2023年甘肃考研数学二试题及答案.pdf-淘文阁

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1、2 0 2 3 年甘肃考研数学二试题及答案一、选择题：1 1 0 小题,每小题 5 分，共 5 0 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是最符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.1.1l n(e)1y xx 的斜渐近线为()A.e y x B.1ey x C.y x D.1ey x【答案】B.【解析】由已知1l n e1y xx，则1l i m l i m l n e l n e 11x xyx x，1 1l i m l i m l n

2、 e l i m l n e 11 1x x xy x x x xx x 1l i m l n e l n e1xxx 1l i m l n 1e(1)xxx 1l i me(1)exxx，所以斜渐近线为1ey x.故选 B.2.函数21,0()1(1)c os,0 xf xxx x x 的一个原函数为（）.A 2l n 1,0()(1)c os s i n,0 x x xF xx x x x B 2l n 1 1,0()(1)c os s i n,0 x x xF xx x x x C 2l n 1,0()(1)s i n c o s,0 x x xF xx x

3、x x D 2l n 1 1,0()(1)s i n c o s,0 x x xF xx x x x【答案】D.【解析】由已知0 0l i m()l i m()(0)1x xf x f x f，即()f x 连续.所以()F x 在 0 x 处连续且可导，排除 A，C.又 0 x 时，(1)c o s s i n c o s(1)s i n c o s(1)s i n x x x x x x x x x，排除 B.故选 D.3.设数列,n nx y 满足1 1 1 11 1,s i n,2 2n n n nx y x x y y,当 n 时().A.nx 是n

4、y 的高阶无穷小 B.ny 是nx 的高阶无穷小C.nx 是ny 的等价无穷小 D.nx 是ny 的同阶但非等价无穷小【答案】B.【解析】在 0,2 中，2s i n x x，从而12s i nn n nx x x.又112n ny y，从而1 11 11224 4 4n nn n nn n ny y y yx x x x，所以11l i m 0nnnyx.故选 B.4.若 0 y a y b y 的通解在(,)上有界，这（）.A.0,0 a b B.0,0 a b C.0,0 a b D.0,0 a b【答案】D【解析】

5、微分方程 0 y a y b y 的特征方程为20 r a r b.若24 0 a b，则通解为2 221 24 4()e(c o s s i n)2 2axb a b ay x C x C x；若24 0 a b，则通解为2 24 42 2 2 21 2()e ea b a a b ax xy x C C；若24 0 a b，则通解为21 2()()eaxy x C C x.由于()y x 在(,)上有界，若 02a，则中 x 时通解无界，若 02a，则中 x 时通解无界，故 0 a.0 a 时，若 0 b，则1,2r bi，通解

6、为1 2()(c o s s i n)y x C b x C b x，在(,)上有界.0 a 时，若 0 b，则1,2r b，通解为1 2()e eb x b xy x C C，在(,)上无界.综上可得 0 a，0 b.故选 D.5.设函数()y f x 由参数方程2|s i nx t ty t t 确定，则().A.()f x 连续，(0)f 不存在 B.(0)f 存在，()f x 在 0 x 处不连续C.()f x 连续，(0)f 不存在 D.(0)f 存在，()f x 在 0 x 处不连续【答案】C【解析】0 0l i

7、m l i m|s i n 0(0)x ty t t y，故()f x 在 0 x 连续.0 0()(0)|s i n(0)l i m l i m 02|x tf x f t tfx t t.s i n c os,03()()0 0()s i n c os 0t t tty tf x tx tt t t t 0 t 时，0 x；0 t 时，0 x；0 t 时，0 x，故()f x 在 0 x 连续.0 0s i n c o s0()(0)23(0)l i m l i m3 9x tt t tf x ffx t,0 0()(0)s i n c o s 0(0)l i m l i m 2x t

8、f x f t t tfx t,故(0)f 不存在.故选 C.6.若函数121()(l n)f d xx x在0=处取得最小值，则0=()A.1l n(l n 2)B.l n(l n 2)C.1l n 2 D.l n 2【答案】A.【解析】已知1 12 2 21 d(l n)1 1 1()d(l n)(l n)(l n)(l n 2)aa a axf a x xx x x a a，则21 1 1 l n l n 2 1 1 1()l n l n 2(l n 2)(l n 2)(l n 2)a a af aa a a a，令()0 f a，解得01.l n l n 2

9、a 故选 A.7.设函数2()()exf x x a.若()f x 没有极值点,但曲线()y f x 有拐点,则 a 的取值范围是().A.0,1)B.1,)C.1,2)D.2,)【答案】C.【解析】由于()f x 没有极值点,但曲线()y f x 有拐点，则2()(2)exf x x x a 有两个相等的实根或者没有实根，2()(4 2)exf x x x a 有两个不相等的实根.于是知4 4 0,16 4(2)0,aa 解得 1 2 a.故选 C.8.,A B 为可逆矩阵，E 为单

11、x x x x x x 的规范形为A.2 21 2y y B.2 21 2y y C.2 2 21 2 34 y y y D.2 2 21 2 3y y y【答案】B【解析】2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 3(,)()()4()f x x x x x x x x x 2 2 21 2 3 1 2 1 3 2 32 3 3 2 2 8 x x x x x x x x x，二次型的矩阵为2 1 11 3 41 4 3 A，2 1 1 2 1 0|1 3 4(7)1 3 11 4 3 1 4 1 A E2 1 0(7)2 1 0(7)(3)01 4 1，1 2 33

12、,7,0，故规范形为2 21 2y y，故选 B.1 0.已知向量组1 2 1 21 2 2 12,1,5,03 1 9 1，若既可由1 2,线性表示，又可由1 2,线性表示，则()A.33,4k k R B.35,10k k R C.11,2k k R D.15,8k k R【答案】D【解析】设1 1 2 2 3 1 4 2k k k k，则1 1 2 2 3 1 4 2k k k k 0，对关于1 2 3 4,k k k k 的方程组的系数矩阵作初等变换化为最简形，1 2 1 21 2 2 1 1 0 0 3

13、(,)2 1 5 0 0 1 0 13 1 9 1 0 0 1 1 A，解得T T T T1 2 3 4(,)(3,1,1,1)(3,1,1,0)(3 3,1,1,)k k k k C C C C C，故 1 1 2 2 1 21 1(3 3)(1)5(1)5,8(1)8Ck k C C C k k RC.故选 D.二、填空题：1 1 1 6 小题,每小题 5 分,共 3 0 分.请将答案写在答题纸指定位置上.1 1 当 0 x 时，2()l n(1)f x a x b x x 与2()e c o sxg x x 是等价无穷小，则a b _ _

14、 _ _ _ _ _ _.【答案】2【解析】由题意可知，220 0()l n(1)1 l i m l i m()e c o sxx xf x a x b x xg xx 2 2 202 2 2 21()2l i m11+()1()2xa x b x x x o xx o x x o x 2 202 21(1)()()2l i m3()2xa x b x o xx o x，于是1 31 0,2 2a b，即 1,2 a b，从而 2 a b.1 2.曲线233 d txy t 的孤长为 _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答案】433【解析】曲线233 d txy

15、 t 的孤长为3 3 32 2 23 3 31 d 1 3 d 4 y x x x x d x 3202 4 x d x 2 s i n23 30 02 2 c o s d 2 s i n 8 c o s dx tt t t t 301 c o s 282td t3014 s i n 22t t 433.1 3.设函数(,)z z x y 由方程 e 2zx z x y 确定，则22(1,1)xz _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答案】32【解析】将点(1,1)带入原方程，得 0 z.方程 e 2zx z x y 两边对 x 求偏导，得 e 2zz

16、 zz xx x，两边再对 x 求偏导，得22 22 2e e 2 0z zz z z zxx x x x，将 1,1,0 x y z 代入以上两式，得(1,1)1zx，22(1,1)32 xz.1 4.曲线3 5 33 2 x y y 在 1 x 对应点处的法线斜率为 _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答案】1 19【解析】当 1 x 时，1 y.方程3 5 33 2 x y y 两边对 x 求导，得2 4 29(5 6)x y y y，将 1 x，1 y 代入，得9(1)1 1y.于是曲线3 5 33 2 x y y 在 1 x

17、对应点处的法线斜率为1 19.1 5.设连续函数()f x 满足(2)()f x f x x，20()d 0 f x x，则31()d f x x _ _ _ _ _ _ _ _ _.【答案】12【解析】3 3 2 3 1 21 1 0 1 0 1()d()d()d()d()d()d f x x f x x f x x f x x f x x f x x 3 12 0()d()d f x x f x x 1 1 1 20 0 01(2)d()d d2x tf t t f x x x x.1 6.1 31 2 31 2 31 21,0,2 0,2a x xx a

18、 x xx x a xa x b x 有解，其中,a b 为常数，若0 11 1 41 2aaa，则1 11 20aaa b _ _ _ _ _ _ _ _.【答案】8【解析】方程组有解，则0 1 11 1 0 11 1 0|1 2 2 1 1 01 2 00 1 20 2aa aaa aaa b aa b A，故1 11 2 80aaa b.三、解答题：1 7 2 2 小题,共 7 0 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.（本题满分 1 0 分）设曲线):(e()L y y x x 经过点2(e,0)，L

19、上任一点(,)P x y 到 y 轴的距离等于该点处的切线在 y 轴上的截距，()求()y x；()在 L 上求一点，使该点的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，并求此最小面积.【解】()曲线 L 在点(,)P x y 处的切线方程为()()Y y y x X x，令 0 X，则切线在 y 轴上的截距为()Y y x y x，则()x y x y x，即11 y yx，解得()(l n)y x x C x，其中 C 为任意常数.又2(e)0 y，则 2 C，故(

20、)(2 l n)y x x x.()设曲线 L 在点(,(2 l n)x x x 处的切线与两坐标轴所围三角形面积最小，此时切线方程为(2 l n)(1 l n)()Y x x x X x.令 0 Y，则l n 1xXx；令 0 X，则 Y x.故切线与两坐标轴所围三角形面积为21 1()2 2 l n 1 2(l n 1)x xS x X Y xx x，则2(2 l n 3)()2(l n 1)x xS xx.令()0 S x，得驻点32e x.当32e e x 时，()0 S x；当32e x 时，()0

21、S x，故()S x 在32e x 处取得极小值，同时也取最小值，且最小值为332(e)e S.1 8.（本题满分 1 2 分）求函数2c o s(,)e2yxf x y x 的极值.【解】由已知条件，有c o s(,)eyxf x y x，c os(,)e(s i n)yyf x y x y.令(,)0,(,)0 x yf x y f x y，解得驻点为1,ek，其中 k 为奇数；(e,)k，其中k 为偶数.(,)1x xf x y，c o s(,)e(s i n)yx yf x y y，c o s 2 c o s(,)e

22、 s i n e c o sy yy yf x y x y x y.在点1,ek 处，其中 k 为奇数，1,1ex xA f k，1,0ex yB f k，21,eey yC f k，由于20 A C B，故1,ek 不是极值点，其中 k 为奇数.在点(e,)k 处，其中 k 为偶数，(e,)1x xA f k，(e,)0 x yB f k，2(e,)ey yC f k，由于20 A C B，且 0 A，故(e,)k 为极小值点，其中 k 为偶数，且极小值为2e(e,)2f k.1 9.（本题满分 1 2 分）已知平面区域

23、21(,)|0,11D x y y xx x，（1）求平面区域 D 的面积 S.(2)求平面区域 D 绕 x 一周所形成的旋转体的体积.【解】(1)22 22 14 41 s e c 1d d dt a n s e c s i n1tS x t tt t tx x 2 22 24 4s i n 1d d c o ss i n 1 c o stt tt t 241 c os 1 1 2 1l n l n2 c os 1 2 2 1tt.(2)2 2 2 21 11 1 1d d 1(1)1 4V x xx x x x.2 0.（本题满分 1 2 分

24、）设平面区域 D 位于第一象限，由曲线2 21 x y x y，2 22 x y x y 与直线3,0 y x y 围成，计算2 21d d3Dx yx y.【解】2 21d d3Dx yx y 21 c o s s i n 32 2 2 2 101 c o s s i n1d d3 c o s s i n 21 c o s s i n 32 2 101 c o s s i n1 1d ds i n 3 c o s 32 201 1l n 2 d2 s i n 3 c o s 3201 1l n 2 d t a n2 t a n 330l n 2 t a n l

25、n 2a r c t a n2 3 3 8 3.2 1.（本题满分 1 2 分）设函数()f x 在,a a 上有二阶连续导数.（1）证明：若(0)0 f，存在(,)a a，使得21()()()f f a f aa；（2）若()f x 在(,)a a 上存在极值，证明：存在(,)a a，使得21|()|()()|2f f a f aa.【证明】(1)将()f x 在00 x 处展开为2 2()()()(0)(0)(0)2!2!f x f xf x f f x f x，其中介于 0 与 x 之间.分别令 x a 和 x a，则21(

26、)()(0)()2!f af a f a，10 a，22()()(0)()2!f af a f a，20 a，两式相加可得2 1 2()()()()2f ff a f a a，又函数()f x 在,a a 上有二阶连续导数，由介值定理知存在 1 2,(,)a a，使得1 2()()()2f ff，即21()()()f f a f aa.(2)设()f x 在0 x 处取得极值，则0()0 f x.将()f x 在0 x 处展开为2 20 00 0 0 0()()()()()()()()()2!2!f x x f x xf x f x f

27、 x x x f x，其中介于0 x 与 x 之间.分别令 x a 和 x a，则21 00()()()()2!f a xf a f x，1 0a x，22 00()()()()2!f a xf a f x，0 2x a，两式相减可得2 22 0 1 0()()()()()()2 2f a x f a xf a f a，所以2 22 0 1 0()()()()|()()|2 2f a x f a xf a f a 2 21 0 2 0|()|()|()|()2 2f a x f a x 2 20 0 1 2|()|()()(|()|m a x(|()|,|()|)2fa

28、 x a x f f f 2 20 0|()|()()2|()|2fa x a x a f，即21|()|()()|2f f a f aa.2 2.（本题满分 1 2 分）设矩阵 A 满足对任意的1 2 3,x x x 均有1 1 2 32 1 2 33 2 32x x x xx x x xx x x A.(1)求 A(2)求可逆矩阵 P 与对角阵，使得1 P AP.【解】(1)由1 1 2 32 1 2 33 2 32x x x xx x x xx x x A，得1 12 23 31 1 12 1 10 1 1x xx xx x A，即方程组123

29、1 1 12 1 10 1 1xxx 0 A 对任意的1 2 3,x x x 均成立，故1 1 12 1 10 1 1 A.(2)1 1 1 1 0 1|2 1 1(2)2 00 1 1 0 1 1 A E,(2)(2)(1)0,特征值为1 2 32,2,1.3 1 1 1 0 02 2 1 1 0 1 10 1 1 0 0 0 A E,1011;1 1 1 1 0 42 2 3 1 0 1 30 1 3 0 0 0 A E,2431;2 1 1 2 0 12 0 1 0 1 00 1 0 0 0 0 A E,3102,令1 2 30 4 1(,)1 3 01 1 2 P，则12 0 00 2 00 0 1 P AP.

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