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1、2023 上半年教师资格高中数学学科学问与教学力气真题及答案1.一、单项选择题(本大题共 8 小题，每题 5 分，共 40 分)参考答案：A 参考解析：2.以下级数中，不收敛的是()。参考答案：C 参考解析：3.方程所确定的二次曲面是()。A. 椭球面B. 旋转双曲面C旋转抛物面D圆柱面参考解析：参考答案：B4假设函数(x)在0，1上黎曼可积，则(x)在0，1上( )。A连续B单调C可导D有界参考答案：D5.参考解析：依据黎曼可积定义，即黎曼可积必有界。A0 B1 C2 D3参考解析：参考答案：D6.二次型是()。A正定的 B负定的 C不定的 D以上都不是参考答案：C参考解析：应选C。7. 一
2、般高中数学课程标准(试验)的课程目标提出培育数学根本力气，对于用几何方法 证明“直线与平面平行的性质定理”的学习有助于培育的数学根本力气有( )。A推理论证、运算求解、数据处理B空间想象、推理论证、抽象概括C推理论证、数据处理、空间想象D数据处理、空间想象、抽象概括参考答案：B参考解析：“直线与平面平行的性质定理”的学习过程中对数据处理的力气提升没有很明显的作用，因此选择B。8. 创意识的培育是现代数学教育的根本任务，应表达在数学教与学的过程之中，下面的表述中不适合在教学中培育学生创意识的是()。A觉察和提出问题 B寻求解决问题的不同策略C标准数学书写 D探究结论的应用参考答案：C参考解析：创
3、意识是现代数学教育的根本任务，应表达在数学教与学的过程之中。学生自己觉察和提出问题是创的根底；独立思考、学会思考是创的核心；归纳概括得到猜测和规律，并加以验证，是创的重要方法。9.二、简答题(本大题共 5 小题，每题 7 分，共 35 分)参考解析：10.设球面方程为(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=169。求它在点(4，5，13)处的切平面方程。参考解析：由于球面方程为(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2=169，故可设 F(x，y，z)=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2-169，有 Fx(x，y，x)=2(x-1)，Fy(x，y，z)=2(y-1)，Fz(x，y， z)
4、=2(z-1)，所以Fx(4，5，13)=2(4-1)=6，Fy(4，5，13)=2(5-1)=8，Fz(4，5，13)=2(13-1)=24，所以在点(4，5，13)处，n=(6，8，24)是法线的一个方向向量。由此可得球面在点(4，5，13)处的切平面方程为 6(x-4)+8(y-5)+24(z-13)=0，化简得：3(x-4)+4(y-5)+12(z-13)=0。11. 在体育活动中，甲乙两人掷一枚六面分别标有1，2，3，4，5，6 的质地均匀的骰子。假设结果为奇数，则甲跑一圈；假设结果为1 或 2，则乙跑一圈，请答复甲跑一圈和乙跑一圈这两个大事是否独立，并说明理由。参考解析：12. 一
5、般高中数学课程标准(试验)描述“学问与技能”领域目标的行为动词有“了解”“理解”“把握”“运用”，请以“等差数列”概念为例，说明“理解”的根本含义。参考解析：行为动词中的“理解”就是把握内在规律联系，对学问作出解释、扩展、供给证据、推断等。以“等差数列的概念”为例，教学目标中理解等差数列的概念；探究并把握等差数列的通项 公式；能在具体的问题情境中，觉察数列的等差关系并能用有关学问解决相应的问题；体会 等差数列与一次函数的关系。这些都属于“理解”的目标层次。学生在学习过程中，能够把 握等差数列的概念，通过内在规律联系以此为前提进展推导，探究并总结等差数列的通项公 式，同时能够对日常所见的等差数列
6、问题作出解释、解决相应的问题，并能够拓展到等差数 列与一次函数之间的关系。13. 以“余弦定理”教学为例，简述数学定理教学的主要环节。参考解析： 教学过程：(1) 创设情境，提出问题问题：以千岛湖求两岛间的距离引入，两岛分别与第三座岛的距离及夹角如何求这两岛间的距离。教师活动：以上问题能否用正弦定理来解决，请同学们尝试一下，假设解决不了，思考它是三角形两边及夹角，求第三边的问题。能否也象正弦定理那样，查找它们之间的某种定量关系?(2) 求异探，证明定理问题 1：这是一个三角形两边n 和 b 及两边的夹角C，求出第三边c 的问题。我们知道三角形两边分别为a 和b，这两边的夹角为G，角C 满足什么
7、条件时较易求出第三边c?(由勾股定理导入)问题 2：自学提纲学生活动：小组合作探究，完成填空。=a2-+b2所以 c2=a2+b2，当 C=90时，上式变为。类似地可以证明b2=，a2=。教师活动：引导学生从特别人手，用已有的初中所学的平面几何的有关学问来争论这一问题， 从而查找出这些量之间存在的某种定量关系。得出结论，上式就是余弦定理。师生强调：碍 出了余弦定理，还应引导学生联想、类比、转化，思考是否还有其他方法证明余弦定理。问题 3：让学生观看以下各式的构造有什么特征?能用语言描述吗? a2=b2+c2-26ccosAb2=a2+c2-2accosB c2=b2+a2-2bacosC师生共
8、同总结：余弦定理的内容是三角形任何一边的平方等于其他两边的平方和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。(3) 稳固知，运用练习询问学生这节课的收获，能否学以致用。请小组连续自学教材上的两个例题。比一比，赛一赛。看哪一个小组先觉察这两个生活实际问题的解决能否用今日学的余弦定理?如何解决?(4) 运用定理，解决问题让学生观看余弦定理及推论的构成形式，思考用余弦定理及推论可以解决那些类型的三角形问题。定理学习的一般环节：(1)了解定理的内容，能够解决什么问题(创设情境，提出问题中表达)；(2)理解定理的含义， 生疏定理的条件和结论，如在公式推导过程中对条件引起留意，通过对结论从构造，功能， 性质，使
9、用步骤等角度分析以加深印象和理解(求异探，证明定理中表达)；(3)定理的证 明或推导过程：学生与教师一起争论证明方法，如不需证明，学生依据教师供给的材料体会 定理规定的合理性(求异探，证明定理中表达)；(4)生疏定理的使用。循序渐进地定理的 应用，将定理纳入到已有的学问体系中去(稳固知，运用练习中表达)；(5)引申和拓展定 理的运用(运用定理，解决问题中表达)。14.三、解答题(本大题 1 题, 10 分)参考解析：四、论述题本大题 1 小题，15 分15. “严谨性与量力性相结合”是数学教学的根本原则。(1)简述“严谨性与量力性相结合” 教学原则的内涵(3 分)；(2)实数指数幂在数学上如何
10、引入的?(6 分)(3)在高中“实数指数 幂”概念的教学中，如何表达“严谨性与量力性相结合”的教学原则。(6 分)参考解析：(1) 数学的严谨性，是指数学具有很强的规律性和较高的准确性。即规律的严格性和结论确实定性。量力性是指学生的可承受性。这一原则，说明教学中的数学学问的规律严谨性与学生的可承受性之间相适应的关系。理论学问的严谨程度要适合学生的一般学问构造与智力进展水平随着学生学问构造的不断完善，心理进展水平的提高，渐渐增加理论的严谨程度；反过来，又要通过恰当的理论严谨性渐渐促进学生的承受力气。明显，这一原则是依据数学本身的特点及学生心理进展的特点提出的。但是在学习过程中， 学生的心理进展是
11、逐步形成的，不同的年龄阶段，其感知、记忆、想象、思维、力气等心理因素都有不同的进展水平。这种心理进展的渐变性打算了在教学中不行能对数学理论的争论 到达完全严密的程度，而应当在不同的教学阶段，依据不同的教学目的和内容而提出不同的 严谨性要求。即数学教学的严谨性是相对的。(2) 对于实数指数幂在教学上，首先可以从初中学习的整数指数幂的概念和运算性质动身， 比方回忆平方根和立方根的根底上，类比出正数的 n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指数，进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实数指数幂。(3) 在高中“实数指数幂”的概念教学中，对严谨性要求，设法安排学生逐
12、步适应的过程与时机，逐步提高其严谨程度，做到立论有据。比方学生初学分数指数幂很不适应，教师可以引导学生争论已学过整数指数幂的概念属性，理解分数指数幂的概念，进而学习指数幂的性 质，并学习分数指数幂和根式之间的互化，渗透“转化”的数学思想，最终到达学问点之间的亲热联系，到达概念的产生有根有据。五、案例分析题本大题 1 小题，共 20 分16. 案例：在等差数列的习题课教学中，教师布置了这样一个问题：等差数列前 10 项和为 100，前 100 项和为 10，求前 110 项的和。两位学生的解法如下：学生甲：设等差数列的首项为a1 公差为d，则针对上述解法，一些学生提出了自己的想法。学生丙：怎么刚
13、好有S100+S10=-S110 呢?这是一种巧合吗?上述所得到的结论中是否隐含着一般性的规律呢?教师：同学丙所说的规律是否就是：问题：(1) 请分析学生甲和学生乙解法各自的特点，并解释学生乙设Sn=An2+Bn 的理由。(12 分)(2) 请验证(*)中结论是否成立。(8 分)参考解析：(1)学生甲的解法是先依据条件求出等差数列的首项a。和公差 d，然后依据等差数列的前 n 项和公式六、教学设计题(本大题 1 小题，30 分)17. 一般高中数学课程标准(试验)关于“古典概型”的教学要求是：“古典概型的教学应让学生通过实例理解古典概型的特征：试验结果的有限性和每一个试验结果消灭的等可能性，让
14、学生初步学会把一些实际问题化为古典概型，教学中不要把重点放在如何计算 上”。请完成以下任务：(1) 结合上述教学要求，请设计高中“古典概型”起始课的教学目标；(6 分)(2) 请设计两个符合古典概型的正例，以及两个不符合古典概型的反例，以便理解古典概型的特征；(12 分)(3) 抛掷一枚质地均匀的骰子(六个面分别有 1、2、3、4、5、6 个点)，请用两种不同解法求消灭偶数点的概率，并说明承受两种解法对帮助学生理解古典概型的作用。(12 分)参考解析：(1) 结合上述教学要求，将“古典概型”起始课的教学目标设计如下：学问与技能：学生能依据古典概型的特征推断古典概型。能够利用概率公式求解一些简洁
15、的古典概型的概率。过程与方法：通过从实际问题中抽象出数学模型的过程，提升从具体到抽象、从特别到一般的分析问题的力气。情感态度与价值观：在体会概率意义、数学严密性的同时，通过合作学习沟通，感受与他人合作的重要性以及初步形成实事求是地科学态度和锲而不舍的求学精神。(2) 符合古典概型的两个正例为：有红心1，2，3 和黑桃 4，5 共 5 张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张；掷两枚硬币，可能消灭的结果。不符合古典概型的两个反例为：射击运发动向一靶心进展射击，这一试验的结果只有有限个，命中 10 环，命中 9 环命中 1 环和命中 0 环(即不命中)；向一个圆面内随机地投一个点，假设该
16、点落在圆面内任意一点都是等可能的。解析：古典概型概念：(1)试验中全部可能消灭的根本大事只有有限个；(2)每个根本大事消灭的可能性相等。只有同时具有这两个特点的概率模型，称为古典概率概型，简称古典概型。举例子时针对古典概型中的两种特性举出即可。正例中：是古典概型是由于试验的全部可能结果是5 个，从中任意抽取一张每个结果消灭的可能性相等：是古典概型是由于试验的全部可能结果是3 个，结果的可能性相等。反例中：中不是古典概型是由于试验的全部可能结果虽然是有限个，而命中10 环、命中9 环命中 5 环和不中环的消灭不是等可能的，即不满足古典概型的其次个条件；中不是古典概型是由于试验结果是无限个的，不是有限个。(3) 设抛掷一枚质地均匀的骰子，消灭偶数点为大事4。承受两种解法对帮助学生理解古典概型的作用在于，既能帮助学生理解古典概型的特点：试验中每个根本大事消灭的可能性相等。还能激发学生承受不同方法探究学问，求解答案。两答案的相互比照，也能起到检验的效果。