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1、1xa1 21 22021 海 南 考 研 数 学 三 真 题 及 答 案一、选 择 题（本 题 共 10 小 题，每 小 题 5 分，共 50 分.每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 个 选 项是 符 合 题 目 要 求，把 所 选 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 卡 指 定 位 置 上.）2(1)当 x 0 时，0(e 1)d t 是 x7的(A)低 阶 无 穷 小.(B)等 价 无 穷 小.(C)高 阶 无 穷 小.(D)同 阶 但 非 等 价 无 穷 小.【答 案】C.x2t3x67x2t37【详 解】因 为 当 x 0 时，0(e 1)d t确 答 案 为
2、 C.2 x(e 1)x，所 以0(e 1)d t 是 x 高 阶 无 穷 小，正 ex 1(2)函 数 f(x)=x,x 0,在 x 0 处1,x 0(A)连 续 且 取 极 大 值.(B)连 续 且 取 极 小 值.(C)可 导 且 导 数 为 0.(D)可 导 且 导 数 不 为 0.【答 案】D.【详 解】因 为 l i m f(x)=l i mex1 1 f(0)，故 f(x)在 x 0 处 连 续；x 0 x 0 xf(x)f(0)ex11xex 1 x 11因 为 l i m=l i m l i m，故 f(0)，正 确 答 案 为 D.x 0 x 0 x0 x 0 x 0 x2
3、2 2(3)设 函 数 f(x)a x b l n x(a 0)有 两 个 零 点，则b的 取 值 范 围 是a(A)(e,).(B)(0,e).(C)(0,1).(D)(1,).e e【答 案】A.【详 解】令 f(x)a x b l n x 0，f(x)a b，令 f(x)0 有 驻 点 x b，f b a b b l nb 0，x从 而 l nb 1，可 得b e，正 确 答 案 为 A.a a aa a(4)设 函 数 f(x,y)可 微，f(x 1,ex)x(x 1)2，f(x,x2)2 x2l n x，则 d f(1,1)(A)d x d y.(B)d x d y.(C)d y.(
4、D)d y.【答 案】C.【详 解】f(x 1,ex)exf(x 1,ex)(x 1)2 2 x(x 1)f(x,x2)2 x f(x,x2)4 x l n x 2 x t32 x 0 x 1分 别 将y 0，y 1带 入 式 有 f1(1,1)f2(1,1)1，f1(1,1)2 f2(1,1)2联 立 可 得 f1(1,1)0，f2(1,1)1，d f(1,1)f1(1,1)d x f2(1,1)d y d y，故 正 确 答 案 为 C.(5)二 次 型 f(x,x,x)(x x)2(x x)2(x x)2的 正 惯 性 指 数 与 负 惯 性 指 数 依 次 为1 2 3 1 2 2 3
5、 3 1(A)2,0.(B)1,1.(C)2,1.(D)1,2.【答 案】B.【详 解】f(x,x,x)(x x)2(x x)2(x x)2 2 x2 2 x x 2 x x 2 x x1 2 3 1 2 2 3 3 1 2 1 2 2 3 1 3 0 1 1 所 以 A 1 2 1，故 特 征 多 项 式 为1 1 0 1|E A|1 2 1 1 1 1(1)(3)令 上 式 等 于 零，故 特 征 值 为 1，3，0，故 该 二 次 型 的 正 惯 性 指 数 为 1，负 惯 性 指 数 为 1.故 应 选 B.T11(6)设 A(,)为 4 阶 正 交 矩 阵，若 矩 阵 B=T，1，k
6、 表 示 任 意 常 数，1 2 34 2 T 1 3 则 线 性 方 程 组 Bx 的 通 解 x(A)2 3 4 k 1.(B)1 3 4 k 2.(C)1 2 4 k 3.(D)1 2 3 k 4.【答 案】D.【解 析】因 为 A(1,2,3,4)为 4 阶 正 交 矩 阵，所 以 向 量 组 1,2,3,4是 一 组 标 准 正 交 向 量 T1组，则 r(B)3，又 B=T 0，所 以 齐 次 线 性 方 程 组 Bx 0 的 通 解 为 k.而4 2 4 4T3 T 1 1 B()=T()1，故 线 性 方 程 组 Bx 的 通 解1 2 321 2 3 T 1 3 x 1 2
7、3 k 4，其 中 k 为 任 意 常 数.故 应 选 D.1 0 1(7)已 知 矩 阵 A 2 1 1，若 下 三 角 可 逆 矩 阵 P 和 上 三 角 可 逆 矩 阵 Q，使 PAQ 为 对 角 1 2 5 矩 阵，则 P，Q 可 以 分 别 取3 Q 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0(A)0 1 0，0 1 3.(B)2 1 0，0 1 0.0 0 1 0 0 1 3 2 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 2 3(C)2 1 0，0 1 3.(D)0 1 0，0 1 2.3 2 1【答 案】C.【解 析】0 0 1 1 3 1 0 0 11 0 1
8、 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 0(A,E)2 1 1 0 1 00 1 3 2 1 00 1 3 2 1 0 1 2 5 0 0 1 0 2 6 1 0 1 0 0 0 3 2 1 1 0 0(F,P),则 P 2 1 0;1 00 1 3 2 1 1 1 0 0 3 0 1 0 1 0 1 F 0 0 0 0 0 0，则 Q 0 1 3.故 应 选 C.E1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 30 0 1 0 0 1 0 0 1(8)设 A，B 为 随 机 事 件，且 0 P(B)1，下 列 命 题 中 不 成 立 的 是(A)若 P(A|B)P(A)，则
9、P(A|B)P(A).(B)若 P(A|B)P(A)，则 P(A|B)P(A)(C)若 P(A|B)P(A|B)，则 P(A|B)P(A).(D)若 P(A|A B)P(A|A B)，则 P(A)P(B).【答 案】D.P(A(A B)【详 解】P(A|A B)P(A B)P(A)P(A)P(B)P(A B)P(A|A B)P(A(A B)P(A B)P(A B)P(A B)P(B)P(A B)P(A)P(B)P(A B)因 为 P(A|A B)P(A|A B)，固 有 P(A)P(B)P(A B)，故 正 确 答 案 为 D.(9)设(X,Y)，(X,Y)，(X,Y)为 来 自 总 体 N(
10、,;2,2;)的 简 单 随 机 样 本，令1 1 2 2 n n1n1n1 2 1 2 1 2，X nXi，Y nYi，X Y 则i 1 i 12 24(A)E()，D()1 2.n5dydx 2 x 1 2 1 2 1 2 1 2)()53 22 2 2(B)E()，D().n2 2(C)E()，D()1 2.n2 2 2(D)E()，D().n【答 案】B【详 解】因 为 X,Y 是 二 维 正 态 分 布，所 以 X 与 Y 也 服 从 二 维 正 态 分 布，则 X Y 也 服 从 二 维 正 态 分布，即 E()E(X Y)E(X)E(Y)1 2，2 2 2 D()D(X Y)D(
11、X)D(Y)c o v(X,Y)1 2 1 2，故 正 确 答 案 为 B.n1 1(1 0)设 总 体 X 的 概 率 分 布 为 P X 1，P X 2 P X 3，利 用 来 自 总 体2 4的 样 本 值 1，3，2，2，1，3，1，2，可 得 的 最 大 似 然 估 计 值 为(A)1.3(B).(C)1.(D)5.4 8 2 2【答 案】A.【详 解】似 然 函 数 L()(1 31 5，2 41 1 取 对 数 l n L()3 l n()5 l n()；2 4d l n L()3 5 1求 导 0，得.故 正 确 答 案 为 A.d 1 1 4二、填 空 题（本 题 共 6 小
12、 题，每 小 题 5 分，共 30 分.请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.）(1 1)若 y c o s e x，则.s i n1【答 案】e.2 ex 1s i n1【详 解】d y s i n e x(e x1)d xx 1e.2 e(1 2)5【答 案】6.xd x.x2 93 x 5 x 13d(9 x2)15d(x2 9)【详 解】5d x 9 xd x x2 9259 x223 6.(1 3)设 平 面 区 域 D 由 曲 线 y 体 积 为.【答 案】.4x s i n x(0 x 1)与 x 轴 围 成，则 D 绕 x 轴 旋 转 所 成 旋 转 体 的d
13、 yd xx2 9611【详 解】V(x s i n x)2d x x s i n2 x d x x t1s i n2t d t.0 0204(1 4)差 分 方 程 yt t 的 通 解 为.【答 案】y y y 1t21t C，C 为 任 意 常 数.2 2【详 解】y C,y1(a t+b)，(t 1)(a(t 1)b)t(a t 1)t，2 a t a b t，a 1,b 1，2y y y 1t21t C,C 为 任 意 常数.2 2(1 5)多 项 式 f(x)2 2中 x3项 的 系 数 为.【答 案】-5.【详 解】x x1 2 x x 2 1 1 2 1 1 x 1 1 x 2
14、1 x 2 1f(x)x 1 x 1 x 2 x 1 2 1 1 2 x 2 1 x2 1 x 1 1 1 x 2 1 x 3 1 x 2 1 12 1 1 x所 以 展 开 式 中 含 x3项 的 有 x3,4 x3，即 x3项 的 系 数 为-5.(1 6)甲 乙 两 个 盒 子 中 各 装 有 2 个 红 球 和 2 个 白 球，先 从 甲 盒 中 任 取 一 球，观 察 颜 色 后 放 入 乙 盒 中，再 从 乙 盒 中 任 取 一 球.令 X,Y 分 别 表 示 从 甲 盒 和 乙 盒 中 取 到 的 红 球 个 数，则 X 与 Y 的 相 关 系 数.1【答 案】.5(0,0)(0
15、,1)(1,0)(1,1)0 1 0 1【解 答】联 合 分 布 率(X,Y)3 1 1 3,X1 1Y1 1 1 0 5 5 1 0 2 2 2 2 1 1 1 1c o v(X,Y)2 0，D X 4,D Y 4,即 X Y5.三、解 答 题（本 题 共 6 小 题，共 70 分.请 将 解 答 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上，解 答 应 写 出 文 字 说明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.）(1 7)(本 小 题 满 分 1 0 分)11已 知 l i m a r c t a nx01 1 1 x x 存 在，求 的 值.x【答 案】(e e).【详 解】.要 想 极 限
16、存 在，则 左 右 极 限 相 等；1又 由 于 l i m a r c t a nx 0 x(1 1x)x e;2x x 1 2x1 x 2 12 1 x 12 1 1 x71f t e d tx2 1l i m a r c t a nx 0 x(1 1 1x)x;2 e 1 1 1从 而 e 2 2，即 e(e e).(1 8)(本 小 题 满 分 1 2 分)(x 1)2 y2求 函 数 f(x,y)2 l n x 的 极 值.2 x2【答 案】(1,0)处 取 极 小 值 2；(,0)处 取 极 小 值12 2 2 l n 2.【详 解】2 x2 x 1 y2fxx3 0 2 x2 x
17、 1 y2 0（1）y即y 0f 0yx21得 驻 点(1,0)，(,0)2 xx 4 x 1 x 3(2 x2 x 1 y2)x4（2）2 yx yx3f 1 y y 2（3）驻 点(1,0)处，A=3，B=0，C=1，A C B2 3 0，A 0故 f(x,y)在(1,0)处 取 极 小 值 2；驻 点(1,0)处，A=2 4，B=0，C=4，A C B2 3 0，A 021 1故 f(x,y)在(,0)处 取 极 小 值2 2(1 9)(本 小 题 满 分 1 2 分)2 l n 2.设 有 界 区 域 D 是 x2 y2 1 和 直 线 y x 以 及 x 轴 在 第 一 象 限 围
18、城 的 部 分，计 算 二 重 积 分 e(x y)2(x2 y2)d x d y.D【答 案】1e21e 1.8 4 82 11 2 2 11 2 2 e(x y)(x2y2)d 4c o s 2 d er(c o s s i n)r2d r24c o s 2 d er(c o s s i n)r2d r2D0 020 01 24c o s 2 d eu(c o s s i n)u d u0 01u eu(c o s s i n)2d u11(c o s s i n)2u eu(c o s s i n)2d u(c o s s i n)201(c o s s i n)1(c o s s i
19、n)4 0(c o s s i n)2t40f8e(c o s s i n)21 e(c o s s i n)2 1(c o s s i n)2(c o s s i n)49n 1n 1 211 上 式=14c o s s i n(c o s s i n)2d 14c o s s i n e(c o s s i n)2 1 d 20c o s s i ne 20(c o s+s i n)3121eu2d u 12eu2 121ud u21u32 2 2 2u2其 中1eu2d u=-21u21u221u2 3121 e1u1u d(e)e2 u211(2e)(2 u)d u e42e 1u3d
20、 ue2e 121 1 18 4 218 4 8(2 0)(本 小 题 满 分 1 2 分)设 n 为 正 整 数，y yn(x)是 微 分 方 程 x y(n 1)y 0 满 足 条 件 yn(1)1n(n 1)的 解.(1)求 yn(x)；(2)求 级 数yn(x)的 收 敛 域 及 和 函 数.n 11n 1(1 x)l n(1 x)x,x(1,1)【答 案】(1)yn(x)n(n 1)x(n 1)y;(2)收 敛 域 1,1，S(x)n 1d x11,x 1.1(1)y 0 得xy C ex C xn 1，将yn(1)n(n 1)带 入，有C n(n 1)，yn(x)1n(n 1)xn
21、 1；n 1(2)n(n 1)x的 收 敛 域 为 1,1 n 1xn 1xn 1设 S(x)n(n 1)xn 1(1 x)l n(1 x)x,x(1,1)n 1又 因 为 S(x)在 1,1 连 续，所 以 S(1)l i m S(x)1，x 1所 以 S(x)(1 x)l n(1 x)x,x 1,1).1,x 1(2 1)(本 小 题 满 分 1 2 分)2 1 0 设 矩 阵 A=1 2 0仅 有 两 个 不 同 的 特 征 值.若 A 相 似 于 对 角 矩 阵，求 a，b 的 值，并 求 可1 a b 逆 矩 阵 P，使 P 1A P 为 对 角 矩 阵.2【详 解】由 E A 1
22、1 0 2 0(b)(3)(1)0 1 a b当 b 3 时，由 A 相 似 对 角 化 可 知，二 重 根 所 对 应 特 征 值 至 少 存 在 两 个 线 性 无 关 的 特 征 向 量，则 1 1 0(3 E A)1 1 0知，a 1，1 a 0n 1n1 0 1 10 10 1YY 1 0 此 时，3 所 对 应 特 征 向 量 为 1,0，1 2 1 2 1 3 1 所 对 应 的 特 征 向 量 为 1，则 P 1A P 33 3 1 1 当 b 1 时，由 A 相 似 对 角 化 可 知，二 重 根 所 对 应 特 征 值 至 少 存 在 两 个 线 性 无 关 的 特 征 向
23、 量，则 1(E A)1 1 0 1 0，知 a 1，1 a 0 1 0 此 时，1 所 对 应 特 征 向 量 为 1,0，1 2 1 2 1 1 3 所 对 应 的 特 征 向 量 为 1，则 P 1A P 1.3 3 1 3(2 2)(本 小 题 满 分 1 2 分)在 区 间(0,2)上 随 机 取 一 点，将 该 区 间 分 成 两 段，较 短 的 一 段 长 度 记 为 X,较 长 的 一 段 长 度 记 为Y,令 Z.X(1)求 X 的 概 率 密 度；(2)求 Z 的 概 率 密 度.(3)求 E X.1,0 x 12,z 1【答 案】(1)x f(x)0,其 他；(2)fZ(z)(FZ(z)(z 1)2.(3)1 2 l n 2.【详 解】(1)由 题 知：xf(x)1,0 x 1；0,其 他0,其 他2 X(2)由 y 2 x，即 Z，先 求 Z 的 分 布 函 数：XF(z)P Z z P2 X z P2 1 zZ X X 当 z 1 时，FZ(z)0；当 z 1 时，2 2 22FZ(z)P 1 z 1 PX 1 z 11 d x 1；X 2,z 1z 1 0z 1 2fZ(z)(FZ(z)(z 1)；0,其 他1 2Y 2 X(3)E X E X1x 1 d x 1 2 l n 2.02 x