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1、 高等数学(大一下学期期末考试)院（系）别 班级 学号 姓名成绩大题一小题二 三四五六七1 2 3 4 5 得分一、填空题：（本题共5小题，每小题把答案直接填在题中横线上）4分，满分20分，1、已知向量a、b满足a +b = 0，a = 2，b = 2，则ab = z3z=xln(xy)，则 =2、设 xy23、曲面x2 +y2 +z= 9在点(1, 2, 4)处的切平面方程为 p p p2 的周期函数，它在- , )上的表达式为f (x) =x，则f (x)的傅里叶级数f (x)是周期为4、设x = 3处收敛于px = 处收敛于 ，在 在L为连接与两点的直线段，则(x +y)ds = (1,
2、 0) (0,1)5、设L以下各题在答题纸上作答，答题时必须写出详细的解答过程，并在每张答题纸写上：姓名、学号、班级二、解下列各题：（本题共5小题，每小题7分，满分35分） + =2在点2x 3y2 z 921、求曲线M(1,-1,2)处的切线及法平面方程z = 3x2 +y202z= 2x2 + 2y2及z= 6-x2 -y2所围成的立体体积2、求由曲面3、判定级数 是否收敛？如果是收敛的，是绝对收敛还是条件收敛？ +n 1(-1) lnnnn=1z z4、设z= f (xy,x)+ siny，其中f具有二阶连续偏导数，求2 ,x x yydS积分其中是被平面z=h)h a截出的顶部(0 0
3、)2五、（本题满分10分）xn求幂级数 的收敛域及和函数3 nnn=1六、（本题满分10分）I = 2x3dydz+ 2y3dzdx + 3(z2 -1)dxdy，计算曲面积分SSz=1-x2 -y2(z 0)的上侧其中为曲面七、（本题满分6分）f (0) =a，F(t) = z+ f (x+y+z)dv，其中是由曲面tWz= x2 +y2f (x)为连续函数，设222WtF(t)所围成的闭区域，求 = 2 -x2 -y与z tlim2t3t0+-备注：考试时间为2小时； 请每位考生按卷面答题纸 草稿纸由表及里依序对折上交； 考试结束时，不得带走试卷。 - 。【A卷】高等数学A(下册)期末考试
4、试题参考解答与评分标准 - 1y2-4；3、2x + 4y +z=14； 4、3，0； 5、 . 2一、填空题【每小题4分，共20分】 1、； 2、二、试解下列各题【】每小题7分，共35分dy dz3y +z = -2xdx dxdy5x dz 7x=.【4】= -1、解：方程两边对 求导，得x， 从而 ，dx4ydx 4z dy dzy -z = -3xdx dx( )1,-1,2该曲线在 处的切向量为5 7 1T = (1, , ) = (8,10,7). .【5】4 8 8x -1 = y +1 = z- 2故所求的切线方程为.【6】8107( ) ( ) ( )8 x -1 +10 y
5、 +1 + 7 z- 2 = 0 即 8x +10y + 7z=12.【7】法平面方程为 = +z 2x 2y22 + =D :x2 +y2 2.Wx y2xOy2 ，该立体 在 面上的投影区域为、解：22z= 6-x -y2xy【2】 = 6-r2故所求的体积为V = dvpdq r rddz= 2p 2 r - r r = 6p(6 3 )d222.【7】r20020Wlimnu = limnln(1+ 1) = lim ln(1+ 1) =1 0un ，知级数发散【3】 、解：由nnnnnnnn=1又|u |= ln(1+ 1) ln(1+n +1) =|u |,lim |u |= li
6、m ln(1+ 1) = 0.故所给级数收敛且条件收敛【7】1nn+1nnnnnzx1= + + = + 1 (f y f ) 0 yff， 【3】2、解：12y1y2zxyx)- 1 f + 1x) = + - 1- x f .= + + -f yf x f ( + -f x f (f xyff【7】2211112y2y22y2122y2111y22y3S、解： 的方程为z= a2 x y2，在 面上的投影区域为D- -S xOyx y x y a h=( , ) | + - 22222 xy1+z2 +z2 =a a2 -x2 -y2又，. 【】xy- 。rdrra2 - q 1 2a2-
7、h2dS故adxdya2 -x2 -y2= 2 alnap= 2ln(a2 - r2)p=a dpa2-h2-2a.【7】zh200SDxy0、【9分】解：设 为该椭圆上的任一点，则点M到原点的距离为d = x2 +y2 +z2 【1】M (x,y,z)三lm令L(x,y,z) =x2 +y 2 +z2 + (z-x2 -y 2) + (x +y +z-1)， l mL = 2x - 2 x + = 0xl mL = 2y - 2 y + = 0-1 3yl mL = 2z+ + = 0，解得x =y =z= 2 3， 于是得到两个可能极值点 则由2zz=x2 +y2x +y +z=1-1+
8、3 , -1+ 3 ,2 - 3), M (-1- 3 , -1- 3 ,2 + 3). 【7】M (122222又由题意知，距离的最大值和最小值一定存在，所以距离的最大值与最小值分别在这两点处取得 d =|OM |= 9+ 5 3, d =|OM |= 9-5 3. 【9】故max2min1四、L【10分】解：记 与直线段OA所围成的闭区域为D，则由格林公式，得 pL+ OAsI =(ex siny -m)dx + (ex cosy -mx)dy = -m d = - 8ma2 【5】2D而I = (ex siny -m)dx + (ex cosy -mx)dy = -m adx = -ma
9、 【8】1OA0p(ex siny -m)dx + (ex cosy -mx)dy =I -I =ma -ma .2 【10】821Ln3n( )n +1 3n+1= 1 R = 3，收敛区间为 (-3,3) 【2】= lim an= limnr五、【10分】解：n+1a3n( ) -11n又当x = 3时，级数成为 ，发散；当 时，级数成为x = -3，收敛 【4】nnn=1n=1)故该幂级数的收敛域为 -3,3 【5】( ) xn令s x =3 x 3- （ ），则 n3nn=1- 。 x-1=(x)n-13 3= 1 11n 1s(x) =31-x / 3 = 3-x|x | 3, (
10、) 【8】3nn=1n=1s (x)dx = ( )( )dx0 3-x= = -ln 3 x- = -3 3s(x)于是ln3 ln 3 xxxxx，（ ）.00【10】S【10分】解：取 为z= 0(x2 +y 1)S SW六、2 的下侧，记 与 所围成的空间闭区域为 ，则由高斯公式，11( ) ( )有I = 2x3dydz+ 2y3dzdx + 3 z -1 dxdy = 6 x +y +zdv . 【5】2222S+SW( )1 1-r2pq r1d dr + r = pz dz 2. 【7】=6 22000( ) ( )pdxdy = 3 . 【9】而I = 2x3dydz+ 2y
11、3dzdx + 3 z -1 dxdy = 3 z -1 dxdy = 3221SS1x2+21y1p p p I =I -I = 2 - 3 = - . 【10】21( )( )= q p j j r cosj +p2sint七、【6分】解：F tddf r r 2dr . 【2】24000( ) p j j j p= 2psin cos d r dr + sin d t f r r 2dr0j jt3240400( )( )t 4=p+ 2- 2 tr 2f r dr02. 【4】8( )t3p+ 2- 2 t 2f (t )F(t)222- 22 - 2ppa. 【6】= lim=lim f (t 2) =故 limt0+t33t 233t0+t0+-