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1、 专业资料整理 完美 WORD格式 第 1 页,共 10 页 抽象函数的对称性、奇偶性与周期性常用结论 一.概念:抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义：对于()f x定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得()()f x Tf x恒成立，则称函数()f
2、x具有周期性，T叫做()f x的一个周期，则kT（,0kZ k）也是()f x的周期，所有周期中的最小正数叫()f x的最小正周期。分段函数的周期：设)(xfy 是周期函数，在任意一个周期内的图像为 C:),(xfy abTbax,。把)()(abKKTxxfy轴平移沿个单位即按向量)()0,(xfykTa平移，即得在其他周期的图像：bkTakTxkTxfy,),(。bkTa,kT x)(ba,x )()(kTxfxfxf 2、奇偶函数：设 baabxbaxxfy,),(或 若为奇函数；则称)(),()(xfyxfxf 若为偶函数则称)()()(xfyxfxf。分段函数的奇偶性 3、函数的对称
3、性：（1）中心对称即点对称：点对称；关于点与),()2,2(),(baybxaByxA 对称；关于与点),(),(),(baybxaBybxaA 成中心对称；关于点与函数),()2(2)(baxafybxfy 成中心对称；关于点与函数),()()(baxafybxafyb 成中心对称。关于点与（函数),(0)2,2(0),baybxaFyxF（2）轴对称：对称轴方程为：0CByAx。)(2,)(2(),(),(2222/BACByAxByBACByAxAxByxByxA与点关 于 专业资料整理 完美 WORD格式 第 2 页,共 10 页 直线成轴对称；0CByAx 函数)(2()(2)(22
4、22BACByAxAxfBACByAxByxfy与关于直线 0CByAx成轴对称。0)(2,)(2(0),(2222BACByAxByBACByAxAxFyxF与关于直线 0CByAx成轴对称。二、函数对称性的几个重要结论（一）函数)(xfy 图象本身的对称性（自身对称）若()()f xaf xb，则()f x具有周期性；若()()f axf bx，则()f x具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。1、)()(xbfxaf)(xfy 图象关于直线22)()(baxbxax对称 推论 1：)()(xafxaf)(xfy 的图象关于直线ax 对称 推论 2、)2()(xafxf )(xf
5、y 的图象关于直线ax 对称 推论 3、)2()(xafxf )(xfy 的图象关于直线ax 对称 2、cxbfxaf2)()()(xfy 的图象关于点),2(cba 对称 推论 1、bxafxaf2)()()(xfy 的图象关于点),(ba对称 推论 2、bxafxf2)2()()(xfy 的图象关于点),(ba对称 推论 3、bxafxf2)2()()(xfy 的图象关于点),(ba对称（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解）1、偶函数)(xfy 与)(xfy图象关于 Y 轴对称 2、奇函数)(xfy 与)(xfy图象关于原点对称函数 3、函数)(xf
6、y 与()yf x 图象关于 X 轴对称 专业资料整理 完美 WORD格式 第 3 页,共 10 页 4、互为反函数)(xfy 与函数1()yfx图象关于直线yx对称 5.函数)(xafy与)(xbfy图象关于直线2abx对称 推论 1:函数)(xafy与)(xafy图象关于直线0 x对称 推论 2:函数)(xfy 与)2(xafy 图象关于直线ax 对称 推论 3:函数)(xfy与)2(xafy图象关于直线ax对称 （三）抽象函数的对称性与周期性 1、抽象函数的对称性 性质 1 若函数 yf(x)关于直线 xa 轴对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(ax)f(ax)（2）f(2ax)f
7、(x)（3）f(2ax)f(x)性质 2 若函数 yf(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：（1）f(ax)f(ax)（2）f(2ax)f(x)（3）f(2ax)f(x)易知，yf(x)为偶（或奇）函数分别为性质 1（或 2）当 a0 时的特例。2、复合函数的奇偶性 定义 1、若对于定义域内的任一变量 x，均有 fg(x)fg(x)，则复数函数 yfg(x)为偶函数。定义 2、若对于定义域内的任一变量 x，均有 fg(x)fg(x)，则复合函数 yfg(x)为奇函数。说明：（1）复数函数 fg(x)为偶函数，则 fg(x)fg(x)而不是 fg(x)fg(x)，复合函数 y
8、fg(x)为奇函数，则 fg(x)fg(x)而不是fg(x)fg(x)。（2）两个特例：yf(xa)为偶函数，则 f(xa)f(xa)；yf(xa)为奇函数，则 f(xa)f(ax)（3）yf(xa)为偶（或奇）函数，等价于单层函数 yf(x)关于直线 xa 轴对称（或关于点（a，0）中心对称）3、复合函数的对称性 性质 3 复合函数 yf(ax)与 yf(bx)关于直线 x（ba）/2 轴对称 性质 4、复合函数 yf(ax)与 yf(bx)关于点（ba）/2，0）中心对称 专业资料整理 完美 WORD格式 第 4 页,共 10 页 推论 1、复合函数 yf(ax)与 yf(ax)关于 y
9、轴轴对称 推论 2、复合函数 yf(ax)与 yf(ax)关于原点中心对称 4、函数的周期性 若 a 是非零常数，若对于函数 yf(x)定义域内的任一变量 x 点有下列条件之一成立，则函数 yf(x)是周期函数，且 2|a|是它的一个周期。f(xa)f(xa)f(xa)f(x)f(xa)1/f(x)f(xa)1/f(x)5、函数的对称性与周期性 性质 5 若函数 yf(x)同时关于直线xa 与 xb 轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T2|ab|性质 6、若函数 yf(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T2|ab|性质 7、若函数 yf(x)
10、既关于点（a，0）中心对称，又关于直线 xb 轴对称，则函数 f(x)必为周期函数，且 T4|ab|6、函数对称性的应用 （1）若kyyhxxkhxfy2,2),)(/对称，则关于点（,即 kxhfxfxfxf2)2()()()(/nkxhfxhfxhfxfxfxfnnn2)2()2()2()()()(1121 （2）例题 1、1)1()(2121)(xfxfaaaxfxx）对称：，关于点（;2)()(1012214)(1xfxfxxfxx）对称：，关于（1)1()2121)0,(11)(xfxfxRxxf（）对称：，关于（2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：0)()(xfxf。3、若)(
11、),()()2()(xfyxafxafxafxf则或的图像关于直线ax 对称。设个不同的实数根，则有nxf0)(naxaxxaxxaxxxxnnn)2()2()2(22221121.),212(111axxaxkn时，必有当 专业资料整理 完美 WORD格式 第 5 页,共 10 页 （四）常用函数的对称性 三、函数周期性的几个重要结论 1、()()f x Tf x(0T)(xfy 的周期为T，kT(kZ)也是函数的周期 2、()()f xaf xb)(xfy 的周期为abT 3、)()(xfaxf )(xfy 的周期为aT2 4、)(1)(xfaxf )(xfy 的周期为aT2 5、)(1)
12、(xfaxf )(xfy 的周期为aT2 6、)(1)(1)(xfxfaxf )(xfy 的周期为aT3 7、1)(1)(xfaxf )(xfy 的周期为aT2 8、)(1)(1)(xfxfaxf )(xfy 的周期为aT4 9、)()()2(xfaxfaxf )(xfy 的周期为aT6 10、若.2 ,)2()(,0pTppxfpxfp则 11、)(xfy 有两条对称轴ax 和bx ()ba)(xfy 周期)(2abT 推论：偶函数)(xfy 满足)()(xafxaf)(xfy 周期aT2 12、)(xfy 有两个对称中心)0,(a和)0,(b()ba)(xfy 周期)(2abT 推论：奇函
13、数)(xfy 满足)()(xafxaf)(xfy 周期aT4 13、)(xfy 有一条对称轴ax 和一个对称中心)0,(b()ba()f x的)(4abT 专业资料整理 完美 WORD格式 第 6 页,共 10 页 四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型 灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。1.求函数值 例 1.（1996 年高考题）设)(xf是),(上的奇函数，),()2(xfxf当10 x时，xxf)(，则)5.7(f等于（-0.5）（A）0.5;（B）-0.5;（C）1.5;（D
14、）-1.5.例 2（1989 年北京市中学生数学竞赛题）已知)(xf是定义在实数集上的函数，且)(1)(1)2(xfxfxf，,32)1(f求)1989(f的值.23)1989(f。2、比较函数值大小 例 3.若)(Rxxf是以 2 为周期的偶函数，当1,0 x时，,)(19981xxf试比较)1998(f、)17101(f、)15104(f的大小.解：)(Rxxf是以 2 为周期的偶函数，又19981)(xxf在1,0上是增函数，且1151419161710，).15104()1998(17101(),1514()1916()171(ffffff即 3、求函数解析式 例 4.（1989 年高
15、考题）设)(xf是定义在区间),(上且以 2 为周期的函数，对Zk，用kI表示区间),12,12(kk已知当0Ix时，.)(2xxf求)(xf在kI上的解析式.解：设1211212),12,12(kxkxkkkx 0Ix时，有22)2()2(121,)(kxkxfkxxxf得由 )(xf是以 2 为周期的函数，2)2()(),()2(kxxfxfkxf.例 5设)(xf是定义在),(上以 2 为周期的周期函数，且)(xf是偶函数，在区间3,2上，.4)3(2)(2xxf求2,1x时，)(xf的解析式.解：当2,3 x，即3,2x，4)3(24)3(2)()(22xxxfxf 又)(xf是以 2
16、 为周期的周期函数，于是当2,1x，即243x时，专业资料整理 完美 WORD格式 第 7 页,共 10 页 ).21(4)1(243)4(2)()4()(22xxxxfxfxf有).21(4)1(2)(2xxxf 4、判断函数奇偶性 例 6.已知)(xf的周期为 4，且等式)2()2(xfxf对任意Rx均成立，判断函数)(xf的奇偶性.解：由)(xf的周期为 4，得)4()(xfxf，由)2()2(xfxf得)4()(xfxf，),()(xfxf故)(xf为偶函数.5、确定函数图象与x轴交点的个数 例 7.设函数)(xf对任意实数x满足)2()2(xfxf，)7(xf ,0)0()7(fxf
17、且判断函数)(xf图象在区间30,30上与x轴至少有多少个交点.解：由题设知函数)(xf图象关于直线2x和7x对称，又由函数的性质得)(xf是以 10 为周期的函数.在一个周期区间10,0上，,)(0)0()22()22()4(,0)0(不能恒为零且xffffff 故)(xf图象与x轴至少有 2 个交点.而区间30,30有 6 个周期，故在闭区间30,30上)(xf图象与x轴至少有 13 个交点.6、在数列中的应用 例 8.在数列na中，)2(11,3111naaaannn，求数列的通项公式，并计算.1997951aaaa 分析：此题的思路与例 2 思路类似.解：令,1tga 则)4(1111
18、112tgtgtgaaa 专业资料整理 完美 WORD格式 第 8 页,共 10 页 4)1(11,4)1()42()4(1)4(111111223ntgaaantgatgtgtgaaannnn于是 不难用归纳法证明数列的通项为：)44(ntgan，且以 4 为周期.于是有 1，5，9 1997 是以 4 为公差的等差数列，1997951aaaa，由4)1(11997n得总项数为 500 项，.350050011997951aaaaa 7、在二项式中的应用 例 9.今天是星期三，试求今天后的第9292天是星期几？分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可.解：1919
19、19191)191(9291922909291192920929292CCCC 1)137()137()137()137()1137(9291922909291192920929292CCCC 因为展开式中前 92 项中均有 7 这个因子，最后一项为 1，即为余数，故9292天为星期四.8、复数中的应用 例 10.（上海市 1994 年高考题）设)(2321是虚数单位iiz，则满足等式,zzn且大于 1 的正整数n中最小的是 （A）3 ；（B）4 ；（C）6 ；（D）7.分析：运用iz2321方幂的周期性求值即可.解：10)1(,11nnnzzzzz，)(.4)(,1).(13),(31,31
20、,1min3BnnkNkknNkknnz故选择最小时即的倍数必须是 9、解“立几”题 专业资料整理 完美 WORD格式 第 9 页,共 10 页 例 11.ABCD1111DCBA是单位长方体，黑白二蚁都从点 A 出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是,111DAAA黑蚁爬行的路线是.1 BBAB它们都遵循如下规则：所爬行的第2i段所在直线与第i段所在直线必须是异面直线（其中)Ni.设黑白二蚁走完第 1990 段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是 （A）1；（B）2；（C）3 ；（D）0.解：依条件列出白蚁的路线CBCCCDDAAA111111,1 A
21、ABA立即可以发现白蚁走完六段后又回到了 A 点.可验证知：黑白二蚁走完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.1990=64331，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在1D点，白蚁在 C 点，故所求距离是.2 例题与应用 例 1：f(x)是 R 上的奇函数 f(x)=f(x+4)，x0，2时 f(x)=x，求 f(2007)的值 例 2：已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(x+2)1f(x)=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009)的值。故 f(2009)=f(2518+1)=f(1)=2 例 3：已知 f(x)是定义在 R 上的
22、偶函数，f(x)=f(4-x)，且当 0,2x时，f(x)=2x+1，则当6,4x时求 f(x)的解析式 例 4：已知 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(x+999)=)(1xf，f(999+x)=f(999x)，试判断函数 f(x)的奇偶性.例 5：已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，f(x)=f(4-x)，且当 0,2x时，f(x)是减函数，求证当6,4x时 f(x)为增函数 例 6：f(x)满足 f(x)=-f(6-x)，f(x)=f(2-x)，若 f(a)=-f(2000)，a5，9且 f(x)在5，9上单调.求 a 的值.例 7：已知 f(x)是定义在 R 上的函数，f
23、(x)=f(4x)，f(7+x)=f(7x),f(0)=0，求在区间1000，1000上 f(x)=0 至少有几个根？解：依题意 f(x)关于 x=2，x=7 对称，类比命题 2（2）可知 f(x)的一个周期是 10 故 f(x+10)=f(x)f(10)=f(0)=0 又 f(4)=f(0)=0 即在区间(0，10上，方程 f(x)=0 至少两个根 专业资料整理 完美 WORD格式 第 10 页,共 10 页 又 f(x)是周期为 10 的函数，每个周期上至少有两个根，因此方程 f(x)=0 在区间1000，1000上至少有 1+1020002=401 个根.例 1、函数 yf(x)是定义在
24、实数集 R 上的函数，那么 yf(x4)与 yf(6x)的图象之间（D）A关于直线 x5 对称 B关于直线 x1 对称 C关于点（5，0）对称 D关于点（1，0）对称 解：据复合函数的对称性知函数 yf(x4)与 yf(6x)之间关于 点（64）/2，0）即（1，0）中心对称，故选 D。（原卷错选为 C）例 2、设 f(x)是定义在 R 上的偶函数，其图象关于 x1 对称，证明 f(x)是周期函数。（2001 年理工类第 22 题）例 3、设 f(x)是（，）上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0 x1时 f(x)x，则 f(7.5)等于（-0.5）（1996 年理工类第 15 题）例 4、设
25、 f(x)是定义在 R 上的函数，且满足 f(10 x)f(10 x)，f(20 x)f(20 x)，则 f(x)是（C）A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数 C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数 六、巩固练习 1、函数 yf(x)是定义在实数集 R 上的函数，那么 yf(x4)与 y f(6x)的图象（）。A关于直线 x5 对称 B关于直线 x1 对称 C关于点（5，0）对称 D关于点（1，0）对称 2、设 f(x)是（，）上的奇函数，f(x2)f(x)，当 0 x1 时，f(x)x，则 f(7.5)=（）。A0.5 B0.5 C1.5 D1.5 3、设 f(x)是定义在（，）上的函数，且满足 f(10 x)f(10 x)，f(20 x)f(20 x)，则 f(x)是（）。A偶函数，又是周期函数 B偶函数，但不是周期函数 C奇函数，又是周期函数 D奇函数，但不是周期函数 4、f(x)是定义在 R 上的偶函数，图象关于 x1 对称，证明 f(x)是周期函数。参考答案：D，B，C，T2。5、在数列12211(*)nnnnxxxxxx nN 中，已知，求100 x=-1