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1、第 28讲 妙 用 圆 锥 曲 线 三 种 定 义 解 决 圆 锥 曲 线 问 题【题 型 归 纳 目 录】题 型 一：第 一 定 义 题 型 二：第 二 定 义 题 型 三：第 三 定 义【典 型 例 题】题 型 一：第 一 定 义 例 1.（2022春 四 川 眉 山 高 二 眉 山 市 彭 山 区 第 一 中 学 校 考 阶 段 练 习）设 双 曲 线 C:二-乌=1（4 0/0）的 a b 左、右 焦 点 分 别 为 白，鸟，离 心 率 为 右.P 是 C 上 一 点，且 N 耳 产 居=120.若 尸 片 月 的 面 积 为 生 亘，则。=3（）A.1 B.2 C.4 D.8【答 案
2、】A【解 析】设|产 用=?，|尸 用=，由 行=120,用 的 面 积 为 空，|?-w|=2a可 得，4c2=/+2-2m cosl20,二 4/=（一 m）2+3?=4/+16 1-24733由 离 心 率 为 火，可 得 色=逐，代 入 式，可 得。=1.a故 选：A.例 2.（2022春.江 西 高 二 校 联 考 阶 段 练 习）设 椭 圆 C：/+记=1（。60）的 上 顶 点 为 A,左、右 焦 点 分 别 为 耳，F.连 接 A 6 并 延 长 交 椭 圆 C 于 点 P,若|PA|=?|Pg,则 该 椭 圆 的 离 心 率 为（）A.-B.-C.D.显 5 3 5 3【答
3、案】C【解 析】依 题 意，AF,=a,由 1PAi=；|尸 耳 得：孑 珠|-|际|=|前|=。，而|P乙|+|=2”,于 是 得 I尸 4 1=彳 2,12乙 1=4彳，令 椭 圆 半 焦 距 为 G 有 cosNA耳 0=c,如 图，3 3 a在 西 心 中，由 余 弦 定 理 得：|PF212=|FlPl+FlF212-2FtP F.FcosZPF,即()2=(%)2+(2。)2-2 丈 2(-),整 理 得.2=5,2,因 此/=:，解 得=正，3 3 3 a 5 5所 以 椭 圆 的 离 心 率 为 手.故 选：C例 3.(2022江 西 校 联 考 二 模)已 知 双 曲 线 I
4、-1=l(a08 0)与 圆 一+产=从 在 第 二 象 限 相 交 于 点 M,工 a b-分 别 为 该 双 曲 线 的 左、右 焦 点，且 sinNMZE=2sinNMKK，则 该 双 曲 线 的 离 心 率 为()A.后 B.V n C.叵 D.22【答 案】C【解 析】令 双 曲 线 的 半 焦 距 为 c,则 耳(一。,0),马(c,0),设 点“(%,%)(%0),依 题 意，2/，解 得/=_,尤=/_ 至 U，且，b-x-a-ya-b-c c2在 KM8 中，由 正 弦 定 理 及 sinNM可 月=2sinNM死 耳 得：则 有(c+32-=4(c-2 尸+(/_ r2L)
5、,即/+2叵 ab+b2=4(c2-26ab+h2),c c c cb 3整 理 得(a+?)2=4(J5-a)2,因 6a,则 有 3=?，即 Z=U，故 选：C2 2变 式 1.(2022全 国 高 三 专 题 练 习)(2016新 课 标 全 国 II理 科)已 知 B,尸 2是 双 曲 线 E：4-1=1的 左,a b右 焦 点，点 在 E 上，M B 与 x 轴 垂 直，而 乙 明 耳=：，则 七 的 离 心 率 为()l 3A.0 B.c.6【答 案】AD.2【解 析】由 已 知 可 得|叫|一|用 用=2 a n 改 一 旦=2 o n a=ne=&，故 选 A.2*）变 式 2
6、.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 P 是 椭 圆 工+匕=1上 的 点，耳、鸟 分 别 是 椭 圆 的 左、右 焦 点，若 25 9PEPF.1同 国=/，则 的 面 积 为（）A.3 6 B.9 G C.73 D.9【答 案】A【解 析】因 为 PF c o s N F M=cos/.FPF2=g,O W N 耳 尸 鸟 4 7所 以/月 尸 鸟=5,c=yla2-b1=4mPF=m,PF2=n,nr+rr-mn 4c2=64 7+=2。=10 2-整 理 得：7=12,所 以 S FQ F=mnsin工=X 12X=6”2 3 2 2故 选：A变 式 3.（2。22春 广
7、 东 中 山 高 二 中 山 市 华 侨 中 学 校 考 期 末）耳 名 为 双 曲 线 丁-九-1的 两 个 焦 点 点 P 在 双 曲 线 上，且/片？入=90，则 耳 P鸟 的 面 积 是（）A.2 B.4 C.8 D.16【答 案】B【解 析】由 上-y2=_1得 标 准 方 程 为 丁 一 上=1得 2=14=4,”2=1+4=5.。=64 4=归 玻+归 研=（冏 1-忸 周 r+2附|空|故 用 心 工 中，俨 川-归 矶=2忻 用=2c=2w.用 忸 闾=8所 以 5=（归 附 归 周=；x8=4.故 选：B.2 2变 式 4.（2022春.福 建 泉 州.高 二 福 建 省
8、南 安 第 一 中 学 校 考 阶 段 练 习）设 片,乃 是 双 曲 线 工-21=1的 两 个 焦 2 8点，户 是 双 曲 线 上 一 点.若 归 用=2|尸 闾，则 AP/记 的 面 积 等 于（）A.4逐 B.8/5 C.8 D.16【答 案】C【解 析】由 题 意 可 得|飓|-|尸 闾=2,结 合|P4|=2俨 闾,：.PFt=4 2,PF2=2y2,又 02=2+8=10，.FlF2=2c=2y/w,I 耳 闾 2 T p 用 2+仍 闻 2，,XPFF2为 直 角 三 角 形,S邱 羯=x 4 近,=8.故 选：C.变 式 5.（2022.天 津.校 联 考 二 模）已 知
9、双 曲 线 1-y 2=i的 左、右 焦 点 分 别 为，鸟，点 材（七,几）在 双 曲 UULU1 UUUL1线 上，且 满 足 崂 招 4 0,则 先 取 值 范 围 是（）.A.二 更 叵 B.C.2 G 2行 D.35/2 3应,T.亍，-V F F【答 案】A【解 析】因 为 点 材（,九）在 双 曲 线 上，故 可 得 当-巾=1,又 因 为 耳（一 右,o）,g（G,o）,UUL1 UUUU,/广 故 可 得 M 耳.M g=（%6/=X；+必 _ 3 4 0,将 x；=2y：+2代 入 不 等 式 可 得 3诉 W l,解 得 为 e-y,y.故 选：A.变 式 6.（2022
10、春 山 东 枣 庄 高 二 枣 庄 市 第 三 中 学 校 考 阶 段 练 习）在 直 角 坐 标 系 宜 为 中，6，鸟 分 别 是 双 曲 线 C：5一/=1（“，）的 左、右 焦 点，位 于 第 一 象 限 上 的 点/面，为）是 双 曲 线 C 上 的 一 点，满 足 PFt PF2=0,若 点 尸 的 纵 坐 标 的 取 值 范 围 是 打 京,），则 双 曲 线 C 的 离 心 率 的 取 值 范 围 为（）A.（在 2）B.（2,4）C.（3,5）D.（亚【答 案】D【解 析】耳（-c,o）,玛（c,o）,尸 伉,）,由 4.哈 0,可 得 片-02+%2=0,哈 爷=1,解 得
11、 巾,（2 4）4 2 2*2 4 2 c2-a2 4 2,1 4 1 1 1 匚 口 由 于 先 同。，。|,所 以 彳-7=，-、.1-j-77 v3?V5.3 5 J 3 c2 5 3 c2 5 3 片 5 5 3故 选：D变 式 7.（2022春 四 川 乐 山 高 二 四 川 省 乐 山 沫 若 中 学 校 考 期 中）若 P 是 工+工=1上 的 一 点，6 鸟 是 其 100 64焦 点，若 Pg=6（）。，则 片 尸 鸟 的 面 积 为.【答 案】处 叵 3【解 析】根 据 椭 圆 的 定 义 有 归 用+|尸 段=20，c=J100-64=6,根 据 余 弦 定 理 得 14
12、4=|尸 耳+归 4 2_2归 用 户 局 cos60。,结 合 解 得 归 用 归 周=学，所 以 石 尸 尸 2的 面 积 5=，归 用 归 国 sin6（）o=，x空 x 3=如 叵，3 2 2 3 2 3故 答 案 为：32 2变 式 8.（2022春 江 苏 南 通 高 二 校 考 期 中）已 知 月,工 分 别 为 椭 圆+亲=1（0 匕 10）的 左、右 焦 点，P是 椭 圆 上 一 点.（1）|尸 用+忸 用 的 值 为；若“货=60。，且 耳 尸 八 的 面 积 为 如 叵，求 b 的 值 为.3【答 案】20 8x2 2【解 析】(1)由+=1(062 64 6所 以=一
13、sm NF,PF,=mm-b=-，z 2 2 4 3 3所 以 b=8,故 答 案 为:(1)20；(2)8.题 型 二：第 二 定 义 例 4.(2022 全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 定 点 A(1,1)和 直 线 以 x+y-2=0,那 么 到 定 点 A 和 到 定 直 线 C 距 离 相 等 的 点 的 轨 迹 为()A.椭 圆 B.双 曲 线 C.抛 物 线 D.直 线【答 案】D【解 析】点 A(1,1)在 直 线 Z,上，所 以 到 定 点 A 和 到 定 直 线 L 距 离 相 等 的 点 的 轨 迹 为 过 A(1,1)且 与 直 线 A 垂 直 的 直 线.故
14、选：D.2 2例 5.(2022春 河 北 廊 坊 高 三 廊 坊 市 第 一 中 学 校 考 阶 段 练 习)已 知 椭 圆 C：+一 IS。)的 短 轴 长 为 2,上 顶 点 为 A,左 顶 点 为 8,6，与 分 别 是 C 的 左、右 焦 点，且,尸 闫 8 的 面 积 为 三 巨，点 p 为 C 上 的 21 1任 意 一 点，则 国|+麻 J的 取 值 范 围 为()A.1,2 B.V2,V3 C.V2,4 D,1,4【答 案】D【解 析】由 已 知 的 给=2,故。耳 A 8 的 面 积 为 纪 叵，-(a-c h=-:.a-c=2-g;义:a，-c，=(a-c)a+c)=b2
15、-1,2V 2A.1 1。1+圈 _ 2a _ 4,.附 I|明 附|明 附|(4-附 I)-附 f+4 阀 又 2 6 w|P 周 4 2+g,A 1-17=；I2+4|P/|=-(|I-2)2+4 4,1 1,1 1 1二 西+西.西+西 的 取 值 范 围 为 1,4.故 选：D.例 6.(2022春 黑 龙 江 哈 尔 滨 高 二 哈 尔 滨 市 第 六 中 学 校 校 考 期 中)已 知 椭 圆 C 的 焦 点 为 6(-1,0)，过 尸 2的 直 线 与 C交 于 A,8 两 点 若 I Aq=2|工 8|,|AB=B F,则 C 的 方 程 为 2 2 2 2 0 2 2AX-2
16、 1 D X 1 c r 3rl n X y 1A.4-y=1 B.+=1 C.+=1 D.+=12 3 2 4 3 5 4【答 案】B【解 析】法 一：如 图，由 已 知 可 设 优 邳=，则|A闻=2,|防|=|明=3，由 椭 圆 的 定 义 有 2a=BFl+BF=4n,.-.AFl=2 a-A F=2 n.在 A B 中，由 余 弦 定 理 推 论 得 cosAF.AB=2+929=1,在%/=；鸟 中，由 余 弦 定 理 得 4 2+4 2-2 2-2,=4,解 得=立.1 2.2 n-3/1 3 3 22 2/.2a=4n=2 G,:.a=A/3,b1=a1 c2=3 1=2,.,
17、.所 求 椭 圆 方 程 为 二 十 乙=1,故 选 B.3 2法 二：由 已 知 可 设 优 邳=，则|第|=2，忸 耳|=|AB|=3.由 椭 圆 的 定 义 有 2a=忸 耳|+|眶|=4巴.|前 卜 久 一|A闾=2.在 鸟 和 他 心 中，由 余 弦 定 理 得 4n2+4 2 2n 2 cos ZAF2F1=4n2,n2+4-2-n-2-cos ZBF2Fi=9n2又 NA6 耳，/3 名 月 互 补，.cosNAK耳+co sN B=。，两 式 消 去 cos NA居 6,cos 4BF7Fi,得 3+6=1 In2，解 得 n=.2a=4=2&,/.a=G,b=a2 c2=3
18、1=2,.2，2所 求 椭 圆 方 程 为 三+二=1，故 选 B.3 2变 式 9.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）过 椭 圆 C:三+2=1 的 左 焦 点 尸 作 倾 斜 角 为 60。的 直 线/与 椭 圆 C 交 于 4 3A、B 两 点，则 向+赢=（）A 4 c 3 3-5A.-B.C.-D.3 4 5 3【答 案】A2 2【解 析】由:+3=1,得/=4，从=3,C2=a2-b2=.左 焦 点 为（-1,0）.o 2则 过 左 焦 点 尸，倾 斜 角 为 60。直 线/的 方 程 为 y=#（x+l）.代 入?+汇=1,得 5d+8x=0，8设 A（X,yJ,5（孙
19、），则 斗,七=0,A：1+x2=,r r9又 X%=，3（%+1）V3（X2+1）=3XIX2+3（玉+x2）+3=-,根 据 弦 长 公 式 得：AB=V m-1 J-4 x O=y，用 AF网=Ja+i）2+），iJa+i），y；=J“+弁-J（.+E=冬 3=，._ L+_ L=朋，*,AF|BF|AF|BF|3故 选：A.变 式 10.（2022 高 二 单 元 测 试）已 知 以 尸 为 焦 点 的 抛 物 线 C:/=4x上 的 两 点 A,8,满 足 AF=4 24 3）则 弦 A 8 的 中 点 到 C 的 准 线 的 距 离 的 最 大 值 是（）A.2 B.-C.D.43
20、 3【答 案】B【解 析】解 法 1：抛 物 线 V=4 x 的 焦 点 坐 标 为（1,0）,准 线 方 程 为 户-1,设 A（x”y）,3（孙），i：AF=ABF,由 抛 物 线 定 义 可 知 玉+1=+1），=/1占+兀-1，又 因 为 防=2序，所 以（1一 占,一 乂）=/1（一 1,%），即 1一 玉=4&-1 瘴，由 可 得：玉 A所 以|AB|=A尸+3 尸=（占+1）+（+1）=）+-+2.一 4）43,?1 3当 4=3时,AB=A+-+2=,当 时，|AB|=2+-+2=,1 2 3 3 1 1/I 3.|A+1+2|=?，则 弦 A 8 的 中 点 到 C 的 准
21、线 的 距 离 d=网，最 大 值 是 1I%Znax 3 2 3Q弦 A B 的 中 点 到 C 的 准 线 的 距 离 的 最 大 值 是,故 选：B.2P解 法 2：弦 A B 的 中 点 到 C 的 准 线 的 距 离 Q 万 p 2,根 据 结 论 一 2 一 2-sin2 0 sin2 0|cos 0=,sin26=l-cos2e故 选：B.2 2变 式 n.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 椭 圆 工+2_=1 内 有 一 点 P（1,-1）,F 为 椭 圆 的 右 焦 点，在 椭 圆 上 有 一 点 M，使 I/PI+2IMQ取 得 最 小 值，则 点 加 坐
22、标 为（）2瓜 2娓【答 案】Ax【解 析】因 为 椭 圆 方 程 为 二 2+匕 v2=1，所 以 椭 圆 得 离 心 率 用 彳 1，4 3 2设 点 M 到 椭 圆 右 准 线 的 距 离 为 d,根 据 椭 圆 第 二 定 义 有：等=e=g,所 以 d=2时 尸，所 以|孙+2附 口=|8+表 示 椭 圆 上 一 一 点 M 到 椭 圆 内 定 点 P 和 到 椭 圆 右 准 线 的 距 离 之 和,当 M P 垂 宜 于 右 准 线 时，|M8+2|MF|取 得 最 小 值.此 时 M 的 纵 坐 标 为-1，代 入 椭 圆 方 程+=1,求 得 M 的 横 坐 标 为 亚.所 以
23、 点 M坐 标 为，T）故 B,C,D 错 误.故 选：A.变 式 12.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 抛 物 线 C:y 2=2 p x（p 0）的 焦 点 为 人 过 点 尸 作 倾 斜 角 为 6 0 的 直 AF线/与 抛 物 线 C在 第 一、四 象 限 分 别 交 于 A 8 两 点，则,的 值 等 于.Br【答 案】3【解 析】山 题 意，抛 物 线 C：V=2 p x的 焦 点 为 尸（5,0）,因 为 过 点 尸 的 直 线/的 倾 斜 角 为 6 0，可 得 斜 率 上=6,可 设 直 线/的 方 程 为 y=6（x-整 理 得 G y?-Ipy-yp2
24、=0,2 p o设 Ji)B(X2,y2)(y2 0)的 离 心 率 为 巫，过 右 焦 点 F 且 斜 率 为（攵 0）的 直 线 与 椭 圆 C相 交 于 A I两 点.A F=3 F B,则 攵=2【答 案】五【解 析】由 已 知 e=?=m=g,所 以。=,所 以 a=c,b=*则 椭 圆 方 程/+,=1 变 为3 c o c-%=3（x）c）二 X2+3厂=02.设 A 人（西,必）,8（无,必），又 AF=3 必，所 以（c-X,y）=3（x,-c,%），所 以 o,4-y=3%所 以:c,；+3 2=。2，2x2+3 2=c2.-9x，得 y+3%=0 4 43 3 84（X1
25、+3*2）（入 1-3/）+3（必+3y2）（y-3y2）=-8c2,所 以 1x4c（X1-3）=-8。2,所 以 玉-3马=-c,所 以 2 10 72 x/2 1 2 及 1）岫 rX|=qc，X2=C 从 而 x=c,y2=，所 以 A c,c,B c,-c I,故 上=&。变 式 14.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 双 曲 线 C:5 一=l（a0,60）的 左、右 焦 点 分 别 为 K，鸟，过 C 的 右 焦 点 鸟 的 直 线/,与 C 的 右 支 分 别 交 于 A B 两 点，且|/3|=3怛 闾，2|。8|=|6段（。为 坐 标 原 点），则 双 曲
26、 线 C 的 离 心 率 为.【答 案】叵 3【解 析】如 图，连 接 4 6，BF、.因 为 2|。同=忻 闻,所 以 2 4，8代,设 忸 段=f（f0）,因 为|阴=3怛 段，所 以|明|=2由 双 曲 线 定 义 可 得|纳 卜 忸 叫=2,即 忸 耳|=2a+f,由 双 曲 线 定 义 可 得|做|一 丑 周=2%即|A用=2a+2f,在 中，由 勾 股 定 理 可 得 阳 闻 2=|即+忸 用 2,即 4c二+/，在 RtAAf；B 中，由 勾 股 定 理 可 得 恒 珠=BFf+ABf,即（2a+2r）2=（2a+f）?+（3ff,由 得=学，代 入 整 理 得 4c2=竺,所
27、以 C 的 离 心 率 为 姮.3 9 3故 答 案 为：叵.3变 式 15.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）双 曲 线 V-片=1的 右 支 上 一 点 P,到 左 焦 点 耳 与 到 右 焦 点 尸 2的 距 离 之 比 为 2:1,求 点 尸 的 坐 标.【解 析】设 点（不，%乂*00）,双 曲 线 的 左 准 线 为 4：x=-g,右 准 线 为 4：x=；，则 点 P 到 4，4 的 距 离 分 别 为 4=%+3，&=%-3，愕=今=二=,，解 得/=|,将 其 代 入 原 方 程，得%=土 乎.因 2 I 2%02I 100m2 1：(-25)2073/(5m2+6)
28、2 X5m2+6 11整 理 得 5 0/-疗-49=0,解 得 裙=1,或=-777（舍 去），o/I c 此，点 尸 的 坐 标 为 于 土 号.（2 2）-）2变 式 16.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 椭 圆 C:三+二=1的 左、右 焦 点 分 别 为 石、F2,过 点 B 的 直 线/交 6 5椭 圆 C 于 A、8 两 点.（1）若 K A 8 的 面 积 为 生 叵，求 直 线/的 方 程；11（2）若 B居=2居 A,求 网.【解 析】（1）设 A（x，x）、B（毛,力），2 2因 为 椭 圆 方 程 为 土+匕=1,所 以 耳（-1,0）,8（1,0）
29、,6 5当 直 线/斜 率 为。时，直 线/的 方 程 为 x=l,睬 一 2 W 瓜 川|,576联 立*2 2 解 得 y=?,则 加 一%|=丁，16 5=g|K段,|%-M|=?2、=半 4 当 不 满 足 题 意;当 直 线 I斜 率 不 为 0 时，设 直 线/的 方 程 为 X=my+1,x=my+1联 立，f y2，W(52+6)/+10，W-25=0,-h=116 5由 韦 达 定 理 得 含、虫=,则 S 安=；|可 用|y-%|=gx2j（y+丫 2）-4 2故=1,直 线/的 方 程 为 x+y 1=0 或 x-y-l=O.（2）设 A（w，y）、B G M 因 为 8
30、骂=2鸟 4,所 以（1 一，一%）=2（芯 一 1,乂），%=-2%,山（1）可 知 y+为-1 0/7 2-255w2+6 2 5m2+6,1 0m故 k-2M 2=,5m+6联 立 _ 10/H）1 5/；6,得 22；=n1 0/n5/M2+6I 二 蜡 评 解 得 m=3所 以 AB=Jl+/|乂 _=百 十 一 y2|=3 6 M=3610/2 1576乂-5x2+6-8 2变 式 17.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 椭 圆:二+*=1（。0）,右 焦 点 为 F,动 直 线/与 圆 aO:/+y2=相 切 于 点。，与 椭 圆 交 于 A（x J、3 优,必
31、）两 点，其 中 点。在 y 轴 右 侧.（1）若 直 线/：尤-丫-2=0过 点 尸，求 椭 圆 方 程;（2）求 证：|AF|+|AQ|为 定 值.【解 析】（1）设 椭 圆 的 焦 距 为 2c（。0）,由 于 直 线/：x-y-2=0 与 圆/+y2=相 切，则=专=0,直 线/：x-y-2=0过 点/，.c-2=0=c=2,PIO a2=b2+c2=62 2因 此 椭 圆 的 方 程 为 尹 9 1:（2）设。（%,%）,易 知 点 A 在 轴 右 侧，可 得 则 和，i f 一 字.0 X j a-x 0,|AF|二 J（X|-0 2）+4-y/片-2cxi+c2+y；=J x：_
32、 2cxt+c2+b-2cxi+a2-e-xL.=a cXja-aOQAQ,.I AQ|=To。=&+犬 _/=*+层 _亨 _/=序=1,因 此，同 日+|4 2|=（定 值）.变 式 18.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 双 曲 线 三-3=1 的 右 焦 点 为 马，M 是 双 曲 线 右 支 上 一 点，定 点 9 16A（9,求 网+沙 闾 的 最 小 值.【解 析】所 以 e=a 32过 点 M 作 M N垂 直 于 双 曲 线 的 右 准 线=土，垂 足 为 N,C设|MN=d|,则 也 l=e,则 叫|=卜，d 33所 以|MA|+仞 刈=|M4|+d显 然
33、，当 M,N,A三 点 共 线 时，|MA|+|M 周 取 得 最 小 值,题 型 三：第 三 定 义2 2例 7.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）椭 圆 C：工+工=1的 左 右 顶 点 分 别 为 A，4,点 P 在 C 上 且 直 线 的 斜 4 3率 的 取 值 范 围 是-2,7,那 么 直 线 PA斜 率 的 取 值 范 围 是（）1 3 3 3 1 3A.弓 q B,?-C.-,1 D.-,1【答 案】B【解 析】设 P 点 坐 标 为（飞，为），则 盘+或=1,即 即 A=T?，4 3 xo-2 xo+2*52。例 9.（2022.全 国.高 三 专 题 练 习）设
34、椭 圆 心。）的 左，右 顶 点 为 A B,P是 椭 圆 上 不 同 于 A B 的 一 点,设 直 线 AP,B P 的 斜 率 分 别 为?，则 当+皿 同+1川|取 得 最 小 值 时，椭 圆 C 的 离 心 率 为（）A.-B.立 C.-D.B5 2 5 2【答 案】D【解 析】由 椭 圆 方 程 可 得 A（-a,0）,B（a,0）,2,故 即 A=-43 14-H-2,T 故 选 B.【考 点 定 位】直 线 与 椭 圆 的 位 置 关 系 2 2例 8.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）己 知 平 行 四 边 形 ABCD内 接 于 椭 圆。:*A D斜 率 之 积 的
35、 范 围 为 则 椭 圆 C 离 心 率 的 取 值 范 围 是（）【答 案】A【解 析】由 题 意，。，8 关 于 原 点 对 称，设。5,）,3（三%）,A（x,y）,./心 心 广 二.-Y a).%/+为=x-x0 x+x0b2I)设 P（x。，%），则 为 2 J2d户,贝 I j m=)，九=)。,+a xQ-a媪 b2.mn=-=-7，x0-a ay+In|/n|+In|/i|=y+Inmn=y-+2In,令.=t T,则/(f)=f+21nL/丁 丁，r)=r+21n；在(y,2)上 递 减，在(2,+。)上 递 增,可 知 当 f=2时，函 数/(f)取 得 最 小 值 八
36、2)=2+21n；=2-21n2,b*乒=用=与 故 选 D2 2变 式 19.（2022全 国 福 三 专 题 练 习）“过 原 点 的 直 线/交 双 曲 线 十 s=1（0,人 0）于 A,8 两 点，点 P 为 双 曲 线 上 异 于 A,5 的 动 点，若 直 线 上 4,P8的 斜 率 均 存 在，则 它 们 之 积 是 定 值 吗”.类 比 双 曲 线 的 性 质，a2 2可 得 出 椭 圆 的 一 个 正 确 结 论：过 原 点 的 直 线/交 椭 圆+与=l（a b 0）于 A,B 两 点，点 尸 为 椭 圆 上 异 于 a bLA,8 的 动 点，若 直 线 出，尸 8 的
37、 斜 率 均 存 在，则 它 们 之 积 是 定 值（）A.B.-C.驾 D.b2 a2 a2 h1【答 案】B【解 析】“过 原 点 的 宜 线/交 双 曲 线 J-力=1（。0/0）于 A,B 两 点，点 P 为 双 曲 线 上 异 于 A,8 的 动 点，若 直 线 R4,P8的 斜 率 均 存 在，则 它 们 之 积 是 定 值 与”，a9 2类 比 双 曲 线 的 性 质，可 得 出 椭 圆 的 个 正 确 结 论：过 原 点 的 直 线 交 椭 圆：马+4=1（。6 0）于 A,B 两 a-b,2点，若 直 线 P A,总 的 斜 率 均 存 在，则 3,次 总=-二，a证 明 如
38、 下:设 月（见”），贝 且 与+夕=1,设 P(x,y),=y+nx+m所 以 怎 A 怎 S-yn2 2y+n y-n又 2=/1-故 选：B2 2变 式 20.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 双 曲 线 C：4-=1（0,6 0）的 上、下 顶 点 分 别 为 A，C T b-3A2,点 P 在 双 曲 线。上（异 于 顶 点），直 线 PA，尸 4 的 斜 率 乘 积 为:，则 双 曲 线。的 渐 近 线 方 程 为（）4A.y=-x B.y=x C.y=-x D.y=2x2,2 7 3【答 案】B【解 析】设 点/，（%,%）,又 A（0,a）,4（0,G，则 即
39、A=2，“0“0所 以 即 A 原 4 二 止 2dz=%二 寸=:，又 因 为 点 p在 双 曲 线 C上 得 球-里=1,%毛 玉）4 cr b 所 以 吟,幺、=,，故 2 2 2*o所 以=也 a b2 b 4 b 2则 双 曲 线 C的 渐 近 线 方 程 为 y=-x=-x.b 2故 选：B2 2变 式 21.（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 A,5是 椭 圆 鼻+2=1（a 6 0）长 轴 的 两 个 顶 点，忆 N是 椭 圆 a2 b-上 关 于 X轴 对 称 的 两 点，直 线 AM,BN的 斜 率 分 别 为 仁,&2,且 右 4 0,若 1匕|+%1的
40、最 小 值 为 1，则 椭 圆 的 离 心 率 为 A1 R 加 A.D.-2 2C-f D-T【答 案】c【解 析】设 M（%,%）,N（X o，%）,A（a,O）,8（a,O）,则:-4=含,故:网+周=上+上 x0-a=1,当 且 仅 当 T,即 x=O,%=b时 等 号 成 立,Xg+(2 XQ+C l据 此：2 j=2 x 2=i,；.a=2b,a-x0 a则：c-y/a2-b2=a 2离 心 率：e=-a 2变 式 22.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）设 a 0 为 常 数，动 点（羽 丹（丁/0）分 别 与 两 定 点 国（-。，0）,乙（。，0）的 连 线 的 斜
41、率 之 积 为 定 值 几，若 点 的 轨 迹 是 离 心 率 为 6 的 双 曲 线，则 力 的 值 为（）A.2 B.-2 C.3 D.石【答 案】A（解 析】依 题 意 可 知。匕=A,整 理 得 y2-Ax2=-Aa2,x+a x-a当 4 0 时，方 程 的 轨 迹 为 双 曲 线，即，一 六=1，*-b2=Aa2，c=da2+=J/l+l）/,a|*-A=2.故 选：A变 式 23.（2022 高 二 单 元 测 试）已 知 椭 圆 C：+=1,R,F,分 别 为 它 的 左 右 焦 点，A,8 分 别 为 它 25 9的 左 右 顶 点，已 知 定 点 Q（4,2）,点 尸 是
42、椭 圆 上 的 一 个 动 点，下 列 结 论 中 不 正 确 的 是（）A.存 在 点 尸，使 得 N 片/）鸟=120。B.直 线 PA与 直 线 总 斜 率 乘 积 为 定 值 C.向+病 有 最 小 值 g D-归。|+|尸 制 的 范 围 为 2 a/2【答 案】A【解 析】对 于 A,依 题 意”=5,b=3,c=4,tan ZFtCO=-=-73,ZFtCO 60,AFXPF,120,A 选 项 错 误.h 3对 于 B,设 P（x,y）,则|+2i=lnx2-25=-V，_ y y y2 _ y2 9A（-5.0）,S（5,0）,k p AK p B=T 7 5=V 2 5=一
43、 不 为 定 值，B 选 项 正 确.对 于 C,附 1+附 1=1。,帚 向 出 血+恕+|明）（26+囤+2-（26+2 H l W k 3 6=18I。1 阿|尸 耳 归 国 J 10 5，当 且 仅 当 黑=第 卵,匹|=5厄|=f 时 等 号 成 立.C选 项 正 确.四|PF2 3对 于 D,。在 椭 圆 外，设 直 线 处;、。玛 与 椭 圆 相 交 于 耳,巴 如 图 所 示,则（仍。I+俨 用 氐=忸 盟+由 0=1。用=J（4+4+2?=2 a，也 用=2,I 闻+|周=勿+|为 2|-|尸 闾=10+1叫-PF2,PQ-PF2QF2,即 闸 一|叫 42,所 以（闸|+阀
44、|）皿=10+|却-宓 闾=1 0+|2 卜 12所 以 闸+归 耳 同 2J万,12.D选 项 正 确.故 选：A变 式 24.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）设 P为 椭 圆 C 捺+卷=1（a 6 0）上 的 动 点,，行 分 别 为 椭 圆 C的 左、右 焦 点，/为 死 的 内 心,则 直 线 坐 与 直 线 低 的 斜 率 积（）A.非 定 值，但 存 在 最 大 值 且 为-厂（c+q）2B.是 定 值 且 为-C.非 定 值，且 不 存 在 定 值 D.是 定 值 且 为-b2(c+b)2b2(c+a【答 案】D【解 析】如 图 所 示，连 接 P/并 延 长 交
45、x轴 于 G,一，、PF,Pl PR Pl Pl PF.PF,由 二 角 形 内 角 平 分 线 定 理 可 知：=JF,T r;=7F1所 以 二 二 三 不 二 万 六，FjU/O r9O/O 1U FjO r2OPI PF.+PF,2a 1,、因 此 可 得：k J,J=丁=_(*).设 尸(X。,%),/(巧，y,)G(%,0),因 此 有:/G r,G4-r2G 2C e耳+绰=1,可 得：卓 J=，由(*)可 得：&=_=%=,a2 h2y0 a+c a+c尸 耳=J(X xi=exo，IG e PG 1+e x0-xG 1+e=%=exo，因 此 有：k W.上 一 X,+c x
46、,-c(a+c)2 2V-ca2(a+c)2）犷 b2x02-a2(Q+C)2故 选：D变 式 25.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 4 B 是 椭 圆 C上 关 于 原 点 对 称 的 两 点，若 椭 圆 C 上 存 在 点 P,使 得 直 线%,斜 率 的 绝 对 值 之 和 为 1,则 椭 圆 C 的 离 心 率 的 取 值 范 围 是.【答 案】#1）2。【解 析】不 妨 设 椭 圆 C 的 方 程 为 二+A=1（a 匕 0）.P（x,y）,A&,y）,则 8（,-乂），a b所 以 4+W=l，+*=l，两 式 相 减 得 之 日=一 二，所 以 氏 再=-3 所
47、 以 直 线 P A P 8斜 率 的 a2 b2 a2 b-a2 h2 x-x；a绝 对 值 之 和 为+2 2、4s4=，由 题 意 得，竺 4 I，a24b2=4a2-4c2,即 3/4 4/,x-x I I x4-x,y x-x a a所 以 e N?，所 以 3 V e L4 2行 A故 答 案 为 三.z变 式 26.（2022 全 国 高 三 专 题 练 习）椭 圆 E：工+工=1的 左 顶 点 为 A,点 B,C是 椭 圆 E 上 的 两 个 动 点，4 3若 直 线 AB,AC的 斜 率 乘 积 为 定 值-9，则 动 直 线 8 c 恒 过 定 点 的 坐 标 为 _.4【
48、答 案】（1,0）【解 析】当 直 线 B C的 斜 率 存 在 时，设 直 线 B C 的 方 程 为 y=kx+m,2 2W i由,4 3,消 去 y 得：（3+4R）f+8切?3+4加 2-12=0,y=kx-Vm,几 n/、厂/x m.i-8km 4加 2-12R B（X/,yi）f C（X 2,”），W O Xl+X2=-777,XIX2-,3+4公 3+必 2又 4（-2,0）,由 题 知 fc43 f c 4 C=C/上；=-L则（x/+2）（也+2）+4 y/j2=0,且 x/,工 2#-2,贝！I R/X2+2（X/+X2）+4+4（kxi+m）（kx2+m）=（1+4标）x
49、jX2+（2+4/77?）（X/+X2）+4/着 2+4二（l+4 5）（4病-12）3+4公+（2+4切?）-8km,小-+4/?i2+4=03+4公 则 m2 km 21=0,/.（m-2k）（/%+/）=0,ni=2k 或 m=-k.当 小 二 2k时，直 线 5 C 的 方 程 为 广 独+2上 人（x+2）.此 时 直 线 8 c 过 定 点（-2,0）,显 然 不 适 合 题 意.当 加=-%时，宜 线 B C 的 方 程 为 尸 心:-（x-1）,此 时 宜 线 8 C 过 定 点（1,0）.3 3当 直 线 B C 的 斜 率 不 存 在 时，若 直 线 过 定 点（1,0）,
50、8、C 点 的 坐 标 分 别 为（1,1）,（1,-y）,满 足 kAB*kAC=-.4综 上，直 线 B C 过 定 点（1,0）.故 答 案 为（1,0）.r2 V2变 式 27.（2022全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 4 B 是 椭 圆 方=1（0 7 0）上 关 于 原 点 对 称 的 两 个 点，点 夕 在 椭 圆 上.当 R4和 总 斜 率 存 在 时，求 证：女 内 厚 8为 定 值.=221/24加【解 析】设 P6,yJ,A（w，%）,则 8（-七,一 力），原 产 铝 A-+点 A 和 点 P 在 椭 圆 上，则 有、/（T作 差 得（一+）（占 一）+（弘+%