《2023届高三数学（数列求和）题型分类专项训练(含答案).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023届高三数学（数列求和）题型分类专项训练(含答案).pdf（73页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编学习资料整理汇编（考点或配套习题突击训练）第 1 页，共 7 3 页10/12考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2 0 2 3届高三数学(数列求和)题型分类专项训练(含答案)2023届高三数学题型分类专项(数列求和)练习【题型归纳目录】题型一：通项分析法题型二：公式法题型三：错位相减法题型四：分组求和法题型五：裂项相消法题型六：倒序相加法题型七：并项求和题型八：先放缩后裂项求和题型九：分段数列求和【典例例题】题型一：通项分析法例 1.(2 0 2 2 全国高三专题练习)求和S“=(3 +2)+(3 Z+3.2 +2 2)+(3 +3 2 +3
2、2.2 2+2 ).例 2.数列9,9 9,9 9 9,的前项和为()A.(1 0 -l)+n B.1 0 -1 C.(1 0 -1)D.(1 0 -l)-n例 3.求数列 1,(1 +2),(1 +2 +2?).(1 +2 +2?+2 -)，的前项之和.【方法技巧与总结】先分析数列通项的特点，再选择合适的方法求和是求数列的前 项和问题应该强化的意识.题型二：公式法例 4.已知等差数列 q 中，a2=9,as=2l.(1)求 ,的通项公式；(2)令6,=2%,求数列也 的前项和S”.例5.如图，从点(0,0)做x轴的垂线交的线=炉 于 点2(0,1),曲线在2点处的切线与x轴交于点巴，再从乙做
3、x轴的垂线交曲线于点0，依次重复上述过程得到一系列点：，2,;鸟，2；2，2,，记匕点的坐标为(x*,0)(k=1 .2.).第2页，共7 2页1 0/1 2考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2 0 2 3 届高三数学（数列求和）题型分类专项训练（含答案）试求x*与 x*_|的关系(2 M i t)；(I I)求 再 +1 2 0 2 1+1 6。/+I E,Q|.【方法技巧与总结】针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解.题型三：错位相减法例 6.（2 0 2 2 全国高三专题练习）“一尺之趣，日取其半，万世不竭 出自我国古代典籍
4、庄子天下，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段4 8 ,取 的 中 点 C,以4c 为边作等边三角形（如图），该等边三角形的面枳为E，在图中取。8的中点G，以c q 为边作等边三角形（如图），图中所行的等边三角形的面积之和为邑，以此类推，则S 产；.例 7.（2 0 2 2 内蒙古海拉尔第二中学模拟预测（理）己知数列%的前项和S,=&3,记6 =近，”3 2“则数列 2 的前项和Tn=.例 8.（2 0 2 2 全国高三专题练习）在平面四边形/BC。中，的面积是 88面积的2 倍，又数列 0“满足q=2,当 2 2 时，恒 有 丽=（凡 2”）瓦i +（a“+2 ）胫，设 对 的前
5、项和为S“，则所有正确结论的序号是.4 为等比数列；叫为递减数列；住 为等差数列：S,=（5-2 ）2 “-1 0例 9.（2 0 2 2 云南师大附中高三阶段练习）已知数列应 的前项和为S“，5=2 a-l.（1）求数列%的通项公式；第 2页，共 7 2 页1 0/1 2考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2023届高三数学（数列求和）题型分类专项训练（含答案）（2）若数列也 满足a b=lo g,a,求数列也 的前项和7；.例 10.（2022全国模拟预测（文）若数列“满足4=3，。必=243.（1）求%的通项公式；若b.=lo g,，求数列 a1A 的前项和S.例 11.（2022
6、全国模拟预测）已知等差数列 q 的前项和为S”，数列也 为等比数列，且=4=1,邑=3%=1 2.求数列 4“,也 的通项公式；（2）若3=a也,求数列仁 的前项和T.例 12.（2022 全国高三专题练习）己知数列%为等差数列，a2=3,0M=3%,数 列 他 的前项和为S,且满足 2s“=36,-1.求”“和 2 的通项公式；（2）若数列%的前项和为T，且。-小 3”（-1 加对 GN恒成立，求实数，”的取值范围.【方法技巧与总结】错位相减法求数列 a 的前n项和（1）适用条件若 a 是公差为d（d丰0）的等差数列，血 是公比为q（g/1）的等比数列,求数列 斯也 的前”项和S.（2）基本
7、步骤（3）注意事项在写出S,与黄”的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出S”-gS“；作差后，应注意减式中所剩各项的符号要变号.第 3 页，共 7 2 页1 0/1 2考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2 0 2 3 届高三数学（数列求和）题型分类专项训练（含答案）等差乘等比数列求和，令c“=(/+8)p ,可以用错位相减法.Tn=(A+B)q +(2A+B)q2+(3A+B)q3+.+(An +B)qn q Tn=(A+B)q2+(2A+B)q3+(3A+B)q4+.+(An +B)qH+-得：(y-q)Tn=(A+B)q-(An +B)q*+A(q2+q3+整
8、理得：7；=(当+号-广)广1 _(号-/1)夕 g-q-(7-1)2 q-(q-题型四：分组求和法例 13.(2 0 2 2 广西柳州模拟预测(理)已知数列 氏 满足q=1,%=2 勺+1(e N)(1)证明 勺+1 是等比数列，并求 可 的通项公式：(2)求数列。+1 的前n项和S.例 14.（2022青海海东市第一中学模拟预测（文）己知正项数列 6,满足q+2%+3%+见=1+2 ,口”=2+（+2）（一 1）.+1 n（1）求数列 ,的通项公式：（2）求数列也 的前项和S.例 15.（2022上海松江二模）在等差数列 见 中，已知+4=1 0，%+a,+%=30.（1）求数列 a,的通
9、项公式：（2）若数列 q+4 是首项为1,公比为3 的等比数列，求数列 2 的前项和邑.【方法技巧与总结】（1）分组转化求和数列求和应从通项入手，若无通项，则先求通项，然后通过对通项变形，转化为等差数列或等比数列或可求前项和的数列求和.（2）分组转化法求和的常见类型求4的和ft4=6,c.,b.,c.为等差或等比数列I 4,n为奇数，4-i c“，n为偶数，b j/c j 为等差或等比数列分组求和题型五：裂项相消法第 3 页，共 7 2 页10/12考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2023届高三数学（数列求和）题型分类专项训练（含答案）例 16.（2022 全国高三专题练习）记,为
10、数 列 q 的前“项和，己知4=4 工4 是公差为2 的等差数列.UJ 3（1）求“的通项公式；1 1 1c（2）证明：一+2.6 a2 an例 1 7.（2022全国高三专题练习）记S,为数列 见 的前项和，己知6=1,且S”=a.“-3.求数列%的通项公式；（2）已知数列 c.满足,记 7；,为数列 c j 的前项和，证明：T2.从c”=7等一7；的=幽 吐 两 个 条 件 中 任 选 一 个，补充在第（2）问中的横线上并作答.例 18.（2022全国高三专题练习（理）已知正项数列&中，=1,S”是其前项和，且满足S,M=（四+S）（1）求数列。“的通项公式：已知数列 满足设数列 的前项和
11、为7；,求 7；的最小值.例 19.（2022浙江模拟预测）已知数列/的首项为正数，其前项和用满足2sl i=3 4 一/一求实数7 的值，使得代+乃是等比数列；设，求数列 幻的前项和.例 20.（2022 湖南一模）已知等差数列%中，前项和为5,卬=1,也,为等比数列且各项均为正数,4=1，且满足&+$2=7,4 +5=22.（1）求与”;设 c.=圣，”=）?；：,；?，求4 的前2及项和4.例 21.（2022 全国高三专题练习）已知数列 4 前项和为S“，且2s“=（+1）,记=（-1）急.（I）求数列 q,的通项公式;第 6 页，共 7 2 页1 0/1 2考点或配套习题突击冲刺训练
12、专用材料整理汇编2023届高三数学(数列求和)题型分类专项训练(含答案)(2)设数列也 的 前 项 和 为,求 如例 22.(2022河南 洛宁县第一高级中学一模(文)已知数列 ,是公差不为零的等差数列，出+为=14,且,g,4成等比数列.求%的通项公式；(2)设 =一，求数列也 的前项和S,.例 23.(2022.山西大同高三阶段练习)己知数列%的前项和S.满足S,+2=%(GN+).(I)证 明:数 列 S“+2是等比数列;(2)设 数 列 穴7-内卜的前项和为4,求证：=-Tn.例 24.(2022江西九江三模(理)已知数列 4 的前项和为S,且满足q=2,q川+4a“=35”+6.求凡
13、；(2)求数列|的前项和.n(n+l)a j例 25.(2022广东大埔县虎山中学高三阶段练习)已知各项均不相等的等差数列上 的前4项和为1 0,且4,%，4是等比数列 的前3项.求 见 也；.In+1 r,(2)设+i 厂,求卜”的前项和s.4.q+i例 26.(2022 全国高三专题练习)等比数列“中，首项q=l,前项和为S“，且满足4(q+%)=S.(1)求数列 明 的通项公式：的前项和。.例 27.(2022 全国高三专题练习)已知等差数列“的前项和为邑，且=1,S5=S2+1 2；数列出 的前 项 和 且4=1,数列 4 的 配 产7；+1,求数列“、也 的通项公式；4+2bF(2)
14、若。=(+1)*4求数列”+1第6页，共7 2页10/12考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2023届高三数学(数列求和)题型分类专项训练(含答案)(2)若数列 满足：g=(T广 三 会 岩 次，当2 2 时，求证：c,+c2+-+c2 n T“,恒成立，求常数A的最小值.例 30.(20 22全国高三专题练习)已知等比数列。“公比为正数，其前项和为S“，且=4 的3 4=3 0.数列 4 满足：b、=g,a“+2+|=也+2+3,wN.(1)求数列 4,a 的通项公式：(2)求 证.力-+也-+3-+%-1 的等比数列，前三项和为1 3,且，%+2,由恰第 8 页，共 7 2 页1
15、0/1 2考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2023届高三数学（数列求和）题型分类专项训练（含答案）好分别是等差数列，的第一项，第三项，第五项.求%和 2 的通项公式；,、5 ,n =2k-,、（2）己 知 丘 N ,数列上 满足c.=6也+2,求数列仁 的前2项和邑“；I。也，n =2k.（8?1 1 0）t z 1 （v（3）设4 =（2%+1）伽：1）求 数 列 4 的前项和【方法技巧与总结】（1）基本步骤（2）裂项原则法一般是前边裂几项，后边就裂几项，直到发现被消去项的规律为止.和（3）消项规律消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项.题型六：倒序相加法
16、例 34.（2022河北高三阶段练习）德国大数学家高斯年少成名，被誉为数学届的王子，1 9岁的高斯得到了一个数学史上非常重要的结论，就 是 正十七边形尺规作图之理论与方法.在其年幼时，对1 +2+3+1 00的求和运算中，提出了倒序相加法的原理，该原理基于所给数据前后对应项的和呈现一定的规律生成，因此，此方法也称之为高斯算法，现有函数/（x）=3 云，设数列%满足4 =/（0）+/（：）+/3）+若2 =2%,则 也 的前项和s“=.I例 35.（2022黑龙江齐齐哈尔三模（文）已知数列 4 的前 项和为S,且 三+不+不=匕，设，J”n+1函数/（X）=C O S U+；,则矗）+/（急）+
17、/（矗）+/（虢卜第 8 页，共 7 2 页1 0/1 2考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编20 23 届高三数学(数列求和)题型分类专项训练(含答案)例 36.(20 22全国高三专题练习(文)已知数列 q,也 满足2an+l-a=6 an+ian,b=-16.I oan(1)证明 4 为等比数列，并求 的通项公式；(2)求+%，例 3 7.(20 22全国高三专题练习)已知函数/(x)=；x 2+；x,数列 叫 的前项和为S.,点均在函数/(x)的图象上，函数g(x)=.4+2(1)求数列上 的通项公式；求 g(x)+g(l-x)的值：令 a=g(患求数列 的前2 02 0项和加。
18、例 38.(20 22全 国 高 三 专 题 练 习)已 知 函 数(x e R),正项等比数列%满足物,=1 ,则3A+1/(l n q)+/(l n/)+/何 0)值是多少？.例 39.(20 22全国高三专题练习)已知函数/(x)对任意的x e R ,都有/(x)+/(1-x)=l,数列 叫 满足。“=/(0)+/0+/仔)+)+/(1).求数列 q 的通项公式.例 40.(20 22全国高三专题练习)已知函数/(x)=；Y+；x,数列%的前项和为S“，点均在函数/(x)的图象上.(1)求数列 4 的通项公式；(2)若函数g(x)=/,令4=g(矗)(e N)求数列也 的前20 20 项
19、 和&20.【方法技巧与总结】将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求和，则这样的数列求和时可用倒序相加法(等差数列前 项和公式的推导即用此方法).题型七：并项求和例 41.(20 22全国高三专题练习)已知/的通项公式为4=(-1)，求 q 的前 项 和 S”.狒 即 煎，袋 旭 顼10/12考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2023届高三数学(数列求和)题型分类专项训练(含答案)例42.(2022福建厦门一中模拟预测)已知数列%的前项和S,%=1,a 0,ana+i=4 S-.(1)计算生的值，求 的 通 项 公 式：设b=(-1)%,求数列血 的前2n项
20、和Tu.2 75例43.(2022河北沧县中学模拟预测)已知数列 q 为等差数列，S“为其前项和，若%+2%=-,S10=y.(1)求数列 凡 的通项公式；(2)若“=(%+cos等,求 数 列 也 的 前18项和二例44.(2022 全国高三专题练 习)已知数列 “的前项和为S”，且满足S.=；2+g(1)求%的通项公式；(2)在日和.中插入个相同的数(-1广 次,构成一个新数列也 ：%,1,a2,-2,-2,%，3,3,3,4,L,求 的前21项和勤.例45.(2022河南汝州市第一高级中学模拟预测(理)在数列/中，4=5,且1=2 4-1(w N)(1)证明：为等比数列，并求。,的通项公
21、式；令b“=(-I)q,求数列也 的前项和S.例46.(2022全国高三专题练 习)已知数列 q 满足囚=5,=4。“-3/+2+L(1)证明：数列 4-为等比数列.求数列(-1)”4 的前项和S,.【方法技巧与总结】两两并项或者四四并项题型八：先放缩后裂项求和例47.(2022天津市宝城区第一中学二模)已知“为等差数列，前 项和为S,(),2 是首项为2的等比数列，且公比大于O b2+b)=12,b)=a4-2aS,l=llh4.忖,和 也 的通项公式；求数列 七“也 的前8项和；第1 0页，共7 3页10/12考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编20 23 届高三数学（数列求和）题型
22、分类专项训练（含答案）证明：指（看b-+-；2 孚（；+Ja2y j a2+2 an yJan+2 4 4 y Jn +J例 49.（20 22广东汕头一-模）已知数列 4 的前 项和为S.,3 见=2S,+2（”eN*）.（1）证明：数列/+1 为等比数列，并求数列 凡 的前项和为S,;（2）设 白=喝（%“+1）,证明：*例 50.（20 22浙江绍兴模拟预测）已知等差数列 叫的首项为4=1,且q+%=%+3,数列也 满足,(2-1 3 +1 .q 4 +她 +-+a bn=-e N.求七和。;(2)设 c.=6”-a：,记 证明：当“e N 时，+；6 7.G G c 3b -a,例 5
23、1.（20 22天津一模）已知数列 J是等差数列，其前 项和为4，%=1 5,4=63；数列出 的前”项和为 B,2B“=3b“-3（eN）求数列 a“,的通项公式；（2）求 数 列 的 前 项 和 S.；求证：*2.1 1 1 4例 52.（20 22全国高三专题练习）求证：一+-+力 一 得七=（后 1）,匕 Q J=e*=e*DS.=1 4 2 1 +田 Q I +田。31+由 Q I第 2。页，共 7 3 页1 0/1 2考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2 0 2 3届 高 三 数 学（数列求和）题型分类专项训练（含答案）.|-2 l-e e e=l+e+e+.+e 1）=-
24、r=-e e-l【方法技巧与总结】针对数列的结构特征，确定数列的类型，符合等差或等比数列时，直接利用等差、等比数列相应公式求解.题 型 三：错位相减法例6.（2022全国高三专题练习）“一尺之梗，日取其半，万世不竭”出 自 我 国 古 代 典 籍 庄子天下，其中蕴含着等比数列的相关知识.已知长度为4的线段,取4 5的中点。，以A C为边作等边三角形（如图），该等边三角形的面积为工，在图中取C 8的中点。，以CC,为边作 等 边 三 角 形（如图），图中所有的等边三角形的面积之和为其，以此类推，则与=:冏=.1=12173【参考答案】164百-X35+i）2【名师解析】依题可知，各等边三角形的面
25、枳形成等比数列，公比外首项为5所以/=0+1x（；）+2x（；）+，作差得:/=1 316第2 0页，共7 3页1 0/1 2考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2 0 2 3 届高三数学(数列求和)题型分类专项训练(含答案)例 7.(2 0 2 2 内蒙古 海拉尔第二中学模拟预测(理)已知数列%的前 项和S =纪二记6 =近，“3 n 2“则数列的,的前项和T*=.【参考答案】3【名师解析】当 =1 时，=5|=程=1,当2 2时，见=5“_%=世 士-竺 二 以 上 工 4 2 _ 4 +1，n n n-I 3 3当 =1 时，4 n2-4 n +l =0-0 +l =l .综上：a
26、 =4 w2-4/?+l,H GN*.所以6 =近=即 二 1,n 2 2”所以看=;+卷，吟 得：1Tl 3 5 2 -1 小产=中+3+尹+亍，曰 1 丁 1 2 2 2 2 2-1 3 2 +3两式相减得：-7；=-+r +p-+-+-=22 所以=3-誓故参考答案为：3-写 N例 8.(2 0 2 2 全国高三专题练习)在平面四边形/B C D 中，的面积是 B C O 面积的2 倍，又数列 叫满足q=2,当22 时，恒 有 力=(g-2 T)而+(&+2 )及，设。“的前项和为S.，则所有正确结论的序号是.血 为等比数列；4 为递减数列；松 为等差数列：S“=(5-2”)2 J 1
27、0【参考答案】q B D -AE s i n Z.SEB 4 尸【名师解析】设/C与8。交于点E,产 =#-=77=2.LBD-CE s i n N C EB CL2BE=BA+AE=BA+-AC=BA+-(BC-BA=-BA+-BC,3 3、3 38,E,。共线，所以存在实数4 石。)，使 得 前=力 而，所 以 而=(a,i-2 )瓦i +(q,+2)=；/l 加+,力，第 2 2 页，共 7 2 页1 0/1 2考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2 0 2 3 届高三数学（数列求和）题型分类专项训练（含答案）u-i /J所以，所以a“+2=2（a u-2 T），%=2Q2 叫,+
28、2”=1所以4=2,%=-4,a,=-24,4 不是等比数列，错：因为a“=21-2叫 所 以 生=第-2,即今-甥 =-2,所以 仔 是等差数列，正确;又因为 4=2,则1 1,即 墨=1-2(-1)=3-2，an=(3-2n)-2,所以当N2时，a“-%=(3-2).2 3 2(-l)1 2 T=(l-2 2 T +尹+，I、田甘 阳 1,1 一 1 2 1 2 _,)n-.w +1 后 厂 、T o +1两式相减，f J-7；=y +y+-+pr-.=-亍=1-亍，所以。=2 一 尸.1-2例10.(2 0 2 2 全国模拟预测(文)若数列 4 满足a,4+2=4 3，4=3,。必=2
29、4 3.第 2 2 页，共 7 2 页1 0/1 2考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2 0 2 3 届高三数学(数列求和)题型分类专项训练(含答案)(1)求%的通项公式；若瓦=l o g：，求数列。“的前”项和S,.【名师解析】因为数列 叫 满足。/2，=3,a2a)=2 4 3 ,所以qHO.所以数列 g 为等比数列，设其公比为g (g w。).所以。必=3?x/=2 4 3 ,解得：4 =3.所以 a“=a 0 i=3.即 4 的通项公式为4=3.由 可知：b =l o g,a =l o g,3=n .所以“也=-3,所以5.=她+贴 2+。也=L 3 i+2.3?+.3 x 3
30、 得：3 SB=l-32+2-35+-+n-3n+l 得:(1-3)S =l-3 +l-32+l-334-+l-3-n-3+l(1 一 32=哈。3 所以s =3 +(2”叱”4例 1 1.(2 0 2 2 全国模拟预测)已知等差数列%的前项和为S，数列 为等比数列，且q=d=1,S3=3b 2=1 2 .(1)求数列 a,的通项公式；若c“=a,求数列匕 的前项和T.【名师解析】设等差数列 ,的公差为“，等比数列 4 的公比为4,由题意得：3 q+3 =1 2,解得：=3,所以 a.=l +3(-l)=3-2.由3 8=1 2 得：瓦=4,所以q =，=4,所以4 =4-,(2)%=。也M
31、=(3-2 卜4 ,则 0=4+4 x 4 2 +7 x 4 3+.+(3 -2)4 g4 7；,=42+4 X 43+7 X 44+-+(3/?-2)4,两式相减得：-3 7；=4 +3 x 4 2+3 x 4 +3 x 4-+3 x 4”-(3-2)4 i=4 +3 x1 6-4W+I1-4_(3 一 2)4+|=1 2 +(3 3 )4 用,第 2 3 页，共 7 3 页1 0/1 2考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2 0 2 3 届高三数学(数列求和)题型分类专项训练(含答案)所以北=4 +(-1)4 川例 1 2.(2 0 2 2 全国高三专题练习)已知数列 4 为等差数列
32、，%=3,数列 4 的前项和为S”,且满足2 s“=3 -I.求 a,和 的通项公式；(2)若%=为 也,，数列 q 的前项和为7；,且小对 w N*恒成立，求实数，”的取值范围.【名师解析】(I)解：等 差 数 列 中，设公差为乩a)=3 a.+d =3则 aJ 4=3a5 q +1 3 d =3 q +1 2 da,+d =3 f a.=1 z、2a=d d =2数列也,中的前n项和为S“，且2 S“=3 -1 当”=1 时，4=1当22时，2 s l =3-1 一得：=3 6 2 2)故数列 是 以 1 为仃项，3为公比的等比数列.所以“=3 T(e N)(2)解：数列 c“中,c.=a
33、”也=(2-l 3 T.则=l x 3 0 +3 x 3 i+(2-3)-37+(2-1 3*T所以 3 7；=1 x 3 1 +3 x 3?+-+(2 n-3)y +(2 n-l)-3 故一 2 7；=1 +2。1+3 2+3”|)(2-1 3 =1 +2(3 +3 +3-)-(2 n-l)-3 =-1 +2-(2 n-l)-3 =(2-2 )-3n-21 3所以 7；=(-1 3 +1.(-1)相 7；-小3=1-3 对四恒成立.当为奇数时，(-1)”加=3-1 =2,当为偶数时，(-1)加=/1-3=m (1-3 )娱、=1-3 2=-8综上：实数，的取值范围为W -8,2).【方法技巧
34、与总结】错位相减法求数列%的前n项和(1)适用条件若 4 是公差为d(d W 0)的等差数列,也 是公比为仪g W 1)的等比数列,求数列%也 的前项和S.第 2 3 页，共 7 2 页1 0/1 2考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2023届高三数学（数列求和）题型分类专项训练（含答案）（2）基本步骤展开S；|一。d 12*+Q e -/+!.,b乘 公 比 科 二。1也+。2 4+i瓦+%也.错位相减-:得(l-q)S n a|,6 1+aJ,51+,+a .l,6*.|+a.,6 i,T Y%电 t)=1-61+/(62+63+6.)-0 1,-6.1 求和a|-6 1+6,为等
35、差或等比数列（61t为奇数，为偶数，b j l c j为等差或等比数列题型五：裂项相消法例 16.（2022 全国高三专题练习）记5.为数列/的前项和，已 知 是 公 差 为;的 等 差 数 列.（1）求%的通项公式；（2）证明：一+2.四%/S【名师解析】（1）6=1,=a又是公差为1的等差数列，S 1 7 +2（+2）。.j 1+”-）=亍,s.二 空”.当2 2时，$,3 a-S S-（+2）可（+1）整理得：（-1）/=（+1）。小，第2 8页，共7 3页10/12考点或配套习题一一突击冲刺训练专用材料整理汇编2023届高三数学（数列求和）题型分类专项训练（含答案）,3 4 n +1
36、小+1）=lx x X.X x=-1 2 n-2 n-l 2显然对于=1也成立，例17.（2022全国高三专题练习）记 为 数 列 叫的前项和，己知4=1,且 邑=4+1-3.（1）求数列 a“的通项公式；（2）已知数列 q 满足,记。为数列 q 的前项和，证明：2._ f/,=2 _!_!_（-7）（-2）（2+|-1）（2+,-2）（2+,-1）（2-1）U-l 2*1+2 W E 3 4 +1 +2-、3 4 n+1 +2,右选择q=7 T，则北=齐+-_+7 F，5北=+牙+_7T+TQ3/-、，,J 丁 3（1 1 1 1 n+2 3 1 （,1 1 n+2-得/=彳+5+m+利-产
37、=彳+刈|一 利-广，:.Tn=2-o）,则 S2=|+a2=2q+d=d+2,S 3=q+4 +%=3q+3d=3d+3,b2=q=q,b y=b1q=/,v b2+S2=7,+S 3=22,+4+2=7 jq+d=5/+3 d +3=2 2 卬如+3=19解 得?A（舍去），或 工,d=6 a=1/.=l+（w-1）x1=/；,nw N*,=1.4 1=4,wN*.由（1）,“J 得c”=a =M=2，则 d=（-1）（+2 J=（-i）n,w+2（w+1）=（7）”._!+!_ _,a（a+）c n（n+l）-2n+1 n-2（n+l）-2+,Q =4+2+4+d2111111 1 1=
38、+-+,+1-2,2-22 2-22 3-23 3-23 4-24 2n-22n（2M+1）-22+I一(2“+l)A 2例 21.(2022全国高三专题练习)已知数列 ,前项和为，且2S.=(+1),记，=(7)学 士 ka“十 ”求 数 列 的 通 项 公 式:(2)设数列 的前项和为。，求刀必.第 3 Q 页，共 7 2 页1 0/1 2考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2 0 2 3 届高三数学(数列求和)题型分类专项训练(含答案)【名师解析】+当 时，S=；x l x 2 =l；当N 2,e N 时，an =S“-S,i+当”=1 时也符 合 =(w N)八 .舞=(可 含(
39、77+1)4-77Y+i+m+i+-焉+苴1 1 1 1 1 1=-1-1-1-F.一2 2 3 3 42 0 2 1 2 0 2 21 2 0 2 3-2 0 2 2 2 0 2 2例 2 2,(2 0 2 2 河南 洛宁县第一高级中学一模(文)己知数列 4 是公差不为零的等差数列,且,%，%成等比数列.(1)求。”的通项公式；(2)设4=,求数列也 的前项和S,.anan【名师解析】等差数列。中,2 a3 =%+%=1 4 ,解得%=7,因，生，4成等比数列，即4；二 坊。6,设 “的公差为4 于是得(7-4=(7-2 4)(7 +3 4),整理得力 与“二。，而 工0,解得=3,所以见=
40、%+(-3)1 =3 一 2.L 1,1 1 、(2)由(1)知，b”_ 77-7 V =T(-T-7),(3-2)(3 +1)3 3n-2 3 +1所以S”=:-；)+(；-；)+3 4 4 7 3/7-2 3/7 +1 3 3 +1 3 +1例 2 3.(2 0 2 2 山西大同高三阶段练习)己知数列 ,的前项和S,满足S,+2 =2a(MENJ.(1)证明：数列 S“+2 是等比数列；(2)设数列2”(a”T)(a“+|T)，的前项和为9,求证:1源L勺 +。4=I 4 ,【名师解析】(1)证明：当 =1 时，+2 =2 可:.S=q =2当2 2 时,S“+2=2(S,-S,T)耳=2
41、%+2,S.+2=2(SI+2)-S2n-+-2=2、F+2第 3 2 页，共 7 2 页1 0/1 2考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2 0 2 3 届高三数学（数列求和）题型分类专项训练（含答案）二数 歹|J S“+2 是以2 为公比，首项工+2=4 的等比数列(2)由(1)知，+2=4x2，S.=2 -2,代入 S.+2=2a 得%=22 1 _I(2n-1)(2+|-1)-2-1 -2+,-1T=(二-2，-J +Q-l Y-J+=1 J 4-20+|-13若所以 一 舟2+1-1 32综上所 述;4 7；1例 24.(2022江西九江三模(理)已知数列 4 的前项和为S,且
42、满足4=2,+4/=3S+6.求 4；(2)求数列l 的前项和.【名师解析】(1)当 =1时,%+4q=3S|+6,*.*=2,.二 生=4.当2 2 时，由凡1+4%=3S+6,得%+4q=两式相减得 all+l-an+4(q,-_,)=3a即 4+1=4a,I数列%-,%,均为公比为4 的等比数列叫=2-4-=2?”,a2=4.4-=22a“=2”.+2 _ +2 _ 1 1 (+/八2”+*.数列/十:,的前项和7：-2(1-2|-2.22)+(2.2 3.2)+,+.2 3s4 _ 1 +6,1(+l)-2+J第 3 2 页，共 7 2 页1 0/1 2考点或配套习题突击冲刺训练专用材
43、料整理汇编2023届高三数学（数列求和）题型分类专项训练（含答案）=21-2+例 25.（2022广东大埔县虎山中学高三阶段练习）已知各项均不 相 等 的 等 差 数 列 的 前 4 项和为1 0,且%,生,4 是等比数列 2 的前3 项.求 4,也：.2n+,、设 c“=d+-r ，求，的前项和s”.an an【名师解析】设等差数列”“的公差为d，石 0,则4x 34见+-r/=1 0J 2,得 a=q q2q +3d=5(q+d)=q .(q+3d)得2可+34=5d2=a、d因为所以，2a,+3d=5,解 得 I所 以=q +(“-1)4=,所以，=%=1,4=%=1+1 =2,所以等比
44、数列 的公比勺=2=2,所以=2 ，(+1)2 1所以 S”=1 +2+2。+2”T+*-*+*-*+J-(+1-201-2+1-!=2 (+1)2(+D例 26.（2022全国高三专题练习）等比数列%中，首项4=1,前项和为S“，且满足4（q+%）=S4.（1）求数列 ,的通项公式;(2)若“=(n+l)lo g3a,/I+1 求数列4n+2的前项和1【名师解析】设数列 ,公比为夕，由4=1,4（可+%）=$4,可得-3 d +q _3=0,化简得年+l）（q -3）=0,即q =3,所以4=3-(2)h (1)得“=(+1)1。氐3=(+1),_9 1 1所 以 竿=4添/一 曰第 3 a
45、 页，共 7 2 页1 0/1 2考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2 0 2 3 届高三数学(数列求和)题型分类专项训练(含答案)例 27.(2022全国高三专题练 习)已知等差数列 4 的前”项和为S“，且4=1,S5=S2+12:数列 的前 项和小 且4=1,数列 4 的 心 产 7；+1,(”eN).求数列 叫、也 的通项公式；(2)若数列匕 满足：q=(-l)”，当22 时，求证：C1+c2+-+c2 2),两式相减 得 黑 也=(*-a)=,即g=2 4(，吐 2),乂 4=4+1 =4+1=24，所以数列 4 是 以 1为首项、2 为公比的等比数列,则“=42M=2T；由
46、(1)知：一广盘r+2(+1)例 28.(2022广东惠州高三阶段练习)记S“是公差不为零的等差数列 4 的前 项和，若号=6,%是 4 和%的等比中项.(1)求数列 ”的通项公式:第 3 6 页，共 7 3 页1 0/1 2考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2 0 2 3 届高三数学(数列求和)题型分类专项训练(含答案)记b.=,求数列出 的前2 0 项和.”+2【名师解析】(I)由题意知设等差数列。“的公差为d，则q(q+8 )=(q +2”，因为d wO,解得q=又 S3 =3%+3 d=6 ,可得 q =d=1,所以数列 4 是 以 1 为首项和公差为1 的等差数列，所以。“=
47、q+(T)d =，w N 一 、一.1 if 1 1 1(2)由(1)可知=-7 穴 7 7 V =T -7 r r-7 穴 7-K，w(n +1)(M+2)+(n +l)(n+2)J设数列 4 的前和为北，则J_ _ _ _ _ 1 _ _ J _ _ _ _ _ 1 _ _J_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 、“一 5(忘 一 汨+而 一 而+“(“+1)(“+)(“+2),=U1 1 2 t2 (+1)(+2)所以 G =；x(g_/)=所以数列 也 的前2 0 和为1!462例 2 9.(2 0 2 2 河北衡水高三阶段练 习)已知数列。,的前项和为5“，且满足2 S,=4 q,
48、-4,数列也,满足4=4，b*b=c i，r t eN 求数列 q ,的通项公式；(2)设J =7 1且数列&的前项和为。，若k T”,恒成立，求常数我的最小值.【名师解析】(1)由2 s,=4 q-4,得当=1 时，q=2,当”.2 时,2sl it=4。“_ -4 ,两式相减得2。,=4。“-4数列 4 是首项为2,公比为2的等比数歹U，由4 =4，b*-b =2,GN*q=2，第 3 6 页，共 7 2 页1 0/1 2考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2023届高三数学（数列求和）题型分类专项训练（含答案）得仇-4=2,4-&=2 2,，b-b =2-,累加得-a=2 +22+
49、23+.+2小_ 2(1 H)2=2 2,:.b”=2：eN*.(2)由(1)得_ b+l 2+_ _“。+)(凡3+l)(2+乂2|+1)2+2+1Tn=t|+c2+c3+.+cn1111 1 I=-1-+-2+1 22+2 22+2 23+3 2+2用+1111=-：-,3 2+,+n+l 3即常数A的最小值为;.例30.(2022 全国高三专题练 习)已知等比数列 q 公比为正数，其前项和为$“，且包=4%,$4=30.数列 满足：=g,a 也 =。也+2+3,eN*.(1)求数列 4 ,的通项公式：(2)求证.+A 72UPKUL.I、？2x3 3x4(n-l)x n x(n+l)-【
50、名师解析】(1)v axqy=2aq,-.-=30n q=2,g=22-q.=2当 N 2 时，(a1 1bli-a.A-i)+(-A-I-展 如)+(4 4 -她)=2(-1)+3+2(-2)+3+2+3,a也-她=2-+3(-1)anhn=n2+2+2,又 q=2,b+?+2,(“22),经 检 验 符 合 上 式，5 ,n2+2n+2第3 6页，共7 2页10/12考点或配套习题突击冲刺训练专用材料整理汇编2023届高三数学（数列求和）题型分类专项训练（含答案）bn：而 可？+2+2,+2=2x-x(“+l)x2-”(+1)乂 2 一1 1 1-+-2 MX2(n+l)x2nl.互+工+