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1、2 0 1 8 山 东 考 研 数 学 一 真 题 及 答 案一、选 择 题 1 8 小 题 每 小 题 4 分，共 3 2 分 若 函 数1 c os,0(),0 xxf xaxb x 在 0 x 处 连 续，则（A）12ab（B）12ab（C）0 a b（D）2 a b【详 解】0 0 011 c os 12l i m()l i m l i m2x x xxxf xax ax a，0l i m()(0)xf x b f，要 使 函 数 在0 x 处 连 续，必 须 满 足1 12 2b aba 所 以 应 该 选（A）2 设 函 数()f x 是 可 导 函 数，且 满 足()()0 f
2、x f x，则（A）(1)(1)f f（B）1 1()()f f（C）1 1()()f f（D）1 1()()f f【详 解】设2()()g x f x，则()2()()0 g x f x f x，也 就 是 2()f x 是 单 调 增 加 函 数 也就 得 到 2 2(1)(1)(1)(1)f f f f，所 以 应 该 选（C）3 函 数2 2(,)f x y z x y z 在 点(1,2,0)处 沿 向 量(1,2,2)n 的 方 向 导 数 为（A）12（B）6(C）4（D）2【详 解】22,2f f fx y x zx y z，所 以 函 数 在 点(1,2,0)处 的 梯 度
3、为 4,1,0 gr adf，所 以2 2(,)f x y z x y z 在 点(1,2,0)处 沿 向 量(1,2,2)n 的 方 向 导 数 为 014,1,0(1,2,2)23fgr adf nn 应 该 选（D）甲、乙 两 人 赛 跑，计 时 开 始 时，甲 在 乙 前 方 1 0（单 位：米）处，如 图 中，实 线 表 示 甲的 速 度 曲 线1()v v t（单 位：米/秒），虚 线 表 示 乙 的 速 度 曲 线2()v v t（单 位：米/秒），三 块 阴 影 部 分 的 面 积 分 别 为 10,20,3，计 时 开 始 后 乙追 上 甲 的 时 刻 为0t，则（）（A）0
4、10 t（B）015 20 t（C）025 t（D）025 t【详 解】由 定 积 分 的 物 理 意 义：当 曲 线 表 示 变 速 直 线 运 动 的 速 度 函 数 时，21()()TTS t v t dt 表示 时 刻 1 2,T T 内 所 走 的 路 程 本 题 中 的 阴 影 面 积1 2 3,S S S 分 别 表 示 在 时 间 段 0,10,10,25,25,30 内 甲、乙 两 人 所 走 路 程 之 差，显 然 应 该 在 2 5 t 时 乙 追 上 甲，应 该选（C）5 设 为 n 单 位 列 向 量，E 为 n 阶 单 位 矩 阵，则（A）TE 不 可 逆（B）TE
5、 不 可 逆（C）2TE 不 可 逆（D）2TE 不 可 逆【详 解】矩 阵T 的 特 征 值 为 1 和 1 n 个 0，从 而,2,2T T T TE E E E 的 特 征 值 分 别 为 0,1,1,1；2,1,1,1；1,1,1,1；3,1,1,1 显 然 只 有TE 存 在 零 特 征 值，所 以 不 可 逆，应 该 选（A）6 已 知 矩 阵2 0 00 2 10 0 1A，2 1 00 2 00 0 1B，1 0 00 2 00 0 2C，则（A）,A C 相 似，,B C 相 似（B）,A C 相 似，,B C 不 相 似（C）,A C 不 相 似，,B C 相 似（D）,A
6、 C 不 相 似，,B C 不 相 似【详 解】矩 阵,A B 的 特 征 值 都 是1 2 32,1 是 否 可 对 解 化，只 需 要 关 心 2 的情 况 对 于 矩 阵 A，0 0 02 0 0 10 0 1E A，秩 等 于 1，也 就 是 矩 阵 A 属 于 特 征 值 2 存 在 两个 线 性 无 关 的 特 征 向 量，也 就 是 可 以 对 角 化，也 就 是 A C 对 于 矩 阵 B，0 1 02 0 0 00 0 1E B，秩 等 于 2，也 就 是 矩 阵 A 属 于 特 征 值 2 只 有 一个 线 性 无 关 的 特 征 向 量，也 就 是 不 可 以 对 角 化
7、，当 然,B C 不 相 似 故 选 择（B）7 设,A B 是 两 个 随 机 事 件，若 0()1 P A，0()1 P B，则(/)(/)P A B P A B 的 充分 必 要 条 件 是（A）(/)(/)P B A P B A（B）(/)(/)P B A P B A（C）(/)(/)P B A P B A（D）(/)(/)P B A P B A【详 解】由 乘 法 公 式：()()(/),()()(/)P A B P B P A B P A B P B P A B 可 得 下 面 结 论：()()()()(/)(/)()()()()1()()P A B P A B P A P A B
8、P A B P A B P A B P A P BP B P B P B 类 似，由()()(/),()()(/)P A B P A P B A P A B P A P B A 可 得()()()()(/)(/)()()()()1()()P A B P A B P B P A BP B A P B A P A B P A P BP A P A P A 所 以 可 知 选 择（A）8 设1 2,(2)nX X X n 为 来 自 正 态 总 体(,1)N 的 简 单 随 机 样 本，若11niiX Xn，则下 列 结 论 中 不 正 确 的 是（）（A）21()niiX 服 从2 分 布（B）2
9、12nX X 服 从2 分 布（C）21()niiX X服 从2 分 布（D）2()n X 服 从2 分 布解：（1）显 然2 2()(0,1)()(1),1,2,i iX N X i n 且 相 互 独 立，所 以21()niiX 服 从2()n 分 布，也 就 是（A）结 论 是 正 确 的；（2）22 2 221(1)()(1)(1)niin SX X n S n，所 以（C）结 论 也 是 正 确 的；（3）注 意2 21(,)()(0,1)()(1)X N n X N n Xn，所 以（D）结 论 也是 正 确 的；（4）对 于 选 项（B）：2 2 11 11()(0,2)(0,1
10、)()(1)2 2nn nX XX X N N X X，所 以（B）结 论 是 错 误 的，应 该 选 择（B）二、填 空 题（本 题 共 6 小 题，每 小 题 4 分，满 分 2 4 分.把 答 案 填 在 题 中 横 线 上）9 已 知 函 数21()1f xx，则(3)(0)f 解：由 函 数 的 马 克 劳 林 级 数 公 式：()0(0)()!nnnff x xn，知()(0)!nnf n a，其 中na 为 展开 式 中nx 的 系 数 由 于 2 4 221()1(1),1,11n nf x x x x xx，所 以(3)(0)0 f 1 0 微 分 方 程 2 3 0 y y
11、 y 的 通 解 为【详 解】这 是 一 个 二 阶 常 系 数 线 性 齐 次 微 分 方 程，特 征 方 程22 3 0 r r 有 一 对 共 共 轭 的根 1 2 r i，所 以 通 解 为1 2(c os 2 s i n 2)xy e C x C x 1 1 若 曲 线 积 分2 21Lx dx ay dyx y 在 区 域 2 2(,)|1 D x y x y 内 与 路 径 无 关，则a.【详 解】设2 2 2 2(,),(,)1 1x ayP x y Q x yx y x y，显 然(,),(,)P x y Q x y 在 区 域 内具 有 连 续 的 偏 导 数，由 于 与
12、路 径 无 关，所 以 有 1Q Pax y 1 2 幂 级 数1 11(1)n nnnx 在 区 间(1,1)内 的 和 函 数 为【详 解】1 1 1 121 1 11(1)(1)()(1)1(1)n n n n n nn n nxnx x xx x 所 以21(),(1,1)(1)s x xx 1 3 设 矩 阵1 0 11 1 20 1 1A，1 2 3,为 线 性 无 关 的 三 维 列 向 量，则 向 量 组1 2 3,A A A 的 秩 为【详 解】对 矩 阵 进 行 初 等 变 换1 0 1 1 0 1 1 0 11 1 2 0 1 1 0 1 10 1 1 0 1 1 0 0
13、 0A，知 矩 阵 A 的秩 为 2，由 于1 2 3,为 线 性 无 关，所 以 向 量 组1 2 3,A A A 的 秩 为 2 1 4 设 随 机 变 量 X 的 分 布 函 数4()0.5()0.52xF x x，其 中()x 为 标 准 正 态 分布 函 数，则 E X【详 解】随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为4()()0.5()0.25()2xf x F x x，所 以4()()0.5()0.25()240.25()0.25 2(2 4)()22()2xE X x f x dx x x dx x dxxx dx t t dtt dt 三、解 答 题1 5（本 题 满 分
14、1 0 分）设 函 数(,)f u v 具 有 二 阶 连 续 偏 导 数，(,c os)xy f e x，求0|xdydx，20 2|xd ydx【详 解】1 2(,c os)(,c os)(s i n)x x xdyf e x e f e x xdx，0 1|(1,1)xdyfdx；21 11 12 2 2221 22(,c os)(,c os)s i n(,c os)c os(,c os)s i n(,c os)s i n(,c os)x x x x x x xx x xd ye f e x e f e x e x f e x x f e xdxx e f e x x f e x 20
15、1 11 2 2|(1,1)(1,1)(1,1)xd yf f fdx 1 6（本 题 满 分 1 0 分）求21l i m l n 1nnkk kn n【详 解】由 定 积 分 的 定 义1201 11201l i m l n 1 l i m l n 1 l n(1)1 1l n(1)2 4n nn nk kk k k kx x dxn n n n nx dx 1 7（本 题 满 分 1 0 分）已 知 函 数()y x 是 由 方 程3 33 3 2 0 x y x y【详 解】在 方 程 两 边 同 时 对 x 求 导，得2 23 3 3 3 0 x y y y（1）在（1）两 边 同
16、时 对 x 求 导，得2 22 2()0 x y y y y y 也 就 是222()1x y yyy 令 0 y，得 1 x 当11 x 时，11 y；当21 x 时，20 y 当11 x 时，0 y，1 0 y，函 数()y y x 取 极 大 值11 y；当21 x 时，0 y，1 0 y 函 数()y y x 取 极 小 值20 y 1 8（本 题 满 分 1 0 分）设 函 数()f x 在 区 间 0,1 上 具 有 二 阶 导 数，且(1)0 f，0()l i m 0 xf xx，证 明：（1）方 程()0 f x 在 区 间 0,1 至 少 存 在 一 个 实 根；（2）方 程
17、2()()()0 f x f x f x 在 区 间 0,1 内 至 少 存 在 两 个 不 同 实 根 证 明：（1）根 据 的 局 部 保 号 性 的 结 论，由 条 件0()l i m 0 xf xx 可 知，存 在 0 1，及1(0,)x，使 得1()0 f x，由 于()f x 在 1,1 x 上 连 续，且1()(1)0 f x f，由 零 点 定 理，存 在1(,1)(0,1)x，使 得()0 f，也 就 是 方 程()0 f x 在 区 间 0,1 至 少 存 在 一 个实 根；（2）由 条 件0()l i m 0 xf xx 可 知(0)0 f，由（1）可 知()0 f，由
18、洛 尔 定 理，存 在(0,)，使 得()0 f；设()()()F x f x f x，由 条 件 可 知()F x 在 区 间 0,1 上 可 导，且(0)0,()0,()0 F F F，分 别 在 区 间 0,上 对 函 数()F x 使 用 尔 定 理，则 存在1 2(0,)(0,1),(,)(0,1),使 得1 2 1 2,()()0 F F，也 就 是 方 程2()()()0 f x f x f x 在 区 间 0,1 内 至 少 存 在 两 个 不 同 实 根 1 9（本 题 满 分 1 0 分）设 薄 片 型 S 是 圆 锥 面2 2z x y 被 柱 面22 z x 所 割 下
19、 的 有 限 部 分，其 上 任 一 点 的 密 度 为2 2 29 x y z，记 圆 锥 面 与 柱 面 的 交 线 为 C（1）求 C 在 x O y 布 上 的 投 影 曲 线 的 方 程；（2）求 S 的 质 量.M【详 解】（1）交 线 C 的 方 程 为2 222z x yz x，消 去 变 量 z，得 到2 22 x y x 所 以 C 在 x O y 布 上 的 投 影 曲 线 的 方 程 为2 22.0 x y xz（2）利 用 第 一 类 曲 面 积 分，得2 22 22 2 22 22 2 2 22 2 2 222 22(,)99 118 64S Sx y xx y x
20、M x y z dS x y z dSx yx y x y dx dyx y x yx y dx dy 2 0（本 题 满 分 1 1 分）设 三 阶 矩 阵 1 2 3,A 有 三 个 不 同 的 特 征 值，且3 1 22.（1）证 明：()2 r A；（2）若1 2 3,，求 方 程 组 A x 的 通 解【详 解】（1）证 明：因 为 矩 阵 有 三 个 不 同 的 特 征 值，所 以 A 是 非 零 矩 阵，也 就 是()1 r A 假 若()1 r A 时，则 0 r 是 矩 阵 的 二 重 特 征 值，与 条 件 不 符 合，所 以 有()2 r A，又 因 为3 1 22 0，
21、也 就 是1 2 3,线 性 相 关，()3 r A，也 就 只 有()2 r A（2）因 为()2 r A，所 以 0 A x 的 基 础 解 系 中 只 有 一 个 线 性 无 关 的 解 向 量 由 于3 1 22 0，所 以 基 础 解 系 为121x；又 由1 2 3,，得 非 齐 次 方 程 组 A x 的 特 解 可 取 为111；方 程 组 A x 的 通 解 为1 12 11 1x k，其 中 k 为 任 意 常 数 2 1（本 题 满 分 1 1 分）设 二 次 型2 2 21 2 3 1 2 3 1 2 1 3 2 3(,)2 2 8 2 f x x x x x ax x
22、 x x x x x 在 正 交 变 换 x Q y 下 的 标准 形 为2 21 1 2 2y y，求 a 的 值 及 一 个 正 交 矩 阵 Q【详 解】二 次 型 矩 阵2 1 41 1 14 1Aa 因 为 二 次 型 的 标 准 形 为2 21 1 2 2y y 也 就 说 明 矩 阵 A 有 零 特 征 值，所 以 0 A，故 2.a 1 1 41 1 1(3)(6)4 1 2E A 令 0 E A 得 矩 阵 的 特 征 值 为1 2 33,6,0 通 过 分 别 解 方 程 组()0iE A x 得 矩 阵 的 属 于 特 征 值13 的 特 征 向 量111131，属 于 特
23、 征 值 特 征 值26 的 特 征 向 量211021，30 的 特 征 向 量311261，所 以 1 2 31 1 13 2 61 2,03 61 1 13 2 6Q 为 所 求 正 交 矩 阵 2 2（本 题 满 分 1 1 分）设 随 机 变 量,X Y 相 互 独 立，且 X 的 概 率 分 布 为 10 2 2P X P X，Y 的 概 率 密 度为2,0 1()0,y yf y 其 他（1）求 概 率 P Y E Y（）；（2）求 Z X Y 的 概 率 密 度【详 解】（1）1202()2.3YE Y y f y dy y dy 所 以 2302 42.3 9P Y E Y
24、P Y y dy（2）Z X Y 的 分 布 函 数 为(),0,20,2,21 1 22 21()(2)2ZY YF z P Z z P X Y z P X Y z X P X Y z XP X Y z P X Y zP Y z P Y zF z F z 故 Z X Y 的 概 率 密 度 为 1()()()(2)2,0 12,2 30,Z Zf z F z f z f zz zz z 其 他2 3（本 题 满 分 1 1 分）某 工 程 师 为 了 解 一 台 天 平 的 精 度，用 该 天 平 对 一 物 体 的 质 量 做 了 n 次 测 量，该 物 体 的 质 量 是 已 知 的，设
25、 n 次 测 量 结 果1 2,nX X X 相 互 独 立 且 均 服 从 正 态 分 布2(,).N 该 工 程 师记 录 的 是 n 次 测 量 的 绝 对 误 差,(1,2,)i iZ X i n，利 用1 2,nZ Z Z 估 计 参 数（1）求iZ 的 概 率 密 度；（2）利 用 一 阶 矩 求 的 矩 估 计 量；（3）求 参 数 最 大 似 然 估 计 量【详 解】（1）先 求iZ 的 分 布 函 数 为()iZ i iXzF z P Z z P X z P 当 0 z 时，显 然()0ZF z；当 0 z 时，()2 1iZ i iXz zF z P Z z P X z P
26、；所 以iZ 的 概 率 密 度 为2222,0()()20,0zZ Ze zf z F zz（2）数 学 期 望2220 02 2()2 2ziE Z z f z dz z e dz，令11niiE Z Z Zn，解 得 的 矩 估 计 量12 22 2niiZ Zn（3）设1 2,nZ Z Z 的 观 测 值 为1 2,nz z z 当 0,1,2,iz i n 时似 然 函 数 为2211212()(,)(2)niin n ziniL f z e，取 对 数 得：2211l n()l n 2 l n(2)l n2 2niinL n n z 令231l n()10niid L nzd，得 参 数 最 大 似 然 估 计 量 为211niizn