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1、第 1 页 共 1 0 页2 0 1 9 云 南 考 研 数 学 一 真 题 及 答 案一、选 择 题，1 8 小 题，每 小 题 4 分，共 3 2 分.下 列 每 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 个选 项 是 符 合 题 目 要 求 的.1.当 0 x 时，若 x x t a n 与kx 是 同 阶 无 穷 小，则 kA.1.B.2.C.3.D.4.2.设 函 数,0,l n,0,)(x x xx x xx f 则 0 x 是)(x f 的A.可 导 点，极 值 点.B.不 可 导 点，极 值 点.C.可 导 点，非 极 值 点.D.不 可 导 点，非 极 值 点.3.设
2、nu 是 单 调 增 加 的 有 界 数 列，则 下 列 级 数 中 收 敛 的 是A.1 nnnuB.n nnu1)1(1.C.1 11n nnuu.D.12 21nn nu u.4.设 函 数2),(yxy x Q，如 果 对 上 半 平 面（0 y）内 的 任 意 有 向 光 滑 封 闭 曲 线 C 都 有 Cd y y x Q d x y x P 0),(),(，那 么 函 数),(y x P 可 取 为A.32yxy.B.321yxy.C.y x1 1.D.yx1.5.设 A 是 3 阶 实 对 称 矩 阵，E 是 3 阶 单 位 矩 阵.若 E A A 22，且 4 A，则 二 次
3、 型A x xT的 规 范 形 为A.232221y y y.B.232221y y y.C.232221y y y.D.232221y y y.6.如 图 所 示，有 3 张 平 面 两 两 相 交，交 线 相 互 平 行，它 们 的 方 程第 2 页 共 1 0 页)3,2,1(3 2 1 i d z a y a x ai i i i组 成 的 线 性 方 程 组 的 系 数 矩 阵 和 增 广 矩 阵 分 别 记 为 A A,，则A.3)(,2)(A r A rB.2)(,2)(A r A rC.2)(,1)(A r A rD.1)(,1)(A r A r7.设 B A,为 随 机 事
4、件，则)()(B P A P 的 充 分 必 要 条 件 是A.).()()(B P A P B A P B.).()()(B P A P A B P C.).()(A B P B A P D.).()(B A P A B P 8.设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立，且 都 服 从 正 态 分 布),(2 N，则 1 Y X PA.与 无 关，而 与2 有 关.B.与 有 关，而 与2 无 关.C.与2,都 有 关.D.与2,都 无 关.二、填 空 题：9 1 4 小 题，每 小 题 4 分，共 2 4 分.9.设 函 数)(u f 可 导，,)s i n(s i n x y x
5、y f z 则yzc os y xzc os x 1 1=.1 0.微 分 方 程 0 2 22 y y y 满 足 条 件 1)0(y 的 特 解 y.1 1.幂 级 数nnnxn0)!2()1(在)0，（内 的 和 函 数)(x S.第 3 页 共 1 0 页1 2.设 为 曲 面)0(4 42 2 2 z z y x 的 上 侧，则 d x d y z xz 2 24 4=.1 3.设），（3 2 1 为 3 阶 矩 阵.若2 1，线 性 无 关，且2 1 32，则 线性 方 程 组 0 x 的 通 解 为.1 4.设 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为，其他，02 0,2)(x
6、xx f）（x F 为 X 的 分 布 函 数，X 为 X 的 数 学 期 望，则 1 X X F P）（.三、解 答 题：1 5 2 3 小 题，共 9 4 分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.1 5.（本 题 满 分 1 0 分）设 函 数)(x y 是 微 分 方 程22xe x y y 满 足 条 件 0)0(y 的 特 解.（1）求)(x y；（2）求 曲 线)(x y y 的 凹 凸 区 间 及 拐 点.1 6.（本 题 满 分 1 0 分）设 b a,为 实 数，函 数2 22 by ax z 在 点（3，4）处 的 方 向 导 数 中，沿
7、 方 向 j i l 4 3 的 方 向 导 数 最 大，最 大 值 为 1 0.（1）求 b a,；（2）求 曲 面2 22 by ax z（0 z）的 面 积.1 7.求 曲 线)0(s i n x x e yx与 x 轴 之 间 图 形 的 面 积.1 8.设 d x x x ann 1021，n=（0，1，2）（1）证 明 数 列 na 单 调 减 少，且221n nanna（n=2，3）（2）求1l i m nnnaa.1 9.设是 锥 面)1 0()1(22 2 2 z z y x 与 平 面 0 z 围 成 的 锥 体，求的 形第 4 页 共 1 0 页心 坐 标.2 0.设 向
8、 量 组T T Ta)3,1(,)2,3,1(,)1,2,1(3 2 1，为3R 的 一 个 基，T)1,1,1(在这 个 基 下 的 坐 标 为Tc b)1,(.（1）求c b a,.（2）证 明3 2,a a，为3R 的 一 个 基，并 求,3 2a a 到3 2 1,a a a 的 过 度 矩 阵.2 1.已 知 矩 阵 2 0 02 21 2 2x A 与 yB0 00 1 00 1 2相 似（1）求 y x,.（2）求 可 可 逆 矩 阵 P，使 得.1B A P P 2 2.设 随 机 变 量 X 与 Y 相 互 独 立，X 服 从 参 数 为 1 的 指 数 分 布，Y 的 概
9、率 分 布 为),1 0(,1 1,1 p p Y P p Y P 令 X Y Z（1）求 z 的 概 率 密 度.（2）p 为 何 值 时，X 与 Z 不 相 关.（3）X 与 Z 是 否 相 互 独 立?2 3.（本 题 满 分 1 1 分）设 总 体 X 的 概 率 密 度 为,0,2)(),(222 xxu xex f其 中 是 已 知 参 数，0 是 未 知 参 数，是 常 数，nX X X，2 1来 自 总 体 X 的 简 单随 机 样 本.（1）求；（2）求2 的 最 大 似 然 估 计 量第 5 页 共 1 0 页参 考 答 案1.C 2.B 3.D 4.D 5.C 6.A 7
10、.C 8.A9.yxxyc os c os1 0.2 3 xe1 1.x c os1 2.33 21 3.，T)1,2,1(k k 为 任 意 常 数.1 4.321 5.解：（1）)()()(2 22 2c x e c d x e e e x yxx d xxx d x，又 0)0(y，故 0 c，因 此.)(221xx e x y（2）2 2 221221221)1(x x xe x e x e y，2 2 2 221221321221)3()3()1(2x x x xe x x e x x x e x x e y，令 0 y 得 3,0 xx)3,(3)0,3(0)3,0(3),3(y
11、0 00 y凸 拐 点 凹 拐 点 凸 拐 点 凹所 以，曲 线)(x y y 的 凹 区 间 为)0,3(和),3(，凸 区 间 为)3,(和)3,0(,拐 点 为)0,0(，)3,3(23 e，)3,3(23e.1 6.解：（1）)2,2(b y a x z grad，)8,6()4,3(b a z grad，由 题 设 可 得，4836b a，即 b a，又 10 8 62 2 b a z grad，所 以，.1 b a第 6 页 共 1 0 页（2）d x d yyzxzSy x 22 22 2)()(1=d x d y y xy x 22 22 2)2()2(1=d x d y y
12、xy x 22 22 24 4 1=d d 202024 1=20232)4 1(1212=.31 31 7.1 8.第 7 页 共 1 0 页第 8 页 共 1 0 页1 9.由 对 称 性，2,0 y x，1021021010)1()1(dz zdz z zdx dy dzdx dy z dzdvz dvzzzDD=.4131121)1()1(102102 dz zdz z z2 0.（1）1 2 3=b c 即1 1 1 12 3 11 2 3 1b c a，解 得322abc.（2）2 31 1 1 1 1 1=3 3 1 0 1 12 3 1 0 0 1，所 以 2 33 r，则2
13、3，可 为3R 的 一 个 基.1 2 3 2 3=P，则 12 3 1 2 31 1 01=0 1210 02P，.2 1.（1）A 与 B 相 似，则()()t r A t r B，A B，即4 14 8 2x yx y，解 得32xy（2）A 的 特 征 值 与 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为1=2，11=20；2=1，22=10；3=2，31=24.第 9 页 共 1 0 页所 以 存 在 1 1 2 3=P,，使 得11 1212P A P.B 的 特 征 值 与 对 应 的 特 征 向 量 分 别 为1=2，11=00；2=1，21=30；3=2，30=01.所 以 存 在
14、 2 1 2 3=P,，使 得12 2212P A P.所 以1 12 2 1 1=P A P P A P，即1 1 12 1 1 2B P P A P P P A P 其 中11 21 1 12 1 20 0 4P P P.2 2.解：（I）Z 的 分 布 函 数,1,11F z P X Y z P X Y z Y P X Y z Yp P X z p P X z 从 而 当 0 z 时，zF z p e；当 0 z 时，1 1 1 1z zF z p p e p e 则 Z 的 概 率 密 度 为,01,0zzpe zf zp e z.（I I）由 条 件 可 得 2 2E X Z E X
15、 E Z E X E Y E X E Y D X E Y，又 1,1 2 D X E Y p，从 而 当12p 时，,0 C o v X Z，即,X Z 不 相 关.（I I I）由 上 知 当12p 时，,X Z 相 关，从 而 不 独 立；当12p 时，121 1 1 1 1 1 1 1 1 1,2 2 2 2 2 2 2 2 2 2112P X Z P X X Y P X X P X XF e 而12112P X e，121 1 1 1 1 122 2 2 2 2 2P Z P X P X e，显第 1 0 页 共 1 0 页然1 1 1 1,2 2 2 2P X Z P X P Z，即,X Z 不 独 立.从 而,X Z 不 独 立.2 3.解：（I）由 2221xAe d x，令2xt，则202 2 12tA e d t A，从 而2A.（I I）构 造 似 然 函 数 2211221 2,1,2,0,niinxinAe x i nL x x x LL其 他，当,1,2,ix i n L时，取 对 数 得 22211l n l n l n2 2niinL n A x，求 导 并 令 其为 零，可 得 22 2 41l n 102 2niid L nxd，解 得2 的 最 大 似 然 估 计 量 为 211niixn.