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1、易 错 点-数 列、不 等 式 专 题 综 述 数 列 在 高 考 中 可 以 是 客 观 题，也 可 以 是 解 答 题，客 观 题 一 般 突 出 小、巧、活，解 答 题 一 般 考 查 数 列 的 通 项 与 求 和，难 度 不 大；不 等 式 主 要 考 查 不 等 式 的 应 用，一 般 为 客 观 题，其 中 基 本 不 等 式 也 有 可 能 与 解 三 角 形 及 解 析 几 何 交 汇 出 现 在 解 答 题 中.专 题 探 究 S n 与 a n关 系 不 清 致 错 求 前 n项 和 时 项 数 不 清 致 错 数 列 与 函 数 的 关 系 不 清 致 错 对 不 等
2、式 基 本 性 质 理 解 不 透 致 错；二 7 1 一 数 列、不 等 式 等 差 数 列、等 比 数 列 混 合 运 算 时 致 错 基 本 不 等 式 应 用 不 当 致 错 不 理 解 数 列 的 函 数 性 质 致 错 探 究 1”,与 关 系 不 清 致 错 易 错 警 示 己 知 数 列%的 前 项 和 S,求 通 项 与 sn的 关 系 中,4=s-S“T 成 立 的 条 件 是 2 2,求 出 的 中 不 一 定 包 括%,而%应 由 q=S 1求 出，然 后 再 检 验 是 否 在 在 典 例 1（2021福 建 省 福 州 市 期 中）若 数 列 an 的 前 n项 和
3、 Sn=n2-3 n-l,则 册=_【规 范 解 析】解：根 据 题 意,数 列 an 的 前 n项 和 Sn=M 3n 1,当 n=1 时，%=Si=1 3 1=3,当 n 2时，Qn=Sn 一 Sn_!当 n=1时，G 二 S 1,当 n N 2=n2 3n 1(n l)2+3(n 1)4-1=2n-4,n=1时，的=-3不 符 合,故 斯=2n-4,n 2,故 答 案 为：2n-4,n 2,变 式 训 练 1（2021湖 南 省 单 元 测 试）数 列 an 的 前 n项 和 是 Sn，%=1,a-0,3Sn=。九 即+1+1，若 郁=2020,则 卜=探 究 2:数 列 与 函 数 的
4、 关 系 不 清 致 错 易 错 警 示 数 列 的 通 项 公 式、前 项 和 公 式 都 是 关 于 正 整 数 n 的 函 数,要 善 于 从 函 数 的 观 点 认 识 和 理 解 数 列 问 题.如 求 数 列 中 的 最 值、利 用 函 数 单 调 性 求 解 数 列 问 题,要 注 意”的 取 值 不 是 连 续 实 数，但 考 生 很 容 易 忽 视 为 正 整 数 的 特 点,或 即 使 考 虑 了 为 正 整 数,但 对 于 取 何 值 时,能 够 取 到 最 值 求 解;H错.典 例 2（2021辽 宁 省 沈 阳 市 期 中）等 差 数 列 斯 中，%0,3a8=5的
5、3，bn=anan+lan+2 表 示 办 的 前 n项 和，当 71取（）时 最 大.A.17 B.18 C.19【规 范 解 析】D.20解：公 差 为 d的 等 差 数 列 an 中，3a8=5的 3,整 理 得：3（%+7d）=5（的+12d）,化 简 得 的=-弓 乙 所 以 d 0，所 以 的 1=y d 4-(n-l)d=(n-20.5)d,an+1=(n 19.5)d,an+2=(n 18.5)d,所 以 bn=anan+1an+2=(n-20.5)(n-19.5)(n 18.5)c由 于 d V 0,bn=anan+1an+2f Sn表 示 心 的 前 几 项 和，n 0,n
6、=19时，与 9=(-1.5)x(-0.5)x 0.5d3=-d3 0,n bn S19,;3.数 列 是 自 变 量 n为 正 整 数 的 函 数，求 和 的 最 大 值，关 注 项 的 正 负 变 化 序 号，由 n的 值 验 证 即 可.故 当 n=20或 18时，S最 大.故 选：BD.变 式 训 练 2(2021江 苏 省 扬 州 市 单 元 测 试)已 知 数 列 即 满 足：的=；，即+i=|即 4 Z1.(1)求 证 数 列 即-2 是 等 比 数 歹 U：(2)若 数 列 九 满 足 垢=2n+2,an,求,的 最 大 值.探 究 3:等 差 数 列、等 比 数 列 混 合
7、运 算 时 致 错 易 错 警 示 在 数 列 的 基 础 性 试 题 中，等 差 数 列、等 比 数 列 的 通 项 公 式、前 项 和 公 式 是 解 题 的 根 本，用 错 了 公 式，解 题 就 失 去 了 方 向.且 若 等 比 数 列 an 的 各 项 为 实 数，则 6,%,。5,，42,1，同 号，。2，4M6,同 号 典 例 3(2021江 苏 月 考)在 公 差 不 为 0的 等 差 数 列 即 中，的,a2,%,ak2,成 公 比 为 4的 等 比 数 列,则&=()A.84 B.86 C.88 D.96【规 范 解 析】解：设 等 差 数 列 即 的 公 差 为 d，因
8、 为 由,a2,akl,ak2,成 公 比 为 4的 等 比 数 列，所 以。2=4%,所 以 ai+d=4ai，得 d=3的,L.所 以=44al=256%,所 以 的 4-&-l)d=256al|即&-1)-3al=255%,解 得 自=86.I_故 选：B.变 式 训 练 3把 握 等 差 数 列、等 比 数 列 的 通 项 公 式，解 得 基 本 且 _(2021辽 宁 省 沈 阳 市 期 中 考 试)已 知 a是 公 比 为 q的 等 比 数 列，且|53是 S,2s4的 等 差 中 项，则 q=()A-IC.-1 D.1探 究 4:不 理 解 数 列 的 函 数 性 质 致 错易
9、错 警 示 数 列 是 特 殊 的 函 数，但 函 数 的 性 质 在 数 列 中 仍 然 成 立，如 单 调 性、周 期 性 等,把 握 数 列 的 函 数 性 质，可 以 解 决 数 列 的 项、前“项 和 等 问 题.典 例 4（2021 福 建 月 考）在 数 列 Qn 中，%=1,。2=2,an+2=an+1-an f 则 an 的 前 2 0 2 1项 和 为【规 范 解 析】解：数 列 即 中，的=1,a2=2,。n+2=Qn+i 一 即，则：=。2=1，a4=a3 a2=-1,a5=a4 a3=2,。6 二 曲 一=1，Q7=1，所 以：数 列 的 周 期 为 6,且%+g+。
10、3+。4+“6=数 列 5 的 前 2 0 2 1项 和 为:（%+。2+。3+。4+。5+a6）-（2011+a2012+a2013+。2015+02016）+。2017+2018+a2019+a2020+a2021=0+0+0+。3+。4+。5）=1+2+1 1 由 具 体 项 的 结 果 得 到 数 列 具 有 周 期 性，由 此 性 质 解 得 数 列 的 前 2021项 和 0141.故 答 案 为：1.变 式 训 I练 4（2 0 2 1 山 东 省 淄 博 市 单 元 测 试）已 知 数 列 an 的 首 项 的=J,即+1=1-十，/an贝 U 2021=探 究 5:求 前 项
11、 和 时 项 数 不 清 致 错 易 错 警 示 数 列 求 和 常 用 的 方 法 有 公 式 法、倒 序 相 加 法、分 组（并 项）求 和 法、裂 项 相 消 法、错 位 相 减 法；含 有（-1）”的 数 列 求 和，一 般 用 分 组（并 项）求 和 法，且 要 分 为 奇 数 与 偶 数 进 行 讨 论,对 每 一 类 的 讨 论 要 在 前 提 条 件 下 进 行.用 裂 项 相 消 法 求 和 时,要 对 通 项 进 行 变 换,如：后 为 二=（听 前 一 而，裂 项 后 可 以 产 生 连 续 相 互 抵 消 的 项,但 抵 消 后 并 不 一 定 只 剩 下 第 一 项
12、和 最 后 一 项,也 有 可 能 前 面 剩 两 项,后 面 也 剩 两 项.错 位 相 减 法 的 过 程 同 学 们 都 会，但 由 于 步 骤 繁 琐，计 算 量 大 导 致 漏 项 或 添 项 以 及 符 号 出 错 等.典 例 5(2021河 南 省 郑 州 市 单 元 测 试)若 等 差 数 列 Q 的 前 n项 和 为 之，a5=9,S5=25.(1)求 数 列 即 的 通 项 公 式 及 前 n项 和 Sn；(2)设 垢=(-l)n5n.求 既 的 前 项 和【规 范 解 析】解：(1)由 题 意，Ss=%止 也=%至=5。3=25，即。3=5,设 等 差 数 列 an 的
13、公 差 为 d，贝 Q=q=三=2，5-3 2II Qn=%+(九-3)d=5+2(n 3)=2n 1.则 a=2 X 1 1=1，.s,=nU+(2n-l)=九 2.(2)由(1)知，%=(-1)”朴=(-1)，2,I 当 n为 偶 数 时，Q=瓦+B+匕=-I2+22-32+42-(n-I)2+n2=(22-I2)+(42-32)+n2-(n-l)2含 有(一 1)的 数 列 求 和，用 并 项 求 和 法，且 分 为 奇 数 与 偶 数 进 行 讨 论=(2+1)(2-1)+(4+3)(4 3)+4-n+(n-1)n-(fi_-1)Q lI=l+2+3+4+“+(n-l)+n=I 当 n
14、为 奇 数 时，及=瓦+%=-l2+22-32+42-(n-2)2+(n-l)2-n2=(22-l2)+(42-32)+(n-l)2-(n-2)2-n2=(2+1)(2-1)+(4+3)(4 3)4-+(n-1)+(m-2)(n-1)(n 2)n211=1+2+3+4+(TI 2)+(TI-1)一 九 2=i),11J 综 上 所 述 T可 得 严 若 段 一 变 式 训 练 5(2 0 2 1湖 北 七 校 联 考 卷)等 差 数 列 a,J的 公 差 d不 为 0,满 足。5=13,%,心，成 等 比 数 歹 U.数 歹 岫“满 足 氤+氤+氤+=A(1)求 数 列 an 与%的 通 项
15、公 式；(2)若=即%，求 数 列 7 的 前 几 项 和 2.探 究 6:对 不 等 式 基 本 性 质 理 解 不 透 致 错 易 错 警 示 在 判 断 不 等 式 大 小 或 解 不 等 式 时，对 不 等 式 基 本 性 质 中 的 条 件 没 有 准 确 理 解,造 成 错 解，如 很 多 条 件 是“正 数 不 等 式”，同 向 不 等 式 不 能 相 减、相 除；高 次 不 等 式、分 式 不 等 式、无 理 不 等 式 等 其 它 不 等 式 在 求 解 时 注 意 它 们 的 等 价 变 形，不 能 漏 解 或 增 解.典 例 6（2021江 苏 省 无 锡 市 单 元 测
16、 试）对 于 实 数 a,b,c,下 列 命 题 是 真 命 题 的 为（）A.若 a b,则，O b,贝 i j a2 V aba b-c-a c-h【规 范 解 析】B.若,则 42.儿 2D.若 c a b 0,则 根 据 不 等 式 的 基 本 性 质 判 断 选 项，也 可 以 代 值 检 验 解：A 根 据。人，取 a=l,b=-l,则,b,02.0.由 不 等 式 的 基 本 性 质 知 a/.尻 工 成 立，故 8 正 确;C.由 a 0，取 a=l,Z?=1,则 不 成 立，故 C 错 误；D.cah0,/.(a-b)c0,BP acbc f：.ac ahhc ab,即 a(
17、c-b)b(c-a),c a0,c Z?0,/.a-,故 D 正 确.c-a c-bS：BD.变 式 训 练 6（2021江 苏 省 扬 州 市 单 元 测 试）能 够 说 明“若 a，则 1a+la1-=b+ijb是 假 命 题 的 一 组 非 零 实 数 a,b 的 值 依 次 为 探 究 7:基 本 不 等 式 应 用 不 当 致 错 易 错 警 示 利 用 基 本 不 等 式 求 最 值 时 需 保 证 3 个 条 件：一 正 二 定 三 相 等，特 别 是 等 号 成 立 的 条 件 容 易 忽 略，且 多 次 使 用 基 本 不 等 式 时 要 保 证 等 号 成 立 的 条 件
18、一 致.典 例 74 1（2021江 苏 联 考）已 知 实 数 m,（0,也）且 加+拉=1,则 十 丁 的 最 3m+n m+3n小 值 为.【规 范 解 析】解：令 3加+=尢，tn+3n=y f 贝！Jx+y=4,4 1 4 1 1,4 1、，、4 y A 9.-1-=I=(I)(x+y)=-(5 H-1).；，3m+n m+3n x y 4 x y 4 x y 42 4当 且 仅 当=2y,x+y=4,即 x=,y=,即 6=25,=_I L时 等 号 成 立.故 答 案 为：9r.6 6 4变 式 训 练 7（2021湖 北 模 拟）已 知 正 实 数 a,b 满 足 a+=3.求
19、 y/2a+l+V2Z?+1最 大 值；1 4 若 不 等 式 0 2 川-b-”,工+%对 任 意 x e H 恒 成 立 求 m 的 取 值 范 围.专 题 升 华 把 握 等 差 数 列、等 比 数 列 的 定 义，等 比 数 列 的 公 比、基 本 不 等 式 这 些 基 本 概 念、明 白 常 见 的 陷 阱 点；理 解 等 差 数 列、等 比 数 列 的 性 质，数 列 求 和 方 法，细 心 计 算，注 意 题 干 特 殊 条 件，是 避 免 出 错 的 有 效 点；重 视“分 类 讨 论”；换 元 后 满 足 基 本 不 等 式 应 用 的 条 件【答 案 详 解】变 式 训
20、练 1【答 案】1347【解 析】*,3Sn=anan+1+1,.3sH_i=an_xan+l(n 2),两 式 相 减 得：3an=an(an+1-即 _力，n 2,:C L fi H 0,Q+i Q/i=3,n N 2,乂=1,3sl CLCL+1,*,02=2,停 产，九 为 奇 数 34_-3k-2 斯=八 二“,田 岭，由 以=掌=2 0 2 0,或 以=答=2020,(kC N*)为 偶 数 2 z可 解 得：k=1 3 4 7,故 答 案 为：1347.变 式 训 练 2【解 析】(1)证 明：因 为 a“+i-2=|厮 3=|(即 2),1 2=所 以 数 列%-2 是 以-彳
21、 为 首 项，以|为 公 比 的 等 比 数 列,所 以 数 列 厮-2 是 等 比 数 列；(2)由(1)得 即 2=-(|)-1，所 以 册=2 一 7(|)T,则%=2n+22-(|)n-i=2n+3-1 4 x 371-1,因 为“+i-bn=-1 4-3n+2n+4+14-3n-1-2n+3=2n+3-28-3n-1 2n+3-3n+2=8-2n-9-3n 9(2n-3n)0,(n 6 N*)所 以 勾+1%，即 数 列%为 递 减 数 列，所 以 幻 的 最 大 值 为 九=2.变 式 训 练 3【答 案】A D【解 析】因 为 是 S i，2s4的 等 差 中 项，所 以 2 x
22、|s3=Si+2s4,即 3s3=Si+2s4,变 形 得：S3-Sj=2S4-2s3,所 以 a2+a3=2a4,因 为 数 列 为 公 比 为 q的 等 比 数 列，所 以 上 式 可 化 为：a2+a2q=2a2q2,因 为 等 比 数 列 各 项 均 不 为 0,所 以 l+q=2q2,解 得：9=1或 勺=一/故 选：AD.变 式 训 练 4【答 案】-1【解 析 an+1=1-7-,乙 anT 1 3 1 c.1 1a2=1-=-1,a3=1-=2,a4=1 数 列 an 是 周 期 为 3的 数 列，.a2021=a673x3+2=a2=-l，故 答 案 为:-1.变 式 训 练
23、 5【解 析】(1)由 已 知 谖=的。6,又。5=13故(13-3d)2=(13-4d)(13+d),解 得 d-0(舍 去)，或 d=3,an=a5+(n 5)d 3n 2,故。；，=3n-2.1,2,3,n n zrx:-1-1-F H-=(1J2002bl log2b2 log2b3 logzbn 2故 当 n=l时，可 知 L_=1=lOq b-2,log2bl 2 n 1当 n 2 2时，可 知,+2+3+“.n-i=曰 log2bl log2b2 log2b3 log2bn_1 2 7 一 得 肃 f=1=*logzbn=2n bn=4n又 瓦 也 满 足 e=4n,故 当 N*
24、时，都 有 为=4n.(2)由(1)知.=cunbn=(3n 2)x 4n故 又=1 x 41+4 x 42+(3n-5)x 4人】+(3n-2)x 4n 4Sn=1 x 42+(3n-5)x 4n+(3n-2)x 4n+1(4)由 一 得 3Sn=4+3(42+43+4n)-(3n-2)X 4n+1,解 得 土=(n-1)x里+i+4，变 式 训 练 6【解 析】由。人，可 得 妫 的,4+妫/?+蛎,，a+i/a 0,b+h 0,则-Tf=0,力 0的 一 组 值 即 可，a+ja b+y/b故 答 案 为 1;-1(答 案 不 唯 一：第 1 个 数 大 于 0,第 2 个 数 小 于。
25、即 可).变 式 训 练 7【解 析】由 题(V2a+1+V2Z?+1)2=(2+1)+(2b+1)+2j2a+1+13,(勿+1)+(抄+l)+(2+l)+(+l)=4(a+Z?)+4=16,当 且 仅 当 a=b=一 时 取 等 号.2所 以，2a+l+j26+l,4,所 以 J2a+1+J2+1 最 大 值 为 4.(c2)r由 kH题 百，1 I 4=1 z(+，力、)/(1 I 4、)=1.(.5 H b 1 4、).1(5+3 2仍.-4-)、=3个，a b 3 a b 3 a b 3 a b也 一 丝 1 4当 且 仅 当 卜/-6 即。=1，匕=2 取 等 号，所 以+?的 最 小 值 为 3.a+b=3 a b又 I x+2 tn-x-2m+,不 等 式|x+2，|-|x-l 工+3 对 任 意 x e/?恒 成 立,a b只 需 I 2%+l|,3即 可，解 得 一 2金 加 1,即 m 的 取 值 范 围 是 一 2,1.