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1、第五章比与比例5.1 比和比例的性质我们知道, 4个非零数a,b, c, d成比例, 即a:b=c:d,也可以写成 ab=cd, 其中a，d 叫做比例外项，b，c叫做比例内项，d叫做a，b，c的第四比例项.如果比例中两个比例内项相等, 即a:b=b:c(或写成 ab=bc) 时，我们把b叫做a和c的比例中项.在 ab=cd的两边同乘以bd，得到ad=bc.这个推理步骤就是：因为 ab=cd, 所以ad=bc.为了简明，可以把这个推理步骤写成： ab=cdad=bc. 符号“”读作“推出”.反过来，在等式ad=bc的两边同除以bd，又得到 ab=cd, 即 ad=bcab=cd. 式合起来表明，
2、ab=cd与ad=bc可以互相推出，它是比例的基本性质.比例的基本性质 ab=cdad=bcbd0, 即比例的两个外项的乘积等于两个内项的乘积.符号“”读作“等价于”，表示从左端可以推出右端，并且从右端也可以推出左端.推论 ab=bcb2=ac.根据比例的性质定理，一个比例可以得出多种不同的比例变形.例如， ab=cdad=bcbc=adba=dc.由于 ad=bc可以写成bc=ad, ad=cb, cb=da等多种形式,所以由ab=cd又可以得出 ba=dc,ac=bd,cd=ab等多种不同的形式. 也就是说，比例的两个内项可以交换位置，两个外项也可以交换位置，比例的这个性质叫做更比定理.下
3、面，我们再学习比例的两个重要性质：合比定理 ab=cdabb=cdd.【证明】 ab=cdab1=cd1abb=cdd.等比定理 ab=cd=mnb+d+n0a+c+mb+d+n=ab.【证明】 设 ab=cd=mn=k, 那么a=bk, c=dk, , m=nk. a+c+mb+d+n=bk+dk+nkb+d+n=b+d+nkb+d+n=k=ab.【注】 像这样设k 的方法是解决比例问题的一种常用方法.【例1】 (1) 已知 abb=38, 求证： ab=118.(2) 已知 ab=cdbd0, 求证：a+cac=b+dbd.【证明】(1) 因为 abb=38, 则 ab+bb=3+88,
4、所以 ab=118.(2) 因为 ab=cdbd0, 则 a+cb+d=ab,acbd=ab, 所以 a+cb+d=acbd, 即 a+cac=b+dbd.【例2】 已知 ab=cd=ef=3,b+d+f=4,求a+c+e的值.【解】 因为 ab=cd=ef=3, 则 a+c+eb+d+f=3, 所以a+c+e=3(b+d+f)=34=12.习题 5.11.已知 ad=cd=ef=2, 则 2ac+3e2bd+3f=A.1 B.2 C.12 D.132.已知 x+yz=y+zx=z+xy, 则 x+yy+zz+xxyz=A.1 B.8 C.-1 D.-1或83. 已知 a:b:c=2:3:4,
5、 且2a+b-c=6, 则a-b+2c= .4.已知 a+bc2=c+ab3=b+ca4, 则 2a :3b:4c= .5. 已知(x+y):4=y:3,求(x-2xy+3y):(x+y)的值.6. 根据下列各式，求a：b的值： 1a+bb=38; 2aba=57.7. 已知 ad=bc(a2b, c2d),求证: a+2ba2b=c+2dc2d.8. 已知线段 a=1,b=512,c=352, 求证：线段 b是a和c的比例中项.5.2 比和比例的应用在图5.2-1中,如果a,b, c, d,e, f 这组平行线在直线 AD上截得五条相等的线段，那么这组平行线在直线 AD上截得的五条线段也相等
6、吗? 请你给出证明.提示: 过点 A做AEAB, 交直线b于点E;过点B做BFAB，交直线 c于点 F. 由平行四边形和全等三角形的性质可证明 AB=BC.同理可得 ABAD=ABAD.因为 ABBD=14,ABBD=14, 所以 ABBD=ABBD.下面我们来看 a，b，f在AD，AD这两条直线上截得的四条线段 AB, BD, AB, BD是否成比例.平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.【例1】 如图 5.2-2,在ABC中, 已知DEBC, 分别交AB, AC于点D,E,求证: ADBD=AEEC,ADAB=AEAC.【证明】 过点 A作直线 PQ/DE,
7、则 PQ/DE/BC.所以 ADBD=AEEC (平行线分线段成比例定理).同理可得 ADAB=AEAC. 由例1，得到推论 平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得对应线段成比例.【例2】 已知在ABC中,AD是角平分线,求证:BDDC=ABAC.【证明】 如图5.2-3,过点 C作CE/DA,交BA的延长线于点 E.由例2，得到三角形内角平分线性质定理 三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例.我们已经学习了相似三角形的一些性质：相似三角形对应边成比例、对应角相等；相似三角形对应角平分线、对应中线、对应高线的比都等于相似比； 相似三角形周长的比等于相似
8、比，面积的比等于相似比的平方. 可以发现，相似三角形的这些性质都和比例有关.【例3】如图 5.2-4, E, G, F, H分别是矩形ABCD 四条边上的点, EFGH.若AB=2, BC=3, EF=3.3, 求 HG的长.因为 EFHG, BNEF, AMGH,所以BNAM.因此ABR+BAR=90.因为在矩形 ABCD中ABDC, ADBC,所以四边形EBNF和四边形 AMGH都是平行四边形, EF=BN, HG=AM.【解】 过点 B作BNEF交DC 于点N,过点 A作AMHG交BC 于点M, AM, BN相交于点 R.因为在矩形 ABCD中,ABC=C=90,所以ABR+CBN=90
9、, BAR=CBN. 于是ABMBCN, BNAM=BCAB=32.因此 EF :HG=3.3:HG=3:2, 得 HG=2.2.习题5.21.如图,在 RtABC中, ABAC, AB=3,AC=4,P是BC边上一点, PEAB于点 E, PDAC于点D. 设 BP=x, 则 PD+PE= ( ). A.x5+3 B.4x5 C. 72 D.12x512x2252.如图,四边形 ABCD和四边形 ACED都是平行四边形,R为 DE的中点, BR分别交 AC,CD于点 P, Q, 则 BP:PQ:QR等于( ).A.3:2:1 B.2:1:2 C.3:1:2 D.2:1:13.已知在ABC中,
10、AD是角平分线, AB=5cm , AC=4 cm, BC=7cm, 则BD= cm,DC= cm.4.如图，斜拉桥是利用一组钢索，把桥面重力传递到耸立在两侧高塔上的桥梁，它不需要建造桥墩,其中 AB, AB,AB, AB是斜拉桥上互相平行的钢索,且AA=AA=AA.若最长的钢索 AB=80m,最短的钢索 AB=20m,那么钢索AB= m, AB= m.5. 如图, 已知在ABC中,AB=6, BC=8, AC=7, MNAC,分别交 AB, BC于点M, N, 且AM=BN, 求MN的长.6. 如图,在等边ABC中, P为BC上一点, D为AC上一点,且APD=60,BP=1, CD=23,
11、 求ABC的边长.617. 如图,在ABC中,DE垂直平分BC, AB=AD,求证: F是AD的中点.8.如图,在ABC中, BAC=90, AD是高,且BAE=C,求证: BDEC=AEAD.第五章测试题(满分为100分，考试时间45分钟)一、选择题(本题有6小题，每小题6分，共36分)1.若 x2=y3=z40, 则下列各式中正确的是( ). A.x+y5=z4 B.2x=3y C.x+y+z9=1 D.x+43=z+342.下列命题：有一个角等于 30的两个等腰三角形相似；有一个角等于 120的两个等腰三角形相似；相似三角形一定是全等三角形；相似三角形角平分线的比等于周长比.其中正确命题
12、的个数是( )A.4 B.3 C.2 D.13.如图，大正方形中有2个小正方形，如果它们的面积分别是 S，S，那么 S，S的大小关系是( )A. SS B. S=SC. SS D. S, S的大小关系无法确定4.如图，在斜坡的顶部有一铁塔AB，B是CD的中点，CD是水平的，在阳光的照射下，塔影 DE留在坡面上.已知铁塔底座宽 CD=12m，塔影长 DE=18m，小明和小华的身高都是 1.6m . 同一时刻，小明站在点 E处，影子在坡面上，小华站在平地上，影子也在平地上，两人的影长分别为2m 和1m，那么塔高AB为( )A.24m B.22m C.20m D.18 m635.如图,在平行四边形
13、ABCD中, DBC=45, DEBC于点 E, BFCD于点F,DE, BF相交于点 H, BF, AD的延长线相交于点G,有下列结论: DB=2BE;A=BHE;AB=BH;BHDBDG.其中正确的结论是( )A. B. C. D.6.如图,在四边形 ABCD中, B=D=90,MPBC于点P, MQAD于点Q,则 MPAB+MQCD的值为( )A. 78 B. 87 C. 97 D.1二、填空题 (本题有4小题，每小题7分，共28分)7.在一张比例尺为 1：50000 的地图上，一块多边形地区面积是 120cm，这个地区的实际面积是 cm(用科学记数法表示).11.如图,将正方形 ABC
14、D的BC 边延长到E,使 CE=AC, AE与DC边相交于点F，求CE:FC的值.三、解答题 (本题有3小题，每小题12分，共36分)9.已知D, E分别是ABC的AB, AC边上的点,且ADE 与ABC 相似.若AD=8cm , DB=5cm, AC=12cm, 则EC= cm.8.如图, ADBECF, AB:BC=3:4, AD=8, CF=12, 则BE= .12. 如图,在 RtABC中,ABAC, ADBC,E为AC 的中点, ED的延长线与AB 的延长线交于点 F,求证:ABFA=ACFD.13.已知AD是ABC的角平分线, BHAD,垂足为 H, CKAD,垂足为K,求证: A
15、BAC=DHDK.参考答案第五章 比和比例习题5.11. B. 2. D.3.14. 4.5: 9: 14.5.由已知可得 y=3x，代入所求式，原式 =115. 6.158;2512.7. 提示：运用等比和更比定理即可证明.8. 提示: 只要证明b=ac.习题5.21. A. 2. C. 3.359,289. 4.60, 40.5. 设 MN=x, BN=y, 则 y8=6y6=x7, 解得x=3, 即 MN=3.6.设ABC的边长为x,证明ABPPCD,得到 BPCD=xx1, 边长为 3.7.提示:证明BDFCBA. 8.BAE=C,E=E,EABECA,AEEC=ABAC.又BAC=90,AD是高, BDABAC,BDAD=ABAC. BDAD=AEEC, BDEC=AEAD.第五章测试题1. A. 2. D. 3. A. 4. A. 5. B. 6. D. 7.310. 8.687. 9. 6013或 103. 10.略. 11.2+1.12.提示: 证明FDBFAD和ABDCAD.13. AD是ABC的角平分线 , BDDC=ABAC.又H=DKC=90,HDB=KDC, BHDCKD. BDDC=DHDK,ABAC=DHDK.学科网（北京）股份有限公司