《高考数学复习-数列的通项与求和.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学复习-数列的通项与求和.pdf（16页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、 第 七 章 数 列 7.2 数 列 的 通 项 与 求 和.命 题 探 究 数 列 是 高 考 重 点 考 查 的 内 容 之 一，命 题 形 式 多 种 多 样，大 小 均 有 解 答 题 的 难 度 中 等 或 稍 难，将 稳 定 在 中 等 难 度 往 往 在 利 用 方 程 思 想 解 决 数 列 基 本 问 题 后，进 一 步 数 列 求 和，在 求 和 后 可 与 不 等 式、函 数、最 值 等 问 题 综 合.在 考 查 等 差 数 列、等 比 数 列 的 求 和 基 础 上，进 一 步 考 查“裂 项 相 消 法”、“错 位 相 减 法”等，与 不 等 式 结 合，“放 缩”
2、思 想 及 方 法 尤 为 重 要.哪 真 题 归 纳 5?题 型 一%与 S”关 系 的 应 用 1.（2018新 课 标 I）记 5”为 数 列 的 前 项 和.若 5=2“,+1,则 56=-63.【解 答】解：S”为 数 列 所 的 前 项 和,Sn=2an+i,当”=1 时，a 2a+l,解 得 m=-l,当 时,Sn-l=2an-I+1,由-可 得 anlan-2an-1,Un-19。是 以-1为 首 项，以 2 为 公 比 的 等 比 数 列，S 6=*R-6 3,故 答 案 为：-632.（2016浙 江）设 数 列 如 的 前 项 和 为 S,若 S2=4,然+I=2S+1
3、则 G=1,S5=【解 答】解：由=1 时，m=Si,可 得。2=2Si+l=2ai+l,又 52=4,即“1+42=4,即 有 3m+l=4,解 得 1=1；由 Cln+1=Sn+1 Siu 可 得 S+1=3S+1,由 52=4,可 得 3=3x4+1=13,54=3x13+1=40,55=3x40+1=121.故 答 案 为：1,121.3.(2017新 课 标 H I)设 数 列“满 足“1+3。2+(2n-1)an=2n.(1)求”的 通 项 公 式；(2)求 数 歹 I J 的 前 项 和.2 n+l【解 答】解：(1)数 列 a 满 足。1+3。2+(2n-1)an=2n.论 2
4、 时，1+3。2+(2-3)an-1=2(-1).2(2-1)C ln 2.dn-2九 当 雇=1 时，4 1=2,上 式 也 成 立._ 2,吁 工=_?_2 n+l(2 n-l)(2 n+l)2 n-l 2n+l二 数 列 奈?的 前”项 和=(1 _ 3+育 _ 3+(+磊)=|一 高=磊?4.(2016新 课 标 I I I)已 知 数 列 加 的 前 项 和 的=1+解,”其 中 0.(1)证 明 念 是 等 比 数 列，并 求 其 通 项 公 式；(2)若 5 5=装，求 1.【解 答】解：(1)V5w=l+Xzzn,V 0.a 1=5i=1 i.故 1,a=#0,i-A由 S=1
5、+AZM,S+1=1+A/M+1,得 C ln+1=Sn+1-Sn=1+A z/zz+1-1-Xcin=Xcin+1-A z Z/z,即(入-1)C ln+1，A由。1彳 0,QUO 得#0,n+1-an A-l1 2 是 首 项 为 一，公 比 q=Q 的 等 比 数 歹 U,1-Z A 1 q=n 1(2)若 S5=则 若 S5=l+M占()4_ 212-1 32,则 77=一：，得 九=-1.1A 2题 型 二.证 明 等 差 与 等 比 数 列 1.(2019新 课 标 H)已 知 数 列 和 氏 满 足 1=1,1=0,4雨+1=3。-加+4,4加+1=3加-如-4.(1)证 明：。
6、+加 是 等 比 数 列，“-加 是 等 差 数 列;(2)求(如 和 加 的 通 项 公 式.【解 答】解：证 明：V4aw+i=3an-bn+49 4bn+=3bn-4；.4(“+i+加+i)=2(a+b),4(an+i-hn+i)=4(an-hn)+8；即 an+bn+=(。+为)，。+1-bn+i=an-a+2；又 ai+bi=l,a-b=lf1+加 是 首 项 为 1,公 比 为 5的 等 比 数 列，。-尻 是 首 项 为 1,公 差 为 2 的 等 差 数 列；(2)由(1)可 得：an+hn=(-)2an bn=1+2(-1)=2n-1；1 1*Cln(一)+一 Q,2 21
7、1bn(一)n-+小 2 22.(2018新 课 标 I)已 知 数 列 满 足 m=l,nan+=2(+1)an,设 加=空(1)求 加，bi,历;(2)判 断 数 列 加 是 否 为 等 比 数 列，并 说 明 理 由；(3)求 的 通 项 公 式.an+i【解 答】解：(1)数 列 斯 满 足 m=L nan+=2(n+1)an,则:$1=2(常 数),n由 于 bn=M 故：9=2,n数 列 仇 是 以 h为 首 项，2 为 公 比 的 等 比 数 列.整 理 得：bn=b 2T=2n-i,所 以：b=,历=2,to=4.（2）数 列 为 是 为 等 比 数 列，由 于 字 1=2（常
8、 数）；bn所 以：数 列 为 是 以 为 首 项，2 为 公 比 的 等 比 数 列.（3）由（1）得：bn=2时】,根 据 砥=所 以：an=n-2n一 二 2 13.（2021乙 卷）记 S 为 数 列 的 前 项 和，历 为 数 列 乙 的 前 几 项 积,已 知 丁+丁=2.Sn bn（1）证 明：数 列 加 是 等 差 数 列;（2）求 的 通 项 公 式.【解 答】解：（1）证 明：当=1 时，加=51,2 1 2由 二+=2,解 得 加=亍 如 匕 2当 n2 时，=S，代 入 了+=2,Sn bn2匕 力 1 1消 去 Sn,可 得-+=2,所 以 b-bn-=亍 bn bn
9、 23 1所 以 仇 是 以 5为 首 项，5为 公 差 的 等 差 数 列.（2）由 题 意，得 m=Si=b=2，由（1）,可 得 hn怖+（H _ 1）x=九;2,由 二+=-=2,可 得 Sn bn n+1当 它 2 时，Cln=Sn Sn-1=nn+l）,显 然 I 不 满 足 该 式，佞,n=l所 以 4=.1-n（n+l）n-24.（2021甲 卷）已 知 数 列”的 各 项 均 为 正 数，记 S”为 如 的 前 项 和，从 下 面 中 选 取 两 个 作 为 条 件，证 明 另 外 一 个 成 立.数 列 的 是 等 差 数 列；数 歹 I 医 是 等 差 数 列；42=30
10、.注：若 选 择 不 同 的 组 合 分 别 解 答，则 按 第 一 个 解 答 计 分.【解 答】解：选 择 为 条 件，结 论.证 明 过 程 如 下：由 题 意 可 得：a2=a+d=3a9.d=2a,数 列 的 前 n 项 和：Sn=九 a1+1)d=x 2ar=九 2al,故-Sn_=九(九 一 1)77=(论 2),据 此 可 得 数 列 店 是 等 差 数 列.选 择 为 条 件，结 论：设 数 列 的 公 差 为,则:ys=J%+Q+d)=J2al+d,yfs=Ja,+(%+d)+(%+2d)=+d),数 列 图 为 等 差 数 列，则：店+店=2 3，即：+J3(di+d)2
11、=(2J2%+d)2,整 理 可 得：d=2a,.a2=a+d=3a.选 择 为 条 件，结 论：由 题 意 可 得：S2=m+q2=4m,，/或=2/就，则 数 歹 U 图 的 公 差 为 d=店-医=后 通 项 公 式 为：=yfs 4-(n-l)d=据 此 可 得，当 n2 时，an=Sn-Sn_i=n2al(n l)2ax=(2n l)a1,当=1时 上 式 也 成 立，故 数 列 的 通 项 公 式 为：an=(2/?-1)m,由 所+L 所=2(+1)-lai-(2n-1)ai=2ai,可 知 数 列 如 是 等 差 数 列.5.(2017新 课 标 I)记 S 为 等 比 数 列
12、 斯 的 前 几 项 和.已 知 S2=2,53=-6.(1)求 板 的 通 项 公 式;(2)求 金，并 判 断 S+i,S,S+2是 否 成 等 差 数 列.【解 答】解：(1)设 等 比 数 列 首 项 为 m,公 比 为 q,贝 l j Q3=S3-S2=-6-2=-8,贝 l j a=冬=寻，a2=,q乙 q乙 q q_8-g由 m+42=2,+=2,整 理 得：“2+4q+4=0,解 得：q=-2,q，q则 小=-2,an=(-2)(-2)1=(-2)，的 通 项 公 式(-2)；(2)由 可 知：s=a叶-砂)=-怨 力 斗=-12+(-2)叫，1 q 1(L)D则 5+|=-1
13、2+(-2)叫，s”+2=-i2+(-2)w+3,由 S+i+S+2=-1 2+(-2),+2-jf 2+(-2)+3=-1 4+(-2)X(-2)n+1+(-2)2x(-2)n+1,=-1 l4+2(-2)+1=2 x-l(2+(-2)n+1)J=2 S”即 S+I+S+2=2S，S+1,Sn,S+2成 等 差 数 列.题 型 三.数 列 求 通 项、求 和 11.(2015新 课 标 I I)设 数 列。的 甲 J 项 和 为 S，且 i=-l,q+i=S+iS，则 S=兀.【解 答】解：,/?+i=S+5,Sn+1-Sn=Sn+Snf1 1-=1,Sn Sn+i1又-1,即 一=1,Si
14、1数 歹 叫 丁 是 以 首 项 是-1、公 差 为-1的 等 差 数 列，Sn.1=-n,Sn.S=q故 答 案 为：1 202.(2015江 苏)设 数 列 板 满 足 m=l,且 z+i-斯=+1(W N*),则 数 列(一 1的 前 10项 的 和 为 yyqn-【解 答】解：数 列 斯 满 足 m=L 且 斯+1-即=/1(底 N*),当 之 2 时,Cln=Can-an-)+.+。1=+2+1=九(个 1).当=1 时，上 式 也 成 立，._ n(nl)tin-2.1 _ 2 1_1_*an n(n+l)n+1,数 列 丁 的 前 n 项 的 和 Sn=2(1-1)+(1-1)+
15、-4)=2(1 I)=磊 1 20J 数 歹 U 一 的 前 10项 的 和 为 一.an 11_ 20故 答 案 为：.3.(2011北 京)在 等 比 数 列“”中，a=,“4=-4,则 公 比-2；|ai|+|2|+.+|a|=_2n-1-|。1|+|及|+|。|=【解 答】解：q=2n-11(l-2n)1-2故 答 案 为：-2,2n-x-14.(2020新 课 标 I)数 列 满 足 的+2+(-1)nan=3n-1,前 16项 和 为 5 4 0,则 1=7【解 答】解：由 劭+2+(-1)斯=3-1,当 n 为 奇 数 时，有 an+2-an=3n-1,可 得 如-2=3(-2)
16、-1,a3-a i=3 l-1,力 1 l+(n 2)累 力 可 得-m=3l+3+.+(-2)-2-=3,-当 n 为 偶 数 时，an+2+an=3n-I，7l-l(711)(3715)2 4可 得 4+2=5,48+46=17,12+。1()=29,016+414=41.可 得 Q2+4+.+416=92.。1+。3+.+。15=448.8%+/（0+8+40+96+176+280+408+560）=448,，8 a i=5 6,即 a i=7.故 答 案 为：7.5.（2021新 高 考 II）记 S 是 公 差 不 为 0 的 等 差 数 列 加 的 前“项 和，若”3=S5,“24
17、4=S4.（I）求 数 列 他 的 通 项 公 式 如；（II）求 使 成 立 的 n 的 最 小 值.【解 答】解：（I）数 列 S,是 公 差 d 不 为。的 等 差 数 列“的 前 项 和，若“3=S5,a2a4=S4.根 据 等 差 数 列 的 性 质，。3=$5=5 3,故 43=0,根 据 a244=S4 可 得（。3-）（43+d）=（43-2 d）+（4 3-d）+。3+（43+d）,整 理 得-屋=-2/可 得 d=2（d=0 不 合 题 意），故 an=a3+Cn-3）d=2n-6.(II)an=2n-6,m=-4,Sn=-47?+n 2 x2=n1-5小 Sna,即-5n
18、2n-6,整 理 可 得 2-7/60,当 n 6 或 nan成 立，由 于 为 正 整 数，故 的 最 小 正 值 为 7.6.(2016新 课 标 0)已 知 各 项 都 为 正 数 的 数 列 满 足 m=l,a/-(2劭+i-1)斯-2即+1=0.(1)求。2,3；(2)求。的 通 项 公 式.【解 答】解：(1)根 据 题 意，a?-(2a+i-1)-2。+=0,当 n=1 时，有-(2及-1)a-2 Q2=0,而 防=1,则 有 1-(2.2-1)-2。2=0,解 可 得。2=当 n=2 时，有。22-(2田-1)“2-2。3=0,1 1又 由 42=,解 可 得。3=不 1-22
19、=故 1-4(2)根 据 题 意，an2-(2+i-1)如-2。+1=0,变 形 可 得 Can-2an+)(如+1)=0,即 有 an=2an+或 a=-1,又 由 数 列 板 各 项 都 为 正 数，则 有。=2而+1,故 数 列“)是 首 项 为“1=1,公 比 为 2的 等 比 数 列，1 1则 所=1X(-)1=(-)2 2故。=(-)F L27.(2020山 东)已 知 公 比 大 于 1的 等 比 数 列 斯 满 足。2+44=20,673=8.(1)求 的 通 项 公 式；(2)记 尿 为 期 在 区 间(0,m(m E N*)中 的 项 的 个 数，求 数 列 加 的 前 1
20、00项 和 Sioo.【解 答】解：(1)设 等 比 数 列 板 的 公 比 为“(夕 1),/。2+。4=20,43=8,8*+8q=20,q解 得 4=2 或（舍 去）,=2,尸 2 3-1=2,(2)记 即 为 a”在 区 间(0,m(m G N*)中 的 项 的 个 数,:.2nm,故 81=0,历=1,加=1,从=2,加=2,阮=2,b7=2,8=3,b9=3,4 o=3,b=3,6 2=3,6 1 3=3,囱 4=3,加 5=3,Z?i6=4,可 知 0 在 数 列 5 中 有 1项，1在 数 列 尻 7 中 有 2 项，2 在 数 列 而 中 有 4 项，,由 1X（1-26）1
21、-2=6 3 100可 知 匕 63=5,加 4=加 5=6 1 0 0=6.工 数 列 加?的 前 100 项 和 Sioo=0+1X2+2X4+3X8+4X16+5x32+6x37=480.8.（2019全 国）数 列“中，a=2an+an+an+-an=0.（1）求 的 通 项 公 式;1（2）求 满 足 V 7 的 n 的 最 大 值.【解 答】解：（1）*2an+1 an+dn+1 4/z 7 0.1 1-1-=2,又 一=3,an+i an ai1 数 歹 U 一 是 以 3 为 首 项，2 为 公 差 的 等 差 数 列，an1 1.工=2n+l,.即=时；（2）由 m 知 an
22、-ian=（2 n-l）1（2 n+l）=21 12 1 2 n1+ln-1 1 1 1 1 1 1 1 1 1：.aa2+a2a3+.+an.a）,=引（百 一 5）+（5-#+=5（3-2 1.1 1 1 1.。1。2+。2 3+.+。-V 干 一（-）V-,7 2、3 2n+r 7 4+2V42,.，.n 1 0,V eN*,的 最 大 值 为 9.9.(2021乙 卷)设“”是 首 项 为 1的 等 比 数 列，数 列 加 满 足 加=警,已 知 m,3a2,9a3成 等 差 数 列.(1)求 雨 和 为 的 通 项 公 式;(2)记 S”和 及 分 别 为”和 为 的 前 项 和.证
23、 明：T Y 等【解 答】解：(1)V ai,3 2,9 3成 等 差 数 列，.6。2=。1+9。3,。是 首 项 为 1 的 等 比 数 列，设 其 公 比 为 乡，贝 I 6g=1+9/，:q=/，(2)证 明：由(1)知&尸 T,b,尸 Gn,_ i x i-(_3 1 1Sn-i-2-2 X，1 37 n=l x(1)1+2 x(1)2+-+n-(1 r，-Tn=1 x(-)2+2 x(-)3+-+n-(-)n+1,-得,，=与 1-(#1-制 严，.%=示(犷-】一 式 犷，=A 卜(聂 I-品(扔-。V x(扔 一】,.1、0.10.(2020新 课 标 川)设 数 列“满 足
24、m=3,an+i=3an 4/?.(1)计 算“2,。3,猜 想 a 的 通 项 公 式 并 加 以 证 明；(2)求 数 列 2茨 的 前“项 和 S”.【解 答】解：(1)法 一：数 列”满 足 m=3,an+i=3an 4,则。2=3 a i-4=5,4 3=3 a 2-4 x 2=7,猜 想“的 通 项 公 式 为 a”=2+l.证 明 如 下：(储 当=1,2,3 时，显 然 成 立，(;7)假 设=k 时，分=2k+l()t6 N+)成 立,当=攵+1时，或+1=3或-4女=3(Z+1)-4攵=2攵+3=2(K1)+1,故=4+1时 成 立,由(i)(万)知，劭=2+1,猜 想 成
25、 立，所 以 的 通 项 公 式。=2几 十 1.法 二：数 列 满 足 ai=3,an+i=3an-4n,贝 ij。2=3。1-4=5,。3=3。2-4x2=7,.猜 想 优 的 通 项 公 式 为 斯=2+1.证 明：设。i+i+a(+1)+p=3(an+aw+p),可 得 Q/?+I=3+2cm+20-a,够 二 a t(r 解 得 j*in+i-2(n+1)-1=3-2-1),(不 能 说 明 an 2n-1 是 等 比 数 列)Vai=3,m-2 x l-l=0,并 且 及-2x2-1=0,所 以 如=2+1 恒 成 立.所 以 an=2n+.(2)令 b=2a=(2n+l)3,则
26、数 列 2%”的 前 项 和 5-3X21+5X22+.+1)2,两 边 同 乘 2 得，2S=3X22+5X23+.+(2n+l)2田，.-得，-S=3x2+2x22+.+2x2-+1)2,+|=6+8(早)-(2/7+1)2叫 所 以 S=(2n-1)2w+l+2.11.(2021新 高 考 I)已 知 数 列“满 足 m=l,即+1=1斯+1 为 奇 数 以+2,n为 偶 数.(1)记 加=2，写 出 加,bi,并 求 数 列 加 的 通 项 公 式；(2)求 的 前 20项 和.【解 答】解：因 为 ai=l,如+i=fn+lUn+2,n为 唐 教 所 以 42=41+1=2,。3=2
27、+2=4,44=43+1=5,所 以=42=2,历=4=5,bn bn-=一 Cl2n-2=C12n-Clin-1+。2-1-Cl2n-2=1+2=3,几 之 2所 以 数 列 加 是 以 加=2 为 首 项，以 3 为 公 差 的 等 差 数 列,所 以 bn=2+3(n-1)=3n-1.另 解：由 题 意 可 得。2+1=ain-1+3,。2+2=。2+3,其 中 41=1,42=01+1=2,于 是 加=2=3(-1)+2=3-L N*.(2)由(1)可 得 Q2“=3-L WN*,则。2-1=。2-2+2=3(/?-1)-1+2=3-2,n2,当=1时，m=l 也 适 合 上 式，所
28、以 2-1=3-2,N*,所 以 数 列 板 的 奇 数 项 和 偶 数 项 分 别 为 等 差 数 列，10 x Q 1 0 x Q则。的 前 20 项 和 为 41+。2+.+。20=(。1+。3+.+。19)+(42+。4+。20)=10H-工 X3+10 x2d-，X3=300.12.（2014新 课 标 II）已 知 数 列 满 足。1=已 an+=3an+l.（I）证 明 斯+/是 等 比 数 列，并 求”的 通 项 公 式;-1 1（II）证 明：一+一+an33n-3,rl=-V-=-an 3n-l 3 九-3 九 t 3 T 当=i 时，3 1 V 就 立，1 1 1+。+2
29、当 n2时,VI+/+3 31产=,1 1对 n N+时，一+一。2+a1 V 二 3n2模 拟 预 测 1.在 S+i=4 S”+2,3%=22+1+入 S G R),3s=而+1-2 这 三 个 条 件 中 任 选 一 个，补 充 在 下 面 问 题 中,并 求 解.问 题：已 知 数 列“”中，。1=2,其 前 项 和 为 且 满 足,记 b=kg2ai+log2a2+kg2a”，求 数 列 为 的 通 项 公 式.【解 答】解：方 案 一：选 条 件.由 Sa+i=4S+2,(*)当 尼 2 时，S”=4 S j+2,(*)所 以(*)-(*)可 得 如+1=4”，又 当=1 时，S2
30、=4SI+2,可 得。2=8,满 足。2=4“|,所 以 数 列 如 时 首 项 为 2,公 比 为 4 的 等 比 数 列，所 以 C1n=22“T；故 b=log2al+log2a2+/o52an=1+3+(2n-1)=n2.方 案 二：选 条 件 由 3S=22+i+3(*)当 论 2 时,3 5-i=22,r l+X,(*)所 以(*)-(*)可 得 3c1n=22n+i-22n-i=3-22n-i,即 即=22-1,当”=1 时，(112,满 足=22T,所 以，0=22-1.故 时=log2ax+log2az+,+log2an=1+3+(2n-1)=n2.方 案 三：选 条 件.由
31、 3Sn=C ln+l 2,(*)当 近 2 时,35*1=珈-2,(*)所 以，(*)-(*)可 得 a+i=4a,”当=1 时，3s 1=42-2,可 得 42=8,两 足 672=4aI,所 以 数 列”是 首 项 为 2,公 比 为 4 的 等 比 数 列，所 以 即=22-】.故 心=log2al+log2a2+92an=1+3 H-l-(2n-1)=n2.2.数 列“的 前 项 和 为 S”已 知“1=4，S,=an-n2(n-1).(1)设 加=与 工 S,证 明：当 论 2 时，bn-bn.=m(2)求”的 通 项 公 式.【解 答】(1)证 明：由%=出 即 一 2 5 一
32、1),可 知 n2 时，Sn=n2(Sn-S九 一 力-n2(n-1).可 得 S n=；SnT+J p所 以%一 小-1=噜 5 一 工 S T=噜(若 S n _ i+器)一 3 5-1=五 二 n Sc.n c _n_i+n-五 二 Sn_i=n.(2)因 为&=%=当 所 以 从=2的=1,当 佗 2 时，hn=(bn-hn-)+Cbn-1-bn-2)+(&2-b)+bl.r.Q.n(n+l)=n+(n 1)H-1-2+1=当”=1,吟 由=瓦，于 是 b=吗 由.所 以 s一 等 2,从 而 治 小.2由 二=九 2。九 一/(九 一 1),可 得 Qn=2与 1.2/3.已 知 数
33、 列 a”的 前“项 和 为 S”，且 满 足 小=2,如 为 g 与 S 等 差 中 项.(1)求 数 列.的 通 项 公 式；(2)记 麻=粤，九 WN*,证 明：bi+b2T 加 V 税，WN”.【解 答】解：(1)由 m=2,为 与 S”等 差 中 项，可 得 24=2+S，当 时，2a-1=2+S-1,又 2a=2+S，两 式 相 减 可 得 2,dn 2an-1=2+S _ 2 _ Sn-=diif化 为 Cln 2cin-I,所 以 如 是 首 项 和 公 比 均 为 2 的 等 比 数 列，可 得 4=2;1 Q(2)证 明：当=1 时，历=)4成 立；Q 2n 2n 2n 2
34、 一 1当 e 2 时 bn=(2n+1_2)2=4(2n-l)(2-2)=4(2-1)(2-1-1)1 1 1=(-)4 2n-I 1 2n-l，所 二 匚 以 加；+历,+加 2+(1一 21+.1 一 1+.,+11 7 1一 二 1、)=21+.41 Z(1 1-F1M、)=34-4(2n1-l)4,综 上 可 得，历+历+/?,，N”.4.设 数 列 斯 满 足 m=3,诙+1=3。-4.(1)计 算“2,4 3,猜 想 所)的 通 项 公 式 并 用 数 学 归 纳 法 加 以 证 明；(2)求 数 列 2“的 前 项 和 S1.【解 答】ft?：(1)数 列 的 满 足 m=3,
35、an+i3an-4n,则 a23ai-4=5,a33a2-4 x 2=7,猜 想 an=2n+l,证 明：当”=1 时，显 然 成 立，假 设 当“=A:时，%=2k+l(k e N*)成 立，则 当=k+l 时，ak+l=3ak-4k=3(2左+1)-4k=2k+3=2(4+1)+1,故=k+l时 也 成 立，综 合 可 得，a=2+l,猜 想 成 立.(2)令%=2nan=(2+1)2,数 列 2小 的 前 n 项 和 Sn=3 x 21+5 X 22+(2n+1)-2rl，2Sn=3 x 22+5 x 23+(2n+1)-2n+1,3 T l I-可 得，-Sn=3 x 2+2 x 22
36、+2 x 2n-(2 n+l)2/,+|=6+2-(2n+1)-2n+1=2n+2-2-(2+1)2+1=(1-2n)2,+1-2,：.Sn=(2 n-l)-2n+1+2,.数 歹|J 2如 的 前 项 和 S”=(2n-1)2n+I+2.5.已 知 数 列 a“,m=3,且 对 任 意 G N*,都 有 巴 手 吐 1=z+i.(1)设 尻=a“+i-圆,判 断 数%是 否 为 等 差 数 列 或 等 比 数 列.(2)若“2=5,5=(即”为 奇 数,求 数 列 Cn 的 前 2 项 的 和 S2”.2而-1,为 偶 数【解 答】解：(1)数 列 而,0=3,且 对 任 意 G N*,都
37、有 3+；任=a+i.所 以：an+2-C ln+=C ln+M所 以：数 列。的 公 差 为 0 时，加+1=晟=0,所 以：数 列 加 是 等 差 数 列，不 是 等 比 数 列.当 数 列 的 公 差 不 为 0 时，加+1=5#0,所 以：数 列 加 既 是 等 差 数 列，又 是 等 比 数 列.(2)右，2=5,由(1)知：Cln+1-=(22 41=2,所 以：“=2.+1.(2n+1(n=2k-1)则：金=|乎 5=2k)则：S2=S 奇+S偶，=(3+7+1 1+.+2+1)+(42+44+.+42/1),916(16n-l)=2nz+九 H-J g 6.已 知 数 列 满
38、足-1(3。-i+l)(n2-N，)，且。2=1,(1)证 明：数 列 上 为 等 差 数 列，并 求 数 列 如 的 通 项 公 式；an(2)若 加=(-1).1,求 治 的 最 小 值.an【解 答】解：因 为 加 1=如(3如/+1),(n2,WN*),化 间 Cln-3aMzt-1，同 除 以 Ctndn-1，J 1 1 1*得 一=3+-=-=3(论 2,),an an l an an li又 几=1时，a=3a2a+a2,所 以 的=一 甲 数 列 占 为 首 项 为-4,公 差 为 3 的 等 差 数 列，所 以 二=-4+3(n 1)=3n-7,an an1所 以=布 7，斯=击，*】=霜，bn=(-l)n 需=(-1 广 寿=(-1)m 一 而 瓦=(-1)1(1 一 月)=-4,b2=当 应 3 时，3 n-4 5 3,所 以 0 V 亏 三 1,贝 1 0 1 一 三 三 0,当 佗 3 且 取 奇 数 时，=(-1)(1 石)6(-1，0),所 以 bn的 最 小 值 为 61=-4.