两 侧 面 所 成 二 面 角 为 正 边 形 的 内 角，即 0 生 工.故 选 B.n3.B 如 图，易 知 四 边 形 FG 为 矩 形，当 P-底 面/B C 的 中 心。时，矩 形 EFG4一 矩 形 昂 尸 iG”.S矩 形 砧 G/Z=E F I.FG=a-a=-a2.即 S 寿 彩 FG/f 4.当 P-8 时，$,彩 EFGL 0.3-S，矽 EFGHW a,+x.故 选 B.4.C 如 图，.。_ 1/瓦 0_1_4/,，4，平 面 4：?设 a 交 平 面/E F 于 点 G,则/G F 是 二 面 角 a B 的 平 面 角
13、，ZGF=60,ZEAF=20，且 易 知 当 4 8 C的 周 长 最 小 时，BREG,CWFG.设 点 N 关 于 平 面 a 的 对 称 点 为 4,点/关 于 平 面 B的 对 称 点 为 连 结 T,分 别 交 线 段 EG、F G 于 点、B、C,则 此 时 Z 8 C的 周 长 最 短，记 为/.由 中 位 线 定 理 及 余 弦 定 理 得 l=2EF=2 742+22-2x4x2cosl20=4 耳.5.D 因 为 A 5C D是 正 四 面 体，故/C_L8Z),作 EG/C 交 8 c 于 G,连 结 G F,则 a 万 NGEF,C G _ AE _ CFGB EBF
14、D，GF BD 做 GFEG,S.Bx=/EFG,：,f（X）=a A+p x=90 为 常 数.6.C 这 两 条 直 线 在 距。为 上 的 平 面 上，分 布 在。在 该 平 面 上 的 射 影 的 两 侧.57.A 设 正 四 棱 锥 各 棱 长 均 为 1,则 0=1,S=6,此 时，正 四 棱 锥 的 高 公 与，A V=Qh=,W Q=,S=VT代 入 选 择 支，知 A 正 确.3 68.B 考 虑 小 8 两 点 在 球 面 上 无 限 靠 近 但 又 不 重 合，及/、8 两 点 应 为 直 径 的 两 端 点 时 的 情 况.点 评 若 忽 视 几 何 里 的 两 点、两
15、 直 线、两 平 面 等 均 应 是 相 异 的 两 元 素，就 会 误 选 A,球 的 最 长 弦 就 是 直 径，但 球 没 有 最 短 弦.9.C 若?/,则 B 内 必 有 与 加 平 行 的 直 线；若 加 与/相 交，则 B 内 无 直 线 与 加 平 行.二 不 一 定 存 在 直 线 与 直 线 机 平 行，排 除 A、B.又 B 内 一 定 存 在 与 机 在 B 内 的 射 影 垂 直 的 直 线，由 三 垂 线 定 理 知，B 内 一 定 存 在 直 线 与 加 垂 直，故 选 C.IO.B 本 题 考 查 简 单 多 面 体 的 表 面 展 开 与 翻 折，着 重 考
16、查 考 生 的 空 间 想 像 能 力，该 多 面 体 是 正 方 体 切 割 掉 一 个 顶 点，故 有 7 个 顶 点.二、填 空 题 U.旦;本 题 通 过 等 积 找 规 律.2 312.工 分 析 P 点 到 4 B、C 距 离 相 等，故 P 点 在 平 面 Z 8 C 上 的 射 影 是 三 角 形 4 2 c 的 外 2心，故 可 由 N8C的 已 知 条 件 求 出 ZBC外 接 圆 半 径，进 而 求 得 P 点 到 平 面 的 距 离，及 外 心 到 直 线 8 c 的 距 离，从 而 最 终 解 决 问 题.解 记 尸 点 在 平 面/5 C 上 的 射 影 为 0,则
17、 4 0、B O、C O 分 别 是 R L PB、P C 在 平 面 Z 8 C 上 的 射 影 PA=PB=PC,：.OA=OB=OC,为/8C的 外 心.在 A8C 中，BC=792+152+9x15=21由 正 弦 定 理，2R=一-,：.R=1sin 120/点 到 平 面 A B C 的 距 离 为 J142-（7 3）=7.0 点 到 直 线 8 c 的 距 离 O0=J（7石）2+（T j=yV3（。为 8 c 边 的 中 点）,.。尸 _1_平 面/8C,ODBC,：.PDBC.；.尸 至 IJ8C 的 总 巨 离 PD=j72+（j!）=yV7.13.3如 图 所 示，作
18、CE_L/。，连 结 E R 易 证 7口 _/。,则/C M 为 面 A D F 和 面 A C D 所 成 二 面 角 的 平 面 角.设 G 为 C。的 中 点，同 理 N Z G 8 为 面/C O 和 面 8 c o 所 成 二 面 角 的平 面 角，由 已 知 设 底 面 1)尸 的 边 长 为 2a,侧 棱 A D 长 为 在 口 中,CE-b=AG-2a,所 以 CE=A G 2a由 CEFs/G 8得 辿 CF Jb2-a2-2a在 Z 8 C中，易 求 得 18=2b解 得 b=&a,因 此 h=2时，2a=3,.最 远 的 两 顶 点 间 距 离 为 3.31 4.3 6
19、正 四 面 体 A B C D 的 底 部 是 正 8 8,假 设 离 8 c 边 最 近 的 球 有 n 个，则 与 底 面 8 C O相 切 的 球 也 有 排，各 排 球 的 个 数 分 别 为 小-1、3、2、1,这 样 与 底 面 相 切 的 球 共 有 1+2+=如 四 2个.由 于 正 四 面 体 各 面 都 是 正 三 角 形.因 此，正 四 面 体 内 必 有 层 球，自 上 而 下 称 为：第 1层、第 2层、第 层，那 么 第-1层，第-2层，第 2 层，第 1层 球 的 个 数 分 别 是：1 八(+1)1 I(n-l)n1+24-+=-1+24+-1=-,2 21+2
20、=22112 2.n(n+l)(n-l)n 1x2-1-F,I-2 2 2即(+1)5+2)=120.6即 M 所。尸。,.加 8,因 此 正 四 面 体 内 共 有 8 层 小 球，其 底 部 所 放 球 数 为 等=36(个).三、解 答 题 15.分 析 在 四 面 体 力 8 C O的 基 础 上，补 上 一 个 三 棱 锥 B-MCD.解 如 图，连 结 M C、M D,则/A/_L平 面 MOC,平 面*VA-BCD=VA-MDC-VB-MDC=SMDC*(AM-BM)=-SMDC*AB3设 到。的 距 离 为 x,则 品 M O T-A第 15题 图 解 1 A-BCD=义 ex
21、 9 b=hex3 2 6,:x&MN=a,：当 x=a 时,即 为 人 与/2的 公 垂 线 时，乙 8 8 最 大，它 的 最 大 值 为 工 Me.6点 评 x W M N,包 含 x=MN,也 包 含 xMN,垂 线 段 小 于 斜 线 段.16.解 建 立 空 间 直 角 坐 标 系，使 得。(0,0,0),/(a,0,0),83,0),C(0,a,0),M(0,0,a),(a,0,a).F(0,a,a),则 由 中 点 坐 标 公 式 得 P(气,0,1),0(,彳,0),(1)所 以 丽=(-2,0,色)，而(色,-色,-a),而=(-)X+0+X(-a)=-a2,2 2 2 2
22、 2 2 2 4I-I-.k-.-j-且|可|=/。,质|=叵”,所 以(丽 屈 0=上 空=-4=_ 叵.2 2 PMFQ 叵 a、。22 2故 得 两 向 量 所 成 的 角 为 150;(2)设=(x,%z)是 平 面 E F 8 的 单 位 法 向 量，即 间=1,l平 面 E F 8,所 以 J.赤，且 J.前，x2+y2+z2=1,又 七 户=(,0),BE=(O,-a,a)，即 有-办+少=0,得 其 中 的 一 个 解 是 ay az=0,A3A一 3五 3-=Xzvz(冬 冬 叫 丽 呜 呜)设 所 求 距 离 为 4 则 d=PE 川=乎.；(3)设 右 田)是 两 异 面
23、 直 线 的 公 垂 线 上 的 单 位 方 向 向 量,则 由 丽=1*0,方,双=信-5。)，母 苦，叫 x；+y；+z；=1,得-色 X|+2z|=0,求 得 其 中 的 一 个 e=2 1 2 1a a Ax y az=o.、N 乙 而 A/F=(0,a,0),设 所 求 距 离 为 加，则 m=MF-e=-平 用 多.17.解(1)根 据 已 知，可 得 四 边 形 N 8 C E 为 平 行 四 边 形，所 以。为 8 E 中 点.O D=A D A O=AD+AE)=AD-AB-AE.(2)55=-JE=1x72 xcos45-x2xV2cos45-(V2)2=-l.)2=(力
24、5 5 Z E)2=.I西 I普.cos=空 港=-1=-五,OD,.AE x g 32所 以。|与 A E 所 成 角 为 a r c c o s l.3(3)设/E 的 中 点 为，则=/。|/E.函 瓦=福 AB-AE AB=X2Xcos6002 X y2 X2cos450=0,2，M D AB.MD AE=7 D A E-y AE2=72 cos 450-y X(7 7)2=0,/.西 VAE.所 以 MD垂 直 于 平 面 A B C E 内 两 条 相 交 直 线,.。|_ 1 _平 面 ABCE.而。iA/平 面 所 以 平 面 4)iE _L平 面 48C E18.(1)解 法
25、 一 连 结 8 G、CO,r8 iO _ L平 面 力 8C,COLAB,：.BCX.AB,又：在 菱 形 B B iG C中，5iC fiC i,；.8iC_L平 面/8Ci,：.BCLCA.(2)作 G 0,平 面 N 8C于。点，连 接 N。，.N G C。是 侧 棱 与 底 面 所 成 的 角，即 NCCQ=60,在 G C。中，C 2=C G=/O,CQ=与 CCI,由 8C,BxCi，O。平 行 且 相 等,X V CO LAB,：.QA LAB,：.CA LAB,ZQACi是 二 面 角 C-AB-C的 平 面 角，在/中，CQ=AQ,：.ZQACi=45解 法 二(1)以。为
26、 原 点，O C所 在 直 线 为 x 轴，4 5 所 在 直 线 为 y 轴，建 立 空 间 直 角 坐 标 系,如 图，：BiO_L 平 面/8 C,；./8 由。是 侧 棱 与 底 面 所 成 角，二/9 8。=6 0.设 棱 长 为 2 d则 OB=6 a,BO=a,又 C O 为 正 三 角 形 的 中 线，.二 C O 后 a.则 Z(0,a,0)(0,a,0),C(/T a,0,0),5i(0,0,V?a),Ci(VT a,a,6 a).B(=(6 a,0,-6 a),CA=(-K a,0,-4 a).BC CjA=-3a2+0+3a2=0,/.BCJL CA.(2)在 4 8
27、中，|。川=而。，1 BC|=|(a,2a,75-a)|=Vio-a,AB=2a,*SCAB=4作 G。，平 面 NBC于。点,则 0(石 的,0).S 顼 尸 石 次，设 二 面 角 CT-AB-C的 平 面 角 为。，则 C O S 0=&J 互 S bC、AB 2二 面 角 G-/18-C的 平 面 角 为 45.19.(1)解 法 一 由 条 件 知 N 8C为 直 角 三 角 形，ZBAC=90,；R1=P8=PC,.点 P 在 平 面/8 C 上 的 射 影 是/8 C 的 外 心，即 斜 边 8 c 的 中 点 E,取 Z C中 点 D,连 结 尸。、D E、PE,PE_L平 面
28、 N8C.第 19题 图 解 D E L A C C：DE/AB).：.ACLPD,ZPDE 为 二 面 角 P-AC-B 的 平 面 角.tanPDE=-=声,DE 6-a2；.NPOE=60,故 二 面 角 P-Z C-8的 平 面 角 为 60.解 法 二 设。为 8 c 的 中 点，则 可 证 明 尸。，面 N 8 C,建 立 如 图 空 间 直 角 坐 标 系,则/。,-乎。,(),B(-a,0,0),C(a,0,0),P4 c 中 点 二 凡。)其(3 V3 n)7 f 3 6 3 1AB=-a.-a fi,O P=-a,a,y tz*.,AB L AC,PA=PC,PDA.AC,
29、cos即 为 二 面 角 P-A C-B的 余 弦 值./3、/3、V?1 A_(-a)(-a)+-a x-a+0而 cos=2 4 2 4二 面 角 P-A C-B的 平 面 角 为 60(2)解 法 一 PD=ylPE2+D E2=j 2+-a2=旧 a,-AC P D=-a22 2设 点 B 到 平 面 P A C的 距 离 为 h,则 由 y p/B U B/PC 得 上,SABC PE=SAPC h,3 3T9 匕 2+工 2+9/a2+a2+0 x4 4216 16 4故 点 B 到 平 面 P A C的 距 离 为.2解 法 二 点 E 到 平 面 R I C 的 距 离 容 易 求 得，为 二 而 点 3 到 平 面 均。的 距 离 是 其 2 倍,4 点 B 到 平 面 P A C的 距 离 为 3.2