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1、南京师大附中2022-2023学年度第2学期高一年级期中考试数学试卷命题人：高一数学备课组一.单项选择题（每小题5分，共40分）1.已知（i为虚数单位），则（ ）A.B.C.D.2.已知向量，向量在向量上的投影向量的坐标为（ ）A.B.C.D.3.设，都是非零向量，下列四个条件中，使得成立的条件是（ ）A.B.C.D.且4.如图，周髀算经中的弦图是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的一个大正方形.若直角三角形中最小的角为，且小正方形与大正方形的面积之比为，则的值为（ ）A.B.C.D.5.在中，角，所对的边分别为，的面积为，则外接圆的直径为（ ）A.B.C.D.6.已知是第二象限，且
2、，则（ ）A.B.C.D.7.的值为（ ）A.B.C.D.28.如图，中，.在所在的平面内，有一个边长为1的正方形绕点按逆时针方向旋转（不少于1周），则的取值范围是（ ）A.B.C.D.二.多项选择题（每小题5分，共20分）9.下列选项中，与的值相等的是（ ）A.B.C.D.10.函数在一个周期内的图象如图所示，则（ ）A.该函数的解析式为B.点是该函数图象的一个对称中心C.该函数的减区间是，D.把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再向左平移个单位长度，可得到该函数图象11.在平面直角坐标系内，设两个向量，定义运算：，下列说法正确的是（ ）A.是的充要条件B.C.D.若点，不
3、共线，则的面积12.函数的定义域为，为奇函数，且为偶函数，当时，则下列不等式一定成立的是（ ）A.B.C.D.三.填空题（每小题5分，共20分）13.复数满足（i为虚数单位），则在复平面内所对应的点构成图形的面积为_.14.已知，则向量，的夹角为_.15.在中，点在的延长线上，且，则_.16.已知函数（其中），先将函数的图象向下平移个单位长度，再向左平移个单位长度，得到函数的图象，则函数_；若在区间上至少存在两个不相等的实数，使得，则的取值范围是_.四.解答题（共70分）17.在直角坐标系中，向量，其中，.（1）若，三点共线，求实数的值；（2）若四边形为菱形，求的值.18.（1）证明：；（2）
4、若，其中实数，不全为零.求；求.19.如图，某镇有一块空地，其中，.当地镇政府计划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中，都在边上且不与端点重合，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带设儿童游乐场，为了安全起见，需在的周围安装防护网.（1）当时，求防护网的总长度；（2）为节省投入资金，人工湖的面积要尽可能小，问：多大时，可使的面积最小？最小面积是多少？20.在锐角中，角，所对的边分别为，.（1）求的大小；（2）若，求周长的取值范围.21.在中，角，所对的边分别为，且.（1）若，求；（2）若，且，求.22.在中，角，所对的边分别为，且.（1）求的最大值；（2）若，求面积
5、的最大值.参考答案1.【答案】B【解析】设，则2.【答案】B【解析】3.【答案】C【解析】4.【答案】D【解析】设，则，同理，所以，平方得，同除得，解得5.【答案】C【解析】，由余弦定理得，即，由正弦定理得6.【答案】A【解析】设，则，所以，所以7.【答案】B【解析】8.【答案】A【解析】以，为基底进行统一，设，则，由正方形得所以，因为，所以9.【答案】ABC【解析】，故A对；，故B对；，故C对；，故D错.10.【答案】BD【解析】由振幅得，由对称轴和零点得，即，所以，由题意得，即，所以，所以故A错，D对；，故B对；，故C错.11.【答案】ACD【解析】，而，故A对；，故B错；设，则，故C对；
6、设，则结合新人教B必修三教材p84拓展阅读可知D对.12.【答案】BD【解析】为奇函数关于对称，为偶函数关于对称，即函数为周期为4的周期函数，易知时，函数单调递减，故A错；，故B对；由恒成立且函数在不单调，可知C错.13.【答案】【解析】设，则，即构成图形为半径为2的圆，即面积为.14.【答案】【解析】由已知得，所以.15.【答案】14【解析】在三角形中由正弦定理得，在三角形中由余弦定理得，即.16.【答案】；【解析】函数依据题意平移后得到；由题意得函数在区间上至少存在两处取最大值，首先由必要条件区间长，又由得，其中，此时恒满足题意无需调整范围.17.【解析】（1）由已知得，因为，三点共线，所以；（2）由菱形得，即，解得，由已知得，由菱形得，所以.18.【解析】（1）；（2）.19.【解析】（1）在三角形中由余弦定理得，即，所以，即，因此在三角形中，由正弦定理得，所以防护网总长度为km；（2）设，则在三角形中，由正弦定理得，同理可得，即，当时取等.答：时，可让三角形的面积最小，最小为.20.【解析】（1）又有，且，解得，即；（2）由正弦定理得，即，所以在锐角三角形中有，即21.【解析】（1），所以；（2）由垂直得，解得，在三角形中，由余弦定理得.22.【解析】（1），当且仅当时取等，所以的最大值为；（2），又有，所以，化简得，所以学科网（北京）股份有限公司