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1、2 0 1 7 年 天 津 高 考 文 科 数 学 真 题 及 答 案本 试 卷 分 为 第 卷（选 择 题）和 第 卷（非 选 择 题）两 部 分，共 1 5 0 分，考 试 用 时 1 2 0分 钟。第 卷 1 至 2 页，第 卷 3 至 5 页。答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、准 考 号 填 写 在 答 题 考 上，并 在 规 定 位 置 粘 贴 考 试 用条 形 码。答 卷 时，考 生 务 必 将 答 案 涂 写 在 答 题 卡 上，答 在 试 卷 上 的 无 效。考 试 结 束 后，将本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。祝 各 位 考 生 考 试 顺 利！
2、第 卷注 意 事 项：1.每 小 题 选 出 答 案 后，用 铅 笔 将 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑。如 需 改 动，用 橡 皮 擦干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号。2.本 卷 共 8 小 题，每 小 题 5 分，共 4 0 分。参 考 公 式：如 果 事 件 A，B 互 斥，那 么 P(A B)=P(A)+P(B)棱 柱 的 体 积 公 式 V=S h.其 中 S 表 示 棱 柱 的 底 面 面 积，h 表 示 棱 柱 的 高 球 的 体 积 公 式343V R.其 中 R 表 示 球 的 半 径.一、选 择 题：在 每 小 题 给 出 的 四
3、个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目 要 求 的.（1）设 集 合 1,2,6,2,4,1,2,3,4 A B C，则()A B C（A）2（B）1,2,4（C）1,2,4,6（D）1,2,3,4,6（2）设 x R，则“2 0 x”是“|1|1 x”的（A）充 分 而 不 必 要 条 件（B）必 要 而 不 充 分 条 件（C）充 要 条 件（D）既 不 充 分 也 不 必 要 条 件（3）有 5 支 彩 笔（除 颜 色 外 无 差 别），颜 色 分 别 为 红、黄、蓝、绿、紫.从 这 5 支 彩 笔 中 任取 2 支 不 同 颜 色 的 彩 笔，则 取 出 的 2 支 彩 笔
4、 中 含 有 红 色 彩 笔 的 概 率 为（A）45（B）35（C）25（D）15（4）阅 读 右 面 的 程 序 框 图，运 行 相 应 的 程 序，若 输 入 N 的 值 为 1 9，则 输 出 N 的 值 为（A）0（B）1（C）2（D）3（5）已 知 双 曲 线2 22 21(0,0)x ya ba b 的 左 焦 点 为 F，点 A 在 双 曲 线 的 渐 近 线 上，O A F 是 边 长 为 2 的 等 边 三 角 形（O 为 原 点），则 双 曲 线 的 方 程 为（A）2 214 12x y（B）2 2112 4x y（C）2213xy（D）2213yx（6）已 知 奇 函
5、 数()f x 在 R 上 是 增 函 数.若0.82 21(l o g),(l o g 4.1),(2)5a f b f c f，则,a b c 的 大 小 关 系 为（A）a b c（B）b a c（C）c b a（D）c a b（7）设 函 数()2 s i n(),f x x x R，其 中 0,|.若5 1 1()2,()0,8 8f f 且()f x 的 最 小 正 周 期 大 于 2，则（A）2,3 1 2（B）2 1 1,3 1 2（C）1 1 1,3 2 4（D）1 7,3 2 4（8）已 知 函 数|2,1,()2,1.x xf xx xx 设 a R，若 关 于 x 的
6、不 等 式()|2xf x a 在 R 上 恒成 立，则 a 的 取 值 范 围 是（A）2,2（B）2 3,2（C）2,2 3（D）2 3,2 3 第 卷注 意 事 项：1 用 黑 色 墨 水 的 钢 笔 或 签 字 笔 将 答 案 写 在 答 题 卡 上。2 本 卷 共 1 2 小 题，共 1 1 0 分。二.填 空 题：本 大 题 共 6 小 题，每 小 题 5 分，共 3 0 分.（9）已 知 a R，i 为 虚 数 单 位，若i2 ia 为 实 数，则 a 的 值 为.（1 0）已 知 a R，设 函 数()l n f x ax x 的 图 象 在 点（1，(1)f）处 的 切 线
7、为 l，则 l 在 y轴 上 的 截 距 为.（1 1）已 知 一 个 正 方 体 的 所 有 顶 点 在 一 个 球 面 上，若 这 个 正 方 体 的 表 面 积 为 1 8，则 这 个 球的 体 积 为.（1 2）设 抛 物 线24 y x 的 焦 点 为 F，学 科&网 准 线 为 l.已 知 点 C 在 l 上，以 C 为 圆 心 的 圆与 y 轴 的 正 半 轴 相 切 于 点 A.若 1 2 0 F A C，则 圆 的 方 程 为.（1 3）若 a，b R，0 a b，则4 44 1 a ba b 的 最 小 值 为.（1 4）在 A B C 中，6 0 A，A B=3，A C=
8、2.若 2 B D D C，A E A C A B（R），且4 A D A E，则 的 值 为.三.解 答 题：本 大 题 共 6 小 题，共 8 0 分 解 答 应 写 出 文 字 说 明，证 明 过 程 或 演 算 步 骤（1 5）（本 小 题 满 分 1 3 分）在 A B C 中，内 角,A B C 所 对 的 边 分 别 为,a b c.已 知 s i n 4 s i n a A b B，2 2 25()a c a b c.（I）求 c o s A 的 值；（I I）求 s i n(2)B A 的 值.（1 6）（本 小 题 满 分 1 3 分）电 视 台 播 放 甲、乙 两 套 连
9、 续 剧，每 次 播 放 连 续 剧 时，需 要 播 放 广 告.已 知 每 次 播 放 甲、乙 两套 连 续 剧 时，连 续 剧 播 放 时 长、广 告 播 放 时 长、收 视 人 次 如 下 表 所 示：连 续 剧 播 放 时 长（分 钟）广 告 播 放 时 长（分 钟）收 视 人 次（万）甲 7 0 5 6 0乙 6 0 5 2 5已 知 电 视 台 每 周 安 排 的 甲、乙 连 续 剧 的 总 播 放 时 间 不 多 于 6 0 0 分 钟，广 告 的 总 播 放 时 间 不 少于 3 0 分 钟，且 甲 连 续 剧 播 放 的 次 数 不 多 于 乙 连 续 剧 播 放 次 数 的
10、 2 倍.分 别 用 x，学&科 网 y 表示 每 周 计 划 播 出 的 甲、乙 两 套 连 续 剧 的 次 数.（I）用 x，y 列 出 满 足 题 目 条 件 的 数 学 关 系 式，并 画 出 相 应 的 平 面 区 域；（I I）问 电 视 台 每 周 播 出 甲、乙 两 套 连 续 剧 各 多 少 次，才 能 使 收 视 人 次 最 多？（1 7）（本 小 题 满 分 1 3 分）如 图，在 四 棱 锥 P A B C D 中，A D 平 面 P D C，A D B C，P D P B，1 A D，3 B C，4 C D，2 P D.（I）求 异 面 直 线 A P 与 B C 所
11、 成 角 的 余 弦 值；（I I）求 证：P D 平 面 P B C；（）求 直 线 A B 与 平 面 P B C 所 成 角 的 正 弦 值.（1 8）（本 小 题 满 分 1 3 分）已 知 na 为 等 差 数 列，前 n 项 和 为*()nS n N，nb 是 首 项 为 2 的 等 比 数 列，且 公 比 大 于0，2 3 3 4 1 11 412,2,11 b b b a a S b.（）求 na 和 nb 的 通 项 公 式；（）求 数 列2 n na b 的 前 n 项 和*()n N.（1 9）（本 小 题 满 分 1 4 分）设,a b R，|1 a.已 知 函 数3
12、2()6 3(4)f x x x a a x b，()e()xg x f x.（）求()f x 的 单 调 区 间；（）已 知 函 数()y g x 和 exy 的 图 象 在 公 共 点（x0，y0）处 有 相 同 的 切 线，（i）求 证：()f x 在0 x x 处 的 导 数 等 于 0；（i i）若 关 于 x 的 不 等 式()exg x 在 区 间0 0 1,1 x x 上 恒 成 立，求 b 的 取 值 范 围.（2 0）（本 小 题 满 分 1 4 分）已 知 椭 圆2 22 21(0)x ya ba b 的 左 焦 点 为,()0 F c，右 顶 点 为 A，点 E 的 坐
13、 标 为(0,)c，E F A 的 面 积 为22b.（I）求 椭 圆 的 离 心 率；（I I）设 点 Q 在 线 段 A E 上，3|2F Q c，延 长 线 段 F Q 与 椭 圆 交 于 点 P，点 M，N 在 x轴 上，P M Q N，且 直 线 P M 与 直 线 Q N 间 的 距 离 为 c，四 边 形 P Q N M 的 面 积 为 3 c.（i）求 直 线 F P 的 斜 率；（i i）求 椭 圆 的 方 程.2 0 1 7 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试（天 津 卷）答 案（1）B（2）B（3）C（4）C（5）D（6）C（7）A（8）A（9）2
14、（1 0）1（1 1）9 2（1 2）2 2(1)(3)1 x y（1 3）4（1 4）31 1（1 5）（）解：由 s i n 4 s i n a A b B，及s i n s i na bA B，得 2 a b.由2 2 25()a c a b c，及 余 弦 定 理，得2 2 2555c os2 5acb c aAbc ac.（）解：由（），可 得2 5s i n5A，代 入 s i n 4 s i n a A b B，得s i n 5s i n4 5a ABb.由（）知，A 为 钝 角，所 以22 5c o s 1 s i n5B B.于 是4s i n 2 2 s i n c o s
15、5B B B，23c o s 2 1 2 s i n5B B，故4 5 3 2 5 2 5s i n(2)s i n 2 c o s c o s 2 s i n()5 5 5 5 5B A B A B A.1 6.（）解：由 已 知，,x y 满 足 的 数 学 关 系 式 为70 60 600,5 5 30,2,0,0,x yx yx yxy 即7 6 60,6,2 0,0,0,x yx yx yxy 该 二 元 一 次 不 等 式 组 所 表 示 的 平 面 区 域 为 图 1 中 的 阴 影 部 分：（）解：设 总 收 视 人 次 为 z 万，则 目 标 函 数 为 6 0 2 5 z
16、x y.考 虑 6 0 2 5 z x y，将 它 变 形 为1 25 2 5zy x，这 是 斜 率 为125，随 z 变 化 的 一 族 平行 直 线.2 5z为 直 线 在 y 轴 上 的 截 距，当2 5z取 得 最 大 值 时，z 的 值 最 大.又 因 为,x y 满 足 约束 条 件，所 以 由 图 2 可 知，当 直 线 6 0 2 5 z x y 经 过 可 行 域 上 的 点 M 时，截 距2 5z最 大，即 z 最 大.解 方 程 组7 6 6 0,2 0,x yx y 得 点 M 的 坐 标 为(6,3).所 以，电 视 台 每 周 播 出 甲 连 续 剧 6 次、乙
17、连 续 剧 3 次 时 才 能 使 总 收 视 人 次 最 多.（1 7）本 小 题 主 要 考 查 两 条 异 面 直 线 所 成 的 角、直 线 与 平 面 垂 直、直 线 与 平 面 所 成 的 角 等 基础 知 识.考 查 空 间 想 象 能 力、运 算 求 解 能 力 和 推 理 论 证 能 力.满 分 1 3 分.（）解：如 图，由 已 知 A D/B C，学|科 网 故 D A P 或 其 补 角 即 为 异 面 直 线 A P 与 B C 所 成 的角.因 为 A D 平 面 P D C，所 以 A D P D.在 R t P D A 中，由 已 知，得2 25 A P A D
18、 P D，故5c os5A DD A PA P.所 以，异 面 直 线 A P 与 B C 所 成 角 的 余 弦 值 为55.（）证 明：因 为 A D 平 面 P D C，直 线 P D 平 面 P D C，所 以 A D P D.又 因 为 B C/A D，所 以P D B C，又 P D P B，所 以 P D 平 面 P B C.（）解：过 点 D 作 A B 的 平 行 线 交 B C 于 点 F，连 结 P F，则 D F 与 平 面 P B C 所 成 的 角 等 于 A B与 平 面 P B C 所 成 的 角.因 为 P D 平 面 P B C，故 P F 为 D F 在
19、平 面 P B C 上 的 射 影，所 以 D F P 为 直 线 D F 和 平 面 P B C 所成 的 角.由 于 A D/B C，D F/A B，故 B F=A D=1，由 已 知，得 C F=B C B F=2.又 A D D C，故 B C D C，在 R t D C F 中，可 得2 22 5 D F C D C F,在 R t D P F 中，可 得5s i n5P DD F PD F.所 以，直 线 A B 与 平 面 P B C 所 成 角 的 正 弦 值 为55.1 8.（）解：设 等 差 数 列 na 的 公 差 为 d，等 比 数 列 nb 的 公 比 为 q.由 已
20、 知2 312 b b，得21()1 2 b q q，而12 b，所 以26 0 q q.又 因 为 0 q，解 得 2 q.所 以，2nnb.由3 4 12 b a a，可 得13 8 d a.由1 1 41 1 S b，可 得15 16 a d，联 立，解 得11,3 a d，由 此 可 得 3 2na n.所 以，na 的 通 项 公 式 为 3 2na n，nb 的 通 项 公 式 为 2nnb.（）解：设 数 列2 n na b 的 前 n 项 和 为nT，由26 2na n，有2 34 2 1 0 2 1 6 2(6 2)2nnT n，2 3 4 12 4 2 1 0 2 1 6
21、2(6 8)2(6 2)2n nnT n n，上 述 两 式 相 减，得2 3 14 2 6 2 6 2 6 2(6 2)2n nnT n 1 212(1 2)4(6 2)2(3 4)2 161 2nn nn n.得2(3 4)2 1 6nnT n.所 以，数 列2 n na b 的 前 n 项 和 为2(3 4)2 16nn.1 9.【解 析】（I）由3 24()6 3()f x x a x x a b，可 得2()3 12 3()3()(4 4)f x x a x a a x x a，令()0 f x，解 得 x a，或 4 x a.由|1 a，得 4 a a.当 x 变 化 时，()f
22、x，()f x 的 变 化 情 况 如 下 表：x(,)a(),4 a a(4,)a()f x()f x 所 以，()f x 的 单 调 递 增 区 间 为(,)a，(4,)a，单 调 递 减 区 间 为(),4 a a.（I I）（i）因 为()e()()xx x g f f x，由 题 意 知0000()e()exxxxgg，所 以00 0000 0()e ee()()exx xxff fx x x，解 得00()1()0fxx f.所 以，()f x 在0 x x 处 的 导 数 等 于 0.（i i）因 为()exg x，0 0 1 1,x x x，由 e 0 x，可 得()1 f x
23、.又 因 为0()1 f x，0()0 f x，故0 x 为()f x 的 极 大 值 点，由（I）知0 x a.另 一 方 面，由 于|1 a，故 1 4 a a，由（I）知()f x 在(,)1 a a 内 单 调 递 增，在(),1 a a 内 单 调 递 减，故 当0 x a 时，()()1 f f x a 在 1,1 a a 上 恒 成 立，从 而()exg x 在0 0,1 1 x x 上 恒 成 立.由3 2()6 3()1 4 a a f a a a a b，得3 22 6 1 b a a，1 1 a.令3 2()2 6 1 t x x x，1,1 x，所 以2()6 12 t
24、 x x x，令()0 t x，解 得 2 x（舍 去），或 0 x.因 为(1)7 t，(1)3 t，(0)1 t，故()t x 的 值 域 为 7,1.所 以，b 的 取 值 范 围 是 7,1.（2 0）（）解：设 椭 圆 的 离 心 率 为 e.由 已 知，可 得21()2 2bc a c.又 由2 2 2b a c，可得2 22 0 c a c a，即22 1 0 e e.又 因 为 0 1 e，解 得12e.所 以，椭 圆 的 离 心 率 为12.（）（）依 题 意，设 直 线 F P 的 方 程 为(0)x m y c m，则 直 线 F P 的 斜 率 为1m.由（）知 2 a
25、 c，可 得 直 线 A E 的 方 程 为 12x yc c，即 2 2 0 x y c，与 直 线 F P 的方 程 联 立，可 解 得(2 2)3,2 2m c cx ym m，即 点 Q 的 坐 标 为(2 2)3(,)2 2m c cm m.由 已 知|F Q|=32c，有2 2 2(2 2)3 3()()2 2 2m c c ccm m，整 理 得23 4 0 m m，所 以43m，即 直 线 F P 的 斜 率 为34.（i i）解：由 2 a c，可 得 3 b c，故 椭 圆 方 程 可 以 表 示 为2 22 214 3x yc c.由（i）得 直 线 F P 的 方 程
26、为 3 4 3 0 x y c，与 椭 圆 方 程 联 立2 22 23 4 3 0,1,4 3x y cx yc c 消 去 y，整 理 得2 27 6 1 3 0 x c x c，解 得1 37cx（舍 去），学.科 网 或 x c.因 此 可 得 点3(,)2cP c，进 而 可 得2 23 5|()()2 2|c cF P c c，所 以5 3|2 2c cF P F Q Q c P.由 已 知，线 段 P Q 的 长 即 为 P M 与 Q N 这 两 条 平 行 直 线间 的 距 离，故 直 线 P M 和 Q N 都 垂 直 于 直 线 F P.因 为 Q N F P，所 以3 3 9|t a n2 4 8c cQ N F Q Q F N，所 以 F Q N 的 面 积 为21 2 7|2 3 2cF Q Q N，同 理 F P M 的 面 积 等 于27 53 2c，由 四 边 形 P Q N M 的 面 积 为 3 c，得2 27 5 2 733 2 3 2c cc，整 理 得22 c c，又 由 0 c，得 2 c.所 以，椭 圆 的 方 程 为2 2116 12x y.