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1、2 0 2 2 年 西 藏 高 考 文 科 数 学 真 题 及 答 案注 意 事 项：1 答 卷 前，考 生 务 必 用 黑 色 碳 素 笔 将 自 己 的 姓 名、准 考 证 号、考 场 号、座 位 号 填 写 在 答 题卡 上，并 认 真 核 准 条 形 码 上 的 准 考 证 号、姓 名、考 场 号、座 位 号 及 科 目，在 规 定 的 位 置 贴好 条 形 码。2 回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 上 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑，如 需改 动，用 橡 皮 擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号。回 答 非
2、选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上、写 在 本 试 卷 上 无 效。3 考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。一、选 择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有一 项 是 符 合 题 目 要 求 的。1 设 集 合5 2,1,0,1,2,02A B x x，则 A B（）A 0,1,2 B 2,1,0 C 0,1 D 1,2 2 某 社 区 通 过 公 益 讲 座 以 普 及 社 区 居 民 的 垃 圾 分 类 知 识 为 了 解 讲 座 效 果，随 机 抽 取 1
3、 0位 社 区 居 民，让 他 们 在 讲 座 前 和 讲 座 后 各 回 答 一 份 垃 圾 分 类 知 识 问 卷，这 1 0 位 社 区 居 民 在讲 座 前 和 讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 如 下 图：则（）A 讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 中 位 数 小 于 7 0%B 讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 平 均 数 大 于 8 5%C 讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 标 准 差 小 于 讲 座 后 正 确 率 的 标 准 差D 讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 大 于 讲 座 前 正 确 率 的 极
4、 差3 若 1 i z 则|i z+3 z|=（）A 4 5 B 4 2 C 2 5 D 2 24 如 图，网 格 纸 上 绘 制 的 是 一 个 多 面 体 的 三 视 图，网 格 小 正 方 形 的 边 长 为 1，则 该 多 面 体的 体 积 为（）A 8 B 1 2 C 1 6 D 2 05 将 函 数()s i n(0)3f x x 的 图 像 向 左 平 移2个 单 位 长 度 后 得 到 曲 线 C，若 C关 于 y 轴 对 称，则 的 最 小 值 是（）A 16B 14C 13D 126，从 分 别 写 有 1，2，3，4，5，6 的 6 张 卡 片 中 无 放 回 随 机 抽
5、 取 2 张，则 抽 到 的 2 张 卡 片 上的 数 字 之 积 是 4 的 倍 数 的 概 率 为（）A 15B 13C 25D 237 函 数()3 3 c osx xf x x 在 区 间,2 2 的 图 像 大 致 为（）A B C D 8 当 1 x 时，函 数()l nbf x a xx 取 得 最 大 值 2，则(2)f（）A 1 B 12 C 12D 19 在 长 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 中，已 知1B D 与 平 面 A B C D 和 平 面1 1A A B B 所 成 的 角 均 为3 0，则（）A 2 A B A D B A B 与 平 面
6、1 1A B C D 所 成 的 角 为 3 0 C 1A C C B D 1B D 与 平 面1 1B B C C 所 成 的 角 为 4 5 1 0 甲、乙 两 个 圆 锥 的 母 线 长 相 等，侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 之 和 为 2，侧 面 积 分 别 为 S甲和 S乙，体 积 分 别 为 V甲和 V乙 若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A 5 B 2 2 C 1 0 D 5 1 041 1 已 知 椭 圆2 22 2:1(0)x yC a ba b 的 离 心 率 为13，1 2,A A 分 别 为 C 的 左、右 顶 点，B为 C 的 上 顶 点 若2 11 B A B
7、A，则 C 的 方 程 为（）A 2 211 8 1 6x y B 2 219 8x y C 2 213 2x y D 2212xy 1 2 已 知 9 10,10 11,8 9m m ma b，则（）A 0 a b B 0 a b C 0 b a D 0 b a 二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。1 3 已 知 向 量(,3),(1,1)m m a b 若 a b，则 m _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 4 设 点 M 在 直 线 2 1 0 x y 上，点(3,0)和(0,1)均 在 M 上，则 M 的 方 程 为_ _
8、 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 5 记 双 曲 线2 22 2:1(0,0)x yC a ba b 的 离 心 率 为 e，写 出 满 足 条 件“直 线 2 y x 与 C无 公 共 点”的 e 的 一 个 值 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 6 已 知 A B C 中，点 D 在 边 B C 上，1 2 0,2,2 A D B A D C D B D 当A CA B取 得 最小 值 时，B D _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演
9、算 步 骤。第 1 7 2 1 题 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生 都 必 须 作 答。第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 6 0 分。1 7（1 2 分）甲、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 均 由 A 和 B 两 家 公 司 运 营，为 了 解 这 两 家 公 司 长 途 客 车 的 运 行 情况，随 机 调 查 了 甲、乙 两 城 之 间 的 5 0 0 个 班 次，得 到 下 面 列 联 表：准 点 班 次 数 未 准 点 班 次 数A 2 4 0 2 0B 2 1 0 3 0（1）根 据 上 表，分 别 估 计
10、这 两 家 公 司 甲、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 准 点 的 概 率；（2）能 否 有 9 0%的 把 握 认 为 甲、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 是 否 准 点 与 客 车 所 属 公 司 有 关？附：22()()()()()n a d b cKa b c d a c b d，2P K k0.1 0 0 0.0 5 0 0.0 1 0k2.7 0 6 3.8 4 1 6.6 3 51 8（1 2 分）记nS 为 数 列 na 的 前 n 项 和 已 知22 1nnSn an（1）证 明：na 是 等 差 数 列；（2）若4 7 9,a a a 成 等 比 数 列，求
11、nS 的 最 小 值 1 9（1 2 分）小 明 同 学 参 加 综 合 实 践 活 动，设 计 了 一 个 封 闭 的 包 装 盒，包 装 盒 如 图 所 示：底 面 A B C D 是边 长 为 8（单 位：c m）的 正 方 形，,E A B F B C G C D H D A 均 为 正 三 角 形，且 它们 所 在 的 平 面 都 与 平 面 A B C D 垂 直（1）证 明：E F 平 面 A B C D；（2）求 该 包 装 盒 的 容 积（不 计 包 装 盒 材 料 的 厚 度）2 0（1 2 分）已 知 函 数3 2(),()f x x x g x x a，曲 线()y f
12、 x 在 点 1 1,x f x 处 的 切 线 也 是 曲 线()y g x 的 切 线（1）若11 x，求 a：（2）求 a 的 取 值 范 围 2 1（1 2 分）设 抛 物 线2:2(0)C y px p 的 焦 点 为 F，点(,0)D p，过 F 的 直 线 交 C 于 M，N 两 点 当直 线 M D 垂 直 于 x 轴 时，3 M F（1）求 C 的 方 程：（2）设 直 线,M D N D 与 C 的 另 一 个 交 点 分 别 为 A，B，记 直 线,M N A B 的 倾 斜 角 分 别 为,当 取 得 最 大 值 时，求 直 线 A B 的 方 程（二）选 考 题：共
13、1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的第 一 题 计 分。2 2 选 修 4-4：坐 标 系 与 参 数 方 程（1 0 分）在 直 角 坐 标 系 x O y 中，曲 线1C 的 参 数 方 程 为26txy t（t 为 参 数），曲 线2C 的 参 数 方 程为26sxy s（s 为 参 数）（1）写 出1C 的 普 通 方 程；（2）以 坐 标 原 点 为 极 点，x 轴 正 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线3C 的 极 坐 标 方 程 为2 c o s s i n 0，求3C 与1C 交 点
14、的 直 角 坐 标，及3C 与2C 交 点 的 直 角 坐 标 2 3 选 修 4-5：不 等 式 选 讲（1 0 分）已 知,a b c 均 为 正 数，且2 2 24 3 a b c，证 明：（1）2 3 a b c（2）若 2 b c，则1 13a c 文 科 数 学 解 析一、选择 题：本 题共 12 小题，每 小题 5 分，共 60 分.在每 小题 给出的 四个 选项中，只有 一项是 符合 题目要 求的.1.设 集 合5 2,1,0,1,2,02A B x x，则 A B（）A.0,1,2 B.2,1,0 C.0,1 D.1,2【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 集 合 的 交
15、集 运 算 即 可 解 出【详 解】因 为 2,1,0,1,2 A，502B x x，所 以 0,1,2 A B 故 选：A.2.某 社 区 通 过 公 益 讲 座 以 普 及 社 区 居 民 的 垃 圾 分 类 知 识 为 了 解 讲 座 效 果，随 机 抽 取 1 0 位社 区 居 民，让 他 们 在 讲 座 前 和 讲 座 后 各 回 答 一 份 垃 圾 分 类 知 识 问 卷，这 1 0 位 社 区 居 民 在 讲座 前 和 讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 如 下 图：则（）A.讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 中 位 数 小 于 70%B.讲 座 后 问 卷
16、 答 题 的 正 确 率 的 平 均 数 大 于 8 5%C.讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 标 准 差 小 于 讲 座 后 正 确 率 的 标 准 差D.讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 大 于 讲 座 前 正 确 率 的 极 差【答 案】B【解 析】【分 析】由 图 表 信 息，结 合 中 位 数、平 均 数、标 准 差、极 差 的 概 念，逐 项 判 断 即 可 得 解.【详 解】讲 座 前 中 位 数 为70%75%70%2,所 以 A 错；讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 只 有 一 个 是 8 0%,4 个 8 5%,剩 下 全 部
17、大 于 等 于 9 0%,所 以 讲 座 后问 卷 答 题 的 正 确 率 的 平 均 数 大 于 8 5%,所 以 B 对；讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 更 加 分 散,所 以 讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 标 准 差 大 于 讲 座 后 正 确率 的 标 准 差,所 以 C 错；讲 座 后 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 为 1 0 0%8 0%2 0%，讲 座 前 问 卷 答 题 的 正 确 率 的 极 差 为 9 5%6 0%3 5%2 0%,所 以 D 错.故 选:B.3.若 1 i z 则|i 3|z z（）A.4 5B.4 2C.2 5
18、D.2 2【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 复 数 代 数 形 式 的 运 算 法 则，共 轭 复 数 的 概 念 以 及 复 数 模 的 计 算 公 式 即 可 求 出【详 解】因 为 1 i z，所 以 i 3 i 1 i 3 1 i 2 2 i z z，所 以i 3 4 4 2 2 z z 故 选：D.4.如 图，网 格 纸 上 绘 制 的 是 一 个 多 面 体 的 三 视 图，网 格 小 正 方 形 的 边 长 为 1，则 该 多 面 体 的体 积 为（）A.8 B.1 2 C.1 6 D.2 0【答 案】B【解 析】【分 析】由 三 视 图 还 原 几 何 体，再 由 棱 柱
19、 的 体 积 公 式 即 可 得 解.【详 解】由 三 视 图 还 原 几 何 体，如 图，则 该 直 四 棱 柱 的 体 积2 42 2 1 22V.故 选：B.5.将 函 数()s i n(0)3f x x 的 图 像 向 左 平 移2个 单 位 长 度 后 得 到 曲 线 C，若 C关 于 y 轴 对 称，则的 最 小 值 是（）A.16B.14C.13D.12【答 案】C【解 析】【分 析】先 由 平 移 求 出 曲 线 C 的 解 析 式，再 结 合 对 称 性 得,2 3 2k k Z，即 可求 出的 最 小 值.【详 解】由 题 意 知：曲 线 C 为 s i n s i n()
20、2 3 2 3y x x，又 C 关 于y轴 对 称，则,2 3 2k k Z，解 得12,3k k Z，又 0，故 当 0 k 时，的 最 小 值 为13.故 选：C.6.从 分 别 写 有 1，2，3，4，5，6 的 6 张 卡 片 中 无 放 回 随 机 抽 取 2 张，则 抽 到 的 2 张 卡 片 上的 数 字 之 积 是 4 的 倍 数 的 概 率 为（）A.15B.13C.25D.23【答 案】C【解 析】【分 析】先 列 举 出 所 有 情 况，再 从 中 挑 出 数 字 之 积 是 4 的 倍 数 的 情 况，由 古 典 概 型 求 概 率 即可.【详 解】从 6 张 卡 片
21、 中 无 放 回 抽 取 2 张，共 有 1,2,1,3,1,4,1,5,1,6,2,3,2,4,2,5,2,6,3,4,3,5,3,6,4,5,4,6,5,61 5 种 情 况，其 中 数 字 之 积 为 4 的 倍 数 的 有 1,4,2,4,2,6,3,4,4,5,4,6 6 种 情 况，故 概 率 为6 21 5 5.故 选：C.7.函 数 3 3 c o sx xy x 在 区 间,2 2 的 图 象 大 致 为（）A.B.C.D.【答 案】A【解 析】【分 析】由 函 数 的 奇 偶 性 结 合 指 数 函 数、三 角 函 数 的 性 质 逐 项 排 除 即 可 得 解.【详 解】
22、令 3 3 c o s,2 2x xf x x x，则 3 3 c o s 3 3 c o sx x x xf x x x f x，所 以 f x 为 奇 函 数，排 除 B D；又 当 0,2x 时，3 3 0,c os 0 x xx，所 以 0 f x，排 除 C.故 选：A.8.当 1 x 时，函 数()l nbf x a xx 取 得 最 大 值 2，则(2)f（）A.1 B.12 C.12D.1【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 题 意 可 知()1 2 f=-，1 0 f 即 可 解 得,a b，再 根 据 f x 即 可 解 出【详 解】因 为 函 数 f x 定 义 域 为
23、 0,，所 以 依 题 可 知，()1 2 f=-，1 0 f，而 2a bf xx x，所 以 2,0 b a b，即 2,2 a b，所 以 22 2f xx x，因此 函 数 f x 在 0,1 上 递 增，在 1,上 递 减，1 x 时 取 最 大 值，满 足 题 意，即 有 1 12 12 2f 故 选：B.9.在 长 方 体1 1 1 1A B C D A B C D 中，已 知1B D 与 平 面 A B C D 和 平 面1 1A A B B 所 成 的 角 均 为3 0，则（）A.2 A B A D B.A B 与 平 面1 1A B C D 所 成 的 角 为 3 0 C.
24、1A C C B D.1B D 与 平 面1 1B B C C 所 成 的 角 为45【答 案】D【解 析】【分 析】根 据 线 面 角 的 定 义 以 及 长 方 体 的 结 构 特 征 即 可 求 出【详 解】如 图 所 示：不 妨 设1,A B a A D b A A c，依 题 以 及 长 方 体 的 结 构 特 征 可 知，1B D 与 平 面 A B C D 所成 角 为1B D B，1B D 与 平 面1 1A A B B 所 成 角 为1D B A，所 以1 1s i n 3 0c bB D B D，即b c，2 2 212 B D c a b c，解 得2 a c 对 于 A
25、，A B a=，A D b=，2 A B A D，A 错 误；对 于 B，过 B 作1B E A B 于 E，易 知B E 平 面1 1A B C D，所 以 A B 与 平 面1 1A B C D 所 成角 为 B A E，因 为2t a n2cB A Ea，所 以3 0 B A E，B 错 误；对 于 C，2 23 A C a b c，2 212 C B b c c，1A C C B，C 错 误；对 于 D，1B D 与 平 面1 1B B C C 所 成 角 为1D B C，112s i n2 2C D aD B CB D c，而10 9 0 D B C，所 以14 5 D B C D
26、正 确 故 选：D 1 0.甲、乙 两 个 圆 锥 的 母 线 长 相 等，侧 面 展 开 图 的 圆 心 角 之 和 为 2，侧 面 积 分 别 为 S甲和 S乙，体 积 分 别 为 V甲和 V乙 若=2SS甲乙，则=VV甲乙（）A.5B.2 2C.10D.5 1 04【答 案】C【解 析】【分 析】设 母 线 长 为 l，甲 圆 锥 底 面 半 径 为1r，乙 圆 锥 底 面 圆 半 径 为2r，根 据 圆 锥 的 侧 面 积公 式 可 得1 22 r r，再 结 合 圆 心 角 之 和 可 将1 2,r r 分 别 用 l 表 示，再 利 用 勾 股 定 理 分 别 求 出 两圆 锥 的
27、 高，再 根 据 圆 锥 的 体 积 公 式 即 可 得 解.【详 解】解：设 母 线 长 为 l，甲 圆 锥 底 面 半 径 为1r，乙 圆 锥 底 面 圆 半 径 为2r，则1 12 22S r l rS r l r 甲乙，所 以1 22 r r，又1 22 22r rl l，则1 21r rl，所 以1 22 1,3 3r l r l，所 以 甲 圆 锥 的 高2 214 59 3h l l l，乙 圆 锥 的 高2 221 2 29 3h l l l，所 以2 21 1222 21 4 53 9 31011 2 239 3r h l lVVr hl l 甲乙.故 选：C.1 1.已 知
28、 椭 圆2 22 2:1(0)x yC a ba b 的 离 心 率 为13，1 2,A A 分 别 为 C 的 左、右 顶 点，B为 C 的 上 顶 点 若1 21 B A B A，则 C 的 方 程 为（）A.2 2118 16x y B.2 219 8x y+=C.2 213 2x y D.2212xy【答 案】B【解 析】【分 析】根 据 离 心 率 及1 2=1 B A B A，解 得 关 于2 2,a b 的 等 量 关 系 式，即 可 得 解.【详 解】解：因 为 离 心 率22113c bea a，解 得2289ba，2 289 b a，1 2,A A 分 别 为 C 的 左
29、右 顶 点，则 1 2,0,0 A a A a，B 为 上 顶 点，所 以(0,)B b.所 以1 2(,),(,)B A a b B A a b，因 为1 21 B A B A 所 以2 21 a b，将2 289 b a 代 入，解 得2 29,8 a b，故 椭 圆 的 方 程 为2 219 8x y+=.故 选：B.1 2.已 知 9 1 0,1 0 1 1,8 9m m ma b，则（）A.0 a b B.0 a b C.0 b a D.0 b a【答 案】A【解 析】【分 析】根 据 指 对 互 化 以 及 对 数 函 数 的 单 调 性 即 可 知9l og 10 1 m，再 利
30、 用 基 本 不 等 式，换 底 公 式 可 得 l g 1 1 m，8l o g 9 m，然 后 由 指 数 函 数 的 单 调 性 即 可 解 出【详 解】由9 1 0m可 得9l g 10l og 10 1l g 9m，而 2 22 l g 9 l g 11 l g 99l g 9 l g 11 1 l g 102 2，所 以l g 10 l g 11l g 9 l g 10，即 l g 1 1 m，所以l g 1 11 0 1 1 1 0 1 1 0ma 又 2 22 l g 8 l g 10 l g 80l g 8 l g 10 l g 92 2，所 以l g 9 l g 10l g
31、 8 l g 9，即8l o g 9 m，所 以8l o g 98 9 8 9 0mb 综 上，0 a b 故 选：A.二、填空 题：本 题共 4 小题，每 小题 5 分，共 20 分.1 3.已 知 向 量(,3),(1,1)a m b m 若a b，则m _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】34#0.7 5【解 析】【分 析】直 接 由 向 量 垂 直 的 坐 标 表 示 求 解 即 可.【详 解】由 题 意 知：3(1)0 a b m m，解 得34m.故 答 案 为：34.1 4.设 点 M 在 直 线 2 1 0 x y 上，点(3,0)和(0,1)均 在
32、 M 上，则 M 的 方 程 为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】2 2(1)(1)5 x y【解 析】【分 析】设 出 点 M 的 坐 标，利 用(3,0)和(0,1)均 在 M 上，求 得 圆 心 及 半 径，即 可 得 圆 的方 程.【详 解】解：点 M 在 直 线 2 1 0 x y 上，设 点 M 为(,1 2)a a，又 因 为 点(3,0)和(0,1)均 在 M 上，点 M 到 两 点 的 距 离 相 等 且 为 半 径 R，2 2 2 2(3)(1 2)(2)a a a a R，2 2 26 9 4 4 1 5 a a a a a，解 得 1 a，
33、(1,1)M，5 R，M 的 方 程 为2 2(1)(1)5 x y.故 答 案 为：2 2(1)(1)5 x y 1 5.记 双 曲 线2 22 2:1(0,0)x yC a ba b 的 离 心 率 为 e，写 出 满 足 条 件“直 线 2 y x 与 C 无 公共 点”的 e 的 一 个 值 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】2（满 足1 5 e 皆 可）【解 析】【分 析】根 据 题 干 信 息，只 需 双 曲 线 渐 近 线by xa 中 0 2ba 即 可 求 得 满 足 要 求 的 e值.【详 解】解：2 22 2:1(0,0)x yC a ba
34、b，所 以 C 的 渐 近 线 方 程 为by xa,结 合 渐 近 线 的 特 点，只 需 0 2ba，即224ba，可 满 足 条 件“直 线 2 y x 与 C 无 公 共 点”所 以221 1 4 5 c bea a，又 因 为 1 e，所 以1 5 e，故 答 案 为：2（满 足1 5 e 皆 可）1 6.已 知 A B C 中，点 D 在 边 B C 上，1 2 0,2,2 A D B A D C D B D 当A CA B取 得 最小 值 时，B D _ _ _ _ _ _ _ _【答 案】3 1#1+3【解 析】【分 析】设 2 2 0 C D B D m，利 用 余 弦 定
35、理 表 示 出22A CA B后，结 合 基 本 不 等 式 即 可 得解.【详 解】设 2 2 0 C D B D m，则 在 A B D 中，2 2 2 22 c o s 4 2 A B B D A D B D A D A D B m m，在 A C D 中，2 2 2 22 c o s 4 4 4 A C C D A D C D A D A D C m m，所 以 22 22 2 24 4 2 12 14 4 4 12434 2 4 211m m mA C m mA B m m m mmm 124 4 2 332 11mm，当 且 仅 当311mm 即3 1 m 时，等 号 成 立，所
36、以 当A CA B取 最 小 值 时，3 1 m.故 答 案 为：3 1.三、解答 题：共 70 分.解答 应写 出文字 说明、证明 过程或 演算 步骤.第 17 21 题为必 考题，每个 试题 考生都 必须 作答.第 22、23 题为 选考 题，考生 根据 要求作 答.（一）必 考 题：共 6 0 分.1 7.甲、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 均 由 A 和 B 两 家 公 司 运 营，为 了 解 这 两 家 公 司 长 途 客 车 的 运行 情 况，随 机 调 查 了 甲、乙 两 城 之 间 的 5 0 0 个 班 次，得 到 下 面 列 联 表：准 点 班 次 数 未 准 点
37、班 次 数A 2 4 0 2 0B 2 1 0 3 0（1）根 据 上 表，分 别 估 计 这 两 家 公 司 甲、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 准 点 的 概 率；（2）能 否 有 9 0%的 把 握 认 为 甲、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 是 否 准 点 与 客 车 所 属 公 司 有 关？附：22()()()()()n a d b cKa b c d a c b d，2P K k 0.1 0 0 0.0 5 0 0.0 1 0k 2.7 0 6 3.8 4 1 6.6 3 5【答 案】（1）A，B 两 家 公 司 长 途 客 车 准 点 的 概 率 分 别 为1 2
38、1 3，78（2）有【解 析】【分 析】（1）根 据 表 格 中 数 据 以 及 古 典 概 型 的 概 率 公 式 可 求 得 结 果；（2）根 据 表 格 中 数 据 及 公 式 计 算2K，再 利 用 临 界 值 表 比 较 即 可 得 结 论.【小 问 1 详 解】根 据 表 中 数 据，A 共 有 班 次 2 6 0 次，准 点 班 次 有 2 4 0 次，设 A 家 公 司 长 途 客 车 准 点 事 件 为 M，则240 12()260 13 P M；B 共 有 班 次 2 4 0 次，准 点 班 次 有 2 1 0 次，设 B 家 公 司 长 途 客 车 准 点 事 件 为 N
39、，则2 1 0()278 4 0 P N.A 家 公 司 长 途 客 车 准 点 的 概 率 为1 21 3；B 家 公 司 长 途 客 车 准 点 的 概 率 为78.【小 问 2 详 解】列 联 表准 点 班 次 数 未 准 点 班 次 数 合 计A 2 4 0 2 0 2 6 0B 2 1 0 3 0 2 4 0合 计 4 5 0 5 0 5 0 022()()()()()n a d b cKa b c d a c b d=25 0 0(2 4 0 3 0 2 1 0 2 0)3.2 0 5 2.7 0 62 6 0 2 4 0 4 5 0 5 0，根 据 临 界 值 表 可 知，有 9
40、 0%的 把 握 认 为 甲、乙 两 城 之 间 的 长 途 客 车 是 否 准 点 与 客 车 所 属 公司 有 关.1 8.记nS 为 数 列 na 的 前 n 项 和 已 知22 1nnSn an（1）证 明：na 是 等 差 数 列；（2）若4 7 9,a a a 成 等 比 数 列，求nS 的 最 小 值【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）78【解 析】【分 析】（1）依 题 意 可 得22 2n nS n n a n，根 据11,1,2nn nS naS S n，作 差 即 可 得 到11n na a，从 而 得 证；（2）由（1）及 等 比 中 项 的 性 质 求 出1a，
41、即 可 得 到 na 的 通 项 公 式 与 前n项 和，再 根 据 二次 函 数 的 性 质 计 算 可 得【小 问 1 详 解】解：因 为22 1nnSn an，即22 2n nS n n a n，当 2 n 时，21 12 1 2 1 1n nS n n a n，得，221 12 2 1 2 2 1 1n n n nS n S n n a n n a n，即 12 2 1 2 2 1 1n n na n n a n a，即 12 1 2 1 2 1n nn a n a n，所 以11n na a，2 n 且 N*n，所 以 na 是 以 1 为 公 差 的 等 差 数 列【小 问 2 详
42、 解】解：由（1）可 得4 13 a a，7 16 a a，9 18 a a，又4a，7a，9a 成 等 比 数 列，所 以27 4 9a a a，即 21 1 16 3 8 a a a，解 得112 a，所 以 13na n，所 以 2211 2 5 1 2 5 6 2 51 22 2 2 2 2 8nn nS n n n n，所 以，当 12 n 或 1 3 n 时 m i n7 8nS 1 9.小 明 同 学 参 加 综 合 实 践 活 动，设 计 了 一 个 封 闭 的 包 装 盒，包 装 盒 如 图 所 示：底 面 A B C D是 边 长 为 8（单 位：c m）的 正 方 形，,
43、E A B F B C G C D H D A 均 为 正 三 角 形，且 它 们所 在 的 平 面 都 与 平 面 A B C D 垂 直（1）证 明：/E F 平 面 A B C D；（2）求 该 包 装 盒 的 容 积（不 计 包 装 盒 材 料 的 厚 度）【答 案】（1）证 明 见 解 析；（2）6 4 033【解 析】【分 析】（1）分 别 取,A B B C 的 中 点,M N，连 接 M N，由 平 面 知 识 可 知,E M A B F N B C，E M F N，依 题 从 而 可 证 E M 平 面 A B C D，F N 平 面A B C D，根 据 线 面 垂 直 的
44、 性 质 定 理 可 知/E M F N，即 可 知 四 边 形 E M N F 为 平 行 四 边 形，于 是/E F M N，最 后 根 据 线 面 平 行 的 判 定 定 理 即 可 证 出；（2）再 分 别 取,A D D C 中 点,K L，由（1）知，该 几 何 体 的 体 积 等 于 长 方 体 K M N L E F G H 的 体 积 加 上 四 棱 锥 B M N F E 体 积 的 4 倍，即 可 解 出【小 问 1 详 解】如 图 所 示：，分 别 取,A B B C 的 中 点,M N，连 接 M N，因 为,E A B F B C 为 全 等 的 正 三 角 形，所
45、 以,E M A B F N B C，E M F N，又 平 面 E A B 平 面 A B C D，平 面 E A B 平 面A B C D A B，E M 平 面 E A B，所 以 E M 平 面 A B C D，同 理 可 得 F N 平 面 A B C D，根 据 线 面 垂 直 的 性 质 定 理 可 知/E M F N，而 E M F N，所 以 四 边 形 E M N F 为 平 行 四 边形，所 以/E F M N，又 E F 平 面 A B C D，M N 平 面 A B C D，所 以/E F 平 面 A B C D【小 问 2 详 解】如 图 所 示：，分 别 取,A
46、D D C 中 点,K L，由（1）知，/E F M N 且 E F M N，同 理 有，/,H E K M H E K M，/,H G K L H G K L，/,G F L N G F L N，由 平 面 知 识 可 知，B D M N，M N M K，K M M N N L L K，所 以 该 几 何 体 的 体 积 等 于 长 方 体K M N L E F G H 的 体 积 加 上 四 棱 锥 B M N F E 体 积 的 4 倍 因 为4 2 M N N L L K K M，8 s i n 6 0 4 3 E M，点 B 到 平 面 M N F E 的 距 离即 为 点 B 到
47、直 线 M N 的 距 离 d，2 2 d，所 以 该 几 何 体 的 体 积 21 2 5 6 6 4 04 2 4 3 4 4 2 4 3 2 2 1 2 8 3 3 33 3 3V 2 0.已 知 函 数3 2(),()f x x x g x x a，曲 线()y f x 在 点 1 1,x f x处 的 切 线 也 是 曲 线()y g x 的 切 线（1）若11 x，求 a；（2）求 a 的 取 值 范 围【答 案】（1）3（2）1,【解 析】【分 析】（1）先 由()f x上 的 切 点 求 出 切 线 方 程，设 出()g x 上 的 切 点 坐 标，由 斜 率 求 出 切 点坐
48、 标，再 由 函 数 值 求 出a即 可；（2）设 出()g x 上 的 切 点 坐 标，分 别 由()f x和()g x 及 切 点 表 示 出 切 线 方 程，由 切 线 重 合 表 示出a，构 造 函 数，求 导 求 出 函 数 值 域，即 可 求 得a的 取 值 范 围.【小 问 1 详 解】由 题 意 知，(1)1(1)0 f，2()3 1 x f x，(1)3 1 2 f，则()y f x 在 点 1,0 处 的 切 线 方 程 为 2(1)y x，即 2 2 y x，设 该 切 线 与()g x切 于 点 2 2,()x g x，()2 g x x，则2 2()2 2 g x x
49、，解得21 x，则(1)1 2 2 g a，解 得 3 a；【小 问 2 详 解】2()3 1 x f x，则()y f x 在 点 1 1(),x f x处 的 切 线 方 程 为 3 21 1 1 13 1()y x x x x x，整 理 得 2 31 13 1 2 y x x x，设 该 切 线 与()g x切 于 点 2 2,()x g x，()2 g x x，则2 2()2 g x x，则 切 线 方 程 为 22 2 22()y x a x x x，整 理 得22 22 y x x x a，则21 23 21 23 1 22x xx x a，整 理 得222 3 3 4 3 2
50、12 1 1 1 1 13 1 9 3 12 2 22 2 4 2 4xa x x x x x x，令4 3 29 3 1()24 2 4h x x x x，则3 2()9 6 3 3(3 1)(1)h x x x x x x x，令()0 h x，解 得103x 或 1 x，令()0 h x，解 得13x 或 0 1 x，则x变 化 时，(),()h x h x 的 变 化 情 况 如 下 表：x1,3 131,03 0 0,1 1 1,()h x 0 0 0()h x52 714 1 则()h x 的 值 域 为 1,，故a的 取 值 范 围 为 1,.2 1.设 抛 物 线2:2(0)C