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1、2 0 1 9 重 庆 考 研 数 学 三 真 题 及 答 案一、填 空 题（本 题 共 6 小 题，每 小 题 4 分，满 分 2 4 分.把 答 案 填 在 题 中 横 线 上）（1）设,0,0,0,1c o s)(xxxxx f若若其 导 函 数 在 x=0 处 连 续，则的 取 值 范 围 是 _ _ _ _ _.（2）已 知 曲 线b x a x y 2 33与 x 轴 相 切，则2b可 以 通 过 a 表 示 为2b_ _ _ _ _ _ _ _.（3）设 a 0，x ax g x f其 他若,1 0,0,)()(而 D 表 示 全 平 面，则 Ddx dy x y g x f I
2、)()(=_ _ _ _ _ _ _.（4）设 n 维 向 量0,),0,0,(a a aT；E 为 n 阶 单 位 矩 阵，矩 阵TE A，TaE B 1，其 中 A 的 逆 矩 阵 为 B，则 a=_ _ _ _ _ _.（5）设 随 机 变 量 X 和 Y 的 相 关 系 数 为 0.9,若4.0 X Z，则 Y 与 Z 的 相 关 系 数 为 _ _ _ _ _ _ _ _.（6）设 总 体 X 服 从 参 数 为 2 的 指 数 分 布，nX X X,2 1为 来 自 总 体 X 的 简 单 随 机 样 本，则 当 n时，nii nXnY121依 概 率 收 敛 于 _ _ _ _
3、_ _.二、选 择 题（本 题 共 6 小 题，每 小 题 4 分，满 分 2 4 分.每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项符 合 题 目 要 求，把 所 选 项 前 的 字 母 填 在 题 后 的 括 号 内）（1）设 f(x)为 不 恒 等 于 零 的 奇 函 数，且)0(f 存 在，则 函 数xx fx g)()(A)在 x=0 处 左 极 限 不 存 在.(B)有 跳 跃 间 断 点 x=0.(C)在 x=0 处 右 极 限 不 存 在.(D)有 可 去 间 断 点 x=0.（2）设 可 微 函 数 f(x,y)在 点),(0 0y x取 得 极 小 值，则 下
4、列 结 论 正 确 的 是(A),(0y x f在0y y 处 的 导 数 等 于 零.（B）),(0y x f在0y y 处 的 导 数 大 于 零.(C),(0y x f在0y y 处 的 导 数 小 于 零.(D),(0y x f在0y y 处 的 导 数 不 存 在.（3）设2n nna ap，2n nna aq，,2,1 n，则 下 列 命 题 正 确 的 是(A)若 1 nna条 件 收 敛，则 1 nnp与 1 nnq都 收 敛.(B)若 1 nna绝 对 收 敛，则 1 nnp与 1 nnq都 收 敛.(C)若 1 nna条 件 收 敛，则 1 nnp与 1 nnq敛 散 性
5、都 不 定.(D)若 1 nna绝 对 收 敛，则 1 nnp与 1 nnq敛 散 性 都 不 定.（4）设 三 阶 矩 阵a b bb a bb b aA，若 A 的 伴 随 矩 阵 的 秩 为 1，则 必 有(A)a=b 或 a+2 b=0.(B)a=b 或 a+2 b0.(C)ab 且 a+2 b=0.(D)ab 且 a+2 b0.（5）设s,2 1均 为 n 维 向 量，下 列 结 论 不 正 确 的 是(A)若 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数sk k k,2 1，都 有02 2 1 1 s sk k k，则s,2 1线 性 无 关.(B)若s,2 1线 性 相 关，则
6、 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数sk k k,2 1，都 有.02 2 1 1 s sk k k(C)s,2 1线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是 此 向 量 组 的 秩 为 s.(D)s,2 1线 性 无 关 的 必 要 条 件 是 其 中 任 意 两 个 向 量 线 性 无 关.（6）将 一 枚 硬 币 独 立 地 掷 两 次，引 进 事 件：1A=掷 第 一 次 出 现 正 面，2A=掷 第 二 次 出 现正 面，3A=正、反 面 各 出 现 一 次，4A=正 面 出 现 两 次，则 事 件(A)3 2 1,A A A相 互 独 立.(B)4 3 2,A A
7、A相 互 独 立.(C)3 2 1,A A A两 两 独 立.(D)4 3 2,A A A两 两 独 立.三、（本 题 满 分 8 分）设：).1,21,)1(1s i n1 1)(xx x xx f 试 补 充 定 义 f(1)使 得 f(x)在 1,21上 连 续.四、（本 题 满 分 8 分）设 f(u,v)具 有 二 阶 连 续 偏 导 数，且 满 足12222vfuf，又)(21,),(2 2y x x y f y x g,求.2222ygxg五、（本 题 满 分 8 分）计 算 二 重 积 分.)s i n(2 2)(2 2d x d y y x e IDy x 其 中 积 分 区
8、 域 D=.),(2 2 y x y x六、（本 题 满 分 9 分）求 幂 级 数 12)1(2)1(1nnnxnx的 和 函 数 f(x)及 其 极 值.七、（本 题 满 分 9 分）设 F(x)=f(x)g(x),其 中 函 数 f(x),g(x)在),(内 满 足 以 下 条 件：)()(x g x f，)()(x f x g，且 f(0)=0,.2)()(xe x g x f 求 F(x)所 满 足 的 一 阶 微 分 方 程；求 出 F(x)的 表 达 式.八、（本 题 满 分 8 分）设 函 数 f(x)在 0，3 上 连 续，在（0，3）内 可 导，且 f(0)+f(1)+f(
9、2)=3,f(3)=1.试 证 必 存在)3,0(，使.0)(f九、（本 题 满 分 1 3 分）已 知 齐 次 线 性 方 程 组,0)(,0)(,0)(,0)(3 3 2 2 1 13 3 2 2 1 13 3 2 2 1 13 3 2 2 1 1n nn nn nn nx b a x a x a x ax a x b a x a x ax a x a x b a x ax a x a x a x b a 其 中.01niia试 讨 论na a a,2 1和 b 满 足 何 种 关 系 时，(1)方 程 组 仅 有 零 解；(2)方 程 组 有 非 零 解.在 有 非 零 解 时，求 此
10、方 程 组 的 一 个 基 础 解 系.十、（本 题 满 分 1 3 分）设 二 次 型)0(2 2 2),(3 1232221 3 2 1 b x b x x x a x A X X x x x fT中 二 次 型 的 矩 阵 A 的特 征 值 之 和 为 1，特 征 值 之 积 为-1 2.求 a,b 的 值；利 用 正 交 变 换 将 二 次 型 f 化 为 标 准 形，并 写 出 所 用 的 正 交 变 换 和 对 应 的 正 交 矩 阵.十 一、（本 题 满 分 1 3 分）设 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为;,8,1,0,31)(3 2其他若 xxx fF(x)是 X
11、的 分 布 函 数.求 随 机 变 量 Y=F(X)的 分 布 函 数.十 二、（本 题 满 分 1 3 分）设 随 机 变 量 X 与 Y 独 立，其 中 X 的 概 率 分 布 为7.0 3.02 1 X，而 Y 的 概 率 密 度 为 f(y)，求 随 机 变 量 U=X+Y 的 概 率 密 度 g(u).参 考 答 案一、填 空 题（本 题 共 6 小 题，每 小 题 4 分，满 分 2 4 分.把 答 案 填 在 题 中 横 线 上）（1）设,0,0,0,1c o s)(xxxxx f若若其 导 函 数 在 x=0 处 连 续，则的 取 值 范 围 是2.【分 析】当 x0 可 直
12、接 按 公 式 求 导，当 x=0 时 要 求 用 定 义 求 导.【详 解】当1 时，有,0,0,0,1s i n1c o s)(2 1 xxxxxxx f若若 显 然 当2 时，有)0(0)(l i m0f x fx，即 其 导 函 数 在 x=0 处 连 续.（2）已 知 曲 线b x a x y 2 33与 x 轴 相 切，则2b可 以 通 过 a 表 示 为2b64 a.【分 析】曲 线 在 切 点 的 斜 率 为 0，即0 y，由 此 可 确 定 切 点 的 坐 标 应 满 足 的 条 件，再 根 据在 切 点 处 纵 坐 标 为 零，即 可 找 到2b与 a 的 关 系.【详 解
13、】由 题 设，在 切 点 处 有0 3 32 2 a x y，有.2 20a x 又 在 此 点 y 坐 标 为 0，于 是 有0 3 002 30 b x a x,故.4 4)3(6 4 2 2 202 202a a a x a x b【评 注】有 关 切 线 问 题 应 注 意 斜 率 所 满 足 的 条 件，同 时 切 点 还 应 满 足 曲 线 方 程.（3）设 a 0，x ax g x f其 他若,1 0,0,)()(而 D 表 示 全 平 面，则 Ddx dy x y g x f I)()(=2a.【分 析】本 题 积 分 区 域 为 全 平 面，但 只 有 当1 0,1 0 x
14、y x时，被 积 函 数 才 不 为 零，因 此 实 际 上 只 需 在 满 足 此 不 等 式 的 区 域 内 积 分 即 可.【详 解】Ddx dy x y g x f I)()(=d x d y ax y x 1 0,1 02=.)1(21021012a dx x x a dy dx axx【评 注】若 被 积 函 数 只 在 某 区 域 内 不 为 零，则 二 重 积 分 的 计 算 只 需 在 积 分 区 域 与 被 积 函 数 不为 零 的 区 域 的 公 共 部 分 上 积 分 即 可.（4）设 n 维 向 量0,),0,0,(a a aT；E 为 n 阶 单 位 矩 阵，矩 阵
15、TE A，TaE B 1，其 中 A 的 逆 矩 阵 为 B，则 a=-1.【分 析】这 里T 为 n 阶 矩 阵，而22 aT 为 数，直 接 通 过E A B 进 行 计 算 并 注 意 利用 乘 法 的 结 合 律 即 可.【详 解】由 题 设，有)1)(T TaE E A B=T T T Ta aE 1 1=T T T Ta aE)(1 1=T T TaaE 21=Eaa ET)12 1(,于 是 有012 1 aa，即0 1 22 a a，解 得.1,21 a a由 于 A 0,故 a=-1.（5）设 随 机 变 量 X 和 Y 的 相 关 系 数 为 0.9,若4.0 X Z，则
16、Y 与 Z 的 相 关 系 数 为0.9.【分 析】利 用 相 关 系 数 的 计 算 公 式 即 可.【详 解】因 为)4.0()()4.0()4.0,c o v(),c o v(X E Y E X Y E X Y Z Y=)(4.0)()()(4.0)(Y E X E Y E Y E X Y E=E(X Y)E(X)E(Y)=c o v(X,Y),且.D X D Z 于 是 有 c o v(Y,Z)=D Z D YZ Y),c o v(=.9.0),c o v(X YD Y D XY X【评 注】注 意 以 下 运 算 公 式：D X a X D)(，).,c o v(),c o v(Y
17、X a Y X（6）设 总 体 X 服 从 参 数 为 2 的 指 数 分 布，nX X X,2 1为 来 自 总 体 X 的 简 单 随 机 样 本，则 当 n时，nii nXnY121依 概 率 收 敛 于21.【分 析】本 题 考 查 大 数 定 律：一 组 相 互 独 立 且 具 有 有 限 期 望 与 方 差 的 随 机 变 量nX X X,2 1，当 方 差 一 致 有 界 时，其 算 术 平 均 值 依 概 率 收 敛 于 其 数 学 期 望 的 算 术 平 均 值：).(1 11 1 n E XnXnniip nii【详 解】这 里2 2221,nX X X 满 足 大 数 定
18、 律 的 条 件，且2 2)(i i iE X D X E X=21)21(412，因 此 根 据 大 数 定 律 有nii nXnY121依 概 率 收 敛 于.21 112niiE Xn二、选 择 题（本 题 共 6 小 题，每 小 题 4 分，满 分 2 4 分.每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项符 合 题 目 要 求，把 所 选 项 前 的 字 母 填 在 题 后 的 括 号 内）（1）设 f(x)为 不 恒 等 于 零 的 奇 函 数，且)0(f 存 在，则 函 数xx fx g)()(A)在 x=0 处 左 极 限 不 存 在.(B)有 跳 跃 间 断 点
19、x=0.(C)在 x=0 处 右 极 限 不 存 在.(D)有 可 去 间 断 点 x=0.D【分 析】由 题 设，可 推 出 f(0)=0,再 利 用 在 点 x=0 处 的 导 数 定 义 进 行 讨 论 即 可.【详 解】显 然 x=0 为 g(x)的 间 断 点，且 由 f(x)为 不 恒 等 于 零 的 奇 函 数 知，f(0)=0.于 是 有)0(0)0()(l i m)(l i m)(l i m0 0 0fxf x fxx fx gx x x 存 在，故 x=0 为 可 去 间 断 点.【评 注 1】本 题 也 可 用 反 例 排 除，例 如 f(x)=x,则 此 时 g(x)=
20、,0,0,0,1xxxx可 排 除(A),(B),(C)三 项，故 应 选(D).【评 注 2】若 f(x)在0 x x 处 连 续，则.)(,0)()(l i m0 000A x f x f Ax xx fx x.（2）设 可 微 函 数 f(x,y)在 点),(0 0y x取 得 极 小 值，则 下 列 结 论 正 确 的 是(A),(0y x f在0y y 处 的 导 数 等 于 零.（B）),(0y x f在0y y 处 的 导 数 大 于 零.(C),(0y x f在0y y 处 的 导 数 小 于 零.(D),(0y x f在0y y 处 的 导 数 不 存 在.A【分 析】可 微
21、 必 有 偏 导 数 存 在，再 根 据 取 极 值 的 必 要 条 件 即 可 得 结 论.【详 解】可 微 函 数 f(x,y)在 点),(0 0y x取 得 极 小 值，根 据 取 极 值 的 必 要 条 件 知0),(0 0 y x fy，即),(0y x f在0y y 处 的 导 数 等 于 零,故 应 选(A).【评 注 1】本 题 考 查 了 偏 导 数 的 定 义，),(0y x f在0y y 处 的 导 数 即),(0 0y x fy；而),(0y x f在0 x x 处 的 导 数 即).,(0 0y x fx【评 注 2】本 题 也 可 用 排 除 法 分 析，取2 2)
22、,(y x y x f，在(0,0)处 可 微 且 取 得 极 小 值，并 且 有2),0(y y f，可 排 除(B),(C),(D),故 正 确 选 项 为(A).（3）设2n nna ap，2n nna aq，,2,1 n，则 下 列 命 题 正 确 的 是(A)若 1 nna条 件 收 敛，则 1 nnp与 1 nnq都 收 敛.(B)若 1 nna绝 对 收 敛，则 1 nnp与 1 nnq都 收 敛.(C)若 1 nna条 件 收 敛，则 1 nnp与 1 nnq敛 散 性 都 不 定.(D)若 1 nna绝 对 收 敛，则 1 nnp与 1 nnq敛 散 性 都 不 定.B【分
23、析】根 据 绝 对 收 敛 与 条 件 收 敛 的 关 系 以 及 收 敛 级 数 的 运 算 性 质 即 可 找 出 答 案.【详 解】若 1 nna绝 对 收 敛，即 1 nna收 敛，当 然 也 有 级 数 1 nna收 敛，再 根 据2n nna ap，2n nna aq及 收 敛 级 数 的 运 算 性 质 知，1 nnp与 1 nnq都 收 敛，故 应 选(B).（4）设 三 阶 矩 阵a b bb a bb b aA，若 A 的 伴 随 矩 阵 的 秩 为 1，则 必 有(A)a=b 或 a+2 b=0.(B)a=b 或 a+2 b0.(C)ab 且 a+2 b=0.(D)ab
24、且 a+2 b0.C【分 析】A 的 伴 随 矩 阵 的 秩 为 1,说 明 A 的 秩 为 2，由 此 可 确 定 a,b 应 满 足 的 条 件.【详 解】根 据 A 与 其 伴 随 矩 阵 A*秩 之 间 的 关 系 知，秩(A)=2，故 有0)(2(2 b a b aa b bb a bb b a，即 有0 2 b a或 a=b.但 当 a=b 时，显 然 秩(A)2,故 必 有 ab 且 a+2 b=0.应 选(C).【评 注】n（n)2 阶 矩 阵 A 与 其 伴 随 矩 阵 A*的 秩 之 间 有 下 列 关 系：.1)(,1)(,)(,0,1,*)(n A rn A rn A
25、r nA r（5）设s,2 1均 为 n 维 向 量，下 列 结 论 不 正 确 的 是(A)若 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数sk k k,2 1，都 有02 2 1 1 s sk k k，则s,2 1线 性 无 关.(B)若s,2 1线 性 相 关，则 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数sk k k,2 1，都 有.02 2 1 1 s sk k k(C)s,2 1线 性 无 关 的 充 分 必 要 条 件 是 此 向 量 组 的 秩 为 s.(D)s,2 1线 性 无 关 的 必 要 条 件 是 其 中 任 意 两 个 向 量 线 性 无 关.B【分 析】本
26、题 涉 及 到 线 性 相 关、线 性 无 关 概 念 的 理 解，以 及 线 性 相 关、线 性 无 关 的 等 价 表 现形 式.应 注 意 是 寻 找 不 正 确 的 命 题.【详 解】(A):若 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数sk k k,2 1,都 有02 2 1 1 s sk k k，则s,2 1必 线 性 无 关，因 为 若s,2 1线 性 相 关，则 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数sk k k,2 1,使 得02 2 1 1 s sk k k，矛 盾.可 见（A）成 立.(B):若s,2 1线 性 相 关，则 存 在 一 组，而 不 是 对 任 意 一
27、组 不 全 为 零 的 数sk k k,2 1，都 有.02 2 1 1 s sk k k(B)不 成 立.(C)s,2 1线 性 无 关,则 此 向 量 组 的 秩 为 s；反 过 来，若 向 量 组s,2 1的 秩 为 s，则s,2 1线 性 无 关，因 此(C)成 立.(D)s,2 1线 性 无 关,则 其 任 一 部 分 组 线 性 无 关，当 然 其 中 任 意 两 个 向 量 线 性 无 关，可见(D)也 成 立.综 上 所 述，应 选(B).【评 注】原 命 题 与 其 逆 否 命 题 是 等 价 的.例 如，原 命 题：若 存 在 一 组 不 全 为 零 的 数sk k k,2
28、 1，使 得02 2 1 1 s sk k k 成 立，则s,2 1线 性 相 关.其 逆 否 命题 为：若 对 于 任 意 一 组 不 全 为 零 的 数sk k k,2 1，都 有02 2 1 1 s sk k k，则s,2 1线 性 无 关.在 平 时 的 学 习 过 程 中，应 经 常 注 意 这 种 原 命 题 与 其 逆 否 命 题 的 等 价性.（6）将 一 枚 硬 币 独 立 地 掷 两 次，引 进 事 件：1A=掷 第 一 次 出 现 正 面，2A=掷 第 二 次 出 现正 面，3A=正、反 面 各 出 现 一 次，4A=正 面 出 现 两 次，则 事 件(A)3 2 1,A
29、 A A相 互 独 立.(B)4 3 2,A A A相 互 独 立.(C)3 2 1,A A A两 两 独 立.(D)4 3 2,A A A两 两 独 立.C【分 析】按 照 相 互 独 立 与 两 两 独 立 的 定 义 进 行 验 算 即 可，注 意 应 先 检 查 两 两 独 立，若 成 立，再 检 验 是 否 相 互 独 立.【详 解】因 为21)(1 A P，21)(2 A P，21)(3 A P，41)(4 A P，且41)(2 1 A A P，41)(3 1 A A P，41)(3 2 A A P，41)(4 2 A A P0)(3 2 1 A A A P，可 见 有)()()(
30、2 1 2 1A P A P A A P，)()()(3 1 3 1A P A P A A P，)()()(3 2 3 2A P A P A A P，)()()()(3 2 1 3 2 1A P A P A P A A A P，)()()(4 2 4 2A P A P A A P.故3 2 1,A A A两 两 独 立 但 不 相 互 独 立；4 3 2,A A A不 两 两 独 立 更 不 相 互 独 立，应 选(C).【评 注】本 题 严 格 地 说 应 假 定 硬 币 是 均 匀 的，否 则 结 论 不 一 定 成 立.三、（本 题 满 分 8 分）设).1,21,)1(1s i n1
31、1)(xx x xx f 试 补 充 定 义 f(1)使 得 f(x)在 1,21上 连 续.【分 析】只 需 求 出 极 限)(l i m1x fx，然 后 定 义 f(1)为 此 极 限 值 即 可.【详 解】因 为)(l i m1x fx=)1(1s i n1 1 l i m1x x xx=x xx xx s i n)1(s i n)1(l i m1 11=x x xxx c o s)1(s i nc o sl i m1 11=x x x xxx s i n)1(c o s c o ss i nl i m1 1221=.1由 于 f(x)在)1,21上 连 续，因 此 定 义1)1(f，
32、使 f(x)在 1,21上 连 续.【评 注】本 题 实 质 上 是 一 求 极 限 问 题，但 以 这 种 形 式 表 现 出 来，还 考 查 了 连 续 的 概 念.在 计算 过 程 中，也 可 先 作 变 量 代 换 y=1-x，转 化 为 求 0 y的 极 限，可 以 适 当 简 化.四、（本 题 满 分 8 分）设 f(u,v)具 有 二 阶 连 续 偏 导 数，且 满 足12222vfuf，又)(21,),(2 2y x x y f y x g,求.2222ygxg【分 析】本 题 是 典 型 的 复 合 函 数 求 偏 导 问 题：),(v u f g，)(21,2 2y x v
33、 x y u，直 接利 用 复 合 函 数 求 偏 导 公 式 即 可，注 意 利 用.2 2u vfv uf【详 解】vfxufyxg，.vfyufxyg故vfvfxv ufx yufyxg 2222222222，.2222222222vfvfyu vfx yufxyg 所 以222 2222 22222)()(vfy xufy xygxg=.2 2y x【评 注】本 题 考 查 半 抽 象 复 合 函 数 求 二 阶 偏 导.五、（本 题 满 分 8 分）计 算 二 重 积 分.)s i n(2 2)(2 2d x d y y x e IDy x 其 中 积 分 区 域 D=.),(2 2
34、 y x y x【分 析】从 被 积 函 数 与 积 分 区 域 可 以 看 出，应 该 利 用 极 坐 标 进 行 计 算.【详 解】作 极 坐 标 变 换：s i n,c o s r y r x，有d x d y y x e e IDy x)s i n(2 2)(2 2=.s i n20 022d r r r e d er 令2r t，则t d t e e Its i n0.记t d t e Ats i n0，则t td e e A i n t0=c o s s i n 0 0 t d t e t et t=0c ostt de=s i n c o s 0 0t d t e t et t=
35、.1 A e 因 此)1(21 e A，).1(2)1(2 e eeI【评 注】本 题 属 常 规 题 型，明 显 地 应 该 选 用 极 坐 标 进 行 计 算，在 将 二 重 积 分 化 为 定 积 分 后，再 通 过 换 元 与 分 步 积 分（均 为 最 基 础 的 要 求），即 可 得 出 结 果，综 合 考 查 了 二 重 积 分、换 元积 分 与 分 步 积 分 等 多 个 基 础 知 识 点.六、（本 题 满 分 9 分）求 幂 级 数 12)1(2)1(1nnnxnx的 和 函 数 f(x)及 其 极 值.【分 析】先 通 过 逐 项 求 导 后 求 和，再 积 分 即 可
36、得 和 函 数，注 意 当 x=0 时 和 为 1.求 出 和 函 数后，再 按 通 常 方 法 求 极 值.【详 解】.1)1()(121 2 nn nxxx x f上 式 两 边 从 0 到 x 积 分，得).1 l n(211)0()(202x d tttf x fx 由 f(0)=1,得).1(),1 l n(211)(2 x x x f令0)(x f，求 得 唯 一 驻 点 x=0.由 于,)1(1)(2 22xxx f 0 1)0(f，可 见 f(x)在 x=0 处 取 得 极 大 值，且 极 大 值 为f(0)=1.【评 注】求 和 函 数 一 般 都 是 先 通 过 逐 项 求
37、 导、逐 项 积 分 等 转 化 为 可 直 接 求 和 的 几 何 级 数 情 形，然 后 再 通 过 逐 项 积 分、逐 项 求 导 等 逆 运 算 最 终 确 定 和 函 数.七、（本 题 满 分 9 分）设 F(x)=f(x)g(x),其 中 函 数 f(x),g(x)在),(内 满 足 以 下 条 件：)()(x g x f，)()(x f x g，且 f(0)=0,.2)()(xe x g x f 求 F(x)所 满 足 的 一 阶 微 分 方 程；求 出 F(x)的 表 达 式.【分 析】F(x)所 满 足 的 微 分 方 程 自 然 应 含 有 其 导 函 数，提 示 应 先
38、对 F(x)求 导，并 将 其 余 部分 转 化 为 用 F(x)表 示，导 出 相 应 的 微 分 方 程，然 后 再 求 解 相 应 的 微 分 方 程.【详 解】(1)由)()()()()(x g x f x g x f x F=)()(2 2x f x g=)()(2)()(2x g x f x g x f=(22)xe-2 F(x),可 见 F(x)所 满 足 的 一 阶 微 分 方 程 为.4)(2)(2 xe x F x F(2)4)(222C dx e e e x Fdxxdx=4 4 2C d x e ex x=.2 2 x xC e e将 F(0)=f(0)g(0)=0 代
39、 入 上 式，得C=-1.于 是.)(2 2 x xe e x F【评 注】本 题 没 有 直 接 告 知 微 分 方 程，要 求 先 通 过 求 导 以 及 恒 等 变 形 引 出 微 分 方 程 的 形 式，从 题 型 来 说 比 较 新 颖，但 具 体 到 微 分 方 程 的 求 解 则 并 不 复 杂，仍 然 是 基 本 要 求 的 范 围.八、（本 题 满 分 8 分）设 函 数 f(x)在 0，3 上 连 续，在（0，3）内 可 导，且 f(0)+f(1)+f(2)=3,f(3)=1.试 证 必 存在)3,0(，使.0)(f【分 析】根 据 罗 尔 定 理，只 需 再 证 明 存
40、在 一 点 c)3,0，使 得)3(1)(f c f，然 后 在 c,3 上 应 用 罗 尔 定 理 即 可.条 件 f(0)+f(1)+f(2)=3 等 价 于13)2()1()0(f f f，问 题 转 化 为1 介 于 f(x)的 最 值 之 间，最 终 用 介 值 定 理 可 以 达 到 目 的.【详 解】因 为 f(x)在 0，3 上 连 续，所 以 f(x)在 0，2 上 连 续，且 在 0，2 上 必 有 最 大 值M 和 最 小 值 m，于 是M f m)0(，M f m)1(，M f m)2(.故.3)2()1()0(Mf f fm 由 介 值 定 理 知，至 少 存 在 一
41、 点 2,0 c，使.13)2()1()0()(f f fc f因 为 f(c)=1=f(3),且 f(x)在 c,3 上 连 续，在(c,3)内 可 导，所 以 由 罗 尔 定 理 知，必 存 在)3,0()3,(c，使.0)(f【评 注】介 值 定 理、微 分 中 值 定 理 与 积 分 中 值 定 理 都 是 常 考 知 识 点，且 一 般 是 两 两 结 合 起 来考.本 题 是 典 型 的 结 合 介 值 定 理 与 微 分 中 值 定 理 的 情 形.九、（本 题 满 分 1 3 分）已 知 齐 次 线 性 方 程 组,0)(,0)(,0)(,0)(3 3 2 2 1 13 3 2
42、 2 1 13 3 2 2 1 13 3 2 2 1 1n nn nn nn nx b a x a x a x ax a x b a x a x ax a x a x b a x ax a x a x a x b a 其 中.01niia试 讨 论na a a,2 1和 b 满 足 何 种 关 系 时，(1)方 程 组 仅 有 零 解；(2)方 程 组 有 非 零 解.在 有 非 零 解 时，求 此 方 程 组 的 一 个 基 础 解 系.【分 析】方 程 的 个 数 与 未 知 量 的 个 数 相 同，问 题 转 化 为 系 数 矩 阵 行 列 式 是 否 为 零，而 系 数 行列 式 的
43、计 算 具 有 明 显 的 特 征：所 有 列 对 应 元 素 相 加 后 相 等.可 先 将 所 有 列 对 应 元 素 相 加，然后 提 出 公 因 式，再 将 第 一 行 的（-1）倍 加 到 其 余 各 行，即 可 计 算 出 行 列 式 的 值.【详 解】方 程 组 的 系 数 行 列 式b a a a aa b a a aa a b a aa a a b aAnnnn 3 2 13 2 13 2 13 2 1=).(11niina b b当0 b时 且01 niia b时，秩(A)=n，方 程 组 仅 有 零 解.当 b=0 时，原 方 程 组 的 同 解 方 程 组 为.02 2
44、 1 1 n nx a x a x a 由01niia可 知，),2,1(n i ai 不 全 为 零.不 妨 设01 a，得 原 方 程 组 的 一 个 基 础 解 系为Taa)0,0,1,(121，Taa)0,1,0,(132，.)1,0,0,(,1T nnaa 当 niia b1时，有0 b，原 方 程 组 的 系 数 矩 阵 可 化 为nii nnniinniinniia a a a aa a a a aa a a a aa a a a a13 2 113 2 1312 13 211（将 第 1 行 的-1 倍 加 到 其 余 各 行，再 从 第 2 行 到 第 n 行 同 乘 以ni
45、ia11倍）1 0 0 10 1 0 10 0 1 13 211 nniia a a a a（将 第 n 行na 倍 到 第 2 行 的2a 倍 加 到 第 1 行，再 将 第 1 行 移 到 最 后 一 行）.0 0 0 01 0 0 10 1 0 10 0 1 1 由 此 得 原 方 程 组 的 同 解 方 程 组 为1 2x x，1 3x x，1,x xn.原 方 程 组 的 一 个 基 础 解 系 为.)1,1,1(T【评 注】本 题 的 难 点 在 niia b1时 的 讨 论，事 实 上 也 可 这 样 分 析：此 时 系 数 矩 阵 的 秩 为n-1(存 在 n-1 阶 子 式
46、不 为 零)，且 显 然T)1,1,1(为 方 程 组 的 一 个 非 零 解，即 可 作 为 基础 解 系.十、（本 题 满 分 1 3 分）设 二 次 型)0(2 2 2),(3 1232221 3 2 1 b x b x x x a x A X X x x x fT，中 二 次 型 的 矩 阵 A 的 特 征 值 之 和 为 1，特 征 值 之 积 为-1 2.求 a,b 的 值；利 用 正 交 变 换 将 二 次 型 f 化 为 标 准 形，并 写 出 所 用 的 正 交 变 换 和 对 应 的 正 交 矩 阵.【分 析】特 征 值 之 和 为 A 的 主 对 角 线 上 元 素 之
47、和，特 征 值 之 积 为 A 的 行 列 式，由 此 可 求 出a,b 的 值；进 一 步 求 出 A 的 特 征 值 和 特 征 向 量，并 将 相 同 特 征 值 的 特 征 向 量 正 交 化（若 有 必要），然 后 将 特 征 向 量 单 位 化 并 以 此 为 列 所 构 造 的 矩 阵 即 为 所 求 的 正 交 矩 阵.【详 解】（1）二 次 型 f 的 矩 阵 为.2 00 2 00bb aA设 A 的 特 征 值 为).3,2,1(ii由 题 设，有1)2(23 2 1 a，.12 2 42 00 2 0023 2 1 b abb a 解 得 a=1,b=-2.(2)由 矩
48、 阵 A 的 特 征 多 项 式)3()2(2 0 20 2 02 0 12 A E，得 A 的 特 征 值.3,23 2 1 对 于,22 1 解 齐 次 线 性 方 程 组0)2(x A E，得 其 基 础 解 系T)1,0,2(1，.)0,1,0(2T 对 于33，解 齐 次 线 性 方 程 组0)3(x A E，得 基 础 解 系.)2,0,1(3T 由 于3 2 1,已 是 正 交 向 量 组，为 了 得 到 规 范 正 交 向 量 组，只 需 将3 2 1,单 位 化，由 此 得T)51,0,52(1，T)0,1,0(2，.)52,0,51(3T 令 矩 阵 520510 1 05
49、10523 2 1 Q，则 Q 为 正 交 矩 阵.在 正 交 变 换 X=Q Y 下，有3 0 00 2 00 0 2A Q QT，且 二 次 型 的 标 准 形 为.3 2 2232221y y y f【评 注】本 题 求 a,b，也 可 先 计 算 特 征 多 项 式，再 利 用 根 与 系 数 的 关 系 确 定：二 次 型 f 的 矩 阵 A 对 应 特 征 多 项 式 为).2()2()2(2 00 2 002 2b a abb aA E 设 A 的 特 征 值 为3 2 1,，则).2(,2,223 2 3 2 1b a a 由 题 设 得1)2(23 2 1 a，.1 2)2(
50、223 2 1 b a 解 得 a=1,b=2.十 一、（本 题 满 分 1 3 分）设 随 机 变 量 X 的 概 率 密 度 为;,8,1,0,31)(3 2其他若 xxx fF(x)是 X 的 分 布 函 数.求 随 机 变 量 Y=F(X)的 分 布 函 数.【分 析】先 求 出 分 布 函 数 F(x)的 具 体 形 式，从 而 可 确 定 Y=F(X),然 后 按 定 义 求 Y 的 分 布 函 数即 可.注 意 应 先 确 定 Y=F(X)的 值 域 范 围)1)(0(X F，再 对 y 分 段 讨 论.【详 解】易 见，当 x 8 时，F(x)=1.对 于 8,1 x，有.13