计数原理综合10大题型.pdf

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1、计 数 原 理 综 合 10大 题 型 命 题 趋 势 排 列 组 合 问 题 往 往 以 实 际 问 题 为 背 景，考 查 排 列 数、组 合 数、分 类 分 步 计 数 原 理，难 度 基 本 稳 定 在 中 等。二 项 式 定 理 问 题 是 高 考 的 热 门 考 点，主 要 考 查 二 项 展 开 式 的 通 项，二 项 式 系 数 和 及 各 项 系 数 和 等 问 题，从 近 几 年 来 看，围 绕 二 项 展 开 式 的 通 项 公 式 命 题，考 查 某 一 项 或 考 查 某 一 项 的 系 数 较 多。满 分 技 巧 一、排 列 组 合 常 见 问 题 的 解 题 策

2、略 1、特 殊 优 先 法：优 先 安 排 特 殊 元 素 或 特 殊 位 置;2、相 邻 捆 绑 法：相 邻 元 素 看 作 一 个 整 体 与 其 他 元 素 一 起 排 列，注 意 捆 绑 元 素 的 内 部 排 列；3、不 相 邻 插 空 法：先 考 虑 不 受 限 制 的 元 素 的 排 列，再 将 不 相 邻 的 元 素 插 在 前 面 元 素 排 列 的 空 档 中；4、定 序 倍 除 法：全 部 排 列 后，除 以 有 顺 序 要 求 的 排 列；5、定 序 排 他 法：有 顺 序 要 求 部 分 只 有 一 种 排 法，只 要 把 剩 下 部 分 排 列 即 可；6、间 接

3、法：正 面 分 类 太 多 从 反 面 入 手；7、直 接 法：分 排 问 题 直 排 处 理；8、重 排 求 幕 法：可 以 重 复 的 排 列 问 题 实 际 以 元 素 为 研 究 对 象，元 素 不 受 位 置 限 制，可 以 逐 一 安 排 各 个 元 素；9、多 排 问 题 直 排 法：元 素 分 为 多 排 的 排 列 问 题，可 以 看 出 一 排 问 题，再 分 段 研 究；10、分 组 分 配(1)解 题 思 路：先 分 组 后 分 配，分 组 是 组 合 问 题，分 配 是 排 列 问 题；(2)分 组 方 法：完 全 均 匀 分 组，分 组 后 除 以 组 数 的 阶

4、乘；部 分 均 匀 分 组，有 阳 组 元 素 个 数 相 同，则 分 组 后 除 以?！；完 全 非 均 匀 分 组，只 要 分 组 即 可；(3)分 配：相 同 元 素 的 分 配 问 题，常 用 挡 板 法；不 同 元 素 的 分 配 问 题，分 步 乘 法 计 数 原 理，先 分 组 后 分 配；有 限 制 条 件 的 分 配 问 题，采 用 分 类 求 解；11、相 同 元 素 隔 板 法：将 个 相 同 的 元 素 分 成，”份，每 份 至 少 一 个 元 素，可 以 用 m-1块 隔 板 插 入 个 元 素 排 成 一 排 的-1个 空 隙 中,所 有 分 法 数 为 第：二、求

5、 二 项 展 开 式 的 特 定 项 的 常 用 方 法 1、对 于 常 数 项，隐 含 条 件 是 字 母 的 指 数 为 0(即 0次 项)；2、对 于 有 理 项，一 般 是 先 写 出 通 项 公 式，其 所 有 的 字 母 的 指 数 恰 好 都 是 整 数 的 项.解 这 类 问 题 必 须 合 并 通 项 公 式 中 同 一 字 母 的 指 数，根 据 具 体 要 求，令 其 属 于 整 数 集，再 根 据 数 的 整 除 性 来 求 解；3、对 于 二 项 展 开 式 中 的 整 式 项，其 通 项 公 式 中 同 一 字 母 的 指 数 应 是 非 负 整 数，求 解 方 式

6、 与 求 有 理 项 一 致.热 点 题 型 解 读/I题 型 1 两 种 计 数 原 理 题 型 2 涂 色 问 题 题 型 3 排 序 问 题 题 型 4 排 数 问 题 题 型 5 分 组 分 配 问 题 题 型 6 最 短 路 径 问 题 题 型 7 二 项 展 开 式 的 特 定 项 求 解 题 型 8 二 项 式 系 数 与 项 的 系 数 最 值 题 型 9 系 数 和 问 题 题 型 1 0 杨 辉 三 角 形【题 型 1 两 种 计 数 原 理】例 1（2023江 苏 连 云 港 统 考 模 拟 预 测）现 要 从 A,B,C,D,E 这 5 人 中 选 出 4 人，安 排

7、在 甲、乙、丙、丁 4 个 岗 位 上，如 果 A 不 能 安 排 在 甲 岗 位 上，则 安 排 的 方 法 有（）A.56 种 B.64 种 C.72 种 D.96 种【变 式 1-11（2023.福 建 漳 州 统 考 二 模）2022年 1 0月 2 2日，中 国 共 产 党 第 二 十 次 全 国 代 表 大 会 胜 利 闭 幕.某 班 举 行 了 以“礼 赞 二 十 大、奋 进 新 征 程”为 主 题 的 联 欢 晚 会，原 定 的 5 个 学 生 节 目 已 排 成 节 目 单，开 演 前 又 临 时 增 加 了 两 个 教 师 节 目，如 果 将 这 两 个 教 师 节 目 插

8、 入 到 原 节 目 单 中，则 这 两 个 教 师 节 目 相 邻 的 概 率 为（）【变 式 1-2（2023.甘 肃 兰 州 校 考 模 拟 预 测）某 单 位 拟 安 排 6 位 员 工 在 今 年 6 月 9 日 至 1 1日 值 班，每 天 安 排 2 人，每 人 值 班 1天.若 6 位 员 工 中 的 甲 不 值 9 日，乙 不 值 II B,则 不 同 的 安 排 方 法 共 有（）A.30 种 B.36 种 C.42 种 D.48 种【变 式 1-3】（2022秋 江 西 南 昌 高 三 校 联 考 阶 段 练 习）2022年 9 月 5 日，四 川 甘 孜 州 泸 定 县

9、 发 生 6.8级 地 震，某 医 院 决 定 派 遣 5 名 医 生 前 往 3 个 区 域 参 与 救 援,其 中 男 医 生 3 名，女 医 生 2名.要 求 每 个 区 域 至 少 要 有 1名 男 医 生，则 不 同 的 派 遣 法 有（）A.18 B.36 C.54 D.72【变 式 1-4（2023山 东 荷 泽 统 考 一 模）为 了 迎 接“第 3 2届 荷 泽 国 际 牡 丹 文 化 旅 游 节”，某 宣 传 团 体 的 六 名 工 作 人 员 需 要 制 作 宣 传 海 报，每 人 承 担 一 项 工 作，现 需 要 一 名 总 负 责，两 名 美 工，三 名 文 案，但

10、 甲，乙 不 参 与 美 工，丙 不 能 书 写 文 案，则 不 同 的 分 工 方 法 种 数 为（）A.9 种 B.U 种 C.1 5 种 D.3 0 种【题 型 2 涂 色 问 题】例 2（2023.内 蒙 古 校 联 考 模 拟 预 测）如 图，这 是 第 24届 国 际 数 学 家 大 会 会 标 的 大 致 图 案，它 是 以 我 国 古 代 数 学 家 赵 爽 的 弦 图 为 基 础 设 计 的.现 给 这 5 个 区 域 涂 色，要 求 相 邻 的 区 域 不 能 涂 同 一 种 颜 色，且 每 个 区 域 只 涂 一 种 颜 色.若 有 5种 颜 色 可 供 选 择，则 恰

11、用 4 种 颜 色 的 概 率 是（）c 1D-7【变 式 2-11 2022秋 四 川 成 都 高 三 成 都 七 中 校 考 阶 段 练 习 废 汝 口 下 编 号 为 1 2,3,4 的 格 子 涂 色，有 红，黑，白，灰 四 种 颜 色 可 供 选 择，要 求 相 邻 格 子 不 同 色,则 在 1号 格 子 涂 灰 色 的 条 件 下，4 号 格 子 也 涂 灰 色 的 概 率 是（）4231【变 式 2-2（2023山 西 临 汾 统 考 一 模）如 图，现 要 对 某 公 园 的 4 个 区 域 进 行 绿 化，有 5种 不 同 颜 色 的 花 卉 可 供 选 择,要 求 有 公

12、 共 边 的 两 个 区 域 不 能 用 同 一 种 颜 色 的 花 卉，共 有 种 不 同 的 绿 化 方 案（用 数 字 作 答）.【变 式 2-3（2023全 国 高 三 专 题 练 习）七 巧 板 是 古 代 劳 动 人 民 智 慧 的 结 晶.如 图 是 某 同 学 用 木 板 制 作 的 七 巧 板，它 包 括 5个 等 腰 直 角 三 角 形、一 个 正 方 形 和 一 个平 行 四 边 形.若 用 四 种 颜 色 给 各 板 块 涂 色，要 求 正 方 形 板 块 单 独 一 色，其 余 板 块 两 块 一 种 颜 色，而 且 有 公 共 边 的 板 块 不 同 色，则 不 同

13、 的 涂 色 方 案 有 _ 种.【变 式 2-4（2023高 三 课 时 练 习）现 有 五 种 不 同 的 颜 色，要 给 四 棱 锥 P-ABCD的 五 个 顶 点 涂 色，要 求 同 一 条 棱 上 的 两 个 顶 点 所 涂 颜 色 不 能 相 同，一 共 有 种 涂 色 方 法.【题 型 3 排 序 问 题】【例 3】（2023广 东 广 州 统 考 二 模）现 有 甲、乙、丙、丁 在 内 的 6 名 同 学 在 比 赛 后 合 影 留 念，若 甲、乙 二 人 必 须 相 邻，且 丙、丁 二 人 不 能 相 邻，则 符 合 要 求 的 排 列 方 法 共 有 _种.（用 数 字 作

14、 答）【变 式 3-1（2023秋 宁 夏 石 嘴 山 高 三 石 嘴 山 市 第 三 中 学 校 考 期 末）五 声 音 阶 是 中 国 古 乐 基 本 音 阶，故 有 成 语“五 音 不 全”，中 国 古 乐 中 的 五 声 音 阶 依 次 为：宫、商、角、徵、羽，把 这 五 个 音 阶 排 成 一 列，形 成 一 个 的 音 序，若 徵、羽 两 音 阶 相 邻 且 在 宫 音 阶 之 后，则 可 排 成 不 同 的 音 序 的 种 数 为.（用 数 字 作 答）.【变 式 3-2国 龙 外 校 第 一 届 班 主 任 节 上，有 3 名 高 二 学 生 给 3 位 高 二 优 秀 班 主

15、 任 献 花，献 花 后 师 生 共 同 合 影，要 求 6 人 站 在 一 排 如 果 要 求 老 师 与 学 生 相 间 站，那 么 站 法 有（）A.36 种 B.72 种 C.108 种 D.144 种【变 式 3-3（2023秋 广 东 揭 阳 高 三 统 考 期 末）已 知 甲、乙 两 个 家 庭 排 成 一 列 测 核 酸，甲 家 庭 是 一 对 夫 妻 带 1个 小 孩，乙 家 庭 是 一 对 夫 妻 带 2 个 小 孩.现 要 求 2位 父 亲 位 于 队 伍 的 两 端,3个 小 孩 要 排 在 一 起，则 不 同 的 排 队 方 式 的 种 数 为（）A.288 B.14

16、4 C.72 D.36【变 式 3-4（2023春 山 西 晋 城 高 三 校 考 阶 段 练 习）某 文 艺 演 出 团 从 包 括 甲、乙、丙 在 内 的 7名 演 员 中 选 派 4 名 参 加 演 出，要 求 甲、乙、丙 这 3名 演 员 中 至 少 有 1人 参 加，且 当 这 3名 演 员 都 参 加 时，甲 和 乙 的 演 出 顺 序 不 能 相 邻，丙 必 须 排 在 前 两 位，则 所 选 派 的 这 4 名 演 员 不 同 的 演 出 顺 序 有（）A.680 种 B.720 种 C.744 种 D.768 种【题 型 4 排 数 问 题】例 4（2022秋 江 苏 盐 城

17、 高 三 盐 城 中 学 校 考 阶 段 练 习）用 1,2,3,4,5 五 个 数 字 组 成 五 位 数，则 数 字 2和 4 不 相 邻 的 概 率 是（）【变 式 4-1（2023广 东 汕 头 高 三 校 考 阶 段 练 习）如 果 一 个 四 位 数 的 各 位 数 字 互 不 相 同，且 各 位 数 字 之 和 等 于 10,则 称 此 四 位 数 为“完 美 四 位 数（如 1036）,则 由 数 字 0,1,2,3,4,5,6,7 构 成 的“完 美 四 位 数”中，奇 数 的 个 数 为 一.【变 式 4-2（2023春 山 西 忻 州 高 三 校 联 考 开 学 考 试）

18、从 1,2,3,0 这 四 个 数 中 取 三 个 组 成 没 有 重 复 数 字 的 三 位 数，则 这 些 三 位 数 的 和 为.【变 式 4-3（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）用 0,1,2,3,4 这 5个 数 字，可 以 组 成 多 少 个 满 足 下 列 条 件 的 没 有 重 复 数 字 五 位 数？（1）偶 数：（2）左 起 第 二、四 位 是 奇 数 的 偶 数；（3）比 21034大 的 偶 数.【变 式 4-4（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）由 数 字 123,4,5组 成 无 重 复 数 字 的 五 位 数.（1）一 共 可 以 组 成 多 少

19、 个 五 位 偶 数?（2）在 组 成 的 所 有 五 位 数 中，比 32145大 的 五 位 数 有 几 个?【题 型 5 分 组 分 配 问 题】【例 5】（2023.陕 西 铜 川.校 考 一 模）将 4 名 新 招 聘 的 工 人 分 配 到 A,B 两 个 生 产 车 间，每 个 车 间 至 少 安 排 1名 工 人，则 不 同 安 排 方 案 有（）A.36 种 B.14 种 C.22 种 D.8 种【变 式 5-1（2023春 江 苏 南 京 高 三 南 京 市 宁 海 中 学 校 考 阶 段 练 习）将 5 名 学 生 志 愿 者 分 配 到 成 语 大 赛、诗 词 大 会、

20、青 春 歌 会、爱 心 义 卖 4 个 项 目 参 加 志 愿 活 动，每 名 志 愿 者 只 分 配 到 1个 项 目，每 个 项 目 至 少 分 配 1名 志 愿 者，则 不 同 的 分 配 方 案 共 有（）A.60 种 B.120 种 C.240 种 D.480 种【变 式 5-21 2023重 庆 统 考 一 模 2022年 8月 某 市 组 织 应 急 处 置 山 火 救 援 行 动，现 从 组 织 好 的 5 支 志 愿 团 队 中 任 选 1支 救 援 物 资 接 收 点 服 务，另 外 4 支 志 愿 团 队 分 配 给“传 送 物 资、砍 隔 离 带、收 捡 垃 圾”三 个

21、 不 同 项 目,每 支 志 愿 团 队 只 能 分 配 到 1个 项 目 且 每 个 项 目 至 少 分 配 1个 志 愿 团 队 则 不 同 的 分 配 方 案 种 数 为（）A.36 B.81 C.120 D.180【变 式 5-3（2023秋 福 建 厦 门 高 三 厦 门 外 国 语 学 校 校 考 期 末）长 郡 中 学 体 育 节 中，羽 毛 球 单 打 12强 中 有 3 个 种 子 选 手，将 这 12人 任 意 分 成 3 个 组（每 组 4个 人），则 3 个 种 子 选 手 恰 好 被 分 在 同 一 组 的 概 率 为（）【变 式 5-41 2022秋 吉 林 长 春

22、 高 三 长 春 外 国 语 学 校 校 考 期 末 改 今 年 8月 开 始，南 充 高 中 教 师 踊 跃 报 名 志 愿 者 参 加 各 街 道 办、小 区、学 校 的 防 疫 工 作，彰 显 师 者 先 行、师 德 担 当 的 精 神，防 疫 工 作 包 含 扫 描 健 康 码、取 咽 拭 子、后 勤 协 调 三 项 工 作，现 从 6 名 教 师 自 愿 者 中，选 派 4 人 担 任 扫 描 健 康 码、取 咽 拭 子、后 勤 协 调 工 作，要 求 每 项 工 作 都 有 志 愿 者 参 加，不 同 的 选 派 方 法 共 有（）种 A.90 B.270 C.540 D.1080

23、【变 式 5-5（2023.全 国 高 三 专 题 练 习）某 校 安 排 5 名 同 学 去 A,8,C,。四 个 爱 国 主 义 教 育 基 地 学 习，每 人 去 一 个 基 地，每 个 基 地 至 少 安 排 一 人，则 甲 同 学 被 安 排 到 A 基 地 的 排 法 总 数 为.【题 型 6 最 短 路 径 问 题】例 6（山 东 省 泰 安 肥 城 市 2021-2022学 年 高 二 下 学 期 期 中 考 试 数 学 试 题）某 小 区 的 道 路 网 如 图 所 示，则 由 A 到 C 的 最 短 路 径 中，经 过 B 的 走 法 有（）A.6 种 B.8种 C.9 种

24、 D.10 种【变 式 6-1（黑 龙 江 省 哈 尔 滨 市 第 三 中 学 校 2021-2022学 年 高 一 上 学 期 入 学 考 试 数 学 试 题）一 只 小 虫 子 欲 从 A 点 不 重 复 经 过 图 中 的 点 或 者 线 段，而 最 终 到 达 目 的 地 E,这 只 小 虫 子 的 不 同 走 法 共 有（）EA.12 种 B.13 种 C.14 种 D.15 种【变 式 6-2（2022秋 广 东 惠 州 高 三 校 考 期 末）如 图，某 城 市 的 街 区 由 12个 全 等 的 矩 形 组 成（实 线 表 示 马 路），段 马 路 由 于 正 在 维 修，暂

25、时 不 通，则 从 A到 B 的 最 短 路 径 有（）R【变 式 6-3（上 海 市 南 洋 模 范 中 学 2022-2023学 年 高 二 上 学 期 期 末 数 学 试 题）有 一 道 路 网 如 图 所 示，通 过 这 一 路 网 从 A点 出 发 不 经 过 G D 点 到 达 B 点 的 最 短 路 径 有 _种.【变 式 6-41 2022全 国 高 三 专 题 练 习 方 形 是 中 国 古 代 城 市 建 筑 最 基 本 的 形 态,它 体 现 的 是 中 国 文 化 中 以 纲 常 伦 理 为 代 表 的 社 会 生 活 规 则，中 国 古 代 的 建 筑 家 善 于 使

26、 用 木 制 品 和 竹 制 品 制 作 各 种 方 形 建 筑.如 图，用 大 小 相 同 的 竹 棍 构 造 一 个 大 正 方 体（由 8个 大 小 相 同 的 小 正 方 体 构 成），若 一 只 蚂 蚁 从 A点 出 发，沿 着 竹 棍 到 达 B点，则 蚂 蚁 选 择 的 不 同 的 最 短 路 径 共 有（)A.48 种 B.60 种 C.72 种 D.90 种【变 式 6-5（上 海 市 向 明 中 学 2021-2022学 年 高 二 下 学 期 期 末 数 学 试 题）如 图,在 某 城 市 中，/，N 两 地 之 间 有 整 齐 的 6x6方 格 形 道 路 网，其 中

27、A 是 道 路 网 中 的 一 点.今 在 道 路 网 处 的 甲、乙 两 人 分 别 要 到 N,处，其 中 甲 每 步 只 能 向 右 走 或 者 向 上 走，乙 每 步 只 能 向 下 或 者 向 左 走.（1）求 甲 从 到 达 N 处 的 走 法 总 数；（2）求 甲 乙 两 人 在 A 相 遇 的 方 法 数.【题 型 7 二 项 展 开 式 的 特 定 项 求 解】例 7（2023重 庆 渝 中 高 三 重 庆 巴 蜀 中 学 校 考 阶 段 练 习）在 二 项 式 e j 的 展 开 式 中，常 数 项 为.【变 式 7-11（2023春 北 京 高 三 校 考 阶 段 练 习

28、）在 卜 的 展 开 式 中，第 四 项 为（）A.160 B.-160 C.160 x3 D.-160 x3【变 式 7-2】（2022秋.河 北 唐 山.高 三 开 滦 第 二 中 学 校 考 阶 段 练 习）一：-11的 展 开 式 中 的 常 数 项 为（）A.-11 B.50 C.-61 D.61【变 式 7-3（2023秋 浙 江 湖 州 高 三 安 吉 县 高 级 中 学 校 考 期 末）（x+y）。-的 展 开 式 中 W 的 系 数 是 _.【变 式 7-4】（2023湖 北 校 联 考 模 拟 预 测）在（x+（1+以 展 开 式 中，含 x y 的 项 的 系 数 是 _

29、.（用 数 字 作 答）【变 式 7-5（2023秋 河 南 驻 马 店 高 三 统 考 期 末）若 x1+（x 2）1=a0+a,（x l）+a2（x 1）+9（x 1）?+00（%1）1 0,贝!%=.【题 型 8 二 项 式 系 数 与 项 的 系 数 最 值】【例 8】（2023秋 浙 江 宁 波 高 三 期 末）若 二 项 式（l+2x）（eN，）的 展 开 式 中 第 6项 与 第 7 项 的 系 数 相 等，则 此 展 开 式 中 二 项 式 系 数 最 大 的 项 是（）A.448/B.11201 C.1792/D.1792x6【变 式 8-1（2023春 河 南 新 乡 高

30、三 校 联 考 开 学 考 试）若 二 项 式 J x-%）（e N*）的 展 开 式 中 只 有 第 5 项 的 二 项 式 系 数 最 大，则 展 开 式 中 炉 项 的 系 数 为（）A.-1120 B.-1792 C.1792 D,1120【变 式 8-2（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）已 知 五+引 的 展 开 式 中，第 3 项 的 系 数 与 倒 数 第 3 项 的 系 数 之 比 为 A,则 展 开 式 中 二 项 式 系 数 最 大 的 项 为 第（）项.A.3 B.4 C.5 D.6【变 式 8-3（2022全 国 高 三 专 题 练 习）设（1+力”=a+ax

31、-F anxn,若 at+a2+-+an=63,则 展 开 式 中 系 数 最 大 的 项 是（）A.15F B.20 x3 C.2 lx3 D.35?【变 式 8-4(2023 全 国 高 三 专 题 练 习)定 义 函 数/(x，)=(l+x)(eN),若“i,)=32i(i为 虚 数 单 位)，则+志 的 展 开 式 中 系 数 最 大 项 为().325 2 D 105 y,u 6 f.45 YA.x B.x3 C.15x6 D.x34 8 4【题 型 9 系 数 和 问 题】【例 9】(2023,全 国 高 三 专 题 练 习)(2x+/3)3=a()+atx+a2x2+a3x3,则

32、 3+a2)(ai+)-的 值 为()A.-1 B.1 C.0 D,2【变 式 9-1（2022秋 江 苏 常 州 高 三 校 考 阶 段 练 习）（多 选）已 知（2-x）8=an+a1x+a2x2+gx8,贝（）A.0=28 B,a,+a2+%=1C.k|+|w|+|4|+|aj=3 D.q+2a2+3%+84=8【变 式 9-2】（2023云 南 昆 明 昆 明 一 中 校 考 模 拟 预 测）（多 选）设（X?+1）（3xI）1 4=4+4（x+2）+a,（x+2）-+qo（x+2）”,贝 J（）A.4=iB.（,+a,+a2+%+al0=217C.at+a2 ag+ain-10JD.

33、（a0+a,+io）（ai+a3+av）=217 xlO9【变 式 9-3（2023秋 湖 南 长 沙 高 三 校 考 阶 段 练 习）若（2x-l）=00+01（%-1）+41,（%-1）2+a|0（x-l）”,xeR,则 4+“2+%=.【变 式 9-4(2023 甘 肃 兰 州 校 考 一 模)若(1)4=%+平+2*2+4 1+廿 4,贝 I%+%+。4的 值 为【题 型 1 0 杨 辉 三 角 形】【例 101(2022.全 国 高 三 专 题 练 习)“杨 辉 三 角”是 中 国 古 代 数 学 文 化 的 瑰 宝 之-，最 早 出 现 在 中 国 南 宋 数 学 家 杨 辉 于

34、1261年 所 著 的 解 析 九 章 算 法 一 书 中，欧 洲 数 学 家 帕 斯 卡 在 1654年 才 发 现 这 一 规 律,比 杨 辉 要 晚 近 四 百 年，“杨 辉 三 角”在 数 学 史 上 具 有 重 要 的 地 位.若 将 杨 辉 三 角 中 的 每 一 个 数 C：都 换 成 由%，就 得 到 一 个 如 下 表 所 示 的 分 数 三 角 形，称 为 莱 布 尼 茨 三 角 形.莱 布 尼 茨 三 角 形 同“杨 辉 三 角”一 样，具 有 很 多 优 美 的 性 质，比 如 从 第 0行 开 始 每 一 个 数 均 等 于 其“脚 下”两 个 数 之 和 等.现 有

35、 关 于 莱 布 尼 茨 三 角 形 性 质 的 4个 描 述，则 其 中 正 确 个 数 为()毒。行(忙(/i)u 当 是 偶 数 时，中 间 的 一 项 取 得 最 小 值；当 是 奇 数 时，中 间 的 两 项 相 等，且 同 时 取 得 最 小 值；1 1 _i_(+i)C(+i)C 五；(3)-k=-(r e N,0 r n)7-+-=-r e N,1 r n)A.1个 B.2 个 C.3个 D.4 个【变 式 10-1（2023春 山 西 晋 城 高 三 校 考 阶 段 练 习）我 国 南 宋 数 学 家 杨 辉 在 他 所 著 的 解 析 九 章 算 法 中 提 出 了 如 图

36、 所 示 的 三 角 形 数 表，这 就 是 著 名 的“杨 辉 三 角“，它 是 二 项 式 系 数 在 三 角 形 中 的 一 种 几 何 排 列.从 第 1行 开 始，第 行 从 左 至 右 的 数 字 之 和 记 为 一 如：4=1+1=2,/=1+2+1=4,也 为 各 项 非 零 的 等 差 数 列，其 前 项 和 为 S“，且 S 2“_产 她 用，则 数 列 图 的 前 项 和 K第 1行 1 1第 2行 1 2 1第 3行 1 3 3 1第 4行 1 4 6 4 1第 5行 1 5 10 10 5 1【变 式 10-2】（2022全 国 高 三 专 题 练 习）杨 辉 三 角

37、 在 我 国 南 宋 数 学 家 杨 辉 1261年 所 著 的 解 析 九 章 算 法 一 书 中 被 记 载.它 的 开 头 几 行 如 图 所 示，它 包 含 了 很 多 有 趣 的 组 合 数 性 质，如 果 将 杨 辉 三 角 从 第 1行 开 始 的 每 一 个 数 C；都 换 成 分 数 篇 无：彳 导 到 的 三 角 形 称 为“莱 布 尼 茨 三 角 形”，莱 布 尼 茨 由 它 得 到 了 很 多 定 理，甚 至 影 响 到 了 微 积 分 的 创 立，请 问“莱 布 尼 茨 三 角 形 第 10行 第 5 个 数 是 杨 辉 三 角 莱 布 尼 茨 三 角 形 第 0行

38、1 1 第 0行 第 1行 1 1 j j 第 1行 第 2行 1 2 1 j 1|第 2行 第 3行 1 3 3 1 12 12 第 3行 第 行 1 比 1【变 式 10-3】（2022.全 国 高 三 专 题 练 习）如 图，在 杨 辉 三 角 形 中，斜 线/的 上 方从 1按 箭 头 所 示 方 向 可 以 构 成 一 个“锯 齿 形”的 数 列：L3,3,4,6,5,10,，记 此 数 列 的 前”页 之 和 为 5“，则 5发 的 值 为.【变 式 10-4】（2022.全 国 高 三 专 题 练 习 尸 杨 辉 三 角”是 我 国 数 学 史 上 的 一 个 伟 大 成 就，是

39、 二 项 式 系 数 在 三 角 形 中 的 一 种 几 何 排 列.如 图 所 示，第（”,22）行 的 数 字 之 和 为,去 除 所 有 1的 项，依 次 构 成 数 列 2,3,3,4,6,4,5,10,10,5,，则 此 数 列 的 前 28项 和 为（建 议 用 时：60分 钟）1.（2023秋 江 苏 高 三 统 考 期 末）把 5 个 相 同 的 小 球 分 给 3 个 小 朋 友，使 每 个 小 朋 友 都 能 分 到 小 球 的 分 法 有（）A.4 种 B.6 种 C.21 种 D.35 种 2.（2023全 国.模 拟 预 测）导 师 制 是 高 中 新 的 教 学 探

40、 索 制 度，班 级 科 任 教 师 作 为 导 师 既 面 向 全 体 授 课 对 象，又 对 指 定 的 若 干 学 生 的 个 性、人 格 发 展 和 全 面 素 质 提高 负 责.已 知 有 3 位 科 任 教 师 负 责 某 学 习 小 组 的 6 名 同 学，每 2 名 同 学 由 1位 科 任 教 师 负 责，则 不 同 的 分 配 方 法 的 种 数 为（）A.90 B.15 C.60 D.1803.（2023全 国 模 拟 预 测）1至 1 0中 的 质 数 能 够 组 成 的 所 有 没 有 重 复 数 字 的 整 数 的 个 数 为（）A.4 B.12 C.24 D.64

41、4.（2023秋 河 北 衡 水 高 三 河 北 衡 水 中 学 校 考 期 末）若 六 位 老 师 前 去 某 三 位 学 生 家 中 辅 导，每 一 位 学 生 至 少 有 一 位 老 师 辅 导，每 一 位 老 师 都 要 前 去 辅 导 且 仅 能 辅 导 一 位 同 学，由 于 就 近 考 虑，甲 老 师 不 去 辅 导 同 学 1,则 有（）种 安 排 方 法 A.335 B.100 C.360 D.3405.（2023春 广 东 高 三 统 考 开 学 考 试）某 学 校 为 了 丰 富 同 学 们 的 寒 假 生 活，寒 假 期 间 给 同 学 们 安 排 了 6 场 线 上

42、讲 座，其 中 讲 座 A只 能 安 排 在 第 一 或 最 后 一 场，讲 座 8 和 C必 须 相 邻，问 不 同 的 安 排 方 法 共 有（）A.34 种 B.56 种 C.96 种 D.144 种 6.（2023春 湖 北 高 三 统 考 阶 段 练 习）六 名 同 学 排 成 一 排 照 相，则 其 中 甲、乙、丙 三 人 两 两 不 相 邻，且 甲 和 丁 相 邻 的 概 率 为（）A 2 B C-D,八,5-5 J 15 U,107.（2023.全 国.模 拟 预 测）某 大 学 生 在 刚 开 学 时 制 订 了 一 个 季 度 的 读 书 计 划：从 4 本 不 同 的 哲

43、 学 书 和 6 本 不 同 的 心 理 学 书 中 选 4 本 阅 读，且 至 少 要 选 1本 哲 学 书 和 1本 心 理 学 书.则 该 大 学 生 这 个 季 度 不 同 的 选 书 方 法 有（）A.672 种 B.210 种 C.194 种 D.336 种 8.（2023全 国 高 三 专 题 练 习）如 图 是 某 届 国 际 数 学 家 大 会 的 会 标，现 在 有 4 种 颜 色 给 其 中 5 个 小 区 域 涂 色，规 定 每 个 区 域 只 涂 一 种 颜 色 相 邻 区 域 颜 色 不 相 同，则 不 同 的 涂 色 方 案 种 数 为（）A.72 B.48 C.

44、36 D.249.（2023.山 东 潍 坊.统 考 一 模）过 去 的 一 年，我 国 载 人 航 天 事 业 突 飞 猛 进，其 中 航 天 员 选 拔 是 载 人 航 天 事 业 发 展 中 的 重 要 一 环.已 知 航 天 员 选 拔 时 要 接 受 特 殊 环 境 的 耐 受 性 测 试，主 要 包 括 前 庭 功 能、超 重 耐 力、失 重 飞 行、飞 行 跳 伞、着 陆 冲 击 五 项.若 这 五 项 测 试 每 天 进 行 一 项，连 续 5 天 完 成.且 前 庭 功 能 和 失 重 飞 行 须 安 排 在 相 邻 两 天 测 试,超 重 耐 力 和 失 重 飞 行 不 能

45、 安 排 在 相 邻 两 天 测 试，则 选 拔 测 试 的 安 排 方 案 有（）A.24 种 B.36 种 C.48 种 D.60 种 10.（2022.北 京.统 考 模 拟 预 测）若 5 名 女 生 和 2 名 男 生 去 两 地 参 加 志 愿 者 活 动，两 地 均 要 求 既 要 有 女 生 又 要 有 男 生，则 不 同 的 分 配 方 案 有（）种.A.20 B.40 C.60 D.801 1.（2023广 东 深 圳 统 考 一 模）安 排 5 名 大 学 生 到 三 家 企 业 实 习，每 名 大 学 生 只 去 一 家 企 业，每 家 企 业 至 少 安 排 1名 大

46、 学 生，则 大 学 生 甲、乙 到 同 一 家 企 业 实 习 的 概 率 为（）A 15 B-10 C-25 D”92512.（2023.云 南.高 三 云 南 师 大 附 中 校 考 阶 段 练 习）口+?（-展 开 式 中 犷 的 系 数 为（）A.4 B.2 C.-2 D.-413.（2023春 广 西 柳 州 高 三 统 考 阶 段 练 习）已 知（2-x）（2x+1）5=aH+axx+a2x2+a3x3+a4x4+asx5+a6x6，贝 j+4,=（）A.34 B.30 C.-34 D.-301 4.（2023全 国 模 拟 预 测）已 知 二 项 式（x+a）6,a e N*的

47、 展 开 式 中 第 四 项 的 系 数 最 大，则。的 值 为（）A.1 B.2 C.3 D.415.（2023春 天 津 红 桥 高 三 统 考 期 末）街 道 上 有 编 号 1,2,.3,.10的 十 盏 路 灯，为 节 省 用 电 又 能 看 清 路 面，可 以 把 其 中 的 三 盏 路 灯 关 掉，但 不 能 同 时 关 掉 相 邻 的 两 盏 或 三 盏，在 两 端 的 灯 都 不 能 关 掉 的 情 况 下，满 足 条 件 的 关 灯 方 法 有_种.16.（2023.陕 西 榆 林.统 考 一 模）自 然 对 数 的 底 数 e,也 称 为 欧 拉 数，它 是 数 学 中

48、重 要 的 常 数 之 一,和 一 样 是 无 限 不 循 环 小 数，e的 近 似 值 约 为 2.7182818若 用 欧 拉 数 的 前 6 位 数 字 2,7,1,8,2,8设 置 一 个 六 位 数 的 密 码，则 不 同 的 密 码 共 有 _个.17.（2023河 南 长 葛 市 第 一 高 级 中 学 统 考 模 拟 预 测）（1+&（1-五 的 展 开 式 中 元 的 系 数 为 一.18.（2023秋 云 南 德 宏 高 三 统 考 期 末）二 项 式。-：）心+1）的 常 数 项 为 19.（2023秋 天 津 高 三 统 考 期 末）在。五-胃 的 展 开 式 中，常

49、数 项 为.（结 果 用 数 字 表 示）20.（2022.北 京.统 考 模 拟 预 测）已 知（-1）“（3犬+2）3=%+即;+出/+%丁，贝 i ja2+a3+%=参 考 答 案【题 型 1 两 种 计 数 原 理】例 1（2023.江 苏 连 云 港.统 考 模 拟 预 测）现 要 从 A.B,C,D,E 这 5 人 中 选 出 4 人，安 排 在 甲、乙、丙、丁 4 个 岗 位 上，如 果 A 不 能 安 排 在 甲 岗 位 上，则 安 排 的 方 法 有（）A.56 种 B.64 种 C.72 种 D.96 种【答 案】D【解 析】由 题 意 可 知：根 据 A 是 否 入 选

50、进 行 分 类：若 A 入 选：则 先 给 A 从 乙、丙、丁 3 个 岗 位 上 安 排 一 个 岗 位 有 C；=3种，再 给 剩 下 三 个 岗 位 安 排 人 有 A：=4x3x2=24种，共 有 3x24=72种 方 法；若 A 不 入 选：则 4 个 人 4 个 岗 位 全 排 有 A：=4x3x2x1=24种 方 法，所 以 共 有 72+24=96种 不 同 的 安 排 方 法，故 选：D.【变 式 1-1（2023福 建 漳 州 统 考 二 模）2022年 10月 2 2日，中 国 共 产 党 第 二 十 次 全 国 代 表 大 会 胜 利 闭 幕.某 班 举 行 了 以“礼