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1、2017 年江西九江中考数学真题及答案一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 6 6 个小题，每小题个小题，每小题 3 3 分，共分，共 1818 分分.在每小题给出的四个选项中，只在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的.）1（3 分）6 的相反数是（）ABC6D6【分析】求一个数的相反数，即在这个数的前面加负号【解答】解：6 的相反数是 6，故选 C【点评】此题考查了相反数的定义，互为相反数的两个数分别在原点两旁且到原点的距离相等2（3 分）在国家“一带一路”战略下，我国与欧洲开通了互利互惠的中欧班列行程最长，途经城市和国家最多的一趟专列全程长 13000
2、km，将 13000 用科学记数法表示应为（）A0.13105B1.3104C1.3105D13103【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同 当原数绝对值1 时，n 是非负数；当原数的绝对值1 时，n 是负数【解答】解：将 13000 用科学记数法表示为：1.3104故选 B【点评】此题考查了科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n的形式，其中 1|a|10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值3（3 分）下列图形中，是轴对称图
3、形的是（）ABCD【分析】根据轴对称图形的概念求解【解答】解：A、不是轴对称图形，故 A 不符合题意；B、不是轴对称图形，故 B 不符合题意；C、是轴对称图形，故 C 符合题意；D、不是轴对称图形，故 D 不符合题意；故选：C【点评】本题考查了轴对称图形，掌握好轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合4（3 分）下列运算正确的是（）A（a5）2=a10B2a3a2=6a2C2a+a=3aD6a62a2=3a3【分析】根据整式的运算法则即可求出答案【解答】解：（B）原式=6a3，故 B 错误；（C）原式=a，故 C 错误；（D）原式=3a4，故 D 错误；故选（A）【
4、点评】本题考查整式的运算，解题的关键是熟练运用整式的运算法则，本题属于基础题型5（3 分）已知一元二次方程 2x25x+1=0 的两个根为 x1，x2，下列结论正确的是（）Ax1+x2=Bx1x2=1Cx1，x2都是有理数Dx1，x2都是正数【分析】先利用根与系数的关系得到 x1+x2=0，x1x2=0，然后利用有理数的性质可判定两根的符号【解答】解：根据题意得 x1+x2=0，x1x2=0，所以 x10，x20故选 D【点评】本题考查了根与系数的关系：若 x1，x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的两根时，x1+x2=，x1x2=6（3 分）如图，任意四边形 ABCD 中，E，F
5、，G，H 分别是 AB，BC，CD，DA 上的点，对于四边形 EFGH 的形状，某班学生在一次数学活动课中，通过动手实践，探索出如下结论，其中错误的是（）A当 E，F，G，H 是各边中点，且 AC=BD 时，四边形 EFGH 为菱形B当 E，F，G，H 是各边中点，且 ACBD 时，四边形 EFGH 为矩形C当 E，F，G，H 不是各边中点时，四边形 EFGH 可以为平行四边形D当 E，F，G，H 不是各边中点时，四边形 EFGH 不可能为菱形【分析】连接四边形各边中点所得的四边形必为平行四边形，根据中点四边形的性质进行判断即可【解答】解：A当 E，F，G，H 是四边形 ABCD 各边中点，且
6、 AC=BD 时，存在 EF=FG=GH=HE，故四边形 EFGH 为菱形，故 A 正确；B当 E，F，G，H 是四边形 ABCD 各边中点，且 ACBD 时，存在EFG=FGH=GHE=90，故四边形 EFGH 为矩形，故 B 正确；C如图所示，当 E，F，G，H 不是四边形 ABCD 各边中点时，若 EFHG，EF=HG，则四边形EFGH 为平行四边形，故 C 正确；D如图所示，当 E，F，G，H 不是四边形 ABCD 各边中点时，若 EF=FG=GH=HE，则四边形 EFGH为菱形，故 D 错误；故选：D【点评】本题主要考查了中点四边形的运用，解题时注意：中点四边形的形状与原四边形的对角
7、线有关二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 6 6 小题，每小题小题，每小题 3 3 分，满分分，满分 1818 分，将答案填在答题纸上）分，将答案填在答题纸上）7（3 分）函数 y=中，自变量 x 的取值范围是x2【分析】根据二次根式的性质，被开方数大于等于 0，就可以求解【解答】解：依题意，得 x20，解得：x2，故答案为：x2【点评】本题主要考查函数自变量的取值范围，考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数8（3 分）如图 1 是一把园林剪刀，把它抽象为图 2，其中 OA=OB若剪刀张开的角为 30，则A=75度【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和即可得到结论【解答】解：O
8、A=OB，AOB=30，A=（18030）=75，故答案为：75【点评】本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键9（3 分）中国人最先使用负数，魏晋时期的数学家刘徽在“正负术”的注文中指出，可将算筹（小棍形状的记数工具）正放表示正数，斜放表示负数如图，根据刘徽的这种表示法，观察图，可推算图中所得的数值为3【分析】根据有理数的加法，可得答案【解答】解：图中表示（+2）+（5）=3，故答案为：3【点评】本题考查了有理数的运算，利用有理数的加法运算是解题关键10（3 分）如图，正三棱柱的底面周长为 9，截去一个底面周长为 3 的正三棱柱，所得几何体的俯视图的周
9、长是8【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案【解答】解：从上边看是一个梯形：上底是 1，下底是 3，两腰是 2，周长是 1+2+2+3=8，故答案为：8【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从上边看是一个等腰梯形是解题关键11（3 分）已知一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11 的平均数与中位数都是 7，则这组数据的众数是5【分析】根据平均数与中位数的定义可以先求出 x，y 的值，进而就可以确定这组数据的众数【解答】解：一组从小到大排列的数据：2，5，x，y，2x，11 的平均数与中位数都是 7，（2+5+x+y+2x+11）=（x+y）=7，解得 y=9，x=5，这组数
10、据的众数是 5故答案为 5【点评】本题主要考查平均数、众数与中位数的定义，平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错一组数据中出现次数最多的数据叫做众数12（3 分）已知点 A（0，4），B（7，0），C（7，4），连接 AC，BC 得到矩形 AOBC，点 D 的边 AC 上，将边 OA 沿 OD 折叠，点 A 的对应点为 A若点 A到矩形较长两对边的距离之比为1：3，则点 A的坐标为（，3）或（，1）或（2，2）
11、【分析】由已知得出A=90，BC=OA=4，OB=AC=7，分两种情况：（1）当点 A在矩形 AOBC的内部时，过 A作 OB 的垂线交 OB 于 F，交 AC 于 E，当 AE：AF=1：3 时，求出 AE=1，AF=3，由折叠的性质得：OA=OA=4，OAD=A=90，在 RtOAF 中，由勾股定理求出OF=，即可得出答案；当 AE：AF=3：1 时，同理得：A（，1）；（2）当点 A在矩形 AOBC 的外部时，此时点 A在第四象限，过 A作 OB 的垂线交 OB 于 F，交 AC 于 E，由 AF：AE=1：3，则 AF：EF=1：2，求出 AF=EF=BC=2，在 RtOAF 中，由勾
12、股定理求出 OF=2，即可得出答案【解答】解：点 A（0，4），B（7，0），C（7，4），BC=OA=4，OB=AC=7，分两种情况：（1）当点 A在矩形 AOBC 的内部时，过 A作 OB 的垂线交 OB 于 F，交 AC 于 E，如图 1 所示：当 AE：AF=1：3 时，AE+AF=BC=4，AE=1，AF=3，由折叠的性质得：OA=OA=4，在 RtOAF 中，由勾股定理得：OF=，A（，3）；当 AE：AF=3：1 时，同理得：A（，1）；（2）当点 A在矩形 AOBC 的外部时，此时点 A在第四象限，过 A作 OB 的垂线交 OB 于 F，交 AC 于 E，如图 2 所示：AF：
13、AE=1：3，则 AF：EF=1：2，AF=EF=BC=2，由折叠的性质得：OA=OA=4，在 RtOAF 中，由勾股定理得：OF=2，A（2，2）；故答案为：（，3）或（，1）或（2，2）【点评】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、坐标与图形性质、勾股定理等知识；熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解决问题的关键三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 3030 分分.解答应写出文字说明、证明过程或解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤演算步骤.）13（6 分）（1）计算：；（2）如图，正方形 ABCD 中，点 E，F，G 分别在 AB，BC，
14、CD 上，且EFG=90求证：EBFFCG【分析】（1）先把分母因式分解，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可；（2）先根据正方形的性质得B=C=90，再利用等角的余角相等得BEF=CFG，然后根据有两组角对应相等的两个三角形相似可判定EBFFCG【解答】（1）解：原式=；（2）证明：四边形 ABCD 为正方形，B=C=90，BEF+BFE=90，EFG=90，BFE+CFG=90，BEF=CFG，EBFFCG【点评】本题考查了相似三角形的判定：有两组角对应相等的两个三角形相似也考查了分式的乘除法和正方形的性质14（6 分）解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来【分析】分别求出每一个不等式的
15、解集，根据解集在数轴上的表示即可确定不等式组的解集【解答】解：解不等式2x6，得：x3，解不等式 3（x2）x4，得：x1，将不等式解集表示在数轴如下：则不等式组的解集为3x1【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键15（6 分）端午节那天，小贤回家看到桌上有一盘粽子，其中有豆沙粽、肉粽各 1 个，蜜枣粽 2 个，这些粽子除馅外无其他差别（1）小贤随机地从盘中取出一个粽子，取出的是肉粽的概率是多少？（2）小贤随机地从盘中取出两个粽子，试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求出
16、小贤取出的两个都是蜜枣粽的概率【分析】（1）直接利用概率公式求出取出的是肉粽的概率；（2）直接列举出所有的可能，进而利用概率公式求出答案【解答】解：（1）有豆沙粽、肉粽各 1 个，蜜枣粽 2 个，随机地从盘中取出一个粽子，取出的是肉粽的概率是：；（2）如图所示：，一共有 12 种可能，取出的两个都是蜜枣粽的有 2 种，故取出的两个都是蜜枣粽的概率为：=【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有的可能是解题关键16（6 分）如图，已知正七边形 ABCDEFG，请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求画图（1）在图 1 中，画出一个以 AB 为边的平行四边形；（2）在图 2 中，画出一个以 A
17、F 为边的菱形【分析】（1）连接 AF、BE、CG，CG 交 AF 于 M，交 BE 于 N四边形 ABNM 是平行四边形（2）连接 AF、DF，延长 DC 交 AB 的延长线于 M，四边形 AFDM 是菱形【解答】解：（1）连接 AF、BE、CG，CG 交 AF 于 M，交 BE 于 N四边形 ABNM 是平行四边形（2）连接 AF、DF，延长 DC 交 AB 的延长线于 M，四边形 AFDM 是菱形【点评】本题考查复杂作图、平行四边形的性质、菱形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型17（6 分）如图 1，研究发现，科学使用电脑时，望向荧光屏幕画面的“视线角”
18、约为20，而当手指接触键盘时，肘部形成的“手肘角”约为 100图 2 是其侧面简化示意图，其中视线 AB 水平，且与屏幕 BC 垂直（1）若屏幕上下宽 BC=20cm，科学使用电脑时，求眼睛与屏幕的最短距离 AB 的长；（2）若肩膀到水平地面的距离 DG=100cm，上臂 DE=30cm，下臂 EF 水平放置在键盘上，其到地面的距离 FH=72cm请判断此时是否符合科学要求的 100？（参考数据：sin69，cos21，tan20，tan43，所有结果精确到个位）【分析】（1）RtABC 中利用三角函数即可直接求解；（2）延长 FE 交 DG 于点 I，利用三角函数求得DEI 即可求得的值，从
19、而作出判断【解答】解：（1）RtABC 中，tanA=，AB=55（cm）；（2）延长 FE 交 DG 于点 I则 DI=DGFH=10072=28（cm）在 RtDEI 中，sinDEI=，DEI=69，=18069=111100，此时不是符合科学要求的 100【点评】此题综合性比较强，解此题的关键是把实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到几何图形中来考虑，就能迎刃而解四四、（本大题共（本大题共 3 3 小题，每小题小题，每小题 8 8 分，共分，共 2424 分）分）.18（8 分）为了解某市市民“绿色出行”方式的情况，某校数学兴趣小组以问卷调查的形式，随机调查了某市部分出行市民
20、的主要出行方式（参与问卷调查的市民都只从以下五个种类中选择一类），并将调查结果绘制成如下不完整的统计图种类ABCDE出行方式共享单车步行公交车的士私家车根据以上信息，回答下列问题：（1）参与本次问卷调查的市民共有800人，其中选择 B 类的人数有240人；（2）在扇形统计图中，求 A 类对应扇形圆心角的度数，并补全条形统计图；（3）该市约有 12 万人出行，若将 A，B，C 这三类出行方式均视为“绿色出行”方式，请估计该市“绿色出行”方式的人数【分析】（1）由 C 类别人数及其百分比可得总人数，总人数乘以 B 类别百分比即可得；（2）根据百分比之和为 1 求得 A 类别百分比，再乘以 360和
21、总人数可分别求得；（3）总人数乘以样本中 A、B、C 三类别百分比之和可得答案【解答】解：（1）本次调查的市民有 20025%=800（人），B 类别的人数为 80030%=240（人），故答案为：800，240；（2）A 类人数所占百分比为 1（30%+25%+14%+6%）=25%，A 类对应扇形圆心角的度数为 36025%=90，A 类的人数为 80025%=200（人），补全条形图如下：（3）12（25%+30%+25%）=9.6（万人），答：估计该市“绿色出行”方式的人数约为 9.6 万人【点评】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息
22、是解决问题的关键 条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小也考查了用样本估计总体的思想19（8 分）如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成小敏用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短设单层部分的长度为 xcm，双层部分的长度为 ycm，经测量，得到如下数据：单层部分的长度 x（cm）4 6 8 10 150双层部分的长度 y（cm）737271（1）根据表中数据的规律，完成以下表格，并直接写出 y 关于 x 的函数解析式；（2）根据小敏的身高和
23、习惯，挎带的长度为 120cm 时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度；（3）设挎带的长度为 lcm，求 l 的取值范围【分析】（1）观察表格可知，y 是 x 的一次函数，设 y=kx+b，利用待定系数法即可解决问题；（2）列出方程组即可解决问题；（3）由题意当 y=0，x=150，当 x=0 时，y=75，可得 75l150【解答】解：（1）观察表格可知，y 是 x 的一次函数，设 y=kx+b，则有，解得，y=x+75（2）由题意，解得，单层部分的长度为 90cm（3）由题意当 y=0，x=150，当 x=0 时，y=75，75l150【点评】本题考查一次函数的应用、待定系数法等知识，
24、解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型20（8 分）如图，直线 y=k1x（x0）与双曲线 y=（x0）相交于点 P（2，4）已知点A（4，0），B（0，3），连接 AB，将 RtAOB 沿 OP 方向平移，使点 O 移动到点 P，得到APB 过点 A作 ACy 轴交双曲线于点 C（1）求 k1与 k2的值；（2）求直线 PC 的表达式；（3）直接写出线段 AB 扫过的面积【分析】（1）把点 P（2，4）代入直线 y=k1x，把点 P（2，4）代入双曲线 y=，可得 k1与 k2的值；（2）根据平移的性质，求得 C（6，），再运用待定系数法，即可得到直线 PC 的表达式；（3）
25、延长 AC 交 x 轴于 D，过 B作 BEy 轴于 E，根据AOBAPB，可得线段 AB 扫过的面积=平行四边形POBB的面积+平行四边形AOPA的面积，据此可得线段AB扫过的面积【解答】解：（1）把点 P（2，4）代入直线 y=k1x，可得 4=2k1，k1=2，把点 P（2，4）代入双曲线 y=，可得 k2=24=8；（2）A（4，0），B（0，3），AO=4，BO=3，如图，延长 AC 交 x 轴于 D，由平移可得，AP=AO=4，又ACy 轴，P（2，4），点 C 的横坐标为 2+4=6，当 x=6 时，y=，即 C（6，），设直线 PC 的解析式为 y=kx+b，把 P（2，4），
26、C（6，）代入可得，解得，直线 PC 的表达式为 y=x+；（3）如图，延长 AC 交 x 轴于 D，由平移可得，APAO，又ACy 轴，P（2，4），点 A的纵坐标为 4，即 AD=4，如图，过 B作 BEy 轴于 E，PBy 轴，P（2，4），点 B的横坐标为 2，即 BE=2，又AOBAPB，线段 AB 扫过的面积=平行四边形 POBB的面积+平行四边形 AOPA的面积=BOBE+AOAD=32+44=22【点评】本题主要考查了反比例函数与一次函数交点问题，待定系数法的运用以及平移的性质的运用，解决问题的关键是将线段 AB 扫过的面积转化为平行四边形 POBB的面积+平行四边形 AOPA
27、的面积五五、（本大题共（本大题共 2 2 小题，每小题小题，每小题 9 9 分，共分，共 1818 分）分）.21（9 分）如图 1，O 的直径 AB=12，P 是弦 BC 上一动点（与点 B，C 不重合），ABC=30，过点 P 作 PDOP 交O 于点 D（1）如图 2，当 PDAB 时，求 PD 的长；（2）如图 3，当=时，延长 AB 至点 E，使 BE=AB，连接 DE求证：DE 是O 的切线；求 PC 的长【分析】（1）根据题意首先得出半径长，再利用锐角三角函数关系得出 OP，PD 的长；（2）首先得出OBD 是等边三角形，进而得出ODE=OFB=90，求出答案即可；首先求出 CF
28、 的长，进而利用直角三角形的性质得出 PF 的长，进而得出答案【解答】解：（1）如图 2，连接 OD，OPPD，PDAB，POB=90，O 的直径 AB=12，OB=OD=6，在 RtPOB 中，ABC=30，OP=OBtan30=6=2，在 RtPOD 中，PD=2；（2）证明：如图 3，连接 OD，交 CB 于点 F，连接 BD，=，DBC=ABC=30，ABD=60，OB=OD，OBD 是等边三角形，ODFB，BE=AB，OB=BE，BFED，ODE=OFB=90，DE 是O 的切线；由知，ODBC，CF=FB=OBcos30=6=3，在 RtPOD 中，OF=DF，PF=DO=3（直角
29、三角形斜边上的中线，等于斜边的一半），CP=CFPF=33【点评】此题主要考查了圆的综合以及直角三角形的性质和锐角三角三角函数关系，正确得出OBD 是等边三角形是解题关键22（9 分）已知抛物线 C1：y=ax24ax5（a0）（1）当 a=1 时，求抛物线与 x 轴的交点坐标及对称轴；（2）试说明无论 a 为何值，抛物线 C1一定经过两个定点，并求出这两个定点的坐标；将抛物线 C1沿这两个定点所在直线翻折，得到抛物线 C2，直接写出 C2的表达式；（3）若（2）中抛物线 C2的顶点到 x 轴的距离为 2，求 a 的值【分析】（1）将 a=1 代入解析式，即可求得抛物线与 x 轴交点；（2）化
30、简抛物线解析式，即可求得两个定点的横坐标，即可解题；根据抛物线翻折理论即可解题；（3）根据（2）中抛物线 C2解析式，分类讨论 y=2 或2，即可解题；【解答】解：（1）当 a=1 时，抛物线解析式为 y=x24x5=（x2）29，对称轴为 x=2；当 y=0 时，x2=3 或3，即 x=1 或 5；抛物线与 x 轴的交点坐标为（1，0）或（5，0）；（2）抛物线 C1解析式为：y=ax24ax5，整理得：y=ax（x4）5；当 ax（x4）=0 时，y 恒定为5；抛物线 C1一定经过两个定点（0，5），（4，5）；这两个点连线为 y=5；将抛物线 C1沿 y=5 翻折，得到抛物线 C2，开口
31、方向变了，但是对称轴没变；抛物线 C2解析式为：y=ax2+4ax5，（3）抛物线 C2的顶点到 x 轴的距离为 2，则 x=2 时，y=2 或者2；当 y=2 时，2=4a+8a5，解得，a=；当 y=2 时，2=4a+8a5，解得，a=；a=或；【点评】本题考查了代入法求抛物线解析式的方法，考查了抛物线翻折后对称轴不变的原理，考查了抛物线顶点的求解六六、（本大题共（本大题共 1212 分）分）23（12 分）我们定义：如图 1，在ABC 中，把 AB 点绕点 A 顺时针旋转（0180）得到 AB，把 AC 绕点 A 逆时针旋转得到 AC，连接 BC 当+=180时，我们称ABC是ABC 的
32、“旋补三角形”，ABC边 BC上的中线 AD 叫做ABC 的“旋补中线”，点 A叫做“旋补中心”特例感知：（1）在图 2，图 3 中，ABC是ABC 的“旋补三角形”，AD 是ABC 的“旋补中线”如图 2，当ABC 为等边三角形时，AD 与 BC 的数量关系为 AD=BC；如图 3，当BAC=90，BC=8 时，则 AD 长为4猜想论证：（2）在图 1 中，当ABC 为任意三角形时，猜想 AD 与 BC 的数量关系，并给予证明拓展应用（3）如图 4，在四边形 ABCD，C=90，D=150，BC=12，CD=2，DA=6在四边形内部是否存在点 P，使PDC 是PAB 的“旋补三角形”？若存在
33、，给予证明，并求PAB 的“旋补中线”长；若不存在，说明理由【分析】（1）首先证明ADB是含有 30是直角三角形，可得 AD=AB即可解决问题；首先证明BACBAC，根据直角三角形斜边中线定理即可解决问题；（2）结论：AD=BC如图 1 中，延长 AD 到 M，使得 AD=DM，连接 BM，CM，首先证明四边形 ACMB是平行四边形，再证明BACABM，即可解决问题；（3）存在如图 4 中，延长 AD 交 BC 的延长线于 M，作 BEAD 于 E，作线段 BC 的垂直平分线交 BE 于 P，交 BC 于 F，连接 PA、PD、PC，作PCD 的中线 PN连接 DF 交 PC 于 O想办法证明
34、 PA=PD，PB=PC，再证明APD+BPC=180，即可；【解答】解：（1）如图 2 中，ABC 是等边三角形，AB=BC=AC=AB=AC，DB=DC，ADBC，BAC=60，BAC+BAC=180，BAC=120，B=C=30，AD=AB=BC，故答案为如图 3 中，BAC=90，BAC+BAC=180，BAC=BAC=90，AB=AB，AC=AC，BACBAC，BC=BC，BD=DC，AD=BC=BC=4，故答案为 4（2）结论：AD=BC理由：如图 1 中，延长 AD 到 M，使得 AD=DM，连接 BM，CMBD=DC，AD=DM，四边形 ACMB是平行四边形，AC=BM=AC，
35、BAC+BAC=180，BAC+ABM=180，BAC=MBA，AB=AB，BACABM，BC=AM，AD=BC（3）存在理由：如图 4 中，延长 AD 交 BC 的延长线于 M，作 BEAD 于 E，作线段 BC 的垂直平分线交BE 于 P，交 BC 于 F，连接 PA、PD、PC，作PCD 的中线 PN连接 DF 交 PC 于 OADC=150，MDC=30，在 RtDCM 中，CD=2，DCM=90，MDC=30，CM=2，DM=4，M=60，在 RtBEM 中，BEM=90，BM=14，MBE=30，EM=BM=7，DE=EMDM=3，AD=6，AE=DE，BEAD，PA=PD，PB=
36、PC，在 RtCDF 中，CD=2，CF=6，tanCDF=，CDF=60=CPF，易证FCPCFD，CD=PF，CDPF，四边形 CDPF 是矩形，CDP=90，ADP=ADCCDP=60，ADP 是等边三角形，ADP=60，BPF=CPF=60，BPC=120，APD+BPC=180，PDC 是PAB 的“旋补三角形”，在 RtPDN 中，PDN=90，PD=AD=6，DN=，PN=【点评】本题考查四边形综合题、全等三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、直角三角形 30 度角性质、等边三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题