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1、一、集合与常用逻辑1.集合概念元素:互异性、无序性2.集合运算 全集U：如U=R交集：=并集：=_ x|xe A曲e 8补集：C（JA =x e U x A3.集合关系 空集0 7 A子集AqB：任意九62 4=168注：数形结合-文氏图、数轴4 .四种命题原命题：若P则q逆命题：若q则P否命题:若一/?则F逆否命题：若 丑 则 一p原命题。逆否命题否命题O逆命题5 .充足必要条件p是q的充足条件：P n qp是q的必要条件：P 0,a/+法+。=0有两实根。,尸(a 尸)，贝ijax2+Zzx+c 0 (-00,a)U(A+o)注：若a 0情况2.其它不等式解法一转化闪 v a o -a v
2、 x v a o x2 v/国 0%0 或工 424 0 o/(x)g(x)0g(x)a a8M f(x)g(x)(a l)f(x)0log/(x)logg(x)o (0 a l)/(x)2ab若则旅2注：用均值不等式a+。2 2，石、ab f (0)=0，奇+奇=奇”(公共定义域内)2.单调性f (x)增函数：X 1f(x,)X 2=f(X|)f (x2)或 小 止3 ox-x2f (x)减函数：？注：判断单调性必须考虑定义域f(x)单调性判断定义法、图象法、性质法“增+增=增奇函数在对称区间上单调性相同偶函数在对称区间上单调性相反3.周期性T是/(X)周期。/(x+T)=/(X)恒成立(常
3、数T H 0)4 .二次函数解析式：f (x)=a x2+b x+c ,f (x)=a (x-h)2+kf (x)=a (x x i)(x-xz)对称轴：x=h 顶点：(一-b-,空 匕 b)la 2a 4ab b单调性：a 0,(一 8,递减，-,+8)递增2 a 2a皿 -b 0/、4 a c b2当 X =-，f (X)m i n =-2a 4a奇偶性:f(x)=a x 2+b x+c 是偶函数=b =0闭区间上最值:配方法、图象法、讨论法-注意对称轴与区间的位置关系注：一次函数f(x)=a x+b奇函数o b=0四、基本初等函数i n _1.指数式 a0=1(。W0)an=。盛=an2
4、.对数式 log0 N =b=ab=N(a0,aW l)10gti M N=logn M+log.NMlog0 五=log.M T og.NlogaA/n=nlogaMlog小警A警log,Igoog“6=log b=-ogfc a注:性质 log“l=0 logtt a=1 d0s“N=N常用对数lgN=log|oN,Ig2+lg5=l自然对数in N=log,N,lne=l注:y=a*与y=1 o g x图象关于y=x对称(互为反函数)4.基函数 y=x2,y=x3,y=xi,y-xy=x0在第一象限图象如下:五、函数图像与方程1.描点法函数化简f定义域一讨 论性质(奇偶、单调)取特殊点如
5、零点、最值点等2.图象变换平移：“左加右减，上正下负”y=/(x)-y =/(x+/?)伸缩:y=/(x)每点的横坐标变为原来的 倍,y =/(L)对称：“对称谁，谁不变，对称原点都要变”y=/(x)-y=-/(x)y=/(x)阳 y=/(一*)y=/(x)出也y=/(x)注：y=/(x)y=f(2 a-x)翻折：y=y=|/(x)|保存x轴上方部分,并将下方部分沿x轴翻折到上方y=/(x)f 丁 =/(|刈)保存 轴右边部分,并将右边部分沿y轴翻折到左边3.零点定理若/(。)/(。)0,则y =f (x)在3份内有零点(条件：/(x)在切 上图象连续不间断)注:/(X)零点：/(x)=o的实
6、根在 a,句 上连续的单调函数/(x),f(a)f(b)0则/(%)在(,/?)上有且仅有一个零点二分法判断函数零点一一/()/(/?)0?六、三角函数T T1.概 念 第二象限角(2人乃十上,2左乃+)(ZGZ)22.弧 长l=a-r 扇形面积S=g/r3,定义 sin c =c osc if =tana=r r x其中P(x,y)是a终边上一点，P O-r4.符号“一正全、二正弦、三正切、四余弦”5.诱导公式：“奇变偶不变，符号看象限”如 S沅(2-a)=-sin a,c os(Ti72 +a)=-sin a6.特殊角的三角函数值a0T C71771T7127134Ts ina02V 2
7、T旦210-1c os a1也VV 2V20-10tg a0J3T1V 3/0/7.基本公式日“，2 2 1 sin a同角 sin c r +c os a -I -=tan c rc os。和差 sin(a /?)=sin a c os p c osc r sin 3c os(6 Z/?)=c osb2+c2 ZA 2七、数列1、等差数列定义:%+i-a”=d通项：an=ax+(n-X)d求和：s=a+%)-na+-l)d2 2中项:=空 （a,仇f成等差）2性质:若加+=+,c 成等比）性质:若/%+=p +q 贝IJQ”-an=ap-a（/3、数列通项与前九项和的关系鬲=%（=1）C 1
8、.=S-S“T5 2 2）4、数列求和常用方法公式法、裂项法、错位相减法、倒序相加法八、平面向量1 .向量加减 三角形法则，平行四边形法则A B +B C=A C首尾相接，丽无=而共始点中点公式：获+就=2茄=是中点2 .向量数量积 a b=a CS 0=xtx2+y,y2注：G,各夹角:0 W 0 W 18 0 a,Z?同向：a-b=a-b3 .基本定理 2 =44+%瓦（不，5不共线一基底）平行：分o。=北 xy2=x2y1（各 w。）垂直：alL o a Z =0 oxx2 4-yy2=0模:同=Ji+/a+b =a+b）2=夹角：cos=a b 注:0/a 。5 c)w(a0 c(结合
9、律)不成立 a-b=a-c b=c(消去律)不成立九、复数与推理证明1 .复数概念复数：z=a+bi(a,be R),实部&、虚部b分类：实 数(b=0),虚 数(8/0),复数集C注：z 是纯虚数0 a =0,b/0相等:实、虚部分别相等共翅：z-a-b i模：目=J/+12 z Z=|z复平面：复数Z相应的点(4,份2.复数运算加减：(a+b i)土(c+d i)=?乘法：(a+bi)(c+d i)=?,a+hi(a+bi)(c-di)除法：-=-=c+di(c+a i)(c-di)乘方:?=T,in=i4k+r=ir3.合情推理类比：特殊推出特殊归纳:特殊推出一般演绎:一般导出特殊(大前
10、题一小前题一结论)4.直接与间接证明综合法：由因导果比较法:作差一变形一判断一结论反证法:反设一推理一矛盾一结论分析法：执果索因分析法书写格式：要证A为真，只要证B为真，即证，这只要证C为真,而已知C为真,故A必为真注：常用分析法探索证明途径，综合法写证明过程5.数学归纳法:（1）验证当n =1时命题成立，（2 ）假 设 当n=k （k e N*,k l）时命题成立，证明当n=k+l时命题也成立由（1）（2）知这命题对所有正整数n都成立注：用数学归纳法证题时,两步缺一不可，归纳假设必须使用十、直线与圆1、倾 斜 角 范围 0,%）斜率 Z =t a n a =2注:直线向上方向与X轴正方向所成
11、的最小正角倾斜角为9 0 时，斜率不存在2、直线方程点斜式 y-y（）=A（x-x（）,斜截式 y =A s x+Z?两点式2二 之-=,截距式2 +2=1y 2 f&-占 a b一般式 A x+B y+C =0注意合用范围:不含直线x =玉）不含垂直X轴的直线不含垂直坐标轴和过原点的直线3、位置关系（注意条件）平行o 匕=右且4 2垂直=秘2=-1 垂直=44+g8 2=04、距离公式两点间距离：I A B|=J（X -工2）2+（%-%）2点到立线距离：1=a”%.、VA2+B25、圆标准方程：（x a）2+（y 加2 =/圆心（口，。），半径厂圆一般方程：？+/+m+助+/=0 （条件是
12、？）皿、（。A/D2+2-4F圆心|-,-半径r-V 2 2）26、直线与圆位置关系位置关系相切相交相离几何特性d=rd r代数特性=00|+|P F2 I=2 a（2a|F,F2|）双曲线：|P FJ-I P F2 I=2a (0 2a b 0）a b双曲线-7 1 （a 0 ,b 0）cr h中心原点 对称轴？焦点Fl（c,0）F2（-C,O）顶点：椭圆（土a,0）,（0,士b）,双 曲 线（土 a ,0）范围：椭圆-a x a,-b y a ,y c R焦距:楠圆2 c （c=）双曲线 2c （.c-y/a2+b2）2a、2b:椭圆长轴、短轴长，双曲线实轴、虚轴长离心率:e=c/a 椭圆
13、（K e V l,双曲线e 1注：双曲线 一 与=1渐近线y =a b a方程心i d +ny2=1表达椭圆o m O,n O.m丰n方程ivx2+=i 表达双曲线0mn 0）顶点（原点）对称轴（x 轴）开 口（向右）范围x N O 离心率e=l焦点尸（K,0）准线x =2 2十二、矩阵、行列式、算法初步十、算法初步一.程序框图二.基本算法语句及格式程序框名称功能起止框起始和结束Z_/输入、输出框输入和输出的信息解决框赋值、计算判断框判断某一条件是否成立1循环框反复操作以及运算1 输入语句：I N P U T “提醒内容”；变量2 输出语句：P R 1N T “提醒内容”；表达式3 赋值语句：
14、变量=表达式4条件语句“I FTHENE L S E”语句“I FT H E N”语句I F 条 件 T H E NI F条 件 T H E N语 句 1语句E L S EE N D I F语句2E N D I F5 循环语句当 型“先判断后循环”当型循环语句直到型循环语句W H I L E 条件DO循环体循环体WE N DL O O P U N T I L 条件直 到 型”先循环后判断”三.算法案例1、求两个数的最大公约数辗转相除法：到达余数为0更相减损术：到达减数和差相等2、多项式 f(x)=anXn+a n-ix1 1-1+.+a i x+a 的求值秦九韶算法：Vl=a nx+a n-1
15、 V2=Vix+a n-2V3=v2x+an-3 vn=Vn-i x+ao注：递推公式 V o=a n Vk=Vk-ix+a n-k(k=l,2,.n)求 f(x)值，乘法、加法均最多n 次3、进位制间的转换k 进制数转换为十进制数：aa0(k)=an x kn-f-an_ x knl+.+%+4十进制数转换成k 进制数：“除 k 取余法”例 1 辗转相除法求得12 3 和 4 8 最大公约数为3例 2 已知 f(x)=2x5-51 2 3=2X48+274 8=1X 2 7+2127=1X 21+62 1=3X 6+36=2X 3+01.三视图 正视图、x 4-4X3+3 X2-6X+7,秦
16、九韶算法求 f(5)v o=2vi=2 X5 5=5v 2=5X 5-4=2 13=21X5+3=10 8V4=108X 5-6=53 4V5=53 4 X 5+7=2677十三、立体几何侧视图、俯视图2.直观图:斜二测画法NX。/=4 5平行X轴的线段,保平行和长度平行丫轴的线段，保平行，长度变本来一半3.体积与侧面积1 4 3V柱 二 S 底 h V锥-S 底h V球-n R3 3S 圆 推 例 二Tirl S 圆 台 侧 二兀(R+)/S 球 表 二 4成 24.公 理 与 推 论 拟定一个平面的条件：不共线的三点一条直线和这直线外一点两相交直线 两平行直线公理：平行于同一条直线的两条直
17、线平行定理：假如两个角的两条边分别相应平行,那么这两个角相等或互补。5 .两直线位置关系 相交、平行、异面异面直线 不同在任何一个平面内6.直线和平面位置关系a u a a a =A7.平行的鉴定与性质线面平行：a/h,b(a,a(a=a/aa/a ,a u B、B c a =b=a b面面平行：A B /a ,A C&=平面 A 3 ca /，a u a =a/alia/a8.垂直的鉴定与性质线面垂直：p-L AB,p A C=7?面面垂直：a_La,au/?=/?_La假如一个平面通过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面垂直;若两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂Aa,
18、直三垂线定理：=PAVaPO_La,PA_La=AO Va在平面内的一条直线，假如它和这个平面的一条斜线它也和这条斜线垂直逆定理？9.空间角、距离的计算异面直线所成的角 范 围(0 ,90 平移法:转化到一个三角形中，用余弦定理直线和平面所成的角 范围 0 ,9 0 的射影垂直，那么定义法：找直线在平面内射影,转为解三角形二面角 范围 0 ,1 8 0 定义法：作出二面角的平面角，转为解三角形点到平面的距离体积法一用三棱锥体积公式注:计算过程，“一作二证三求”，都要写出1 0.立体几何中的向量解法法向量求法:设平面A B C 的法向量=(x,y)rt.L ACn-AB=Q,n-AC=O解方程组
19、，得一个法向量线线角：设 勺,马是异面直线4,4 的方向向量，I4所成的角为 仇 则 c o s 6 =|c o s i,2|即所成的角等于 i，%或万一电,巧线面角:设是平面a的法向量，AB是平面a的一条斜线，A3与平面a所成的角为仇_ _ ABn则 sm 0-cos-AB-n二面角：设4,%是面a 7的法向量，二面角a-/-/?的大小为。，则（：05。=（：05或 c o s 即二面角大小等于或万一 点到面距离：若是平面a的法向量，AB是平面a的一条斜线段，且B ea,则点A到平面a的距离d=,H十四、计数原理1.计数原理 加法分类，乘法分步2.排列组合 差异排列有序而组合无序 ！公式=（
20、-1）（一 加+1）=-（-m）l n（H-l）-（n-m+l）n!Cn -=-1 x 2 x x A n m!（n m）!关系：A：=m!.C：性质:C：=C；r C：+C：+C；+-+C；=2 3.排列组合应用题原则：分类后分步，先选后排,先特殊后一般解法:相邻问题“捆绑法”，不相邻“插空法”复杂问题“排除法”4.二项式定理(a+b)n=C+Ca-b+Cb2+C：a +Cb特例(1 +x)=1 +C%+CK+x”通项(r =0，l，2，n)注 C第 r +1 项二项式系数性质：所有二项式系数和为2 中间项二项式系数最大赋值法:取x =0,1-1 等代入二项式卜五、概率与记录1.古典概型：P
21、（A）m A包含的基本事件个数%总的基本事件个数)求基本领件个数:列举法、图表法2.几何概型：P（A）A的区域长度（面积或体 积）区域总长度（面积或体积）注：实验出现的结果无限个3 .加法公式：若事件A和 3互斥，则P（A+B）=P（A）+P（B）P（A）=1-P（A）互斥事件:不也许同时发生的事件对立事件：不同时发生，但必有一个发生的事件4 .常用抽样（不放回）简朴随机抽样：逐个抽取（个数少）系统抽样：总体均分，按规则抽取（个数多）分层抽样：总体提成几层，各层按比例抽取（总体差异明显）5 .用样本估计总体众数:出现次数最多的数据中位数：按从小到大,处在中间的一个数据（或中间两个数的平均数）平均数：x=-y%,.1 n-方差2=区 一%)标 准 差$n,=)6.频率分布直方图小长方形面积=组距x 若频率5=频率组距各小长方形面积之和为1众数一最高矩形中点的横坐标中位数一垂直于x 轴且平分直方图面积的直线与x 轴交点的横坐标茎叶图：由茎叶图可得到所有的数据信息如众数、中位数、平均数等