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1、2 0 1 9 年 河 南 高 考 理 科 数 学 真 题 及 答 案注 意 事 项：1 答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、考 生 号 等 填 写 在 答 题 卡 和 试 卷 指 定 位 置 上。2 回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑。如 需 改 动，用 橡 皮擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号。回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上。写 在 本 试 卷 上 无 效。3 考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。一、选
2、择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目要 求 的。1 已 知 集 合 24 2 6 0 M x x N x x x，则 M N=A 4 3 x x B 4 2 x x C 2 2 x x D 2 3 x x 2 设 复 数 z 满 足=1 i z，z 在 复 平 面 内 对 应 的 点 为(x，y)，则A 2 2+1 1()x y B 2 21(1)x y C 2 2(1)1 y x D 2 2(+1)1 y x 3 已 知0.2 0.32 log 0.2 2 0.2 a b c
3、，则A a b c B a c b C c a b D b c a 4 古 希 腊 时 期，人 们 认 为 最 美 人 体 的 头 顶 至 肚 脐 的 长 度 与 肚 脐 至 足 底 的 长 度 之 比 是5 12（5 12 0.6 1 8，称 为 黄 金 分 割 比 例)，著 名 的“断 臂 维 纳 斯”便 是 如 此 此 外，最 美 人 体 的 头 顶 至 咽喉 的 长 度 与 咽 喉 至 肚 脐 的 长 度 之 比 也 是5 12 若 某 人 满 足 上 述 两 个 黄 金 分 割 比 例，且 腿 长 为 1 0 5 c m，头 顶 至 脖 子 下 端 的 长 度 为 2 6 c m，则
4、 其 身 高 可 能 是A 1 6 5 c m B 1 7 5 c m C 1 8 5 c m D 1 9 0 c m5 函 数 f(x)=2sincosx xx x在,的 图 像 大 致 为A B C D 6 我 国 古 代 典 籍 周 易 用“卦”描 述 万 物 的 变 化 每 一“重 卦”由 从 下 到 上 排 列 的 6 个 爻 组 成，爻 分 为阳 爻“”和 阴 爻“”，如 图 就 是 一 重 卦 在 所 有 重 卦 中 随 机 取 一 重 卦，则 该 重 卦 恰 有 3 个 阳 爻 的概 率 是A 516B 1132C 2132D 11167 已 知 非 零 向 量 a，b 满 足
5、|2|a b，且()a b b，则 a 与 b 的 夹 角 为A 6B 3C 23D 568 如 图 是 求112122的 程 序 框 图，图 中 空 白 框 中 应 填 入A A=12 A B A=12A C A=11 2 A D A=112 A9 记nS 为 等 差 数 列 na 的 前 n 项 和 已 知4 50 5 S a，则A 2 5na n B 3 10na n C 22 8nS n n D 2122nS n n 1 0 已 知 椭 圆 C 的 焦 点 为1 21,0 1,0 F F()，()，过 F2的 直 线 与 C 交 于 A，B 两 点 若2 2|2|A F F B，1|A
6、 B B F，则 C 的 方 程 为A 2212xy B 2 213 2x y C 2 214 3x y D 2 215 4x y 1 1 关 于 函 数()sin|sin|f x x x 有 下 述 四 个 结 论：f(x)是 偶 函 数 f(x)在 区 间（2，）单 调 递 增 f(x)在,有 4 个 零 点 f(x)的 最 大 值 为 2其 中 所 有 正 确 结 论 的 编 号 是A B C D 1 2 已 知 三 棱 锥 P A B C 的 四 个 顶 点 在 球 O 的 球 面 上，P A=P B=P C，A B C 是 边 长 为 2 的 正 三 角 形，E，F 分 别是 P A
7、，A B 的 中 点，C E F=9 0，则 球 O 的 体 积 为A 6 8 B 6 4 C 6 2 D 6 二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。1 3 曲 线23()exy x x 在 点(0)0，处 的 切 线 方 程 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 4 记 Sn为 等 比 数 列 an 的 前 n 项 和 若21 4 613a a a，则 S5=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 5 甲、乙 两 队 进 行 篮 球 决 赛，采 取 七 场 四 胜 制（当 一 队 赢 得 四 场 胜 利 时，该 队 获 胜，
8、决 赛 结 束）根 据 前期 比 赛 成 绩，甲 队 的 主 客 场 安 排 依 次 为“主 主 客 客 主 客 主”设 甲 队 主 场 取 胜 的 概 率 为 0.6，客 场 取 胜的 概 率 为 0.5，且 各 场 比 赛 结 果 相 互 独 立，则 甲 队 以 4 1 获 胜 的 概 率 是 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 6 已 知 双 曲 线 C：2 22 21(0,0)x ya ba b 的 左、右 焦 点 分 别 为 F1，F2，过 F1的 直 线 与 C 的 两 条 渐 近 线 分别 交 于 A，B 两 点 若1F A A B，1 20 F B F B，则
9、C 的 离 心 率 为 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生都 必 须 作 答。第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 6 0 分。1 7(1 2 分)A B C 的 内 角 A，B，C 的 对 边 分 别 为 a，b，c，设2 2(sin sin)sin sin sin B C A B C（1）求 A；（2）若 2 2 a b c，求 s i n C 1 8（1
10、2 分）如 图，直 四 棱 柱 A B C D A1B1C1D1的 底 面 是 菱 形，A A1=4，A B=2，B A D=6 0，E，M，N 分 别 是 B C，B B1，A1D的 中 点（1）证 明：M N 平 面 C1D E；（2）求 二 面 角 A M A1 N 的 正 弦 值 1 9（1 2 分）已 知 抛 物 线 C：y2=3 x 的 焦 点 为 F，斜 率 为32的 直 线 l 与 C 的 交 点 为 A，B，与 x 轴 的 交 点 为 P（1）若|A F|+|B F|=4，求 l 的 方 程；（2）若 3 A P P B，求|A B|2 0（1 2 分）已 知 函 数()si
11、n ln(1)f x x x，()f x 为()f x 的 导 数 证 明：（1）()f x 在 区 间(1,)2 存 在 唯 一 极 大 值 点；（2）()f x 有 且 仅 有 2 个 零 点 2 1（1 2 分）为 治 疗 某 种 疾 病，研 制 了 甲、乙 两 种 新 药，希 望 知 道 哪 种 新 药 更 有 效，为 此 进 行 动 物 试 验 试 验 方 案如 下：每 一 轮 选 取 两 只 白 鼠 对 药 效 进 行 对 比 试 验 对 于 两 只 白 鼠，随 机 选 一 只 施 以 甲 药，另 一 只 施 以乙 药 一 轮 的 治 疗 结 果 得 出 后，再 安 排 下 一 轮
12、 试 验 当 其 中 一 种 药 治 愈 的 白 鼠 比 另 一 种 药 治 愈 的 白 鼠多 4 只 时，就 停 止 试 验，并 认 为 治 愈 只 数 多 的 药 更 有 效 为 了 方 便 描 述 问 题，约 定：对 于 每 轮 试 验，若 施 以 甲 药 的 白 鼠 治 愈 且 施 以 乙 药 的 白 鼠 未 治 愈 则 甲 药 得 1 分，乙 药 得 1 分；若 施 以 乙 药 的 白 鼠 治 愈且 施 以 甲 药 的 白 鼠 未 治 愈 则 乙 药 得 1 分，甲 药 得 1 分；若 都 治 愈 或 都 未 治 愈 则 两 种 药 均 得 0 分 甲、乙 两 种 药 的 治 愈 率
13、 分 别 记 为 和，一 轮 试 验 中 甲 药 的 得 分 记 为 X（1）求 X 的 分 布 列；（2）若 甲 药、乙 药 在 试 验 开 始 时 都 赋 予 4 分，(0,1,8)ip i 表 示“甲 药 的 累 计 得 分 为 i 时，最 终 认为 甲 药 比 乙 药 更 有 效”的 概 率，则00 p，81 p，1 1 i i i ip ap bp c p(1,2,7)i，其 中(1)a P X，(0)b P X，(1)c P X 假 设 0.5，0.8(i)证 明：1 i ip p(0,1,2,7)i 为 等 比 数 列；(i i)求4p，并 根 据4p 的 值 解 释 这 种 试
14、 验 方 案 的 合 理 性（二）选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分。2 2 选 修 4 4：坐 标 系 与 参 数 方 程（1 0 分）在 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线 C 的 参 数 方 程 为2221141txttyt，（t 为 参 数）以 坐 标 原 点 O 为 极 点，x 轴 的正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，直 线 l 的 极 坐 标 方 程 为 2 cos 3 sin 11 0（1）求 C 和 l 的 直 角 坐 标 方 程；（2）求
15、C 上 的 点 到 l 距 离 的 最 小 值 2 3 选 修 4 5：不 等 式 选 讲（1 0 分）已 知 a，b，c 为 正 数，且 满 足 a b c=1 证 明：（1）2 2 21 1 1a b ca b c；（2）3 3 3()()()24 a b b c c a 2 0 1 9 年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试理 科 数 学 参 考 答 案一、选 择 题1 C 2 C 3 B 4 B 5 D 6 A 7 B 8 A 9 A 1 0 B 1 1 C 1 2 D二、填 空 题1 3 y=3 x 1 4 12131 5 0.1 8 1 6 2三、解 答 题1
16、7 解：（1）由 已 知 得2 2 2sin sin sin sin sin B C A B C，故 由 正 弦 定 理 得2 2 2b c a b c 由 余 弦 定 理 得2 2 21cos2 2b c aAbc 因 为 0 180 A，所 以 60 A（2）由（1）知 120 B C，由 题 设 及 正 弦 定 理 得 2 sin sin 120 2sin A C C，即6 3 1cos sin 2sin2 2 2C C C，可 得 2cos 602C 由 于 0 120 C，所 以 2sin 602C，故 sin sin 60 60 C C sin 60 cos 60 cos 60 s
17、in 60 C C 6 24 1 8 解：（1）连 结 B1C，M E 因 为 M，E 分 别 为 B B1，B C 的 中 点，所 以 M E B1C，且 M E=12B1C 又 因 为 N 为 A1D 的 中 点，所 以 N D=12A1D 由 题 设 知 A1B1D C，可 得 B1CA1D，故 M EN D，因 此 四 边 形 M N D E 为 平 行 四 边 形，M N E D 又 M N 平 面 E D C1，所 以 M N 平 面 C1D E（2）由 已 知 可 得 D E D A 以 D 为 坐 标 原 点，D A 的 方 向 为 x 轴 正 方 向，建 立 如 图 所 示
18、的 空 间 直 角 坐 标 系 D x y z，则(2,0,0)A，A1(2，0，4)，(1,3,2)M，(1,0,2)N，1(0,0,4)A A，1(1,3,2)A M，1(1,0,2)A N，(0,3,0)M N 设(,)x y z m 为 平 面 A1M A 的 法 向 量，则1100A MA A mm，所 以3 2 04 0 x y zz，可 取(3,1,0)m 设(,)p q r n 为 平 面 A1M N 的 法 向 量，则100M NA N，nn所 以3 02 0qp r，可 取(2,0,1)n 于 是2 3 15cos,|5 2 5 m nm nm n，所 以 二 面 角1A
19、M A N 的 正 弦 值 为1051 9 解：设 直 线 1 1 2 23:,2l y x t A x y B x y（1）由 题 设 得3,04F，故1 23|2A F B F x x，由 题 设 可 得1 252x x 由2323y x ty x，可 得2 29 12(1)4 0 x t x t，则1 212(1)9tx x 从 而12(1)59 2t，得78t 所 以 l 的 方 程 为3 72 8y x（2）由 3 A P P B 可 得1 23 y y 由2323y x ty x，可 得22 2 0 y y t 所 以1 22 y y 从 而2 23 2 y y，故2 11,3 y
20、 y 代 入 C 的 方 程 得1 213,3x x 故4 13|3A B 2 0 解：（1）设()()g x f x，则1()cos1g x xx，21sin()(1x xg x.当 1,2x 时，()g x 单 调 递 减，而(0)0,()02g g，可 得()g x 在 1,2 有 唯 一 零 点，设 为.则 当(1,)x 时，()0 g x；当,2x 时，()0 g x.所 以()g x 在(1,)单 调 递 增，在,2 单 调 递 减，故()g x 在 1,2 存 在 唯 一 极 大 值 点，即()f x在 1,2 存 在 唯 一 极 大 值 点.（2）()f x 的 定 义 域 为
21、(1,).（i）当(1,0 x 时，由（1）知，()f x 在(1,0)单 调 递 增，而(0)0 f，所 以 当(1,0)x 时，()0 f x，故()f x 在(1,0)单 调 递 减，又(0)=0 f，从 而 0 x 是()f x 在(1,0 的 唯 一 零 点.（i i）当 0,2x 时，由（1）知，()f x 在(0,)单 调 递 增，在,2 单 调 递 减，而(0)=0 f，02f，所 以 存 在,2，使 得()0 f，且 当(0,)x 时，()0 f x；当,2x 时，()0 f x.故()f x 在(0,)单 调 递 增，在,2 单 调 递 减.又(0)=0 f，1 ln 1
22、02 2f，所 以 当 0,2x 时，()0 f x.从 而，()f x 在 0,2 没有 零 点.（i i i）当,2x 时，()0 f x，所 以()f x 在,2 单 调 递 减.而 02f，()0 f，所 以()f x 在,2 有 唯 一 零 点.（i v）当(,)x 时，ln(1)1 x，所 以()f x 0，从 而()f x 在(,)没 有 零 点.综 上，()f x 有 且 仅 有 2 个 零 点.2 1 解：X 的 所 有 可 能 取 值 为 1,0,1.(1)(1)(0)(1)(1)(1)(1)P XP XP X，所 以 X 的 分 布 列 为（2）（i）由（1）得 0.4,
23、0.5,0.1 a b c.因 此1 1=0.4+0.5+0.1i i i ip p p p，故 1 10.1 0.4i i i ip p p p，即 1 14i i i ip p p p.又 因 为1 0 10 p p p，所 以 1(0,1,2,7)i ip p i 为 公 比 为 4，首 项 为1p 的 等 比 数 列（i i）由（i）可 得 88 8 7 7 6 1 0 0 8 7 7 6 1 0 1341 p p p p p p p p p p p p p p p.由 于8=1 p，故1 834 1p，所 以 44 4 3 3 2 2 1 1 0 14 1 1.3 257 p p p
24、 p p p p p p p 4p 表 示 最 终 认 为 甲 药 更 有 效 的 概 率，由 计 算 结 果 可 以 看 出，在 甲 药 治 愈 率 为 0.5，乙 药 治 愈 率 为 0.8时，认 为 甲 药 更 有 效 的 概 率 为410.0039257p，此 时 得 出 错 误 结 论 的 概 率 非 常 小，说 明 这 种 试 验 方案 合 理.2 2 解：（1）因 为2211 11tt，且 222 222 221 412 11y t txtt，所 以 C 的 直 角 坐 标 方 程 为221(1)4yx x.l 的 直 角 坐 标 方 程 为 2 3 11 0 x y.（2）由（
25、1）可 设 C 的 参 数 方 程 为cos,2sinxy（为 参 数，）.C 上 的 点 到 l 的 距 离 为4cos 11|2cos 2 3 sin 11|37 7.当23 时，4cos 113 取 得 最 小 值 7，故 C 上 的 点 到 l 距 离 的 最 小 值 为 7.2 3 解：（1）因 为2 2 2 2 2 22,2,2 a b ab b c bc c a ac，又 1 abc，故 有2 2 21 1 1 ab bc c aa b c ab bc c aabc a b c.所 以2 2 21 1 1a b ca b c.（2）因 为,a b c 为 正 数 且 1 abc，故 有3 3 3 3 3 33()()()3()()()a b b c c a a b b c a c=3(+)(+)(+)a b b c a c3(2)(2)(2)ab bc ac=2 4.所 以3 3 3()()()24 a b b c c a.