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1、2 0 2 0 年 河 北 高 考 理 科 数 学 试 题 及 答 案注 意 事 项：1 答 卷 前，考 生 务 必 将 自 己 的 姓 名、考 生 号 等 填 写 在 答 题 卡 和 试 卷 指 定 位 置 上。2 回 答 选 择 题 时，选 出 每 小 题 答 案 后，用 铅 笔 把 答 题 卡 对 应 题 目 的 答 案 标 号 涂 黑。如 需 改 动，用 橡 皮擦 干 净 后，再 选 涂 其 他 答 案 标 号。回 答 非 选 择 题 时，将 答 案 写 在 答 题 卡 上。写 在 本 试 卷 上 无 效。3 考 试 结 束 后，将 本 试 卷 和 答 题 卡 一 并 交 回。一、选
2、择 题：本 题 共 1 2 小 题，每 小 题 5 分，共 6 0 分。在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 项 是 符 合 题 目要 求 的。1 若 z=1+i，则|z2 2 z|=A 0 B 1 C 2D 22 设 集 合 A=x|x2 4 0，B=x|2 x+a 0，且 A B=x|2 x 1，则 a=A 4 B 2 C 2 D 43 埃 及 胡 夫 金 字 塔 是 古 代 世 界 建 筑 奇 迹 之 一，它 的 形 状 可 视 为 一 个 正 四 棱 锥，以 该 四 棱 锥 的 高 为 边 长 的 正方 形 面 积 等 于 该 四 棱 锥 一 个 侧 面 三 角
3、形 的 面 积，则 其 侧 面 三 角 形 底 边 上 的 高 与 底 面 正 方 形 的 边 长 的 比 值为A 5 14B 5 12C 5 14D 5 124 已 知 A 为 抛 物 线 C:y2=2 p x（p 0）上 一 点，点 A 到 C 的 焦 点 的 距 离 为 1 2，到 y 轴 的 距 离 为 9，则 p=A 2 B 3 C 6 D 95 某 校 一 个 课 外 学 习 小 组 为 研 究 某 作 物 种 子 的 发 芽 率 y 和 温 度 x（单 位：C）的 关 系，在 2 0 个 不 同 的 温度 条 件 下 进 行 种 子 发 芽 实 验，由 实 验 数 据(,)(1,
4、2,20)i ix y i 得 到 下 面 的 散 点 图：由 此 散 点 图，在 1 0 C 至 4 0 C 之 间，下 面 四 个 回 归 方 程 类 型 中 最 适 宜 作 为 发 芽 率 y 和 温 度 x 的 回 归 方程 类 型 的 是A y a b x B 2y a b x C exy a b D ln y a b x 6 函 数4 3()2 f x x x 的 图 像 在 点(1(1)f，处 的 切 线 方 程 为A 2 1 y x B 2 1 y x C 2 3 y x D 2 1 y x 7 设 函 数()cos()6f x x 在,的 图 像 大 致 如 下 图，则 f(
5、x)的 最 小 正 周 期 为A 109B 76C 43D 328 25()()x xyxy 的 展 开 式 中 x3y3的 系 数 为A 5 B 1 0 C 1 5 D 2 09 已 知()0,，且 3cos2 8cos 5，则 sin A 53B 23C 13D 591 0 已 知,A B C 为 球 O 的 球 面 上 的 三 个 点，1O 为 A B C 的 外 接 圆，若 1O 的 面 积 为 4，1A B B C A C O O，则 球 O 的 表 面 积 为A 64 B 48 C 36 D 321 1 已 知 M：2 22 2 2 0 x y x y，直 线 l：2 2 0 x
6、y，P 为 l 上 的 动 点，过 点 P 作 M 的 切 线,P A P B，切 点 为,A B，当|P M A B 最 小 时，直 线 A B 的 方 程 为A 2 1 0 x y B 2 1 0 x y C 2 1 0 x y D 2 1 0 x y 1 2 若2 42 log 4 2loga ba b，则A 2 a b B 2 a b C 2a b D 2a b 二、填 空 题：本 题 共 4 小 题，每 小 题 5 分，共 2 0 分。1 3 若 x，y 满 足 约 束 条 件2 2 0,1 0,1 0,x yx yy 则 z=x+7 y 的 最 大 值 为.1 4 设,a b 为
7、单 位 向 量，且|1 a b，则|a b.1 5 已 知 F 为 双 曲 线2 22 2:1(0,0)x yC a ba b 的 右 焦 点，A 为 C 的 右 顶 点，B 为 C 上 的 点，且 B F 垂 直 于 x轴.若 A B 的 斜 率 为 3，则 C 的 离 心 率 为.1 6 如 图，在 三 棱 锥 P A B C 的 平 面 展 开 图 中，A C=1，3 A B A D，A B A C，A B A D，C A E=3 0，则c o s F C B=.三、解 答 题：共 7 0 分。解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤。第 1 7 2 1 题
8、 为 必 考 题，每 个 试 题 考 生都 必 须 作 答。第 2 2、2 3 题 为 选 考 题，考 生 根 据 要 求 作 答。（一）必 考 题：共 6 0 分。1 7（1 2 分）设 na 是 公 比 不 为 1 的 等 比 数 列，1a 为2a，3a 的 等 差 中 项（1）求 na 的 公 比；（2）若11 a，求 数 列 nn a 的 前n项 和 1 8（1 2 分）如 图，D 为 圆 锥 的 顶 点，O 是 圆 锥 底 面 的 圆 心，A E 为 底 面 直 径，A E A D A B C 是 底 面 的 内 接 正三 角 形，P 为 D O 上 一 点，66P O D O（1）
9、证 明：P A 平 面 P B C；（2）求 二 面 角 B P C E 的 余 弦 值 1 9.（1 2 分）甲、乙、丙 三 位 同 学 进 行 羽 毛 球 比 赛，约 定 赛 制 如 下：累 计 负 两 场 者 被 淘 汰；比 赛 前 抽 签 决 定 首 先 比 赛 的 两 人，另 一 人 轮 空；每 场 比 赛 的 胜 者 与 轮 空 者 进 行下 一 场 比 赛，负 者 下 一 场 轮 空，直 至 有 一 人 被 淘 汰；当 一 人 被 淘 汰 后，剩 余 的 两 人 继 续 比 赛，直 至 其中 一 人 被 淘 汰，另 一 人 最 终 获 胜，比 赛 结 束.经 抽 签，甲、乙 首
10、先 比 赛，丙 轮 空.设 每 场 比 赛 双 方 获 胜 的 概 率 都 为12，（1）求 甲 连 胜 四 场 的 概 率；（2）求 需 要 进 行 第 五 场 比 赛 的 概 率；（3）求 丙 最 终 获 胜 的 概 率.2 0.（1 2 分）已 知 A、B 分 别 为 椭 圆 E：2221xya（a 1）的 左、右 顶 点，G 为 E 的 上 顶 点，8 A G G B，P 为 直 线x=6 上 的 动 点，P A 与 E 的 另 一 交 点 为 C，P B 与 E 的 另 一 交 点 为 D（1）求 E 的 方 程；（2）证 明：直 线 C D 过 定 点.2 1（1 2 分）已 知
11、函 数2()exf x ax x.（1）当 a=1 时，讨 论 f（x）的 单 调 性；（2）当 x 0 时，f（x）12x3+1，求 a 的 取 值 范 围.（二）选 考 题：共 1 0 分。请 考 生 在 第 2 2、2 3 题 中 任 选 一 题 作 答。如 果 多 做，则 按 所 做 的 第 一 题 计 分。2 2 选 修 4 4：坐 标 系 与 参 数 方 程（1 0 分）在 直 角 坐 标 系x O y中，曲 线1C 的 参 数 方 程 为cos,sinkkx ty t(t为 参 数)以 坐 标 原 点 为 极 点，x轴 正 半 轴 为极 轴 建 立 极 坐 标 系，曲 线2C 的
12、 极 坐 标 方 程 为4 cos 16 sin 3 0（1）当 1 k 时，1C 是 什 么 曲 线？（2）当 4 k 时，求1C 与2C 的 公 共 点 的 直 角 坐 标 2 3 选 修 4 5：不 等 式 选 讲（1 0 分）已 知 函 数()|3 1|2|1|f x x x（1）画 出()y f x 的 图 像；（2）求 不 等 式()(1)f x f x 的 解 集 理 科 数 学 试 题 参 考 答 案(A 卷)选 择 题 答 案一、选 择 题1 D 2 B 3 C 4 C5 D 6 B 7 C 8 C9 A 1 0 A 1 1 D 1 2 B非 选 择 题 答 案二、填 空 题
13、1 3 1 1 4 31 5 2 1 6 14三、解 答 题1 7 解：（1）设 na 的 公 比 为q，由 题 设 得1 2 32,a a a 即21 1 12 a a q a q.所 以22 0,q q 解 得 1 q（舍 去），2 q.故 na 的 公 比 为 2.（2）设nS 为 nn a 的 前 n 项 和.由（1）及 题 设 可 得，1(2)nna.所 以11 2(2)(2)nnS n，2 12 2 2(2)(1)(2)(2)n nnS n n.可 得2 13 1(2)(2)(2)(2)n nnS n 1(2)=(2).3nnn 所 以1(3 1)(2)9 9nnnS.1 8 解：
14、（1）设 D O a，由 题 设 可 得6 3,6 3P O a A O a A B a，22P A P B P C a.因 此2 2 2P A P B A B，从 而 P A P B.又2 2 2P A P C A C，故 P A P C.所 以 P A 平 面 P B C.（2）以 O 为 坐 标 原 点，O E 的 方 向 为y轴 正 方 向，|O E 为 单 位 长，建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系O x y z.由 题 设 可 得3 1 2(0,1,0),(0,1,0),(,0),(0,0,)2 2 2E A C P.所 以3 1 2(,0),(0,1,)2 2
15、 2E C E P.设(,)x y z m 是 平 面 P C E 的 法 向 量，则00E PE C mm，即2023 102 2y zx y，可 取3(,1,2)3 m.由（1）知2(0,1,)2A P 是 平 面 P C B 的 一 个 法 向 量，记A P n，则2 5cos,|5 n mn mn m|.所 以 二 面 角 B P C E 的 余 弦 值 为2 55.1 9 解：（1）甲 连 胜 四 场 的 概 率 为116（2）根 据 赛 制，至 少 需 要 进 行 四 场 比 赛，至 多 需 要 进 行 五 场 比 赛 比 赛 四 场 结 束，共 有 三 种 情 况：甲 连 胜 四
16、 场 的 概 率 为116；乙 连 胜 四 场 的 概 率 为116；丙 上 场 后 连 胜 三 场 的 概 率 为18所 以 需 要 进 行 第 五 场 比 赛 的 概 率 为1 1 1 3116 16 8 4（3）丙 最 终 获 胜，有 两 种 情 况：比 赛 四 场 结 束 且 丙 最 终 获 胜 的 概 率 为18比 赛 五 场 结 束 且 丙 最 终 获 胜，则 从 第 二 场 开 始 的 四 场 比 赛 按 照 丙 的 胜、负、轮 空 结 果 有 三 种 情 况：胜胜 负 胜，胜 负 空 胜，负 空 胜 胜，概 率 分 别 为116，18，18因 此 丙 最 终 获 胜 的 概 率
17、 为1 1 1 1 78 16 8 8 16 2 0 解：（1）由 题 设 得 A（a，0），B（a，0），G（0，1）.则(,1)A G a，G B=（a，1）.由A G G B=8 得 a2 1=8，即 a=3.所 以 E 的 方 程 为29x+y2=1（2）设 C（x1，y1），D（x2，y2），P（6，t）.若 t 0，设 直 线 C D 的 方 程 为 x=m y+n，由 题 意 可 知 3 n 3.由 于 直 线 P A 的 方 程 为 y=9t（x+3），所 以 y1=9t（x1+3）.直 线 P B 的 方 程 为 y=3t（x 3），所 以 y2=3t（x2 3）.可 得 3
18、 y1（x2 3）=y2（x1+3）.由 于22 2219xy，故2 2 22(3)(3)9x xy，可 得1 2 1 227(3)(3)y y x x，即2 21 2 1 2(27)(3)()(3)0.m y y m n y y n 将x m y n 代 入2219xy 得2 2 2(9)2 9 0.m y m n y n 所 以1 2 229m ny ym，21 2 299ny ym代 入 式 得2 2 2 2(27)(9)2(3)(3)(9)0.m n m n m n n m 解 得 n=3（含 去），n=32.故 直 线 C D 的 方 程 为3=2x m y，即 直 线 C D 过
19、定 点（32，0）若 t=0，则 直 线 C D 的 方 程 为 y=0，过 点（32，0）.综 上，直 线 C D 过 定 点（32，0）.2 1 解：（1）当 a=1 时，f（x）=ex+x2 x，则()f x=ex+2 x 1 故 当 x（，0）时，()f x 0 所 以 f（x）在（，0）单 调 递减，在（0，+）单 调 递 增（2）31()12f x x 等 价 于3 21(1)e 12xx a x x.设 函 数3 21()(1)e(0)2xg x x a x x x，则3 2 21 3()(1 2 1)e2 2xg x x a x x x a x 21(2 3)4 2e2xx x
20、 a x a 1(2 1)(2)e2xx x a x.（i）若 2 a+1 0，即12a，则 当 x（0，2）时，()g x 0.所 以 g（x）在（0，2）单 调 递 增，而 g（0）=1，故 当 x（0，2）时，g（x）1，不 合 题 意.（i i）若 0 2 a+1 2，即1 12 2a，则 当 x(0，2 a+1)(2，+)时，g(x)0.所 以 g(x)在(0，2 a+1)，(2，+)单 调 递 减，在(2 a+1，2)单 调 递 增.由 于 g(0)=1，所 以 g(x)1当 且 仅 当 g(2)=(7 4 a)e2 1，即 a 27 e4.所 以 当27 e 14 2a 时，g(
21、x)1.（i i i）若 2 a+1 2，即12a，则 g(x)31(1)e2xx x.由 于27 e 10,)4 2，故 由（i i）可 得31(1)e2xx x 1.故 当12a 时，g(x)1.综 上，a 的 取 值 范 围 是27 e,)4.2 2 解：（1）当 k=1 时，1cos,:sin,x tCy t 消 去 参 数 t 得2 21 x y，故 曲 线1C 是 圆 心 为 坐 标 原 点，半 径 为 1的 圆（2）当 k=4 时，414cos,:sin,x tCy t 消 去 参 数 t 得1C 的 直 角 坐 标 方 程 为 1 x y 2C 的 直 角 坐 标 方 程 为4
22、 16 3 0 x y 由1,4 16 3 0 x yx y 解 得1414xy故1C 与2C 的 公 共 点 的 直 角 坐 标 为1 1(,)4 42 3 解：（1）由 题 设 知13,31()5 1,1,33,1.x xf x x xx x()y f x 的 图 像 如 图 所 示（2）函 数()y f x 的 图 像 向 左 平 移 1 个 单 位 长 度 后 得 到 函 数(1)y f x 的 图 像()y f x 的 图 像 与(1)y f x 的 图 像 的 交 点 坐 标 为7 11(,)6 6 由 图 像 可 知 当 且 仅 当76x 时，()y f x 的 图 像 在(1)y f x 的 图 像 上 方，故 不 等 式()(1)f x f x 的 解 集 为7(,)6