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1、2 0 2 3 年 甘 肃 考 研 数 学 一 试 题 及 答 案一、选 择 题：1 1 0 小 题,每 小 题 5 分，共 5 0 分.在 每 小 题 给 出 的 四 个 选 项 中，只 有 一 个 选 项是 最 符 合 题 目 要 求 的，请 将 所 选 项 前 的 字 母 填 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.1.的 斜 渐 近 线 为()A.B.C.D.【答 案】B.【解 析】由 已 知，则，所 以 斜 渐 近 线 为.故 选 B.2.若 的 通 解 在 上 有 界，则（）.A.B.C.D.【答 案】D.【解 析】微 分 方 程 的 特 征 方 程 为.若，则 通 解 为；若，则 通
2、 解 为；若，则 通 解 为.由 于 在 上 有 界，若，则 中 时 通 解 无 界，若，则 中 时 通 解 无 界，故.时，若，则，通 解 为，在 上 有 界.时，若，则，通 解 为，在上 无 界.综 上 可 得，.3.设 函 数 由 参 数 方 程 确 定，则().A 连 续，不 存 在 B.存 在，在 处 不连 续C.连 续，不 存 在 D.存 在，在 处不 连 续【答 案】C【解 析】，故 在 连 续.时，；时，；时，故 在 连 续.,故 不 存 在.故 选 C.4.设，且 与 收 敛，绝 对 收 敛 是 绝 对 收 敛 的（）.A.充 分 必 要 条 件 B.充 分 不 必 要 条
3、件C.必 要 不 充 分 条 件 D.既 非 充 分 又 非 必 要 条 件【答 案】A.【解 析】由 已 知 条 件 可 知 为 收 敛 的 正 项 级 数，进 而 绝 对收 敛.设 绝 对 收 敛，则 由 与 比较 判 别 法,得 绝 对 收 玫;设 绝 对 收 敛，则 由 与比 较 判 别 法，得 绝 对 收 敛.故 选 A.5.设 均 为 阶 矩 阵，记 矩 阵的 秩 分 别 为，则()A.B.C.D.【答 案】B【解 析】由 矩 阵 的 初 等 变 换 可 得，故.，故.，故.综 上，比 较 可 得 B 正 确.6.下 列 矩 阵 不 能 相 似 对 角 化 的 是()A.B.C.D
4、.【答 案】D.【解 析】由 于 A.中 矩 阵 的 特 征 值 为，特 征 值 互 不 相 同，故 可 相 似 对 角 化.B.中 矩 阵 为 实 对 称 矩 阵，故 可 相 似 对 角 化.C.中 矩 阵 的 特 征 值 为，且，故 可相 似 对 角 化.D.中 矩 阵 的 特 征 值 为，且，故 不可 相 似 对 角 化.选 D.7.已 知 向 量，若 既可 由 线 性 表 示，也 可 由 线 性 表 示，则()A B.C.D.【答 案】D.【解 析】设，则，对 关 于 的 方 程 组 的 系 数 矩 阵 作 初等 变 换 化 为 最 简 形，解 得，故.8.设 服 从 参 数 为 1
5、的 泊 松 分 布，则（）.A.B.C.D.【答 案】C.【解 析】方 法 一 由 已 知 可 得，故，故 选 C.方 法 二 由 于，于 是，因 此.由 已 知 可 得，故，故 选 C.9.设 为 来 自 总 体 的 简 单 随 机 样 本，为 来 自总 体 的 简 单 随 机 样 本，且 两 样 本 相 互 独 立，记，则()A.B.C.D.【答 案】D.【解 析】由 两 样 本 相 互 独 立 可 得 与 相 互 独 立，且，因 此，故 选 D.1 0.已 知 总 体 服 从 正 态 分 布，其 中 为 未 知 参 数，为 来 自 总体 的 简 单 随 机 样 本，且 为 的 无 偏 估
6、 计，则().A.B.C.D.【答 案】A.【解 析】由 与，为 来 自 总 体 的 简 单 随 机 样 本，相 互 独 立，且，因 而，令，所 以 的 概 率 密 度 为，所 以，又 由 为 的 无 偏 估 计 可 得，即，解 得，故 选 A.二、填 空 题：1 1 1 6 小 题,每 小 题 5 分,共 3 0 分.请 将 答 案 写 在 答 题 纸 指 定 位 置 上.1 1 当 时，与 是 等 价 无 穷小，则.【答 案】【解 析】由 题 意 可 知，于 是，即，从 而.1 2.曲 面 在 处 的 切 平 面 方 程 为 _.【答 案】【解 析】由 于 在 点处 的 法 向 量 为，从
7、 而 曲 面 在 处 的 切 平 面 方 程 为.1 3.设 是 周 期 为 的 周 期 函 数，且，则.【答 案】【解 析】由 题 意 知，于 是.1 4.设 连 续 函 数 满 足，则.【答 案】【解 析】.1 5.已 知 向 量，若，则.【答 案】【解 析】，；，；，.故.1 6.设 随 机 变 量 与 相 互 独 立，且 则.答 案】【解 析】.三、解 答 题：1 7 2 2 小 题,共 7 0 分.解 答 应 写 出 文 字 说 明、证 明 过 程 或 演 算 步 骤.1 7.（本 题 满 分 1 0 分）设 曲 线 经 过 点，该 曲 线 上 任 意 一 点 到 轴 的 距 离 等
8、于 该 点 处 的 切 线 在 轴 上 的 截 距.（1）求;（2）求 函 数 在 的 最 大 值.【解】（1）曲 线 在 点 处 的 切 线 方 程 为，于 是 切 线在 轴 上 的 截 距 为，由 题 意 可 知，即，此 为 一阶 线 性 微 分 方 程，根 据 通 解 公 式 可 得，将 代 入 上 式 得，即.(2)由（1）知，于 是，.令，解 得 唯 一 驻 点，故.1 8.（本 题 满 分 1 2 分）求 函 数 的 极 值.【解】由 已 知 可 得，由解 得 驻 点 为.又，.在 处，取，于 是，从 而 在的 领 域 内；取，于 是，从 而 在的 领 域 内，从 而 在 点 处
9、不 去 极 值；在 处，于 是，故 不 是 极大 值 点在 处，,于 是，是 极 小 值 点，极 小 值.1 9.（本 题 满 分 1 2 分）已 知 有 界 闭 区 域 是 由，所 围 的，为 边 界 的 外 侧，计 算 曲 面 积 分.【解】由 高 斯 公 式，有.由 于 关 于 坐 标 面 对 称，是 关 于 的 奇 函 数，因 此，所 以.2 0.（本 题 满 分 1 2 分）设 函 数 在 上 有 二 阶 连 续 导 数.（1）证 明：若，存 在，使 得；（2）若 在 上 存 在 极 值，证 明：存 在，使 得.【证 明】(1)将 在 处 展 开 为，其 中 介 于 与 之 间.分
10、别 令 和，则，两 式 相 加 可 得，又 函 数 在 上 有 二 阶 连 续 导 数，由 介 值 定 理 知 存 在，使 得，即.(2)设 在 处 取 得 极 值，则.将 在 处 展 开 为，其 中 介 于 与 之 间.分 别 令 和，则，两 式 相 减 可 得，所 以，即.2 1.（本 题 满 分 1 2 分）设 二 次 型，(1)求 可 逆 变 换，将 化 为.(2)是 否 存 在 正 交 矩 阵，使 得 时，将 化 为.【解】(1)由 配 方 法 得.令，则，即 时，规 范 形 为.令，则 时，规 范 形 为.故 可 得时 化 为,可 逆 变 换,其 中.(2)二 次 型 的 矩 阵
11、为.,所 以 的 特 征 值 为.二 次 型 的 矩 阵 为.,所 以 的 特 征 值 为.故 合 同 但 不 相 似，故 不 存 在 可 逆 矩 阵 使 得.若 存 在 正 交 矩 阵，当 时，即，即 相 似，矛 盾，故 不 存 在 正 交 矩 阵，使 得 时，化 为.2 2.（本 题 满 分 1 2 分）设 二 维 随 机 变 量 的 概 率 密 度 函 数 为(1)求 和 的 协 方 差；(2)判 断 和 是 否 相 互 独 立；(3)求 的 概 率 密 度 函 数.【解】(1)由 题 意 可 得，和 的 边 缘 概 率 密 度 分 别 为因 此,其 中，故.(2)由(1)可 知，故 和 不 相 互 独 立.(3)设 的 分 布 函 数 为，概 率 密 度 为，则 根 据 分 布 函 数 的 定 义 有当 时，；当 时，；当 时，.综 上，故