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1、2019年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 数 学(文)(北 京 卷)本 试 卷 共 5 页，150分。考 试 时 长 120分 钟。考 生 务 必 将 答 案 答 在 答 题 卡 上，在 试 卷 上 作 答 无 效。考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。第 一 部 分(选 择 题 共 40分)一、选 择 题 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 40分。在 每 小 题 列 出 的 四 个 选 项 中，选 出 符 合 题 目 要 求 的 一 项。(1)已 知 集 合 A=R-1Xl,贝!|AUB=(A)(-1,1)(B)(1,2)(C)(
2、-1,+8)(2)已 知 复 数 z=2+i,则 z5=(A)73(B)V5(C)3(3)下 列 函 数 中，在 区 间(0,+oo)上 单 调 递 增 的 是(A)v_ J(B)y=2-x(C)y=lgpy x2(4)执 行 如 图 所 示 的 程 序 框 图，输 出 的 s值 为(D)(1,+8)(D)5、1(D)y=x(A)1(B)2(C)32(5)已 知 双 曲 线=一;/=1(。0)的 离 心 率 是 否，则 折 a(D)4(A)V6(B)4(C)2(6)设 函 数/(x)=cosx+戾 山(匕 为 常 数)，则“反 0”是“f(x)为 偶 函 数”的(A)充 分 而 不 必 要 条
3、 件(B)必 要 而 不 充 分 条 件(C)充 分 必 要 条 件(D)既 不 充 分 也 不 必 要 条 件 5.E.(7)在 天 文 学 中，天 体 的 明 暗 程 度 可 以 用 星 等 或 亮 度 来 描 述.两 颗 星 的 星 等 与 亮 度 满 足 机 2 一 犯=力 恒 艰，2 E2其 中 星 等 为 恤 的 星 的 亮 度 为(七 1,2).已 知 太 阳 的 星 等 是-26.7,天 狼 星 的 星 等 是-1.45,则 太 阳 与 天 狼 星 的 亮 度 的 比 值 为(A)IO101(B)10.1(C)IglO.l(D)1O-101(8)如 图，A,8 是 半 径 为
4、2 的 圆 周 上 的 定 点，P 为 圆 周 上 的 动 点，Z 4 P B 是 锐 角，大 小 为 6.图 中 阴 影 区 域 的 面 积 的 最 大 值 为(A)44+4cos或(B)4夕+4sin(C)2+2cos(D)2Q+2si邛 第 二 部 分(非 选 择 题 共 110分)二、填 空 题 共 6 小 题，每 小 题 5 分，共 3 0分。(9)已 知 向 量=(T,3),b=(6,m),且 a_L 力，则 z n=.x0,(II)设 抛 物 线)2=4x的 焦 点 为 凡 准 线 为/.则 以 F 为 圆 心，且 与/相 切 的 圆 的 方 程 为.(12)某 几 何 体 是
5、由 一 个 正 方 体 去 掉 一 个 四 棱 柱 所 得，其 三 视 图 如 图 所 示.如 果 网 格 纸 上 小 正 方 形 的 边 长 为 1,那 么 该 几 何 体 的 体 积 为.(13)已 知/,，是 平 面 a 外 的 两 条 不 同 直 线.给 出 下 列 三 个 论 断：/_1_根；m/a；/j_a.以 其 中 的 两 个 论 断 作 为 条 件，余 下 的 一 个 论 断 作 为 结 论，写 出 一 个 正 确 的 命 题：.(14)李 明 自 主 创 业，在 网 上 经 营 一 家 水 果 店，销 售 的 水 果 中 有 草 莓、京 白 梨、西 瓜、桃，价 格 依 次
6、为 60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒.为 增 加 销 量，李 明 对 这 四 种 水 果 进 行 促 销：一 次 购 买 水 果 的 总 价 达 到 120元，顾 客 就 少 付 x 元.每 笔 订 单 顾 客 网 上 支 付 成 功 后，李 明 会 得 到 支 付 款 的 80%.当 x=10时，顾 客 一 次 购 买 草 莓 和 西 瓜 各 1盒，需 要 支 付 元；在 促 销 活 动 中，为 保 证 李 明 每 笔 订 单 得 到 的 金 额 均 不 低 于 促 销 前 总 价 的 七 折，则 x 的 最 大 值 为 三、解 答 题 共 6 小 题，共 8 0分。解 答 应
7、 写 出 文 字 说 明，演 算 步 骤 或 证 明 过 程。(1 5)(本 小 题 13分)在 4BC 中，a=3,h c=2,cosB=-.2(I)求 c 的 值；(II)求 sin(B+C)的 值.(1 6)(本 小 题 13分)设 斯 是 等 差 数 列,a=-10,且 他+10,G+8,内+6 成 等 比 数 列.(I)求 a4 的 通 项 公 式；(II)记 斯 的 前 项 和 为 S”求 S,的 最 小 值.(1 7)(本 小 题 12分)改 革 开 放 以 来，人 们 的 支 付 方 式 发 生 了 巨 大 转 变.近 年 来，移 动 支 付 已 成 为 主 要 支 付 方 式
8、 之 一.为 了解 某 校 学 生 上 个 月 A,B 两 种 移 动 支 付 方 式 的 使 用 情 况，从 全 校 所 有 的 1000名 学 生 中 随 机 抽 取 了 100人，发 现 样 本 中 A,B 两 种 支 付 方 式 都 不 使 用 的 有 5 人，样 本 中 仅 使 用 A 和 仅 使 用 B 的 学 生 的 支 付 金 额 分 布 情 况 如 下：付 金 额 支 付 方 式 不 大 于 2 000元 大 于 2 000元 仅 使 用 A 27人 3 人 仅 使 用 B 24人 1人(I)估 计 该 校 学 生 中 上 个 月 A,B 两 种 支 付 方 式 都 使 用
9、的 人 数；(II)从 样 本 仅 使 用 B 的 学 生 中 随 机 抽 取 1人，求 该 学 生 上 个 月 支 付 金 额 大 于 2 000元 的 概 率；(III)己 知 上 个 月 样 本 学 生 的 支 付 方 式 在 本 月 没 有 变 化.现 从 样 本 仅 使 用 B 的 学 生 中 随 机 抽 查 1 人，发 现 他 本 月 的 支 付 金 额 大 于 2 000元.结 合(II)的 结 果，能 否 认 为 样 本 仅 使 用 B 的 学 生 中 本 月 支 付 金 额 大 于 2 000元 的 人 数 有 变 化？说 明 理 由.(1 8)(本 小 题 14分)如 图，
10、在 四 棱 锥 P A B C。中，R4_L平 面 ABC。，底 部 4 8 C D 为 菱 形，E 为 8 的 中 点.(I)求 证：8 0,平 面 尸 AC；(II)若 NABC=60,求 证：平 面 PAB_L平 面 PAE；(III)棱 上 是 否 存 在 点 F,使 得 CF 平 面 PAE?说 明 理 由.(1 9)(本 小 题 14分)己 知 椭 圆 C:j+a-y1炉=1 的 右 焦 点 为(1,0),且 经 过 点 A(0,l).(I)求 椭 圆 C 的 方 程;(II)设。为 原 点，直 线/：y=Ax+r(fw D与 椭 圆 C 交 于 两 个 不 同 点 P,Q,直 线
11、 A P 与 x 轴 交 于 点M,直 线 A。与 x 轴 交 于 点 M 若|OM7OM=2,求 证：直 线/经 过 定 点.(20)(本 小 题 14分)已 知 函 数/(x)=x3-x2+x.4(I)求 曲 线 y=/(x)的 斜 率 为 1的 切 线 方 程；(II)当 x e-2,4 时，求 证：x-6/(%)f(x)-(x+a)|(awR),记/。)在 区 间-2,4 上 的 最 大 值 为 M(a),当 M(a)最 小 时，求。的 值.2019年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 数 学(文)(北 京 卷)参 考 答 案 一、选 择 题(共 8 小 题，每
12、小 题 5 分，共 40分)(1)C(2)D(3)A(4)B(5)D(6)C(7)A(8)B二、填 空 题(共 6 小 题，每 小 题 5 分，共 30分)(9)8(10)-3 1di)U-i)2+y=4(12)40(13)若/a,则 m a.(答 案 不 唯 一)(14)130 15三、解 答 题(共 6 小 题，共 80分)(15)(共 13 分)解：(I)由 余 弦 定 理。2=/+。2-2accosB,得 F T2=32+C2-2 X 3X C X(-).因 为/?=c+2,所 以(C+2)2=32+C2-2X3XCX(-).解 得 c=5.所 以，=7.(II)由 cos8=-工 得
13、 sinB=走.2 2由 正 弦 定 理 得 sinA=sinB=X 5.b 14在 八 45。中，B+C n-A.所 以 sin(5+C)=sinA=.(16)(共 13 分)解：(I)设。“的 公 差 为 d.因 为 q=T O,所 以 a,=-10+4,%=-10+2d,%=-10+34.因 为 出+10，%+&%+6 成 等 比 数 列，所 以(%+8=&+1。)(。4+6)-所 以(-2+24)2=d(-4+3d).解 得 d=2.所 以 a“=4+(-1)d=2-12.(H)由(I)知，an=2n-l2.所 以，当 2 7 时，a,0；当“W 6 时，0.所 以，S.的 最 小 值
14、 为 56=-30.(17)(共 12分)解：（I）由 题 知，样 本 中 仅 使 用 A 的 学 生 有 27+3=30人，仅 使 用 B的 学 生 有 24+1=25人,A,B两 种 支 付 方 式 都 不 使 用 的 学 生 有 5人.故 样 本 中 A,B两 种 支 付 方 式 都 使 用 的 学 生 有 100-30-25-5=40人.估 计 该 校 学 生 中 上 个 月 A,B两 种 支 付 方 式 都 使 用 的 人 数 为 工 x 1000=400.100(I I)记 事 件 C为“从 样 本 仅 使 用 B的 学 生 中 随 机 抽 取 1人，该 学 生 上 个 月 的 支
15、 付 金 额 大 于 2 000元”，则 P(C)=0.04.25(I I I)记 事 件 E为“从 样 本 仅 使 用 B的 学 生 中 随 机 抽 查 1人，该 学 生 本 月 的 支 付 金 额 大 于 2 000元”.假 设 样 本 仅 使 用 B的 学 生 中，本 月 支 付 金 额 大 于 2 000元 的 人 数 没 有 变 化，则 由(I I)知，P(E)=0.04.答 案 示 例 1：可 以 认 为 有 变 化.理 由 如 下：P(E)比 较 小，概 率 比 较 小 的 事 件 一 般 不 容 易 发 生，一 旦 发 生，就 有 理 由 认 为 本 月 支 付 金 额 大 于
16、 2 000元 的 人 数 发 生 了 变 化.所 以 可 以 认 为 有 变 化.答 案 示 例 2：无 法 确 定 有 没 有 变 化.理 由 如 下：事 件 E是 随 机 事 件，P(E)比 较 小，一 般 不 容 易 发 生，但 还 是 有 可 能 发 生 的.所 以 无 法 确 定 有 没 有 变 化.(1 8)(共 14 分)解：(I)因 为 P 4_L平 面 A8CZ),所 以 又 因 为 底 面 ABCD为 菱 形，所 以 BO_L AC.所 以 即，平 面 P4C.(II)因 为 PA_L平 面 ABC。，A E u 平 面 ABC。，所 以 PA_LAE.因 为 底 面 A
17、BC。为 菱 形，ZABC=60,且 E为 CZ)的 中 点,所 以 AEJ_CD所 以所 以 AE_L平 面 PAB.所 以 平 面 PA8J_平 面 PAE.（Ill）棱 P8上 存 在 点 尸，使 得 CF 平 面 PAE.取 尸 为 PB的 中 点，取 G为 PA的 中 点，连 结 CF,FG,EG.贝 l FG AB,SLFG-AB.2因 为 底 面 ABC。为 菱 形，且 E为 8 的 中 点，所 以 CE A8,iL C E=-A B.2所 以 FG C E,且 FG=CE.所 以 四 边 形 CEGF为 平 行 四 边 形.所 以 C尸 EG.因 为 C F（Z 平 面 PAE
18、,EGu 平 面 PAE,所 以 CF 平 面 PAE.（19）（共 14 分）解：（I）由 题 意 得,b2=l9 c=l.所 以 层=+/=2.2所 以 椭 圆 C的 方 程 为 三+2=1.2（II）设 尸（xi,yi）,Q（X2,y2）,yi 1 i则 直 线 AP的 方 程 为 y=一 x+i.玉 X.令 尸 0,得 点 M的 横 坐 标 X”=一 一 23.y 一 1又 x=3+r,从 而 I。例|=同|=可 C A.|I*I 1同 理,瓦 M l 由，y=kx-t,X2 2，得（1+2公 2+y-=12+Aktx+2r 一 2=0.n 4kt 2 户 2则 x1,+x-2=-i-
19、+-2-k-r2-,X,Xy=-7.1 2 l+2k2所 以|OM|ON|=|1 H%2|fctj+r-1 依 2+，-1=l_ _ _?lk?XX2+k(t 1)+/)+(，-I)22-2=|_1+2产 _,2 2/2 2 7/1/A k t、八 2k.币 F+s c 币 F)+d)=2|，|.-t又|O M|.|Q N|=2,所 以 2|比|=2.-t解 得，=0,所 以 直 线/经 过 定 点(0,0).(2 0)(共 1 4 分)I 3解:(I)由/(幻=一%3一 一+工 得/，(幻=一 2%+1.4 43 2令/(x)=l,即/一 2%+1=1,得 x=0或 x=.又/(0)=0,/
20、(|)吟，Q Q所 以 曲 线 y=/(x)的 斜 率 为 1的 切 线 方 程 是 y=x 与 y=x-|,nn一 64即 y=x 与 y=x一 五.(II)令 g(x)=/(x)-X,X G-2,4.I 3由 g(%)=一 7 一%2 得 g,(x)=_%2 2%.4 4Q令 g(幻=。得 x=0或 x=gx)9g(x)的 情 况 如 下：X-2(-2,0)0(0,1)838.(-,4)4所 以 g(x)的 最 小 值 为-6,最 大 值 为 0.g(x)+g(x)-6 064270故-6g(x)0,即(Ill)由(H)知，当 a F(0)=|g(O)-a|=-a 3；当 a-3 时，M(a)F(-2)=|(-2)-a|=6+a 3；当 a=3 时，M(a)=3.综 上，当 M(a)最 小 时，a=-3.