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1、JLJ.2023.7.9关于一个不等式问题的研究思考讲义1. 问题【原题】已知正数满足，求证：.思考分析：本题是网上流传的一个三元齐次不等式问题，满足线性条件，所求分母次数比分子高，证明采用多种方法。由此展现常见3uv法的强大威力与优美形式。证法1：由均值不等式得点评:两次应用均值不等式，凑出三元和条件，完成证明。证法2：原不等式等价于不妨设则所以点评:应用3uv法统一证明，威力强大，形式优美。因为上述式子几乎全正，不太强，存在两个加强不等式推论，下面给出推论的证明。2. 两个推论与证明推论1.已知正数满足，求证：. 推论2.已知正数满足，求证：.推论1的证明：已知正数满足，求证：.证明：原不
2、等式等价于不妨设则所以.推论2的证明.已知正数满足，求证：.分析：首先我们分析已经证明的不等式，显然这个推理强于原不等式.证明：不妨设则所以.结论：(1).事实上，满足条件:a,b,c0,a+b+c=3,有不等式成立：.证明：不妨设则(2). 推论1与推论2都不最强，事实上，满足a,b,c0,a+b+c=3,仍然存在5个不等式关系链，在这里留给读者思考，给出它们的证明过程。3. 一般性猜想研究【读者可以判定猜想的正误，并试着给予证明】：已知正数满足，求证：.4. 进一步研究拓展:三元齐次不等式可以用3uv法统一证明，假如含有参数，又该怎么办了?基于此，给出一个含参数的不等式拓展题目，在本题中我把3uv法改为矩阵证明形式，更好地展示3uv法证明的优美形式与朴素本质：已知求证：证明：只要证明设事实上，存在恒等式其中容易证明矩阵B的每一行非负，5.练习题已知求证：已知求证：已知求证：已知求证：已知求证：已知求证：已知求证：已知求证：已知求证：学科网（北京）股份有限公司